الحلقات وما لا نهاية

"لكن حدود الحساب قد تجاوزت في اللحظة التي خطرت فيها فكرة استعمال البطاقات [المثقوبة]؛ والآلة التحليلية لا تشترك في الأرضية المشتركة مع «آلات الحساب» المجرّدة فحسب... فبإمكان الآلية أن تجمع بين الرموز العامّة، في تعاقببات من تنوّع ومدى غير محدودين، ينشأ رابط يربط بين عمليات المادة والعمليات العقلية المجرّدة في أكثر فروع الرياضيات تجريدًا."، أوغستا آدا، كاونتيسة لوفلايس، 1843

كما يقول اقتباس دوال ذات مداخل لا نهائية، وآلات ذاتية، وتعبيرات نمطية، فإن الخوارزمية هي «جواب متناهٍ على عدد لا نهائي من الأسئلة». ولكي نكتب خوارزمية، نحتاج إلى تدوين مجموعة متناهية من التعليمات التي تتيح لنا الحساب على مداخل بطول اعتباطي. ولكي نصف خوارزمية وننفّذها، نحتاج إلى المكوّنات التالية (انظر الشكل التوضيحي):

• مجموعة التعليمات المتناهية التي يتعيّن تنفيذها.

• بعض «المتغيّرات المحلية» (local variables) أو الحالة المتناهية المستخدَمة أثناء التنفيذ.

• ذاكرة عمل قد تكون غير محدودة الحجم، لتخزين المدخل وأي قيم أخرى قد نحتاج إليها لاحقًا.

• ورغم أن الذاكرة غير محدودة، إلا أننا في كل خطوة على حدة نستطيع القراءة والكتابة في جزء متناهٍ منها فقط، ونحتاج إلى وسيلة لـ_عنونة_ (address) الأجزاء التي نريد القراءة منها والكتابة إليها.

• إذا كانت لدينا مجموعة متناهية من التعليمات فحسب، بينما قد يكون مدخلنا بطول اعتباطي، فسنحتاج إلى تكرار (repeat) التعليمات (أي، العودة عبر الحلقة). ونحتاج إلى آلية تقرّر متى نكرّر ومتى نتوقّف.

آلات تورينج

"يُنجَز الحساب عادةً بكتابة رموز معيّنة على ورق. يمكننا أن نفترض أن هذا الورق مقسَّم إلى مربّعات، كما في كتاب حساب الأطفال... وسلوك الحاسوب $$البشري$$ في أي لحظة تحدّده الرموز التي يراها، و«حالته الذهنية» في تلك اللحظة... يمكننا أن نفترض أن في أي عملية بسيطة لا يتغيّر أكثر من رمز واحد."،
"نقارن بين إنسانٍ يجري عملية حسابية ... وبين آلة لا تقبل سوى عدد متناهٍ من الحالات... وتُزوَّد الآلة بـ«شريط» (المقابل للورق) ... مقسَّم إلى مقاطع (تُسمّى «مربّعات») كل منها قادر على حمل «رمز» "، آلان تورينج (Alan Turing)، 1936

"ما الفرق بين آلة تورينج والحاسوب الحديثة؟ إنه نفس الفرق بين صعود هيلاري لقمة إيفرست وبين إنشاء فندق هيلتون على قمّتها."، آلان بيرليس (Alan Perlis)، 1982.

«جدّ» كل نماذج الحوسبة هو آلة تورينج. عُرِّفت آلات تورينج سنة 1936 على يد آلان تورينج، في محاولة لالتقاط رسميّ لكل الدوال التي يمكن أن يحسبها «حاسوبون» (computers) من البشر (انظر الشكل التوضيحي) ويتبعون مجموعة قواعد محدَّدة تمامًا، مثل الخوارزميات القياسية للجمع أو الضرب.

تصوّر تورينج هذا الشخص بصفته يملك ما يشاء من «ورق مسودّة» (scratch paper). وللبساطة، يمكننا أن نتعامل مع هذه الورقة المسودّة على أنها قطعة ورق مربّعات ببعد واحد (أو شريط (tape) كما يُسمّى عادةً). والورق مقسّم إلى «خلايا»، حيث يمكن لكل «خلية» أن تحمل رمزًا واحدًا (مثل رقم أو حرف، وعمومًا عنصرًا من أبجدية (alphabet) متناهية). في أي لحظة من الزمن، يمكن للشخص أن يقرأ من خليّة واحدة من الورق ويكتب فيها. واستنادًا إلى محتوى هذه الخلية، يمكن للشخص أن يحدّث حالته الذهنية المتناهية، و/أو ينتقل إلى الخلية المجاورة مباشرةً على اليمين أو اليسار.

