دوال ذات مداخل لا نهائية، وآلات ذاتية، وتعبيرات نمطية

"الخوارزمية جواب متناهٍ على عدد لا نهائي من الأسئلة."، منسوب إلى ستيفن كلين (Stephen Kleene).

لنموذج الدوائر البوليانية (أو بما يكافئه، لغة البرمجة NAND-CIRC) عيب مهم واحد: فالدائرة البوليانية لا تستطيع إلا حساب دالة متنهية $f$. وبتحديد، بما أن كل بوابة لها مُدخلان، فإن دائرة ذات حجم $s$ يمكنها الحساب على مدخل طوله على الأكثر $2s$. وعليه فإن هذا النموذج لا يجسّد تصورنا الحدسي للخوارزمية بوصفها وصفة واحدة (single recipe) لحساب دالة قد تكون لا نهائية. على سبيل المثال، خوارزمية الضرب المعيارية في المدرسة الابتدائية هي خوارزمية واحدة تضرب الأعداد من جميع الأطوال. لكننا لا نستطيع التعبير عن هذه الخوارزمية بدائرة واحدة، وإنما نحتاج إلى دائرة مختلفة (أو بما يكافئها، برنامج NAND-CIRC) لكل طول مدخل (انظر الشكل التوضيحي).

في هذا الفصل، نوسّع تعريفنا للمهام الحاسوبية (computational tasks) لنأخذ في الحسبان دوالًا مجالها غير محدود هو $\{0,1\}^*$. نركّز على مسألة تعريف ماذا هي المهام التي نريد حسابها، تاركين في الغالب مسألة كيف نحسبها إلى فصول لاحقة، حيث سنرى آلات تورينج (Turing machines) ونماذج حوسبة أخرى للحساب على مداخل غير محدودة الطول. لكننا سنرى هنا مثالًا واحدًا لنموذج حساب بسيط ومقيَّد، وهو الآلات الذاتية المحدودة الحتمية (deterministic finite automata, DFAs).

دوال ذات مداخل بطول غير محدود

حتى الآن، كنا نعتبر المهمة الحاسوبية تحويل سلسلة ما من الطول $n$ إلى سلسلة من الطول $m$. لكن المهام الحاسوبية، في العموم، قد تتضمّن مداخل ذات طول غير محدود، بمعنى أنه لا سقف لطولها. على سبيل المثال، الدالة التالية المكتوبة بلغة Python تحسب الدالة $XOR:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$، حيث $XOR(x)$ تساوي $1$ إذا وفقط إذا كان عدد $1$ في $x$ فرديًا. (بعبارة أخرى، $XOR(x) = \sum_{i=0}^{|x|-1} x_i \mod 2$ لكل $x\in \{0,1\}^*$.) وعلى بساطته، لا يمكن حساب دالة $XOR$ بدائرة بوليانية. بدلًا من ذلك، لكل $n$ يمكننا حساب $XOR_n$ (تقييد $XOR$ على $\{0,1\}^n$) باستخدام دائرة مختلفة (انظر مثلًا الشكل التوضيحي).

def XOR(X):
    '''Takes list X of 0's and 1's
       Outputs 1 if the number of 1's is odd and outputs 0 otherwise'''
    result = 0
    for i in range(len(X)):
        result = (result + X[i]) % 2
    return result

لقد درسنا في هذا الكتاب من قبل حساب دوال متنهية $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^m$. ويمكن دائمًا وصف مثل هذه الدالة $f$ بسرد كل قيمها الـ $2^n$ التي تأخذها على المداخل $x\in \{0,1\}^n$. في هذا الفصل، نأخذ في الحسبان دوال مثل $XOR$ التي تقبل مداخل بحجم غير محدود. ورغم أننا نستطيع وصف $XOR$ باستخدام عدد متناهٍ من الرموز (بل لقد فعلنا للتو ذلك أعلاه)، إلا أنها تقبل عددًا لا نهائيًا من المداخل الممكنة، ومن ثمّ لا نستطيع ببساطة أن نكتب كل قيمها. الحال نفسها تنطبق على كثير من الدوال الأخرى التي تلتقط مهام حاسوبية مهمة، بما فيها الجمع، والضرب، والترتيب، وإيجاد المسارات في الرسوم البيانية، وملاءمة المنحنيات للنقاط، وهكذا. وللتناقض مع الحالة المتناهية، سنسمّي أحيانًا الدالة $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ (أو $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$) بـ_لا نهائية_. لكن هذا لا يعني أن $F$ تأخذ كمدخل سلاسل ذات طول لا نهائي! بل يعني فقط أن $F$ تستطيع أن تأخذ كمدخل سلسلة قد يكون طولها اعتباطيًا، ومن ثمّ لا نستطيع ببساطة أن نكتب جدولًا لكل مخارج $F$ على المداخل المختلفة.

وكما رأينا من قبل، فإن قصر انتباهنا على الدوال التي تستخدم سلاسل ثنائية كمداخل ومخارج لا ينتقص من عموميتنا، إذ يمكن ترميز كائنات أخرى، بما فيها الأعداد والقوائم والمصفوفات والصور والفيديوهات وغيرها، كسلاسل ثنائية.

وكما من قبل، من الضروري التمييز بين المواصفة (specification) و_التنفيذ_ (implementation). على سبيل المثال، تأمّل الدالة التالية:

هذه دالة معرّفة جيدًا رياضيًا. فلكل $x$، تملك $TWINP(x)$ قيمة فريدة إمّا $0$ أو $1$. لكن، حتى اللحظة، لا يعرف أحد برنامجًا في لغة Python يحسب هذه الدالة. تفترض حدس الأعداد الأولية التوأمة (Twin prime conjecture) أنه لكل $n$ يوجد $p>n$ بحيث يكون $p$ و$p+2$ أوليين معًا. وإن كان هذا الحدس صادقًا، فإن حساب $T$ سهل حقًا - فبرنامج def T(x): return 1 سيفي بالغرض. غير أن الرياضيين حاولوا منذ عام 1849 إثبات هذا الحدس دون نجاح. ومع ذلك، سواء كنا نعرف كيف نُنفّذ الدالة $TWINP$ أم لا، فإن التعريف أعلاه يوفّر مواصفتها.