نمذج تورينج عملية حسابية كهذه بـ«آلة» تحافظ على إحدى $k$ حالات. في كل لحظة من الزمن، تقرأ الآلة من «شريط عملها» رمزًا واحدًا من أبجدية متناهية $\Sigma$، وتستخدمه لتحديث حالتها، وللكتابة على الشريط، وللانتقال ربما إلى خليّة مجاورة (انظر الشكل التوضيحي). ولحساب دالة $F$ باستخدام هذه الآلة، نهيّئ الشريط بالمدخل $x\in \{0,1\}^*$، ويكون هدفنا ضمان أن يحتوي الشريط على القيمة $F(x)$ في نهاية الحساب. وبالتحديد، فإن حساب آلة تورينج $M$ ذات $k$ حالة والأبجدية $\Sigma$ على المدخل $x\in \{0,1\}^*$ يسير كما يلي:

• في البداية تكون الآلة في الحالة $0$ (المعروفة بـ«حالة البدء») ويُهيَّأ الشريط إلى $\triangleright,x_0,\ldots,x_{n-1},\varnothing,\varnothing,\ldots$. ونستخدم الرمز $\triangleright$ للدلالة على بداية الشريط، والرمز $\varnothing$ للدلالة على خليّة فارغة. وسنفترض دائمًا أن الأبجدية $\Sigma$ مجموعة فوقية (ربما صارمة تمامًا) لـ $\{ \triangleright, \varnothing , 0 , 1 \}$.

• الموضع $i$ الذي تشير إليه الآلة يُضبط على $0$.

• في كل خطوة، تقرأ الآلة الرمز $\sigma = T[i]$ الموجود في الموضع $i^{th}$ من الشريط. واستنادًا إلى هذا الرمز وإلى حالتها $s$، تقرّر الآلة:

  • أي رمز $\sigma'$ تكتبه على الشريط \
  • هل تتحرك L إلى اليسار (أي، $i \leftarrow i-1$)، أم R إلى اليمين (أي، $i \leftarrow i+1$)، أم تب S مكانها، أم Hوقف الحساب.
  • ما هي الحالة الجديدة $s \in [k]$ التي ستكون عليها

• تُسمّى مجموعة القواعد التي تتبعها آلة تورينج دالة الانتقال (transition function) لها.

• عندما تتوقّف الآلة، فإن خرجها هو السلسلة الثنائية التي تُقرأ من الشريط من بدايته حتى أول موضع يحتوي فيه على الرمز $\varnothing$، ثم إخراج كل رموز $0$ و$1$ بالترتيب، مع إسقاط الرمز $\triangleright$ الأولي إن وُجد، وكذلك الرمز $\varnothing) الأخير.

مثال موسَّع: آلة تورينج للكلمات المتناظرة

لتكن $PAL$ (أي palindromes، الكلمات المتناظرة) الدالة التي على المدخل $x\in \{0,1\}^*$ تُخرج $1$ إذا وفقط إذا كان $x$ متناظرًا (palindrome) (أي ذا طول زوجي)، بالمعنى أن $x = w_0 \cdots w_{n-1}w_{n-1}w_{n-2}\cdots w_0$ لبعض $n\in \N$ و$w\in \{0,1\}^n$.

نعرض الآن آلة تورينج $M$ تحسب $PAL$. ولتحديد $M$ نحتاج إلى تحديد (i) أبجدية شريط $M$ وهي $\Sigma$، ويجب أن تحتوي على الأقل على الرموز $0$،$1$، $\triangleright$ و$\varnothing$، و__(ii)__ دالة انتقال $M$، التي تحدّد الإجراء الذي تتّخذه $M$ عندما تقرأ رمزًا معيّنًا وهي في حالة معيّنة.

في حالتنا، ستستخدم $M$ الأبجدية $\{ 0,1,\triangleright, \varnothing, \times \}$ وستكون لها $k=11$ حالة. ورغم أن الحالات أرقام بين $0$ و$k-1$ فحسب، فسنعطيها التسميات التالية لتسهيل القراءة:

---
caption: ''
alignment: ''
table-width: ''
id: ''
---
State, Label
0, `START`
1,`RIGHT_0`
2,`RIGHT_1`
3,`LOOK_FOR_0`
4,`LOOK_FOR_1`
5,`RETURN`
6,`OUTPUT_0`
7,`OUTPUT_1`
8,`0_AND_BLANK`
9,`1_AND_BLANK`
10,`BLANK_AND_STOP`

نصف تشغيل آلة تورينج $M$ بالكلمات:

• تبدأ $M$ في الحالة START وتتجه إلى اليمين، باحثة عن أول رمز هو $0$ أو $1$. فإذا وجدت $\varnothing$ قبل أن تصطدم بمثل هذا الرمز، فإنها تنتقل إلى الحالة OUTPUT_1 الموصوفة أدناه.

• وبمجرد أن تجد $M$ رمزًا $b \in \{0,1\}$ من هذا النوع، فإنها تحذف $b$ من الشريط بكتابة الرمز $\times$، وتدخل إما وضع RIGHT_$b$ وتبدأ بالحركة يمينًا حتى تصطدم بأول رمز $\varnothing$ أو $\times$.

• وبمجرد أن تجد $M$ هذا الرمز، فإنها تدخل الحالة LOOK_FOR_0 أو LOOK_FOR_1 بحسب ما إذا كانت في الحالة RIGHT_0 أو RIGHT_1، وتتحرك خطوة واحدة إلى اليسار.

• في الحالة LOOK_FOR_$b$، تتحقق $M$ ممّا إذا كانت القيمة على الشريط هي $b$. فإن كانت كذلك، فإن $M$ تحذفها بتغيير قيمتها إلى $\times$، وتنتقل إلى الحالة RETURN. وإلا فإنها تنتقل إلى الحالة OUTPUT_0.

• تعني الحالة RETURN أن $M$ تعود إلى البداية. وبتحديد، تتحرك $M$ إلى اليسار حتى تصطدم بأول رمز ليس $0$ ولا $1$، وعندئذ تغيّر حالتها إلى START.

• تعني الحالات OUTPUT_$b$ أن $M$ ستُخرج في النهاية القيمة $b$. وفي كلتا الحالتين OUTPUT_0 وOUTPUT_1 تتحرك $M$ إلى اليسار حتى تصطدم بـ$\triangleright$. وبمجرد حدوث ذلك، تتخذ خطوة إلى اليمين، وتنتقل إلى الحالتين 1_AND_BLANK أو 0_AND_BLANK على التوالي. وفي هاتين الحالتين تكتب $M$ القيمة المناظرة، وتتحرك إلى اليمين، وتنتقل إلى الحالة BLANK_AND_STOP، حيث تكتب $\varnothing$ على الشريط ثم تتوقّف.

يمكن تحويل الوصف أعلاه إلى جدول يصف لكل واحدة من توافيق $11\cdot 5$ بين الحالة والرمز ما ستفعله آلة تورينج عندما تكون في تلك الحالة وتقرأ ذلك الرمز. ويُعرف هذا الجدول بـ_دالة الانتقال_ (transition function) لآلة تورينج.

آلات تورينج: تعريف رسمي

التعريف الرسمي لآلات تورينج هو كما يلي:

لا ينبغي الخلط بين دالة الانتقال $\delta_M$ لآلة تورينج $M$ والدالة التي تحسبها الآلة. إن دالة الانتقال $\delta_M$ هي دالة متناهية، لها $k|\Sigma|$ مدخلًا و$4k|\Sigma|$ خرجًا. (هل ترى لماذا؟) يمكن للآلة أن تحسب دالة لا نهائية $F$ تأخذ كمدخل سلسلة $x\in \{0,1\}^*$ ذات طول اعتباطي، وقد تُخرج أيضًا سلسلة ذات طول اعتباطي.

في تعريفنا الرسمي، فرأنا بين الآلة $M$ ودالة انتقالها $\delta_M$، لأن دالة الانتقال تخبرنا بكل ما نحتاج معرفته عن آلة تورينج. غير أن هذا التمثيل اعتباطي نوعًا ما، ويستند إلى عرفنا بأن فضاء الحالات هو دائمًا الأرقام $\{0,\ldots,k-1\}$ مع $0$ كحالة بدء. وتستخدم نصوص أخرى أعرافًا مختلفة، لذا قد يبدو تعريفها الرياضي لآلة تورينج مختلفًا في ظاهره. غير أن هذه التعريفات تصف العملية الحاسوبية نفسها، وتتمتع بالقدرات الحاسوبية نفسها. لذلك فهي متكافئة رغم اختلافاتها السطحية. انظر ملاحظات مرجعية لمقارنة بين تعريف — آلة تورينج وطريقة تعريف آلات تورينج في نصوص مثل Sipser [@SipserBook].

الدوال القابلة للحساب

ننتقل الآن إلى واحد من أهم تعريفات هذا الكتاب: الدوال القابلة للحساب (computable functions).

قد يبدو تعريف الدالة بأنها «قابلة للحساب» إذا وفقط إذا أمكن حسابها بآلة تورينج أمرًا «متهوّرًا»، لكن كما سنرى في نماذج حوسبة مكافئة، فإن القابلية للحساب بالمعنى المبيَّن في تعريف — الدوال القابلة للحساب تكافئ القابلية للحساب في أي نموذج معقول للحوسة تقريبًا. وتُعرف هذه العبارة بـ_أطروحة تشرتش-تورينج_ (Church-Turing Thesis). (وبخلاف أطروحة تشرتش-تورينج الموسَّعة (extended) التي ناقشناها في أطروحة كيرش-تورينغ الفيزيائية الموسّعة (نقاش)، فإن أطروحة تشرتش-تورينج نفسها مقبولة على نطاق واسع ولا توجد أجهزة مرشّحة لمهاجمتها.)

هذه مناسبة جيدة لتذكير القارئ بأن الدوال ليست هي البرامج (programs) نفسها:

آلة تورينج (أو برنامج) $M$ تستطيع أن تحسب (compute) دالة ما $F$، لكنها ليست $F$ نفسها. وبخاصة، قد يوجد أكثر من برنامج واحد يحسب الدالة نفسها. والقابلية للحساب خاصية (property) للدوال، لا للآلات.

وسنولي في الغالب عناية خاصة للدوال $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ التي لها بتّ خرج واحد. ولذلك نمنح اسمًا خاصًا لمجموعة الدوال القابلة للحساب بهذا الشكل.

الحلقات اللانهائية والدوال الجزئية

هناك فرق جوهري واحد بين الدوائر/البرامج المستقيمة (straight-line programs) وآلات تورينج، وهو كما يلي. بالنظر إلى برنامج NAND-CIRC $P$، يمكننا دائمًا أن نعرف كم مدخلًا وكم خرجًا لدى $P$ بمجرد النظر إلى المتغيّرين X وY. وفضلاً عن ذلك، نحن مضمونون أنه إذا استدعينا $P$ على أي مدخل، فإن بعضَ الخرج سيُنتَج.

على النقيض من ذلك، عند إعطاء آلة تورينج $M$، لا يمكننا تحديد طول خرج $M$ مسبقًا. بل إننا لا نعرف أصلًا هل سيُنتَج خرج أم لا! فمثلًا، من السهل جدًا أن نوجد آلة تورينج لا تُخرج أبدًا $\mathsf{H}$ في دالة انتقالها، وبالتالي لا تتوقّف أبدًا.