مداخل ومخارج متغيّرة

كثير من الدوال التي تهمّنا تأخذ أكثر من مُدخل واحد. على سبيل المثال، الدالة

تأخذ التمثيل الثنائي لزوج من الأعداد الصحيحة $x,y \in \N$، وتخرج التمثيل الثنائي حاصل ضربهما $x \cdot y$. لكن، بما أننا نستطيع تمثيل زوج من السلاسل كسلسلة واحدة، فسنعتبر دوالًا مثل MULT على أنها تحوّل $\{0,1\}^*$ إلى $\{0,1\}^*$. ولن نُعنى عادةً بالتفاصيل منخفضة المستوى مثل الطريقة الدقيقة لتمثيل زوج من الأعداد الصحيحة كسلسلة، إذ إن كل الخيارات تقريبًا ستكون متكافئة لأغراضنا.

وهذا مثال آخر على دالة نريد حسابها، وهي

يكون خرج $PALINDROME$ بتًّا واحدًا. وتُعرف الدوال ذات الخرج البتّي الواحد بأنها دوال بوليانية (Boolean functions). والدوال البوليانية محورية في نظرية الحوسبة، وسنتناولها كثيرًا في هذا الكتاب. لاحظ أنه رغم أن الدوال البوليانية خرجها بت واحد، فإن مدخلها قد يكون بطول اعتباطي. إذن فهي لا تزال دوال لا نهائية لا يمكن وصفها بجدول متناهٍ من القيم.

«تبولانية» الدوال. أحيانًا قد يكون من الملائم الحصول على صيغة بوليانية (Boolean variant) لدالة غير بوليانية. على سبيل المثال، ما يلي هو صيغة بوليانية لـ$MULT$.

إذا استطعنا حساب $BMULT$ بأي لغة برمجة مثل Python أو C أو Java وغيرها، أمكنا حينها حساب $MULT$ أيضًا، والعكس صحيح.

def F(x):
    res = []
    i = 0
    while BF(x,i,1):
        res.append(BF(x,i,0))
        i += 1
    return res

اللغات الشكليّة

لكل دالة بوليانية $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$، يمكننا تعريف المجموعة $L_F = \{ x | F(x) = 1 \}$ من السلاسل التي تخرج عليها $F$ القيمة $1$. وتُعرف هذه المجموعات بأنها لغات (languages). وهذا الاسم متجذّر في نظرية اللغات الشكليّة التي سارها لغويون مثل نوام تشومسكي (Noam Chomsky). واللغة الشكلية (formal language) هي مجموعة جزئية $L \subseteq \{0,1\}^*$ (أو على نحو أعمّ $L \subseteq \Sigma^*$ لبعض أبجدية متناهية $\Sigma$). أما مسألة الانتماء (membership) أو_قرار_ (decision) (decision) الخاصة بلغة $L$، فهي مهمة تحديد، معطى $x\in \{0,1\}^*$، ما إذا كان $x\in L$ أم لا. وإذا استطعنا حساب الدالة $F$، أمكنا عندها اتخاذ قرار الانتماء إلى اللغة $L_F$، والعكس صحيح. ولذلك فإن كثيرًا من الكتب مثل [@SipserBook] تشير إلى مهمة حساب دالة بوليانية بأنها «اتخاذ قرار بشأن لغة». في هذا الكتاب، نصف المهام الحاسوبية غالبًا باستخدام تدوين الدالة، فهو أسهل في التعميم على الحساب الذي ينتج أكثر من بت واحدًا. لكن، بما أن مصطلح اللغة شائع جدًا في الأدبيات، فسنشير إليه أحيانًا.

تقييدات الدوال

إذا كانت $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ دالة بوليانية و$n\in \N$، فإن تقييد (restriction) $F$ على المداخل ذات الطول $n$، ويُرمز إليه بـ$F_n$، هو الدالة المتناهية $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ بحيث $f(x) = F(x)$ لكل $x\in \{0,1\}^n$. بمعنى آخر، $F_n$ هي الدالة المتناهية المعرَّفة على المداخل $\$ \{0,1\}^n$ فقط، لكنها تتفق مع $F$ على تلك المداخل. ولأن $F_n$ دالة متناهية، فهي يمكن حسابها بدائرة بوليانية، وهو ما يقود إلى المبرهنة التالية:

وبالتحديد، فإن مبرهنة — مجموعة دوائر لكل دالة لا نهائية يقتضي وجود مثل هذه المجموعة من الدوائر $\{ C_n \}$ حتى لدالة $TWINP$ التي وصفناها من قبل، رغم أننا لا نعرف أي برنامج لحسابها. وبالفعل، ليس هذا مثيرًا للدهشة إلى حد كبير: فلكل $n\in \N$ بعينه، تكون $TWINP_n$ إمّا دالة الصفر الثابتة أو دالة الواحد الثابتة، وكلاهما يمكن حسابه بدوائر بوليانية بسيطة جدًا. ومن ثمّ هناك بالتأكيد مجموعة دوائر $\{ C_n \}$ تحسب $TWINP$. والصعوبة في حساب $TWINP$ باستخدام Python أو أي لغة برمجة أخرى تنشأ من أننا لا نعرف، لكل $n$ بعينه، ما هي الدائرة $C_n$ في هذه المجموعة.

الآلات الذاتية المحدودة الحتمية (اختياري)

كل نماذج الحوسبة التي تطرّقناها حتى الآن - الدوائر البوليانية والبرامج المستقيمة (straight-line programs) - لم تنطبق إلا على الدوال المتنهية.

سنقدّم في الحلقات وما لا نهاية آلات تورينج (Turing machines)، وهي النماذج المركزية للحوسبة على الدوال ذات المداخل غير المحدودة الطول. لكنّنا في هذا القسم نقدّم النموذج الأبسط، وهو الآلات الذاتية المحدودة الحتمية (deterministic finite automata, DFAs). يمكن للآلات الذاتية أن تكون جسراً تمهيدياً جيّدًا نحو آلات تورينج، وإن كانت لن تُستخدَم كثيرًا في أجزاء هذا الكتاب اللاحقة، ولذلك بإمكان القارئ أن يتخطّى إلى الحلقات وما لا نهاية مباشرةً. تبيّن أنّ الآلات الذاتية المحدودة الحتمية متكافئة في قوتها مع التعبيرات النمطية (regular expressions): وهي آلية قويّة لتحديد الأنماط، تُستخدَم على نطاق واسع في الممارسة العملية. معالجتنا للآلات الذاتية مختصرة نسبيًا. وهناك موارد كثيرة تساعدك على أن تصبح أكثر اطّلاعًا بالآلات الذاتية المحدودة الحتمية. وبشكل خاص، فإنّ الفصل الأول من كتاب سيبسر [@SipserBook] يحتوي على عرضٍ ممتاز لهذه المادة. كما وهناك مواقع كثيرة على الإنترنت تحوي محاكيات للآلات الذاتية، إضافةً إلى مترجِمات من التعبيرات النمطية إلى الآلات الذاتية والعكس (انظر مثلًا هنا وهنا).

على مستوى عالٍ، الخوارزمية (algorithm) هي وصفة لحساب مُخرَج انطلاقًا من مُدخل، عبر مزيج من الخطوات التالية:

1. اقرأ بتًّا من المدخل
2. حدِّث الحالة (state) أي الذاكرة العاملة
3. توقّف وأنتج مُخرَجًا

على سبيل المثال، تذكّر برنامج Python الذي يحسب دالة $XOR$:

def XOR(X):
    '''Takes list X of 0's and 1's
       Outputs 1 if the number of 1's is odd and outputs 0 otherwise'''
    result = 0
    for i in range(len(X)):
        result = (result + X[i]) % 2
    return result

في كل خطوة يقرأ هذا البرنامج بتًّا واحدًا X[i] ويحدّث حالته result بناءً على ذلك البت (فيقلب result إذا كان X[i] يساوي $1$ ويُبقيه على حاله فيما عدا ذلك). وحين ينتهي من اجتياز المدخل يُخرج البرنامج result. في علم الحاسوب، يُسمّى برنامجٌ من هذا النوع خوارزمية مرورٍ واحد بذاكرة ثابتة (single-pass constant-memory algorithm) لأنّه يجري مرورًا واحدًا فوق المدخل وذاكرته العاملة متناهية. (وفي هذه الحالة، لا يكون result إلّا $0$ أو $1$.) وتُسمّى هذه الخوارزمية أيضًا آلة ذاتية محدودة حتمية (Deterministic Finite Automaton) أو DFA (واسمٌ آخر للآلات الذاتية المحدودة الحتمية هو آلة الحالات المتناهية (finite state machine)). يمكننا التفكير في هذه الخوارزمية بوصفها «آلة» (machine) تستطيع أن تكون في إحدى $C$ حالة، حيث $C$ ثابت. تبدأ الآلة في حالةٍ ابتدائية ما، ثم تقرأ مدخلها $x\in \{0,1\}^*$ بتًّا بت. وحينما تقرأ الآلة بتًّا $\sigma \in \{0,1\}$ تنتقل إلى حالة جديدة تعتمد على $\sigma$ وعلى حالتها السابقة. ويعتمد مُخرَج الآلة على الحالة النهائية. وكل خوارزمية مرورٍ واحد بذاكرة ثابتة تقابل آلةً كهذه. فإذا استخدمت خوارزمية $c$ بتًّا من الذاكرة، أمكن تمثيل محتوى ذاكرتها كسلسلة من الطول $c$. ولذلك يمكن لهذه الخوارزمية أن تكون في واحدة من $2^c$ حالة على الأكثر في أي لحظة أثناء التنفيذ.

يمكننا تحديد آلة ذاتية محدودة حتمية ذات $C$ حالة عبر قائمة من $C \cdot 2$ قاعدة. وستكون كل قاعدة على الشكل «إذا كانت الآلة في الحالة $v$ وكان البت المقروء من المدخل هو $\sigma$ فإنّ الحالة الجديدة هي $v'$». وفي نهاية الحساب، لدينا أيضًا قاعدة على الشكل «إذا كانت الحالة النهائية إحدى الحالات التالية ... فإنّ الخرج $1$، وإلا فإنّ الخرج $0$». على سبيل المثال، يمكن تمثيل برنامج Python أعلاه بآلة ذاتية ذات حالتين تحسب $XOR$ على الشكل التالي:

• ابدأ في الحالة $0$.
• لكل حالة $s \in \{0,1\}$ ولكل بتّ مدخل $\sigma$ يُقرأ، إذا كان $\sigma =1$ فانتقل إلى الحالة $1-s$، وإلا فابقَ في الحالة $s$.
• في النهاية أخرج $1$ إذا وفقط إذا كان $s=1$.

يمكننا أيضًا وصف آلة ذاتية محدودة حتمية ذات $C$ حالة بوصفها رسماً بيانيًا (graph) مُعنونًا من $C$ رأس. فلكل حالة $s$ ولكل بتّ $\sigma$ نضيف حافةً موجّهة مُعنونة بـ$\sigma$ بين $s$ والحالة $s'$ بحيث إن كانت الآلة في الحالة $s$ وقرأت $\sigma$ فإنّها تنتقل إلى $s'$. (وإذا بقيت الحالة كما هي فإنّ هذه الحافة ستكون حلقةً ذاتية (self-loop)، وكذلك، إذا انتقلت $s$ إلى $s'$ في حالتي $\sigma=0$ و$\sigma=1$ معًا فإنّ الرسم البياني سيحتوي حافتين متوازيتين.) كما نعنّن المجموعة $\mathcal{S}$ من الحالات التي تُخرج الآلة الذاتية $1$ في نهاية الحساب. وتُعرف هذه المجموعة بأنها مجموعة حالات القبول (accepting states). انظر الشكل التوضيحي للتمثيل البياني لآلة $XOR$ الذاتية.