إذا فشلت آلة $M$ في التوقّف وإنتاج خرج على بعض المدخل $x$، فإنها لا تستطيع حساب أي دالة كلية $F$، لأننا بكل وضوح، على المدخل $x$، ستفشل $M$ في إخراج $F(x)$. غير أن $M$ تستطيع مع ذلك حساب دالة جزئية (partial function).^[1]

فمثلًا، تأمّل الدالة الجزئية $DIV$ التي على المدخل زوج $(a,b)$ من الأعداد الطبيعية تُخرج $\ceil{a/b}$ إذا كان $b > 0$، وتكون غير معرَّفة في غير ذلك. يمكننا تعريف آلة تورينج $M$ تحسب $DIV$ على المدخل $a,b$ بإخراج أول $c=0,1,2,\ldots$ بحيث $cb \geq a$. فإذا كان $a>0$ و$b=0$ فإن الآلة $M$ لن تتوقّف أبدًا، لكن هذا مقبول، لأن $DIV$ غير معرَّفة على هذه المدخلات. وإذا كان $a=0$ و$b=0$، فإن الآلة $M$ ستُخرج $0$، وهذا أيضًا مقبول، لأننا لا نباله بما يُخرجه البرنامج على المدخلات التي تكون $DIV$ فيها غير معرَّفة. رسميًا، نعرّف قابلية حساب الدوال الجزئية كما يلي:

لاحظ أنه إذا كانت $F$ دالة كلية، فإنها معرَّفة على كل $x\in \{0,1\}^*$، وبالتالي في هذه الحالة يكون تعريف — الدوال القابلة للحساب (جزئية أو كلية) مطابقًا لـتعريف — الدوال القابلة للحساب.

آلات تورينج كلغات برمجة

اسم «آلة تورينج» وما يرتبط به من «شريط» و«رأس» يستحضر شيئًا ماديًا، في المقابل، فإننا نرى البرنامج (program) على أنه نص. لكن يمكننا التفكير في آلة تورينج على أنها برنامج أيضًا. فمثلًا، تأمّل آلة تورينج $M$ في مثال موسَّع: آلة تورينج للكلمات المتناظرة التي تحسب الدالة $PAL$ بحيث $PAL(x)=1$ إذا وفقط إذا كان $x$ متناظرًا. ويمكننا أيضًا وصف هذه الآلة على أنها برنامج باستخدام شيفرة زائفة (pseudocode) شبيهة بـPython من الشكل التالي

# Gets an array Tape initialized to
# [">", x_0 , x_1 , .... , x_(n-1), "∅", "∅", ...]
# At the end of the execution, Tape[1] is equal to 1
# if x is a palindrome and is equal to 0 otherwise
def PAL(Tape):
    head = 0
    state = 0 # START
    while (state != 12):
        if (state == 0 && Tape[head]=='0'):
            state = 3 # LOOK_FOR_0
            Tape[head] = 'x'
            head += 1 # move right
        if (state==0 && Tape[head]=='1')
            state = 4 # LOOK_FOR_1
            Tape[head] = 'x'
            head += 1 # move right
        ... # more if statements here

التفاصيل الدقيقة لهذا البرنامج ليست مهمّة. المهم هو أن بإمكاننا وصف آلات تورينج بوصفها برامج. وفضلاً عن ذلك، لاحظ أن عند ترجمة آلة تورينج إلى برنامج، يتحوّل الشريط إلى قائمة (list) أو مصفوفة (array) قادرة على حمل قيم من المجموعة المتناهية $\Sigma$.^[2] ويمكن التفكير في موضع الرأس (head position) على أنه متغيّر (variable) ذا قيمة أعداد صحيحة يحمل أعدادًا صحيحة غير محدودة الحجم. أما الحالة (state) فهي سجلّ محلي (local register) يمكنه حمل إحدى قيم عدد ثابت من القيم في $[k]$.

وبشكل أعمّ، يمكننا التفكير في كل آلة تورينج $M$ على أنها مكافئة لبرنامج شبيه بما يلي:

# Gets an array Tape initialized to
# [">", x_0 , x_1 , .... , x_(n-1), "∅", "∅", ...]
def M(Tape):
    state = 0
    i     = 0 # holds head location
    while (True):
        # Move head, modify state, write to tape
        # based on current state and cell at head
        # below are just examples for how program looks for a particular transition function
        if Tape[i]=="0" and state==7: # δ_M(7,"0")=(19,"1","R")
            Tape[i]="1"
            i += 1

            state = 19
        elif Tape[i]==">" and state == 13: # δ_M(13,">")=(15,"0","S")
            Tape[i]="0"
            state = 15
        elif ...
        ...
        elif Tape[i]==">" and state == 29: # δ_M(29,">")=(.,.,"H")
            break # Halt

ولو أردنا استخدام متغيّرات بوليانية (Boolean) فقط (أي متغيّرات قيمتها $0$/$1$)، لاستطعنا ترميز متغيّرات state باستخدام $\ceil{\log k}$ بت. وبالمثل، يمكننا تمثيل كل عنصر من أبجدية $\Sigma$ باستخدام $\ell=\ceil{\log |\Sigma|}$ بت، وبالتالي يمكننا استبدال المصفوفة ذات القيم في $\Sigma$ والمسمّاة Tape[] بـ$\ell$ مصفوفة ذات قيم بوليانية هي Tape0[]،$\ldots$، Tape$(\ell - 1)$[].