رسميًا، تُحدَّد الآلة الذاتية المحدودة الحتمية بـ (1) جدول القواعد البالغ $C \cdot 2$، ويمكن تمثيله بـ_دالة انتقال_ (transition function) $T$ تُسقط حالة $s \in [C]$ وبتًّا $\sigma \in \{0,1\}$ على الحالة $s' \in [C]$ التي تنتقل إليها الآلة من الحالة $s$ عند المدخل $\sigma$، وبـ (2) مجموعة $\mathcal{S}$ من حالات القبول. ويؤدي هذا إلى التعريف التالي.

def F(X):
    '''Return 1 iff X is a concatenation of zero/more copies of [0,1,0]'''
    if len(X) % 3 != 0:
        return False
    ultimate = 0
    penultimate = 1
    antepenultimate = 0
    for idx, b in enumerate(X):
        antepenultimate = penultimate
        penultimate = ultimate
        ultimate = b
        if idx % 3 == 2 and ((antepenultimate, penultimate, ultimate) != (0,1,0)):
            return False
    return True

تشريح الآلة الذاتية (متنهية مقابل غير محدودة)

الآن وقد بدأنا ننظر في مهام حاسوبية ذات أحجام مداخل غير محدودة، من الضروري التمييز بين مكوّنات خوارزمتنا ذات الطول الثابت وتلك التي تنمو مع حجم المدخل. وفي حالة الآلات الذاتية المحدودة الحتمية فإنّ هذه المكوّنات هي التالية:

مكوّنات ذات حجم ثابت: بمعلومية آلة ذاتية محدودة حتمية $A$، فإنّ الكميات التالية ثابتة ومستقلة عن حجم المدخل:

• عدد الحالات $C$ في $A$.

• دالة الانتقال $T$ (ولها $2C$ مُدخلًا، ولذلك يمكن تحديدها بجدول من $2C$ صفًا، كلّ خانةٍ منه عددٌ في $[C]$).

• المجموعة $\mathcal{S} \subseteq [C]$ من حالات القبول. ويمكن وصف هذه المجموعة بسلسلة في $\{0,1\}^C$ تحدّد أيّ الحالات تنتمي إلى $\mathcal{S}$ وأيّها لا تنتمي.

ومعنى ما سبق مجتمعةً أنّه يمكننا وصف الآلة الذاتية وصفًا تامًّا باستخدام عددٍ متناهٍ من الرموز. وهذه خاصيةٌ نطلبها من أيّ مفهومٍ لـ«الخوارزمية»: ينبغي أن نتمكّن من كتابة مواصفةٍ تامّة لكيفية إنتاج مُخرَج انطلاقًا من مُدخل.

مكوّنات ذات حجم غير محدود: الكميات التالية المتعلقة بالآلة الذاتية المحدودة الحتمية ليست محدودة بأيّ ثابت. ونشدّد على أنّها تبقى متنهية بالنسبة لأيّ مدخلٍ بعينه.

• طول المدخل $x\in \{0,1\}^*$ الذي تُعطى له الآلة الذاتية المحدودة الحتمية. فطول المدخل متناهٍ دائمًا، لكنّه غير محدود مسبقًا.

• عدد الخطوات التي تتّخذها الآلة الذاتية المحدودة الحتمية يمكن أن ينمو مع طول المدخل. بالفعل، تجري الآلة مرورًا واحدًا على المدخل، ولذلك تتّخذ بالضبط $|x|$ خطوة على مدخل $x\in \{0,1\}^*$.

الدوال القابلة للحساب بآلة ذاتية محدودة حتمية

نقول إنّ دالةً $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ هي قابلة للحساب بآلة ذاتية محدودة حتمية (DFA computable) إذا وُجدت آلة ذاتية محدودة حتمية $DFA$ تحسب $F$. لقد رأينا في السكر النحوي، وحساب كل دالة أنّ كل دالة متناهية يمكن حسابها بواسطة دائرة بوليانية. وعليه، فقد تتوقّع الآن أنّ كل دالة لا نهائية يمكن حسابها بواسطة بعض الآلة الذاتية المحدودة الحتمية. لكنّ هذا غير صحيح البتّة. سنرى بعد قليل أمثلةً بسيطة على دوالٍ لا نهائية لا يمكن حسابها بآلات ذاتية محدودة حتمية، لكنّنا سنبدأ بإثبات أنّ مثل هذه الدوال موجودة.

وبما أنّ مجموعة كلّ الدوال البوليانية غير عدِّيّة، نحصل على النتيجة التالية:

التعبيرات النمطية

البحث (searching) عن جزءٍ من النص مهمةٌ شائعة في الحوسبة. وفي جوهرها، فإنّ مسألة البحث (search problem) بسيطةٌ إلى حدٍّ كبير. لدينا مجموعة $X = \{ x_0, \ldots, x_k \}$ من السلاسل (مثلًا: ملفاتٌ على قرصٍ صلب، أو سجلات طلاب في قاعدة بيانات)، ويريد المستخدم أن يعرف المجموعة الجزئية من كلّ $x \in X$ التي يطابقها (matched) بعضُ النمط (مثلًا: كلّ الملفات التي تنتهي أسماؤها بالسلسلة .txt). في العموم، يمكننا السماح للمستخدم بتحديد النمط عبر تحديد دالةٍ (function) قابلة للحساب $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$، حيث يمثّل $F(x)=1$ تطابقَ النمط مع $x$. أي إنّ المستخدم يقدّم برنامجًا (program) $P$ بلغة برمجة مثل Python، والنظام يُعيد كلّ $x \in X$ بحيث $P(x)=1$. على سبيل المثال، يمكن البحث عن كلّ ملفات النص التي تحتوي السلسلة important document، أو ربما (بأن يكون $P$ مُصنِّفًا قائمًا على شبكة عصبية) عن كلّ الصور التي تحتوي قطة. لكنّنا لا نريد لنظامنا أن يقع في حلقةٍ لا نهائية لمجرّد محاولته تقييم البرنامج $P$! ولهذا السبب، فإنّ الأنظمة النموذجية للبحث في الملفات أو قواعد البيانات لا تسمح للمستخدم بتحديد الأنماط بلغة برمجة كاملة. بدلًا من ذلك، تستخدم هذه الأنظمة نماذج حوسبة مقيّدة (restricted computational models) تكون من جهةٍ غنية بما يكفي لالتقاط كثيرٍ من الاستعلامات المطلوبة في الممارسة العملية (مثل كلّ أسماء الملفات المنتهية بـ .txt، أو كلّ أرقام الهواتف من الشكل (617) xxx-xxxx)، ومن جهةٍ أخرى مقيّدة بما يكفي بحيث يمكن تقييم الاستعلامات بكفاءةٍ عالية جدًّا على ملفاتٍ ضخمة، ولا يمكن أن تؤدي على الإطلاق إلى حلقةٍ لا نهائية.

من أشهر نماذج الحوسبة هذه التعبيرات النمطية. فإذا كنت قد استخدمت محرّرَ نصوصٍ متقدّمًا، أو صدفةَ سطرِ أوامر (command-line shell)، أو قم بأيّ نوعٍ من التلاعب بملفات النص، فمن المرجّح أنّك صادفت التعبيرات النمطية.

التعبير النمطي (regular expression) فوق أبجديةٍ ما $\Sigma$ يُنشأ من خلال تركيب عناصر $\Sigma$ مع عملية الدمج (concatenation)، وكذلك مع $|$ (وهي المقابلة لـ_أو_) و$*$ (وهي المقابلة للتكرار صفر مرّات أو أكثر). (وغالبًا ما تتضمن التطبيقات الشائعة للتعبيرات النمطية في لغات البرمجة والأصداف بعض العمليات الإضافية فوق $|$ و$*$، لكنّ هذه العمليات يمكن تنفيذها بوصفها «سكرًا نحويًا» (syntactic sugar) باستخدام المشغّلَيْن $|$ و$*$.) على سبيل المثال، يقابل التعبير النمطي التالي فوق الأبجدية $\{0,1\}$ مجموعة كلّ السلاسل $x\in \{0,1\}^*$ التي يتكرّر فيها كلّ رقمٍ مرّتين على الأقل: $$(00(0^*)|11(1^*))^* \;.$$

يقابل التعبير النمطي التالي فوق الأبجدية $\{ a,\ldots,z,0,\ldots,9 \}$ مجموعة كلّ السلاسل التي تتكوّن من تسلسلٍ من حرفٍ واحدٍ أو أكثر من الحروف $a$-$d$ يليه تسلسلٌ من رقمٍ أو أكثر (دون صفرٍ بادئ):

رسميًا، تُعرَّف التعبيرات النمطية بالتعريف العودي التالي:

سنحذف الأقواس عندما يمكن استنتاجها من السياق. كما نستخدم العُرف بأنّ «أو» والدمج يُجمَّعان من جهة اليسار، وأنّنا نعطي الأولوية العليا لـ$*$، ثم للدمج، ثم لـ«أو». ولذلك نكتب مثلًا $00^*|11$ بدلًا من $((0)(0^*))|((1)(1))$.

كلّ تعبير نمطي $e$ يقابل دالةً $\Phi_{e}:\Sigma^* \rightarrow \{0,1\}$ حيث $\Phi_{e}(x)=1$ إذا كان $x$ يطابق (matches) التعبير النمطي. على سبيل المثال، إذا كان $e = (00|11)^*$ فإنّ $\Phi_e(110011)=1$ لكنّ $\Phi_e(101)=0$ (هل ترى لماذا؟).

تُسمّى الدالة البوليانية «منتظمة» (regular) إذا كانت تُخرج $1$ على المجموعة بالضبط من السلاسل التي يطابقها بعضُ التعبير النمطي. أي إنّ

يمكن تعريف التعبير النمطي فوق أيّ أبجدية متناهية $\Sigma$، لكنّنا، كالمعتاد، سنركّز في معظم الوقت على الحالة الثنائية (binary case) حيث $\Sigma = \{0,1\}$. وكلّ الرؤى العامة النظرية والعملية عن التعبيرات النمطية (أو كلّها تقريبًا) يمكن استخلاصها من دراسة الحالة الثنائية.

خوارزميات مطابقة التعبيرات النمطية

لن تكون التعبيرات النمطية نافعةً جدًّا في البحث إذا لم نتمكّن من تقييم ما إذا كانت سلسلة $x$ يطابقها تعبير نمطي $e$ معيّن، أم لا. ولحسن الحظّ، هناك خوارزمية تفعل ذلك. وبالتحديد، هناك خوارزمية (فكّر فيها بوصفها «برنامج Python»، مع أنّنا سنضبط لاحقًا مفهوم الخوارزميات باستخدام آلات تورينج) تُخرج على مدخل تعبير نمطي $e$ فوق الأبجدية $\{0,1\}$ وسلسلة $x\in \{0,1\}^*$ القيمة $1$ إذا وفقط إذا كان $e$ يطابق $x$ (أي أنّها تُخرج $\Phi_e(x)$).

بالفعل، فإنّ تعريف — مطابقة تعبير نمطي يحدّد في الواقع خوارزميةً عودية لحساب $\Phi_{e}$. وبالتحديد، يمكن التفكير في كلّ عملية من عملياتنا -الدمج، و«أو»، والنجمة- على أنّها تُقلّص مهمة التحقّق ممّا إذا كان تعبير $e$ يطابق سلسلة $x$ إلى التحقّق ممّا إذا كانت بعضُ التعبيرات الجزئية لـ$e$ تطابق سلاسلَ جزئية من $x$. وبما أنّ هذه التعبيرات الجزئية أقصر دائمًا من التعبير الأصلي، فإنّ هذا يعطي خوارزميةً عودية للتحقّق ممّا إذا كان $e$ يطابق $x$، وفي نهاية المطاف ستتوقّف عند الحالات الأساس للتعبيرات التي تقابل رمزًا واحدًا أو السلسلة الفارغة.