لغة البرمجة NAND-TM

نقدّم الآن لغة البرمجة NAND-TM، التي تلتقط قدرة آلة تورينج بصيغة لغات برمجة. وكما أن الفرق بين الدوائر البوليانية وآلات تورينج، فإن الفرق الرئيسي بين NAND-TM وNAND-CIRC هو أن NAND-TM تمثّل خوارزمية واحدة موحّدة (uniform) تستطيع حساب دالة تأخذ مداخل بأطوال اعتباطية. ولتحقيق ذلك، نوسّع لغة البرمجة NAND-CIRC ببنيتين:

• الحلقات (loops): إن NAND-CIRC هي لغة برمجة مستقيمة (straight-line) — فبرنامج NAND-CIRC بطول $s$ سطرًا يستغرق بالضبط $s$ خطوة حسابية، وبالتالي لا يستطيع حتى لمس أكثر من $3s$ متغيّرًا. وتتيح لنا الحلقات (loops) استخدام برنامج بطول ثابت لترميز تعليمات حساب قد يستغرق وقتًا اعتباطيًا.

• المصفوفات (arrays): يلمس برنامج NAND-CIRC بطول $s$ سطرًا ما لا يزيد عن $3s$ متغيّرًا. ورغم أننا يمكننا استخدام متغيّرات بأسماء مثل Foo_17 أو Bar[22] في NAND-CIRC، فإنها ليست مصفوفات حقيقية، لأن الرقم في المُعرِّف هو ثابت «مضمَّن» (hardwired) في البرنامج. أما NAND-TM فتحتوي مصفوفات فعلية يمكن أن يكون طولها غير محدود مسبقًا.

إذن، فإن طريقة جيدة لتذكّر NAND-TM هي استخدام المعادلة غير الرسمية التالية:

عمليًّا، تضيف لغة البرمجة NAND-TM الميزات التالية فوق NAND-CIRC (انظر الشكل التوضيحي):

• نضيف متغيّرًا خاصًا ذي قيمة عدد صحيح (integer valued) اسمه i. وجميع المتغيّرات الأخرى في NAND-TM هي ذات قيمة بوليانية (Boolean valued) (كما في NAND-CIRC).

• إلى جانب i، تمتلك NAND-TM نوعين من المتغيّرات: قياسية (scalars) و_مصفوفات_ (arrays). فالمتغيّرات القياسية (scalar variables) تحمل بتًّا واحدًا (كما في NAND-CIRC تمامًا). أما المتغيّرات من نوع المصفوفة (array variables) فتُخزّن عددًا غير محدود من البتات. وفي أي لحظة من الحساب يمكننا الوصول إلى متغيّرات المصفوفة عند الموضع المُفهرس بـi باستخدام Foo[i]. ولا يمكننا الوصول إلى المصفوفات في مواضع غير الموضع الذي يشير إليه i.

• نستخدم العرف أن المصفوفات (arrays) تبدأ دائمًا بحرف كبير، وأن المتغيّرات القياسية (scalar variables) (التي لا تُفهرس أبدًا بـi) تبدأ بحروف صغيرة. لذا Foo هي مصفوفة وbar متغيّر قياسي.

• يُعتبر المدخل X والخرج Y الآن مصفوفتين (arrays) قيمتها أصفار وواحدات. (وهناك أيضًا مصفوفتان خاصتان أخريان هما X_nonblank وY_nonblank، انظر أدناه.)

• نضيف تعليمة خاصة MODANDJUMP تأخذ كمدخل متغيّرين بوليين $a,b$ وتفعل ما يلي:

  • إذا كان $a=1$ و$b=1$ فإن MODANDJUMP($a,b$) يزيد i بمقدار واحد ويقفز إلى أول سطر في البرنامج.
  • إذا كان $a=0$ و$b=1$ فإن MODANDJUMP($a,b$) ينقص i بمقدار واحد ويقفز إلى أول سطر في البرنامج. (وإذا كان i مساويًا بالفعل لـ $0$ فإنه يبقى عند $0$.)
  • إذا كان $a=1$ و$b=0$ فإن MODANDJUMP($a,b$) يقفز إلى أول سطر في البرنامج دون تعديل i.
  • إذا كان $a=b=0$ فإن MODANDJUMP($a,b$) يوقف تنفيذ البرنامج.

• تظهر تعليمة MODANDJUMP دائمًا في آخر سطر من برنامج NAND-TM ولا تظهر في أي مكان آخر.