INPUT: Regular expression $e$ over $\Sigma^*$, $x\in \Sigma^*$

OUTPUT:  $\Phi_e(x)$

procedure{Match}{$e$,$x$}
lIf {$e=\emptyset$} return $0$ lendif
lIf {$x=""$} return $\CALL{MatchEmpty}{e}$lendif
lIf {$e \in \Sigma$} return $1$ iff $x=e$ lendif
lIf {$e = (e' | e'')$} return {$Match(e',x)$ or $Match(e'',x)$} lendif
If {$e= (e')(e'')$}
   For {$i \in [|x|]$}
      lIf {$Match(e',x_0 \cdots x_{i-1})$ and  $Match(e'',x_i \cdots x_{|x|-1})$} return $1$ lendif
   Endfor
Endif
If {$e = (e')^*$}
    lIf {$e'=""$} return $Match("",x)$ lendif 
    # $("")^*$ is the same as $""$
    For {$i \in [|x|]$}
      # $x_0 \cdots x_{i-1}$ is shorter than $x$
      lIf {$Match(e,x_0 \cdots x_{i-1})$ and  $Match(e',x_i \cdots x_{|x|-1})$} return $1$ lendif
   Endfor
Endif
return $0$
endprocedure

نفترض أعلاه أنّ لدينا إجراءً $\text{\textsc{MatchEmpty}}$ يُخرج على مدخل تعبير نمطي $e$ القيمة $1$ إذا وفقط إذا كان $e$ يطابق السلسلة الفارغة $""$.

الملاحظة المفتاحية هي أنّه في تعريفنا العودي للتعبيرات النمطية، متى ما كان $e$ مكوّنًا من تعبير واحدٍ أو تعبيرين $e',e''$، فإنّ هذين التعبيرين النمطيين أصغر من $e$. وفي نهاية المطاف (حين يبلغ حجمهما $1$) فإنّهما لا بدّ أن يقابلا الحالة غير العودية الخاصة برمزٍ واحدٍ من الأبجدية. وبالتوازي، فإنّ الاستدعاءات العودية التي تجري في خوارزمية — Regular expression matching تقابل دائمًا تعبيرًا أقصر أو (في حالة تعبيرٍ من الشكل $(e')^*$) سلسلةَ مُدخل أقصر. وعليه، يمكننا إثبات صحّة خوارزمية — Regular expression matching على المداخل من الشكل $(e,x)$ بالحثّ على $\min \{ |e|, |x| \}$. الحالة الأساس هي أن يكون $x=""$ أو أن يكون $e$ رمزًا واحدًا من الأبجدية، أو $""$ أو $\emptyset$. وفي حالة التعبير عن الشكل $e=(e'|e'')$ أو $e=(e')(e'')$، فإنّنا نجري استدعاءاتٍ عودية بالتعبيرين الأقصر $e',e''$. وفي حالة التعبير عن الشكل $e=(e')^*$، فإنّنا نجري استدعاءاتٍ عودية إمّا بسلسلة $x$ أقصر ومع التعبير ذاته، وإمّا بالتعبير الأقصر $e'$ ومع سلسلة $x'$ تساوي $x$ في الطول أو تكون أقصر منها.

INPUT: Regular expression $e$ over $\Sigma^*$, $x\in \Sigma^*$

OUTPUT:  $1$ iff $e$ matches the emptry string.
procedure{MatchEmpty}{$e$}
lIf {$e=""$} return $1$ lendif
lIf {$e=\emptyset$ or $e \in \Sigma$} return $0$ lendif
lIf {$e=(e'|e'')$} return $MatchEmpty(e')$ or $MatchEmpty(e'')$ lendif
LIf {$e=(e')(e'')$} return $MatchEmpty(e')$ and $MatchEmpty(e'')$ lendif
lIf {$e=(e')^*$} return $1$ lendif
endprocedure

المطابقة الكفؤة للتعبيرات النمطية (اختياري)

خوارزمية — Regular expression matching ليس كفؤًا إلى حدٍّ كبير. فعلى سبيل المثال، إذا أعطينا تعبيرًا يتضمّن الدمج أو عملية «النجمة» وسلسلةً من الطول $n$، فإنّه يمكن أن يُجري $n$ استدعاءً عوديًا، وعليه يمكن إثبات أنّ خوارزمية — Regular expression matching في أسوأ الحالات قد يستغرق زمنًا أسّيًّا في طول سلسلة المُدخل $x$. ولحسن الحظّ، تبيّن أنّ هناك خوارزمية أكثر كفاءة بكثير تستطيع مطابقة التعبيرات النمطية في زمنٍ خطّي (أي $O(n)$). وبما أنّنا لم نغطِّ بعد موضوعي تعقيد الزمن وتعقيد المكان، فإنّنا نصف هذه الخوارزمية بصياغةٍ عامّة دون ضبط النموذج الحسابي بدقّة. وبدلًا من ذلك سنستخدم المفهوم الاستعماليّ لزمن التشغيل $O(n)$ كما هو مستعمَل في مقرّرات مقدّمة إلى البرمجة وفي مقابلات البرمجة على السبورة. وسترى تعريفًا رسميًا لتعقيد الزمن في نمذجة زمن التنفيذ.

الثابت الضمني في حدّ $O(n)$ في مبرهنة — مطابقة التعبيرات النمطية في زمن خطّي يعتمد على التعبير $e$. وعليه، فإنّ طريقة أخرى لقول مبرهنة — مطابقة التعبيرات النمطية في زمن خطّي هي أنّه لكل تعبير $e$ يوجد ثابت $c$ وخوارزمية $A$ تحسب $\Phi_e$ على مداخل بطول $n$ بت باستخدام $c\cdot n$ خطوة على الأكثر. وهذا يبدو معقولًا، إذ إنّنا في الممارسة العملية نرغب غالبًا في حساب $\Phi_e(x)$ لتعبيرٍ نمطي صغير $e$ ووثيقةٍ كبيرة $x$. ويخبرنا مبرهنة — مطابقة التعبيرات النمطية في زمن خطّي أنّه يمكننا فعل ذلك بزمن تشغيل يتناسب تناسبًا خطّيًّا مع حجم الوثيقة، حتى لو كان اعتمادُه على حجم التعبير النمطي (على الأرجح) أسوأ.