القيم الافتراضية. نحتاج إلى عرفٍ إضافي واحد للتعامل مع «القيم الافتراضية». تمتلك آلات تورينج الرمز الخاص $\varnothing$ للدلالة على أن موضعًا في الشريط «فارغ» أو «غير مُهيّأ». أما في NAND-TM فلا يوجد مثل هذا الرمز، وجميع المتغيّرات بوليانية (Boolean)، تحتوي إمّا على $0$ أو على $1$. وتأخذ جميع المتغيّرات ومواضع المصفوفات القيمة الافتراضية $0$ إذا لم تكن قد هُيّئت إلى قيمة أخرى. ولكي نتتبّع ما إذا كان $0$ في مصفوفة يمثّل صفرًا حقيقيًا أم خليّة غير مُهيّأة، يمكن للمبرمج دائمًا أن يضيف إلى المصفوفة Foo مصفوفة «مرافقة» (companion array) هي Foo_nonblank ويضبط Foo_nonblank[i] على $1$ كلما كان الموضع رقم i مُهيّأ. وبخاصة، سنستخدم هذا العرف مع مصفوفتي المدخل والخرج X وY. يمتلك برنامج NAND-TM أربع مصفوفات خاصة هي X وX_nonblank وY وY_nonblank. وعند تنفيذ برنامج NAND-TM على مدخل $x\in \{0,1\}^*$ طوله $n$، تُهيّأ الخلايا $n$ الأولى من المصفوفة X على $x_0,\ldots,x_{n-1}$، وتُهيّأ الخلايا $n$ الأولى من المصفوفة X_nonblank على $1$. (أما جميع الخلايا غير المُهيّأة فتأخذ القيمة الافتراضية $0$.) ويكون خرج برنامج NAND-TM هو السلسلة Y[$0$], $\ldots$, Y[$m-1$] حيث $m$ أصغر عدد صحيح بحيث Y_nonblank[$m$]$=0$. ويُستدعى برنامج NAND-TM مع X وX_nonblank مُهيّأتين لاحتواء المدخل، ويكتب في Y وY_nonblank لإنتاج الخرج.

رسميًّا، تُعرَّف برامج NAND-TM كما يلي:

لمحة سريعة: NAND-TM مقابل آلات تورينج

وكما يدلّ الاسم، فإن برامج NAND-TM هي تنفيذ مباشر لآلات تورينج بصيغة لغة برمجة. وسنُظهر التكافؤ أدناه، لكن يمكنك أن ترى بالفعل كيف تقابل مكوّنات آلات تورينج مكوّنات برامج NAND-TM بعضها ببعض:

---
caption: 'Turing Machine and NAND-TM analogs'
alignment: 'LL'
table-width: '1/1'
id: TMvsNANDTMtable
---
**Turing Machine** | **NAND-TM program**
*State:* single register that takes values in $[k]$ | *Scalar variables:* Several variables such as `foo`, `bar` etc.. each taking values in $\{0,1\}$.
*Tape:* One tape containing values in a finite set $\Sigma$. Potentially infinite but $T[t]$ defaults to $\varnothing$ for all locations $t$ that have not been accessed. | *Arrays:* Several arrays such as `Foo`, `Bar` etc.. for each such array `Arr` and index $j$, the value of `Arr` at position $j$ is either $0$ or $1$. The value defaults to $0$ for position that have not been written to.
*Head location:* A number $i\in \mathbb{N}$ that encodes the position of the head. | *Index variable:* The variable `i` that can be used to access the arrays.
*Accessing memory:* At every step the Turing machine has access to its local state, but can only access the tape at the position of the current head location. | *Accessing memory:* At every step a NAND-TM program has access to all the scalar variables, but can only access the arrays at the location `i` of the index variable
*Control of location:* In each step the machine can move the head location by at most one position. | *Control of index variable:* In each iteration of its main loop the program can modify the index `i` by at most one.

أمثلة

نعرض الآن بعض الأمثلة لبرامج NAND-TM.

carry = IF(started,carry,one(started))
started = one(started)
Y[i] = XOR(X[i],carry)
carry = AND(X[i],carry)
Y_nonblank[i] = one(started)
MODANDJUMP(X_nonblank[i],X_nonblank[i])

temp_0 = NAND(started,started)
temp_1 = NAND(started,temp_0)
temp_2 = NAND(started,started)
temp_3 = NAND(temp_1,temp_2)
temp_4 = NAND(carry,started)
carry = NAND(temp_3,temp_4)
temp_6 = NAND(started,started)
started = NAND(started,temp_6)
temp_8 = NAND(X[i],carry)
temp_9 = NAND(X[i],temp_8)
temp_10 = NAND(carry,temp_8)
Y[i] = NAND(temp_9,temp_10)
temp_12 = NAND(X[i],carry)
carry = NAND(temp_12,temp_12)
temp_14 = NAND(started,started)
Y_nonblank[i] = NAND(started,temp_14)
MODANDJUMP(X_nonblank[i],X_nonblank[i])

temp_0 = NAND(X[0],X[0])
Y_nonblank[0] = NAND(X[0],temp_0)
temp_2 = NAND(X[i],Y[0])
temp_3 = NAND(X[i],temp_2)
temp_4 = NAND(Y[0],temp_2)
Y[0] = NAND(temp_3,temp_4)
MODANDJUMP(X_nonblank[i],X_nonblank[i])

تكافؤ آلات تورينج وبرامج NAND-TM

بالنظر إلى النقاش أعلاه، قد لا يكون من المُفاجئ أن تكتشف آلات تورينج أنها متكافئة مع برامج NAND-TM. وفي الواقع، لقد صمّمنا لغة NAND-TM لتتمتع بهذه الخاصية. ومع ذلك، فهذه نتيجة مهمة، وهي أولى نتائج التكافؤ الإضافية العديدة التي سنراها في هذا الكتاب.

المواصفة مقابل التنفيذ (مرة أخرى)

ما إن تفهم تعريفات كلٍّ من برامج NAND-TM وآلات تورينج، تصبح مبرهنة — آلات تورينج وبرامج NAND-TM متكافئة بديهية. وفي الواقع، إن برامج NAND-TM ليست نموذجًا مختلفًا عن آلات تورينج بقدر ما هي مجرد إعادة صياغة للنموذج نفسه باستخدام تدوين لغات البرمجة. ويمكنك أن تفكّر في الفرق بين آلة تورينج وبرنامج NAND-TM على أنه الفرق بين تمثيل عدد بكتابة عشرية أو كتابة ثنائية. على النقيض من ذلك، فإن الفرق بين دالة $F$ وبين آلة تورينج تحسب $F$ أعمق بكثير: إنه أشبه بالفرق بين المعادلة $x^2 + x = 12$، والعدد $3$ الذي حلّ للمعادلة. ولهذا السبب، ومع أخذنا عناية خاصة في التمييز بين الدوال وبين البرامج أو الآلات، سنُعرّف غالبًا المفهومين الأخيرين على أنهما واحد. وسنتنقّل بحرّية بين وصف خوارزمية على أنها آلة تورينج أو أنها برنامج NAND-TM (وكذلك بعض نماذج الحوسبة المكافئة الأخرى التي سنراها في نماذج حوسبة مكافئة وما بعدها).

---
caption: 'Specification vs Implementation formalisms'
alignment: 'LL'
table-width: ''
id: specvsimp
---
*Setting* ; *Specification* ; *Implementation*
_Finite computation_ ; __Functions__ mapping $\{0,1\}^n$ to $\{0,1\}^m$ ; __Circuits__, __Straightline programs__
_Infinite computation_ ; __Functions__ mapping $\{0,1\}^*$ to $\{0,1\}$ or to $\{0,1\}^*$. ; __Algorithms__, __Turing Machines__, __Programs__

السكر النحوي في NAND-TM

تمامًا كما فعلنا مع NAND-CIRC في السكر النحوي، وحساب كل دالة، يمكننا استخدام «السكر النحوي» لتسهيل كتابة برامج NAND-TM. وللبداية، يمكننا استخدام كل السكر النحوي الخاص بـNAND-CIRC، مثل تعريفات الماكروّات والشروط (أي if/then). غير أننا يمكننا الذهاب إلى أبعد من ذلك وتحقيق (مثلًا):

• حلقات داخلية مثل عمليات while وfor الشائعة في كثير من لغات البرمجة.

• متغيّرات فهرسة متعدّدة (مثلًا، ليس i فحسب، بل يمكننا إضافة j وk وغيرها).

• مصفوفات بأكثر من بُعد واحد (مثل Foo[i][j]، Bar[i][j][k] وغيرها.)

في كل هذه الحالات (وغيرها الكثير) يمكننا تنفيذ الميزة الجديدة بوصفها مجرد «سكر نحوي» فوق NAND-TM القياسي. وهذا يعني أن مجموعة الدوال القابلة للحساب بـNAND-TM مع هذه الميزة هي نفسها مجموعة الدوال القابلة للحساب بـNAND-TM القياسي. وبالمثل، يمكننا أن نبيّن أن مجموعة الدوال القابلة للحساب بآلات تورينج التي لها أكثر من شريط واحد، أو بشرائط ذات أبعاد أكثر من بعد واحد، هي نفسها مجموعة الدوال القابلة للحساب بآلات تورينج القياسية.

‏GOTO والحلقات الداخلية

يمكننا تنفيذ بنيات تكرارية (looping constructs) أكثر تقدّمًا من البسيطة MODANDJUMP. فمثلًا، يمكننا تنفيذ GOTO. وتُقابل تعليمة GOTO القفز إلى سطر معيّن أثناء التنفيذ. فمثلًا، إذا كان لدينا شيفرة من الشكل

"start":  do foo
   GOTO("end")
"skip": do bar
"end": do blah

فإن البرنامج سينفّذ فقط foo وblah، لأنه عند الوصول إلى السطر GOTO("end") سيقفز إلى السطر الموسوم بـ"end". ويمكننا تحقيق أثر GOTO في NAND-TM باستخدام الشروط (conditionals). وفي الشيفرة أدناه، نفترض لدينا متغيّر pc يمكن أن يأخذ سلاسل ذات طول ثابت ما. وهذا يمكن ترميزه باستخدام عدد متناهٍ من المتغيّرات البوليانية pc_0، pc_1، $\ldots$، pc_$k-1$، بحيث عندما نكتب أدناه pc = "label" فإننا نعني شيئًا مثل pc_0 = 0,pc_1 = 1, $\ldots$ (حيث تقابل البتات $0,1,\ldots$ ترميز السلسلة المتناهية "label" كسلسلة من الطول $k$). ونفترض أيضًا أننا توفّر على تعليمات شرطية (أي تعليمات if)، يمكننا محاكاتها باستخدام السكر النحوي بالطريقة نفسها التي فعلناها في NAND-CIRC.

لمحاكاة تعليمة GOTO، سنعدّل أولًا برنامج P من الشكل

do foo
do bar
do blah

ليصبح بالشكل التالي (باستخدام السكر النحوي لـif):

pc = "line1"
if (pc=="line1"):
    do foo
    pc = "line2"
if (pc=="line2"):
    do bar
    pc = "line3"
if (pc=="line3"):
    do blah

وهذان البرنامجان يفعلان الشيء نفسه. ويُقابل المتغيّر pc «عدّاد البرنامج» (program counter)، وهو يخبر البرنامج أي سطر ينفّذ تاليًا. ويمكننا أن نرى أن لو أردنا محاكاة GOTO("line3") لاستطعنا ببساطة تعديل التعليمة pc = "line2" لتصبح pc = "line3".

في NAND-CIRC لم تكن لدينا سوى عمليات GOTO تتقدّم إلى الأمام في الشيفرة، لكن بما أن كل شيء في NAND-TM مندرج ضمن حلقة خارجية كبيرة، يمكننا استخدام الأفكار نفسها لتنفيذ عمليات GOTO إلى الخلف، وكذلك الحلقات الشرطية.

حلقات أخرى. وبمجرد أن تتوفّر لدينا GOTO، يمكننا محاكاة جميع بنيات الحلقة القياسية مثل while أو do .. until أو for في NAND-TM أيضًا. فمثلًا، يمكننا استبدال الشيفرة

while foo:
    do blah
do bar

بما يلي:

"loop":
    if NOT(foo): GOTO("next")
    do blah
    GOTO("loop")
"next":
    do bar

for j in range(100):
    do something

do blah

التوحيد، وNAND مقابل NAND-TM (نقاش)

رغم أن NAND-TM تضيف عمليات زائدة على NAND-CIRC، فإن من غير الدقيق تمامًا القول إن برامج NAND-TM أو آلات تورينج «أقوى» من برامج NAND-CIRC أو من الدوائر البوليانية. فبرامج NAND-CIRC، لأنها بلا حلقات، لا تنطبق ببساطة على حساب دوال لها عدد غير محدود من المداخل. ولذلك، لحساب دالة $F:\{0,1\}^* :\rightarrow \{0,1\}^*$ باستخدام NAND-CIRC (أو بما يكافئه من الدوائر البوليانية) نحتاج إلى مجموعة (collection) من البرامج/الدوائر: برنامج واحد لكل طول مدخل.

الفرق الجوهري بين NAND-CIRC وNAND-TM هو أن NAND-TM تتيح لنا التعبير عن الحقيقة أن خوارزمية حساب التكافؤات (parities) للسلاسل ذات الطول $100$ هي في الحقيقة الخوارزمية نفسها التي تحسب تكافؤات السلاسل ذات الطول $5$ (أو بشكل مماثل، الحقيقة أن خوارزمية جمع الأعداد ذات $n$ بت هي نفسها لكل $n$، إلخ). أي يمكننا التفكير في برنامج NAND-TM للتكافؤ العام على أنه «البذرة» التي ننمو منها برامج NAND-CIRC لتكافؤات الطول $10$، أو الطول $100$، أو الطول $1000$، حسب الحاجة.

وتُعرف هذه الفكرة، وهي فكرة خوارزمية واحدة تستطيع حساب دوال بكل أطوال المداخل، بـ_توحيد_ (uniformity) الحوسبة. ولذلك نعتبر آلات تورينج / NAND-TM نماذج حوسبة موحّدة (uniform)، على النقيض من الدوائر البوليانية أو NAND-CIRC التي هي نماذج غير موحّدة (non-uniform)، يتعيّن فيها أن نحدّد برنامجًا مختلفًا لكل طول مدخل.

ونتطلّع إلى الأمام، سنرى أن هذا التوحيد يقود إلى فرق جوهري آخر بين آلات تورينج والدوائر. يمكن لآلات تورينج أن يكون لها مداخل ومخارج أطول من وصف الآلة على هيئة سلسلة، وبخاصة أنه وُجد آلة تورينج قادرة على «تكرار ذاتها» بمعنى أنها تستطيع طباعة شيفرتها الخاصة. وتُعدّ فكرة «التكرار الذاتي» (self replication)، والفكرة المرتبطة بها «الإحالة الذاتية» (self reference)، حاسمة في جوانب كثيرة من الحوسبة، بل وفي الحياة نفسها، سواء بصيغة برامج رقمية أو بيولوجية.

في الوقت الحالي، ما ينبغي أن تحفظه هو الفروق التالية بين نماذج الحوسبة الموحّدة و_غير الموحّدة_:

• نماذج الحوسبة غير الموحّدة: من أمثلتها برامج NAND-CIRC و_الدوائر البوليانية_. هذه نماذج يستطيع فيها كل برنامج/دائرة فردي حساب دالة متناهية $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^m$. وقد رأينا أن كل دالة متناهية يمكن حسابها بعض برنامج/دائرة. ولمناقشة حساب دالة لا نهائية $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$ نحتاج إلى السماح بـ_متسلسلة_ (sequence) $\{ P_n \}_{n\in \N}$ من البرامج/الدوائر (واحد لكل طول مدخل)، لكن هذا لا يلتقط فكرة خوارزمية واحدة لحساب الدالة $F$.

• نماذج الحوسبة الموحّدة: من أمثلتها آلات تورينج و_برامج NAND-TM_. هذه نماذج يستطيع فيها برنامج/آلة واحد أن يأخذ مداخل بطول اعتباطي وبالتالي يحسب دالة لا نهائية $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$. عدد الخطوات التي يقطعها البرنامج/الآلة على مدخل ما غير محدّد مسبقًا، وبخاصة أن هناك احتمالًا في أن يدخل في حلقة لا نهائية. وعلى النقيض من الحالة غير الموحّدة، فإننا لم نُبَيِّن أن كل دالة لا نهائية يمكن حسابها ببرنامج NAND-TM/آلة تورينج ما. وسنعود إلى هذه النقطة في الشمولية وغياب قابلية الحساب.