نُثبت مبرهنة — مطابقة التعبيرات النمطية في زمن خطّي عبر الحصول على خوارزميةٍ عودية أكثر كفاءة، تحدّد ممّا إذا كان $e$ يطابق سلسلة $x\in \{0,1\}^n$ عبر تقليص هذه المهمة إلى تحديد ممّا إذا كان تعبيرٌ ذو صلة $e'$ يطابق $x_0,\ldots,x_{n-2}$. وهذا سيؤدّي إلى معادلةٍ لزمن التشغيل من الشكل $T(n) = T(n-1) + O(1)$، ويُحلّ بها أنّ $T(n)=O(n)$.

تقييدات التعبيرات النمطية. المفهوم المركزي في الخوارزمية الكامن خلف مبرهنة — مطابقة التعبيرات النمطية في زمن خطّي هو مفهوم التقييد (restriction) للتعبير النمطي. الفكرة أنّه لكل تعبير نمطي $e$ ولكل رمز $\sigma$ في أبجديته، من الممكن تعريف تعبير نمطي $e[\sigma]$ بحيث يطابق $e[\sigma]$ سلسلة $x$ إذا وفقط إذا طابق $e$ السلسلة $x\sigma$. على سبيل المثال، إذا كان $e$ هو التعبير النمطي $(01)^*(01)$ (أي ورود واحد أو أكثر لـ$01$) فإنّ $e[1]$ يساوي $(01)^*0$ وسيكون $e[0]$ هو $\emptyset$. (هل ترى لماذا؟)

خوارزمية — Restricting regular expression يحسب التقييد $e[\sigma]$ بمعلومي تعبير نمطي $e$ ورمزٍ من رموز الأبجدية $\sigma$. وهو يتوقّف دائمًا، إذ إنّ الاستدعاءات العودية التي يجريها تكون دائمًا على تعبيرات أصغر من تعبير المُدخل. ويمكن إثبات صحّته بالحثّ على طول التعبير النمطي $e$، وتكون الحالات الأساس هي أن يكون $e$ هو $""$ أو $\emptyset$، أو رمزًا واحدًا من رموز الأبجدية $\tau$.

INPUT: Regular expression  $e$ over $\Sigma$, symbol $\sigma \in \Sigma$

OUTPUT: Regular expression $e'=e[\sigma]$ such that $\Phi_{e'}(x) = \Phi_e(x \sigma)$ -for every $x\in \Sigma^*$

procedure{Restrict}{$e$,$\sigma$}
lIf {$e=""$ or $e=\emptyset$} return $\emptyset$ lendif
lIf {$e=\tau$ -for $\tau \in \Sigma$} return $""$ -if $\tau=\sigma$ and return $\emptyset$ otherwise lendif
lIf {$e=(e'|e'')$} return $(Restrict(e',\sigma) | Restrict(e'',\sigma))$ lendif
lIf {$e=(e')^*$} return $(e')^* (Restrict(e',\sigma))$ lendif
lIf {$e= (e')(e'')$ and $\Phi_{e''}("")=0$} return $(e')(Restrict(e'',\sigma))$ lendif
lIf {$e= (e')(e'')$ and $\Phi_{e''}("")=1$} return $(e' Restrict(e'',\sigma)) \; | \; Restrict(e',\sigma)$ lendif
endprocedure

باستخدام هذا المفهوم للتقييد، يمكننا تعريف خوارزمية المطابقة العودية التالية للتعبيرات النمطية:

INPUT: Regular expression $e$ over $\Sigma^*$, $x\in \Sigma^n$ where $n\in\N$

OUTPUT:  $\Phi_e(x)$

procedure{FMatch}{$e$,$x$}
lIf {$x=""$} return $\CALL{MatchEmpty}{e}$ lendif
Let $e' \leftarrow \CALL{Restrict}{e,x_{n-1}}$
return $FMatch(e',x_0 \cdots x_{n-2})$
endprocedure

بحسب تعريف التقييد، فإنّ لكل $\sigma\in \Sigma$ ولكل $x'\in \Sigma^*$، يطابق التعبير $e$ السلسلة $x'\sigma$ إذا وفقط إذا طابق $e[\sigma]$ السلسلة $x'$. وعليه، فإنّ لكل $e$ ولكل $x\in \Sigma^n$، لدينا $\Phi_{e[x_{n-1}]}(x_0\cdots x_{n-2}) = \Phi_e(x)$، وبعدها يُعيد خوارزمية — Regular expression matching in linear time الإجابة الصحيحة فعلًا. والمهمة المتبقّية الوحيدة هي تحليل زمن تشغيله. لاحظ أنّ خوارزمية — Regular expression matching in linear time يستخدم إجراء $\text{\textsc{MatchEmpty}}$ الخاص بـتمرين محلول — مطابقة السلسلة الفارغة في الحالة الأساس التي يكون فيها $x=""$. لكنّ هذا مقبول لأنّ زمن تشغيل هذا الإجراء يعتمد فقط على $e$ ومستقلّ عن طول المُدخل الأصلي.

للبساطة، فلنقصر انتباهنا على الحالة التي تكون فيها الأبجدية $\Sigma$ مساويةً لـ $\{0,1\}$. لنعرّف $C(\ell)$ بأنّها أقصى عدد عمليات تتّخذه خوارزمية — Restricting regular expression حين يُعطى كمدخل تعبير نمطي $e$ فوق $\{0,1\}$ من $\ell$ رمزًا على الأكثر. ويمكن إثبات أنّ القيمة $C(\ell)$ متعدّدة الحدود في $\ell$، لكنّ هذا ليس مهمًّا لهذه المبرهنة، إذ إنّنا نهتمّ فقط باعتماد زمن حساب $\Phi_e(x)$ على طول $x$ وليس باعتماد هذا الزمن على طول $e$.

خوارزمية — Regular expression matching in linear time خوارزمية عودية تُعطى تعبيرًا $e$ وسلسلة $x\in \{0,1\}^n$، فتُجري حسابًا من $C(|e|)$ خطوة على الأكثر ثمّ تستدعي نفسها بتعبيرٍ ما $e'$ وسلسلة $x'$ من الطول $n-1$. وستتوقّف بعد $n$ خطوة عند وصولها إلى سلسلةٍ من الطول $0$. وعليه، فإنّ زمن التشغيل $T(e,n)$ الذي يحتاجه خوارزمية — Regular expression matching in linear time لحساب $\Phi_e$ على مداخل من الطول $n$ يحقق المعادلة العودية:

(وفي الحالة الأساس $n=0$، يساوي $T(e,0)$ ثابتًا ما يعتمد فقط على $e$.) ولكي نحصل على بعض الحدس تجاه التعبير المعادلة، فلنفكّ التكرار درجةً واحدة، فنكتب $T(e,n)$ على النحو

بمتابعة ذلك على هذا النحو، يمكننا أن نرى أنّ $T(e,n) \leq n \cdot C(L) + O(1)$ حيث $L$ هو أطول طولٍ لأيّ تعبير $e'$ نصادفه في الطريق. وعليه، فإنّ الدعوى التالية تكفي لإثبات أنّ خوارزمية — Regular expression matching in linear time يعمل بزمن $O(n)$:

الدعوى: لتكن $e$ تعبيرًا نمطيًا فوق $\{0,1\}$، إذًا يوجد عدد $L(e) \in \N$ بحيث إنّ لكل تسلسل من الرموز $\alpha_0,\ldots,\alpha_{n-1}$، إذا عرّفنا $e' = e[\alpha_0][\alpha_1]\cdots [\alpha_{n-1}]$ (أي تقييد $e$ إلى $\alpha_0$، ثمّ $\alpha_1$ وهكذا على التوالي)، فإنّ $|e'| \leq L(e)$.

الخلاصة أنّه أثناء تشغيل خوارزمية — Regular expression matching in linear time على تعبير نمطي $e$، فإنّ جميع التعبيرات التي نصادفها تنتمي إلى المجموعة المتناهية $S(e)$، مهما كان حجم المُدخل $x$ كبيرًا، ولذلك فإنّ زمن تشغيل خوارزمية — Regular expression matching in linear time يحقق المعادلة $T(n) = T(n-1) + C'$ حيث $C'$ ثابتٌ يعتمد على $e$. ويُحلّ ذلك بنتيجة $O(n)$ حيث إنّ الثابت الضمني في رمز $O$ يمكن (وسيكون) أن يعتمد على $e$، لكنّه — وهذا هو المهمّ — لا يعتمد على طول المُدخل $x$.

مطابقة التعبيرات النمطية باستخدام الآلات الذاتية المحدودة الحتمية

مبرهنة — مطابقة التعبيرات النمطية في زمن خطّي مثيرٌ للإعجاب إلى حدٍّ كبير، لكنّنا نستطيع فعل أفضل من ذلك. وبالتحديد، مهما كانت السلسلة $x$ طويلة، يمكننا حساب $\Phi_e(x)$ مع الاحتفاظ بمقدارٍ ثابتٍ فقط من الذاكرة، بل وبإجراء مرورٍ واحد (single pass) فوق $x$. أي أنّ الخوارزمية ستفحص المُدخل $x$ مرةً واحدة من البداية إلى النهاية، ثمّ تحدّد ما إذا كانت $x$ يطابقها التعبير $e$ أم لا. وهذا مهمٌّ في الحالة الشائعة التي نحاول فيها مطابقة تعبير نمطي قصير على ملفٍ أو وثيقةٍ ضخمة قد لا تتّسع حتى في ذاكرة حاسوبنا. وبالطبع، كما رأينا من قبل، فإنّ خوارزمية المرور الواحد بذاكرة ثابتة هي ببساطة آلة ذاتية محدودة حتمية. وكما سنرى في مبرهنة — تكافؤ الآلة الذاتية المحدودة الحتمية والتعبير النمطي، فإنّ الدالة يمكن حسابها بتعبيرٍ نمطي إذا وفقط إذا أمكن حسابها بآلة ذاتية محدودة حتمية. ونبدأ بإثبات اتجاه «فقط إذا»:

INPUT: Regular expression $e$ over $\Sigma^*$, $x\in \Sigma^n$ where $n\in\N$

OUTPUT:  $\Phi_e(x)$

procedure{DFAMatch}{$e$,$x$}
Let $S \leftarrow S(e)$ be the set $\{ e[\alpha] | \alpha\in \Sigma^* \}$ as defined in the proof of the linear-time matching theorem.
For {$e' \in S$}
    Let $v_{e'} \leftarrow 1$ -if $\Phi_{e'}("")=1$ and $v_{e'} \leftarrow 0$ otherwise
endfor
For {$i \in [n]$}
    Let $last_{e'} \leftarrow v_{e'}$ -for all $e' \in S$
    Let $v_{e'} \leftarrow last_{e'[x_i]}$ -for all $e' \in S$
endfor
return $v_e$
endprocedure

تكافؤ التعبيرات النمطية والآلات الذاتية

تذكّر أنّ الدالة البوليانية $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ تُعرَّف بأنّها منتظمة إذا كانت مساويةً لـ$\Phi_e$ لبعض التعبير النمطي $e$. (بالمثل، تُعرَّف اللغة $L \subseteq \{0,1\}^*$ بأنّها منتظمة إذا وُجد تعبير نمطي $e$ بحيث يطابق $e$ السلسلة $x$ إذا وفقط إذا كان $x\in L$.) والمبرهنة التالية هي النتيجة المركزية في نظرية الآلات الذاتية: