الشيفرة بيانات والبيانات شيفرة

"مصطلح الشيفرة البرمجية هو بالطبع ضيّق أكثر مما ينبغي. فالبنى الكروموسومية هي في الوقت نفسه أدواتٌ تُحدث النمو الذي تنبئ به. إنها قانونٌ-شيفرة وسلطةٌ تنفيذية في آنٍ واحد - أو، لنستعارة تشبيهاً آخر، إنها مخطّط المهندس وحرفة البنّاء - في آنٍ واحد."، إروين شرودينغر، 1944.

"لن يسمّي عالم الرياضيات تطابقاً بين مجموعة المئتين والستين ثلاثياً من أربع وحدات ومجموعةٍ من عشرين وحدةً أخرى "كونياً" (universal)، مع أنّ هذا التطابق هو على الأرجح أكثر خاصيةٍ عامة جوهرية في الحياة على الأرض"، ميشا غروموف، 2013

البرنامج (program) ليس سوى تسلسلٍ من الرموز، كلٌّ منها يمكن ترميزه كسلسلة من $0$ و$1$ باستخدام معيار ASCII مثلاً. وعليه يمكننا تمثيل كل برنامج NAND-CIRC (وعليه أيضاً كل دائرة منطقية) كسلسلة ثنائية. تبدو هذه العبارة بديهية لكنها في الواقع عميقة إلى حدٍّ كبير. فهي تعني أننا يمكننا معاملة الدوائر أو برامج NAND-CIRC بوصفها تعليمات (instructions) لتنفيذ حساب، وكذلك بوصفها بيانات (data) يمكن أن تُستخدَم بوصفها مدخلات (inputs) لحسابات أخرى.

هذا التطابق بين الشيفرة (code) و_البيانات_ (data) هو أحد أكثر جوانب الحوسبة جوهرية. إنه يقف وراء فكرة الحواسيب عامة الغرض (general purpose)، التي لا تكون موصولة سلفاً بحساب مهمةٍ واحدة فحسب، وهو أيضاً أساس أملنا في الحصول على ذكاء اصطناعي عام. يتّسع استعمال هذا المفهوم في جميع مجالات الحوسبة، من لغات البرمجة النصية إلى التعلّم الآلي، لكن من الإنصاف القول إننا لم نتقنه بعد إتقاناً كاملاً. كثير من عمليات الاستغلال الأمني تنطوي على حالات مثل "فيض المخزن المؤقت" (buffer overflows) حين ينجح المهاجمون في حقن شيفرة حيث توقّع النظام بياناتَ "خاملة" (passive) فحسب (انظر الشكل التوضيحي). العلاقة بين الشيفرة والبيانات تتجاوز حدود أجهزة الحاسوب الإلكترونية. فمثلاً يمكن التفكير في الـ DNA بوصفه برنامجاً وبيانات معاً (بعبارات شرودينغر، الذي كتب قبل اكتشاف بنية الـ DNA كتاباً ألهم واتسون وكريك، فإن الـ DNA هو في آنٍ واحد "مخطّط المهندس وحرفة البنّاء").

تمثيل البرامج كسلاسل

يمكننا تمثيل البرامج أو الدوائر كسلاسل بطرق لا حصر لها. فمثلاً، بما أن الدوائر المنطقية رسومٌ موجّهة مُعطّلة الحلقات (directed acyclic graphs)، يمكننا استعمال تمثيل مصفوفة التجاور (adjacency matrix) أو قائمة التجاور (adjacency list) لها. لكن بما أن شيفرة البرنامج هي في النهاية تسلسلٌ من الحروف والرموز فحسب، فإن تمثيل البرنامج بهذا التسلسل هو على الأرجح أبسط تمثيل من الناحية المفاهيمية. فمثلاً، برنامج NAND-CIRC التالي $P$

temp_0 = NAND(X[0],X[1])
temp_1 = NAND(X[0],temp_0)
temp_2 = NAND(X[1],temp_0)
Y[0] = NAND(temp_1,temp_2)

ليس سوى سلسلة من 107 رمزاً تضم حروفاً صغيرة وكبيرة، وأرقاماً، وشَرطة سفلية _ وعلامة التساوي =، وعلامات ترقيم مثل "(" و")" و","، ومسافات، وعلامات "سطر جديد" (تُرمز عادةً بـ "\ n" أو "↵"). يمكن ترميز كل رمزٍ من هذه الرموز كسلسلة من $7$ بتات باستخدام ترميز ASCII، وبالتالي يمكن ترميز البرنامج $P$ كسلسلة طولها $7 \cdot 107 = 749$ بت.

لم يكن في النقاش أعلاه شيء خاصٌ بالبرنامج $P$، وبالتالي يمكننا استعمال نفس المنطق لإثبات أن كلَّ برنامج NAND-CIRC يمكن تمثيله كسلسلة في $\{0,1\}^*$. وفعلاً يمكننا فعل أفضل قليلاً من ذلك. فبما أن أسماء متغيّرات العمل (working variables) في برنامج NAND-CIRC لا تؤثّر في وظيفته، يمكننا دائماً تحويل البرنامج إلى الصورة $P'$ بحيث تكون كل المتغيّرات عدا المدخلات والمخرجات على الصورة temp_0 وtemp_1 وtemp_2 وهكذا.. علاوةً على ذلك، إذا كان البرنامج فيه $s$ سطراً، فلن نضطر أبداً إلى استعمال فهرس أكبر من $3s$ (لأن كل سطر ينطوي على ثلاث متغيّرات كحدٍّ أقصى)، وبالمثل فإن فهارس متغيّرات المدخلات والمخرجات ستكون جميعها $3s$ على الأكثر. وبما أن العدد بين $0$ و$3s$ يمكن التعبير عنه بأرقام لا تتجاوز $\lceil \log_{10}(3s+1) \rceil = O(\log s)$، فإن كل سطر في البرنامج (الذي على الصورة foo = NAND(bar,blah)) يمكن تمثيله باستخدام $O(1) + O(\log s) = O(\log s)$ رمزاً، كلٌّ منها يمكن تمثيله بـ $7$ بتات. وعليه يمكن تمثيل برنامجٍ من $s$ سطراً كسلسلة من $O(s \log s)$ بت، ممّا ينتج عنه المبرهنة التالية:

عدِّ البرامج، وحدودٌ دنيا لحجم برامج NAND-CIRC

إحدى نتائج تمثيل البرامج كسلاسل هي أن عدد البرامج ذات طولٍ معيّن محدودٌ بعدد السلاسل التي تمثّلها. ولهذا الأمر نتائج على المجموعات $SIZE_{n,m}(s)$ التي عرّفناها في الصنف SIZEn,m​(s).

مبرهنة — عدِّ البرامج له نتيجة تالية مهمة. عدد الدوال التي يمكن حسابها بدوائر/برامج صغيرة أصغر بكثير من العدد الكلي للدوال، وعليه توجد دوال تتطلّب دوائر كبيرة جداً (بل أسّية الحجم) لحسابها. ولرؤية السبب، لاحظ أنّ دالةً تُسقِط $\{0,1\}^2$ إلى $\{0,1\}$ يمكن التعرّف عليها بقائمتها من قيمها الأربع على المدخلات $00,01,10,11$. ودالةٌ تُسقِط $\{0,1\}^3$ إلى $\{0,1\}$ يمكن التعرّف عليها بقائمتها من قيمها الثماني على المدخلات $000,001,010,011,100,101,110,111$. وبشكلٍ أعمّ، كل دالة $F:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ يمكن التعرّف عليها بقائمتها من قيمها الـ $2^n$ على المدخلات $\{0,1\}^n$. وعليه فإنّ عدد الدوال التي تُسقِط $\{0,1\}^n$ إلى $\{0,1\}$ يساوي عدد قوائم القيم الممكنة ذات الطول $2^n$، وهو بالضبط $2^{2^n}$. لاحظ أنّ هذا أسّي مزدوج (double exponential) في $n$، وعليه حتى لقيم $n$ الصغيرة (مثل $n=10$) يكون عدد الدوال من $\{0,1\}^n$ إلى $\{0,1\}$ فلكياً حقاً.^[2] وكما ذُكر، فإنّ هذا ينتج عنه النتيجة التالية:

لقد رأينا من قبل أنّ كلَّ دالة تُسقِط $\{0,1\}^n$ إلى $\{0,1\}$ يمكن حسابها ببرنامج من $O(2^n /n)$ سطراً. ويُظهر مبرهنة — حدٌّ أدنى من عدِّ الدوال أنّ هذا الحدّ مُحكَم، بمعنى أنّ بعض الدوال تتطلّب فعلاً هذا العدد الفلكي من السطور لحسابها.

وفعلاً، كما سنستكشف في التمارين، هذه هي الحال بالنسبة لـ_أغلب_ الدوال. وعليه فإنّ الدوال التي يمكن حسابها بعددٍ صغير من السطور (مثل الجمع، والضرب، وإيجاد المسارات القصيرة في الرسوم البيانية، بل وحتى دالة $EVAL$) هي الاستثناء لا القاعدة.

مبرهنة تدرّج الحجم (اختياري)

بـمبرهنة — شمولية دوائر NAND، بحدّ محسّن يحتوي الصنف $SIZE_{n}(10 \cdot 2^n /n)$ على كل الدوال من $\{0,1\}^n$ إلى $\{0,1\}$، بينما بـمبرهنة — حدٌّ أدنى من عدِّ الدوال هناك بعضُ دالة $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ ليست منتمية إلى $SIZE_{n}(0.1 \cdot 2^n / n)$. وبعبارة أخرى، لكل $n$ كبيرٍ بما يكفي، $$SIZE_n\left(0.1 \tfrac{2^n}{n} \right) \subsetneq SIZE_n\left(10 \tfrac{2^n}{n} \right) \;.$$ ويبيّن أنّنا يمكننا استعمال مبرهنة — حدٌّ أدنى من عدِّ الدوال لإثبات نتيجةٍ أكثر عمومية: كلّما زدنا "ميزانيّتنا" من البوابات، استطعنا حساب دوال جديدة.

تمثيل القوالب (tuples)

ASCII هو عرضٍ جيّد للبرامج، لكن في بعض التطبيقات يكون من المفيد أن نملك تمثيلاً أكثر تجريداً لبرامج NAND-CIRC. في هذا القسم نصف اختياراً معيّناً، سيكون مريحاً لنا لاحقاً. برنامج NAND-CIRC هو ببساطة متتالية من سطور من الشكل

blah = NAND(baz,boo)

لا شيء طبعاً في الأسماء الخاصة التي نستعملها للمتغيّرات. وإذ كانت قراءتها أصعب، يمكننا كتابة كل برامجنا باستعمال متغيّرات عملٍ فقط مثل temp_0 وtemp_1 إلخ. لذلك، يتجاهل تمثيلنا لبرامج NAND-CIRC الأسماء الفعلية للمتغيّرات، ويربط كل متغيّر ب عددٍ. ونحن نرمّز سطراً من البرنامج كثلاثية أعداد. إذا كان السطر على الشكل foo = NAND(bar,blah) فإنّنا نرمّزه بالثلاثية $(i,j,k)$ حيث $i$ هو العدد المقابل للمتغيّر foo، و$j$ و$k$ هما العددان المقابلان لـbar وblah على التوالي.

وبشكلٍ أكثر تحديداً، سنربط كل متغيّر بعددٍ من المجموعة $[t]= \{0,1,\ldots,t-1\}$. الأعداد $n$ الأولى $\{0,\ldots,n-1\}$ تقابل متغيّرات المدخلات (input)، والأعداد $m$ الأخيرة $\{t-m,\ldots,t-1\}$ تقابل متغيّرات المخرجات (output)، والأعداد الوسطى $\{ n,\ldots, t-m-1\}$ تقابل بقية متغيّرات "مساحة العمل" (workspace). رسمياً، نُعرّف تمثيلنا على النحو التالي:

تمثيل قائمة القوالب هو خيارنا الافتراضي لتمثيل برامج NAND-CIRC. ولأنّ عبارة "تمثيل قائمة القوالب" بعض الشيء مُرهقة، فإنّنا سنسمّيها غالباً مجرّداً "التمثيل" (representation) للبرنامج $P$. وأحياناً، حين يكون عدد المدخلات $n$ وعدد المخرجات $m$ معروفَين من السياق، فإنّنا نمثّل البرنامج ببساطة كقائمة $L$ بدلاً من الثلاثية $(n,m,L)$.

u = NAND(X[0],X[1])
v = NAND(X[0],u)
w = NAND(X[1],u)
Y[0] = NAND(v,w)

تحويل برنامج NAND-CIRC من تمثيله كشيفرة إلى تمثيله كقائمة قوالب هو تمرينٌ برمجيٌّ مباشر إلى حدٍّ كبير، ويمكن تحديداً أن يُنجَز في بضعة أسطر من Python.^[4] يفقد تمثيل قائمة القوالب معلوماتٍ مثل الأسماء الخاصة التي استعملناها للمتغيّرات، لكن هذا مقبول لأنّ هذه الأسماء لا تُحدث فرقاً في وظائف البرنامج.

من القوالب إلى السلاسل

إذا كان $P$ برنامجاً من الحجم $s$، فإنّ عدد المتغيّرات $t$ هو $3s$ على الأكثر (إذ إنّ كل سطرٍ يمسّ ثلاثة متغيّرات كحدٍّ أقصى). وعليه يمكننا ترميز كل فهرس متغيّر في $[t]$ كسلسلة من الطول $\ell = \ceil{\log (3s)}$، بإضافة أصفارٍ بادئة عند الحاجة. ولأنّ هذا ترميزٌ بطولٍ ثابت، فإنّه خالٍ من البوابات (prefix free)، وعليه يمكننا ترميز القائمة $L$ من $s$ ثلاثيات (المقابلة لترميز $s$ سطوراً من البرنامج) ببساطة كسلسلة من الطول $3\ell s$ نحصل عليها بدمج كل هذه الترميزات.

نُعرّف $S(s)$ على أنّها طول السلسلة التي تمثّل القائمة $L$ المقابلة لبرنامج من الحجم $s$. من ما سبق نرى أنّ $$S(s) = 3s\ceil{\log (3s)} \;.$$

يمكننا تمثيل $P=(n,m,L)$ كسلسلة عبر إلحاق تمثيلٍ خالٍ من البوابات لـ$n$ و$m$ في مقدّمة القائمة $L$. ولأنّ $n,m \leq 3s$ (فبرنامج يجب أن يمسّ كل متغيّرات مدخلاته ومخرجاته مرّةً واحدة على الأقلّ)، فإنّ تلك التمثيلات الخالية من البوابات يمكن ترميزها باستعمال سلاسل من الطول $O(\log s)$. وبشكلٍ خاص، كل برنامج $P$ من $s$ سطراً على الأكثر يمكن تمثيله بسلسلة من الطول $O(s\log s)$. وبالمثل، كل دائرة $C$ من $s$ بوابة على الأكثر يمكن تمثيلها بسلسلة من الطول $O(s \log s)$ (مثلاً بترجمة $C$ إلى البرنامج المكافئ $P$).

مُفسِّر NAND-CIRC بلغة NAND-CIRC

بما أنّنا نستطيع تمثيل البرامج كسلاسل، فإنّنا نستطيع أيضاً أن نفكّر في البرنامج كمدخلٍ لدالة. وبشكلٍ خاص، لكل عددٍ طبيعي $s,n,m>0$ نُعرّف الدالة $EVAL_{s,n,m}:\{0,1\}^{S(s)+n} \rightarrow \{0,1\}^m$ على النحو التالي: $$EVAL_{s,n,m}(px) = \begin{cases} P(x) & \text{$p\in \{0,1\}^{|S(s)|}$ represents a size-$s$ program $P$ with $n$ inputs and $m$ outputs} \\ 0^m & \text{otherwise} \end{cases}$$ حيث $S(s)$ مُعرَّفة كما في المعادلة، ونحن نستعمل مخطّط التمثيل التجريدي الموصوف في تمثيل البرامج كسلاسل.

أي أنّ $EVAL_{s,n,m}$ يأخذ كمدخل دمج سلسلتين: سلسلة $p\in \{0,1\}^{|S(s)|}$ وسلسلة $x\in \{0,1\}^n$. إذا كانت $p$ سلسلة تمثّل قائمة ثلاثيات $L$ بحيث يكون $(n,m,L)$ تمثيلَ قائمة قوالب لبرنامج NAND-CIRC $P$ من الحجم $s$، فإنّ $EVAL_{s,n,m}(px)$ تساوي التقييم $P(x)$ للبرنامج $P$ على المدخل $x$. وإلا فإنّ $EVAL_{s,n,m}(px)$ تساوي $0^m$ (وهذه الحالة ليست مهمّة جداً: يمكنك ببساطة أن تفكّر في $0^m$ على أنّها نوعٌ من "قيمة المهملات" الذي يدلّ على خطأ).

ما يجب استخلاصه. التفاصيل الدقيقة لتعريف $EVAL_{s,n,m}$ ليست جوهرية إلى حدٍّ كبير. بل ما يلزمك تذكّره عن $EVAL_{s,n,m}$ هو ما يلي:

• $EVAL_{s,n,m}$ دالة منتهية تأخذ سلسلةً ذات طولٍ ثابت كمدخل وتُخرج سلسلةً ذات طولٍ ثابت كمخرج.

• $EVAL_{s,n,m}$ دالةٌ واحدة، بحيث إنّ حساب $EVAL_{s,n,m}$ يتيح تقييم أيّ برامج NAND-CIRC بطولٍ ما على مدخلات أيّ وبالطول المناسب.

• $EVAL_{s,n,m}$ هي دالة لا برنامج (تذكّر النقاش في المواصفة مقابل التنفيذ (مرة أخرى)). أي أنّ $EVAL_{s,n,m}$ هي مواصفة (specification) لما يقابل كلَّ مدخلٍ من المخرجات. ووجود برنامج يحسب $EVAL_{s,n,m}$ (أي تنفيذٍ (implementation) لـ$EVAL_{s,n,m}$) واقعةٌ منفصلة، تحتاج إلى إثبات (وسنقوم بذلك في مبرهنة — الكونية المقيّدة لبرامج NAND-CIRC، مع برنامج أكفأ معروض في مبرهنة — الكونية المقيّدة الأكفأ لبرامج NAND-CIRC).

أوّل الأمثلة على الدائريّة ذاتية المرجع (self circularity) التي سنراها في هذا الكتاب هو المبرهنة التالية، التي يمكننا التفكير فيها على أنّها تُظهر "مُفسِّر NAND-CIRC بلغة NAND-CIRC":

أي أنّ برنامج NAND-CIRC $U_{s,n,m}$ يأخذ وصفَ أيّ برنامج NAND-CIRC آخر $P$ (بالطول والمدخلات/المخرجات الصحيحة) و_أيّ مدخلٍ_ $x$، ويحسب نتيجة تقييم البرنامج $P$ على المدخل $x$. وبناءً على التكافؤ بين برامج NAND-CIRC والدوائر المنطقية، يمكننا أيضاً أن نفكّر في $U_{s,n,m}$ كدائرة تأخذ كمدخل وصف دوائر أخرى ومدخلاتها، وتُرجع تقييمها، انظر الشكل التوضيحي. نسمّي برنامج NAND-CIRC هذا $U_{s,n,m}$ الذي يحسب $EVAL_{s,n,m}$ برنامجاً كونيّاً مقيَّداً (bounded universal program) (أو دائرة كونية، انظر الشكل التوضيحي). "الكوني" تشير إلى أنّ هذا برنامجٌ واحد يستطيع تقييم أيّ شيفرة، بينما "المقيَّد" تشير إلى أنّ $U_{s,n,m}$ يقيّم برامج ذات حجمٍ مقيَّد فقط. طبعاً فإنّ هذا القيد متأصّل في لغة برمجة NAND-CIRC، إذ إنّ برنامجاً من $s$ سطراً (أو، بما يعادل، دائرة من $s$ بوابة) يمكنه أن يأخذ على الأكثر $2s$ مدخلاً. ولاحقاً، في الحلقات وما لا نهاية، سنُقدّم مفهوم الحلقات (loops) (ونموذج آلات تورينغ (Turing machines))، الذي يتيح التخلّص من هذا القيد.

برامج كونية أكفأ

مبرهنة — الكونية المقيّدة لبرامج NAND-CIRC تُثبت وجود برنامج NAND-CIRC لحساب $EVAL_{s,n,m}$، لكنها لا تقدّم أي حدٍّ صريح على حجم هذا البرنامج. ومبرهنة — شمولية NAND، التي استعملناها لإثبات مبرهنة — الكونية المقيّدة لبرامج NAND-CIRC، تضمن وجود برنامج NAND-CIRC قد يبلغ حجمه أسّياً (exponential) في طول مدخله. وهذا يعني أنّه حتى لقيم $s,n,m$ المتوسطة الصغر (مثل $n=100,s=300,m=1$)، قد يتطلّب حساب $EVAL_{s,n,m}$ برنامج NAND بعدد من السطور أكبر من عدد الذرّات في الكون المرصود! ولحسن الحظّ، يمكننا أن نفعل أفضل بكثير من ذلك. وفعلاً، لكل $s,n,m$ يوجد برنامج NAND-CIRC لحساب $EVAL_{s,n,m}$ حجمه متعدّد الحدود (polynomial) في طول مدخله. وهذا ما تُظهره المبرهنة التالية.

على خلاف مبرهنة — الكونية المقيّدة لبرامج NAND-CIRC، فإنّ مبرهنة — الكونية المقيّدة الأكفأ لبرامج NAND-CIRC ليست نتيجةً لازمة تافهة من حقيقة أنّ كل دالة منتهية يمكن حسابها بدائرة ما. فإثبات مبرهنة — الكونية المقيّدة الأكفأ لبرامج NAND-CIRC يتطلّب منا أن نقدّم برنامج NAND-CIRC تجريدياً لحساب الدالة $EVAL_{s,n,m}$. وسنقوم بذلك على عدّة مراحل.

1. أوّلاً، سنصف الخوارزمية التي تقيّم $EVAL_{s,n,m}$ في "شيفرةٍ زائفة" (pseudo code).

2. ثمّ، سنُظهر كيف يمكننا كتابة برنامج لحساب $EVAL_{s,n,m}$ في Python. لن نستعمل من Python سوى القليل، ويمكن لقارئٍ متمرّس على البرمجة بأيّ لغة أن يتابع معنا.

3. أخيراً، سنُظهر كيف يمكننا تحويل برنامج Python هذا إلى برنامج NAND-CIRC.

يسفر هذا النهج عن أكثر بكثير من مجرّد إثبات مبرهنة — الكونية المقيّدة الأكفأ لبرامج NAND-CIRC: سنرى أنّه من الممكن بالفعل دائماً تحويل شيفرةٍ (خالٍة من الحلقات) المكتوبة في لغاتٍ عالية المستوى مثل Python إلى برامج NAND-CIRC (وعليه إلى الدوائر المنطقية أيضاً).

مُفسِّر NAND-CIRC بـ"الشيفرة الزائفة"

لإثبات مبرهنة — الكونية المقيّدة الأكفأ لبرامج NAND-CIRC يكفي تقديم برنامج NAND-CIRC من $O(s^2 \log s)$ سطراً يستطيع تقييم برامج NAND-CIRC من $s$ سطراً. لنبدأ إذن بالتفكير في كيفية تقييمنا لمثل هذه البرامج لو كنا مقيدين بتنفيذ عمليات NAND فقط. أي لنصف بإيجاز صورةَ خوارزميةٍ تُدخل عليها $n,m,s$، وقائمة ثلاثيات $L$، وسلسلة $x\in \{0,1\}^n$، فتقيم البرنامج الذي تمثّله $(n,m,L)$ على السلسلة $x$.

سنصف الآن خوارزميةً من هذا النوع. نحن نفترض أنّ لدينا في المتناول بنية بيانات من نوع مصفوفة بتّات (bit array) تستطيع أن تخزّن لكل $i\in [t]$ بتّاً $T_i \in \{0,1\}$. وبشكلٍ تحديد، إذا كان Table متغيّراً يحمل هذه البنية، فإنّنا نفترض أنّنا نستطيع تنفيذ العمليتين:

• GET(Table,i) التي تسترجع البت المقابل لـi في Table. ويُفترض أن تكون قيمة i عدداً صحيحاً في $[t]$.

• Table = UPDATE(Table,i,b) التي تُحدِّث Table بحيث يصبح البت المقابل لـi مساوياً الآن لـb. ويُفترض أن تكون قيمة i عدداً صحيحاً في $[t]$ وأن يكون b بتّاً في $\{0,1\}$.

Input: Numbers $n,m,s$ and $t\leq 3s$, as well as  a list $L$ of $s$ triples of numbers in $[t]$, and  a string $x\in \{0,1\}^n$.

Output: Evaluation of the program represented by $(n,m,L)$ on the -input $x\in \{0,1\}^n$.

Let `Vartable` be table of size $t$
For{$i$ in $[n]$}
`Vartable = UPDATE(Vartable,`$i$`,`$x_i$`)`
Endfor
For{$(i,j,k)$ in $L$}
$a \leftarrow$ `GET(Vartable,`$j$`)`
$b \leftarrow$ `GET(Vartable,`$k$`)`
`Vartable = UPDATE(Vartable,`$i$,`NAND(`$a$`,`$b$`))`
Endfor
For{$j$ in $[m]$}
$y_j \leftarrow$ `GET(Vartable,`$t-m+j$`)`
Endfor
Return $y_0,\ldots,y_{m-1}$

خوارزمية — Eval NAND-CIRC programs يقيّم البرنامج المُعطى له كمدخل سطراً بعد سطر، مُحدِّثاً جدول Vartable ليحتوي على قيمة كل متغيّر. وفي نهاية التنفيذ يُخرج المتغيّرات في المواضع $t-m,t-m+1,\ldots,t-1$، وهي المتغيّرات المقابلة لمدخلات.

مُفسِّر NAND بلغة Python

لنجعل الأمر أكثر تجريداً، ولنرَ كيف نُنفّذ خوارزمية — Eval NAND-CIRC programs في لغة البرمجة Python. (لا شيء خاص في Python؛ كان من اليسير أن نقدّم الدالة المقابلة في JavaScript أو C أو OCaml أو أيّ لغة برمجة أخرى.) سنبني دالة NANDEVAL التي على مدخلات $n,m,L,x$ تُخرج نتيجة تقييم البرنامج الذي تمثّله $(n,m,L)$ على $x$. ولتبسيط المسألة، لن نهتمّ بالحالة التي لا تكون فيها $L$ تمثيلاً لبرنامجٍ صحيح من $n$ مدخلاً و$m$ مخرجاً. الشيفرة معروضة في Code for evaluating a NAND-CIRC program given in the list-of-tuples representation.

def NANDEVAL(n,m,L,X):
    # Evaluate a NAND-CIRC program from list of tuple representation.
    s = len(L) # num of lines
    t = max(max(a,b,c) for (a,b,c) in L)+1 # max index in L + 1
    Vartable = [0] * t # initialize array

    # helper functions
    def GET(V,i): return V[i]
    def UPDATE(V,i,b):
        V[i]=b
        return V

    # load input values to Vartable:
    for i in range(n):
        Vartable = UPDATE(Vartable,i,X[i])

    # Run the program
    for (i,j,k) in L:
        a = GET(Vartable,j)
        b = GET(Vartable,k)
        c = NAND(a,b)
        Vartable = UPDATE(Vartable,i,c)

    # Return outputs Vartable[t-m], Vartable[t-m+1],....,Vartable[t-1]
    return [GET(Vartable,t-m+j) for j in range(m)]

# Test on XOR (2 inputs, 1 output)
L = ((2, 0, 1), (3, 0, 2), (4, 1, 2), (5, 3, 4))
print(NANDEVAL(2,1,L,(0,1))) # XOR(0,1)
# [1]
print(NANDEVAL(2,1,L,(1,1))) # XOR(1,1)
# [0]

الوصول إلى عنصر في المصفوفة Vartable عند فهرسٍ معيّن يستغرق عدداً ثابتاً من العمليات الأساسية. وعليه (بما أنّ $n,m \leq s$ و$t \leq 3s$)، فإنّ البرنامج أعلاه سيستعمل $O(s)$ عملية أساسية.^[5]

بناء مُفسِّر NAND-CIRC بلغة NAND-CIRC

ننتقل الآن إلى وصف برهان مبرهنة — الكونية المقيّدة الأكفأ لبرامج NAND-CIRC. ولإثبات المبرهنة لا يكفي تقديم برنامج بايثون. بل نحتاج إلى إظهار كيف نحسب الدالة $EVAL_{s,n,m}$ باستعمال برنامج NAND-CIRC. بعبارة أخرى، مهمّتنا هي أن نحوّل، لكل $s,n,m$، شيفرة بايثون الموجودة في #nandevalpythonsec إلى برنامج NAND-CIRC $U_{s,n,m}$ يحسب الدالة $EVAL_{s,n,m}$.

سيتبع بناؤنا عن قربٍ شديداً تنفيذ بايثون لـEVAL أعلاه. سنستعمل المتغيّرات Vartable[$0$],$\ldots$,Vartable[$2^\ell-1$], حيث $\ell = \ceil{\log 3s}$ لتخزين متغيّراتنا. غير أنّ NAND لا تملك متغيّرات ذات قيم صحيحة، لذا لا يمكننا كتابة شيفرة مثل Vartable[i] لمتغيّرٍ ما i. لكنّنا نستطيع أن نُنفّذ الدالة GET(Vartable,i) التي تُخرج البت رقم i من المصفوفة Vartable. وهذا ليس إلا الدالة $LOOKUP_\ell$ التي رأيناها في مبرهنة — دالة البحث!

رأينا أنّه يمكننا حساب $LOOKUP_\ell$ في زمن $O(2^\ell) = O(s)$ لاختيارنا لـ$\ell$.

لكل $\ell$، لتكن $UPDATE_\ell:\{0,1\}^{2^\ell + \ell +1} \rightarrow \{0,1\}^{2^\ell}$ مقابلَ الدالة UPDATE للمصفوفات من الطول $2^\ell$. أي أنّها على المدخلات $V\in \{0,1\}^{2^\ell}$، و$i\in \{0,1\}^\ell$، و$b\in \{0,1\}$، تساوي $UPDATE_\ell(V,i,b)$ السلسلة $V' \in \{0,1\}^{2^\ell}$ بحيث $$V'_j = \begin{cases} V_j & j \neq i \\ b & j = i \end{cases}$$ حيث نُعرّف السلسلة $i \in \{0,1\}^\ell$ مع عددٍ في $\{0,\ldots, 2^{\ell}-1 \}$ باستعمال التمثيل الثنائي. ويمكننا حساب $UPDATE_\ell$ باستعمال برنامج NAND-CIRC من $O(2^\ell \ell)=(s \log s)$ سطراً على النحو التالي:

1. لكل $j\in [2^\ell]$، يوجد برنامج NAND-CIRC من $O(\ell)$ سطراً لحساب الدالة $EQUALS_j: \{0,1\}^\ell \rightarrow \{0,1\}$ التي على المدخل $i$ تُخرج $1$ إذا وفقط إذا كان $i$ مساوياً لـ(التمثيل الثنائي لـ)$j$. (نترك التحقّق من ذلك كتمارين في تمرين — دالة المساواة وتمرين — الدالة المساوية لدالة ثابتة.)

2. رأينا أنّنا يمكننا حساب الدالة $IF:\{0,1\}^3 \rightarrow \{0,1\}$ بحيث تساوي $IF(a,b,c)$ القيمة $b$ إذا كان $a=1$ والقيمة $c$ إذا كان $a=0$.

مجتمعةً، يعني هذا أنّنا يمكننا حساب UPDATE (باستعمال بعض "سكر النحو" للحلقات ذات الطول المقيَّد) على النحو التالي:

def UPDATE_ell(V,i,b):
    # Get V[0]...V[2^ell-1], i in {0,1}^ell, b in {0,1}
    # Return NewV[0],...,NewV[2^ell-1]
    # updated array with NewV[i]=b and all
    # else same as V
    for j in range(2**ell): # j = 0,1,2,....,2^ell -1
        a = EQUALS_j(i)
        NewV[j] = IF(a,b,V[j])
    return NewV

ولأنّ الحلقة على j في UPDATE تُنفَّذ $2^\ell$ مرّة، ولأنّ حساب EQUALS_j يستغرق $O(\ell)$ سطراً، فإنّ العدد الإجمالي للأسطر اللازمة لحساب UPDATE هو $O(2^\ell \cdot \ell) = O(s \log s)$. ومتى استطعنا حساب GET وUPDATE، فإنّ بقية التنفيذ تتلخّص في "مسك دفاتر" (book keeping) يجب أن يُنجَز بعناية، لكنّه ليس بحدّ ذاته بالكثير من البصيرة، ولذلك نُغفل التفاصيل الكاملة. ولأنّنا نُنفّذ GET وUPDATE $s$ مرّة، فإنّ العدد الإجمالي للأسطر اللازمة لحساب $EVAL_{s,n,m}$ هو $O(s^2) + O(s^2 \log s) = O(s^2 \log s)$. وهذا يُكمل (باستثناء التفاصيل المُغفلة) برهان مبرهنة — الكونية المقيّدة الأكفأ لبرامج NAND-CIRC.

مُفسِّر Python بلغة NAND-CIRC (نقاش)

لإثبات مبرهنة — الكونية المقيّدة الأكفأ لبرامج NAND-CIRC قمنا بالأساس بترجمة كل سطرٍ في برنامج بايثون لـEVAL إلى مقطع NAND-CIRC مكافئ. لكنّ أيّاً من استدلالاتنا لم يكن خاصّاً بالدالة $EVAL$ بعينها. فمن الممكن ترجمة كلّ برنامج بايثون إلى برنامج NAND-CIRC مكافئ بكفاءةٍ مماثلة. (وبشكلٍ أكثر تحديداً، إذا كان برنامج بايثون يستغرق $T(n)$ عمليةً على مدخلات طولها $n$ على الأكثر، فإنّ هناك برنامج NAND-CIRC من $O(T(n) \log T(n))$ سطراً يوافق برنامج بايثون على المدخلات ذات الطول $n$.) والاضطرار إلى فعل ذلك يتطلّب العناية بالتفاصيل الكثيرة وهو خارج نطاق هذا الكتاب، لكنّ دعني أحاول أن أقنعك بأنّ ذلك ممكن من حيث المبدأ.

للبداية، يمكننا استعمال CPython (التنفيذ المرجعي لبايثون) لتقييم كلّ برامج بايثون باستعمال برنامج C. ويمكننا أن نجمع هذا مع مُصرِّف C لتحويل برنامج بايثون إلى نكهاتٍ مختلفة من "لغة الآلة". إذن، لتحويل برنامج بايثون إلى برنامج NAND-CIRC مكافئ، يكفي أن نُظهر كيفية تحويل برنامج بلغةِ آلةٍ ما إلى برنامج NAND-CIRC مكافئ. ومن عائلات لغات الآلة المُبسَّطة (وبالتالي المريحة) ما يُعرف بـ_معمارية ARM_ (ARM architecture) التي تُشغّل الكثير من الأجهزة المحمولة بما فيها كلّ أجهزة Android تقريباً.^[6] وهناك لغات آلةٍ أبسط من ذلك، مثل معمارية LEG التي نُفّذ لها واجهةٌ خلفية (backend) لـمُصرِّف LLVM (وعليه يمكن أن يكون الهدفَ من ترجمة أيٍّ من القائمة الكبيرة والمتزايدة من اللغات التي يدعمها هذا المُصرِّف). ومن الأمثلة الأخرى معمارية TinyRAM (أُلهمت بأنظمة البرهان التفاعلي التي سنتناولها في البراهين والخوارزميات)، ومعمارية الحاسوب البسيط بشكلٍ مُضحك (Ridiculously Simple Computer) المُوجَّهة للتعليم. إنّ المرور واحداً واحداً على مجموعات التعليمات لمثل هذه الحواسيب وترجمتها إلى مقاطع NAND ليس ممتعاً، لكنّه أمرٌ يمكن إنجازه. وفعلاً، في نهاية المطاف هذا قريبٌ جداً من التحويل الذي يجري عند تحويل شيفرتنا عالية المستوى إلى بوابات سيليكون حقيقية، وهي ليست مختلفة كثيراً عن عمليات برنامج NAND-CIRC. وفعلاً إنّ أدواتً مثل MyHDL التي تحوّل "من بايثون إلى السيليكون" أن تُستعمل لتحويل برنامج بايثون إلى برنامج NAND-CIRC.

لغة البرمجة NAND-CIRC ليست سوى أداةٍ تعليمية، ولا أقترح إطلاقاً أنّ كتابة برامج NAND-CIRC أو مُصرِّفاتٍ إلى NAND-CIRC نشاطٌ عمليٌّ أو مفيدٌ أو ممتع. ما أريده حقاً هو أن أتأكّد من أنّك تفهم لماذا يمكن ذلك، وأنّ لديك الثقة بأنّك ستتمكّن من فعله لو كان حياتك (أو على الأقلّ درجتك) متوقّفةً عليه. ففهم كيفية تحوّل البرامج المكتوبة في لغاتٍ عالية المستوى مثل بايثون في النهاية إلى تمثيلٍ تجريديٍّ منخفض المستوى مثل NAND أمرٌ أساسي في علوم الحاسوب.

قد يلاحظ القارئ الدقيق أنّ الفقرات أعلاه لم توضّح إلّا لماذا ينبغي أن يكون من الممكن، لكل دالة $f$ معيّنة قابلة للحساب ببايثون، إيجاد برنامج NAND-CIRC معيّنٍ بكفاءةٍ مماثلة يحسب $f$. لكنّ هذا يبدو أيضاً قاصراً عن هدفنا، وهو كتابة "مُفسِّر Python بلغة NAND"، ما يعني أنّه لكل وسيط $n$، نجد برنامج NAND-CIRC واحداً $UNIV_s$ بحيث إنّ هذا البرنامج، معطى وصفَ برنامج بايثون $P$ ومدخلاً معيّناً $x$ وحدّاً $T$ على عدد العمليات (حيث إنّ أطوال $P$ و$x$ وقيمة $T$ هي كلّها $s$ على الأكثر)، يُرجع نتيجة تنفيذ $P$ على $x$ في $T$ خطوة على الأكثر. بعد كلّ شيء، التحويل أعلاه يأخذ كلّ برنامج بايثون إلى برنامج NAND-CIRC مختلف، وعليه لا ينتج "برنامج NAND-CIRC واحدٌ يحكمهم جميعاً" (بالإنجليزية: "one NAND-CIRC program to rule them all")يستطيع تقييم كلّ برامج بايثون حتى تعقيدٍ ما. لكنّنا نستطيع في الحقيقة أن نُنجز برنامج NAND-CIRC واحداً يقيّم برامج بايثون أيّاً كانت. والسبب في ذلك هو وجود مُفسِّر Python بلغة Python: برنامج بايثون $U$ يأخذ سلسلةَ بتّات، ويفسّرها كشيفرة بايثون، ثمّ ينفّذ تلك الشيفرة. وعليه، لا نحتاج إلّا إلى إظهار وجود برنامج NAND-CIRC $U^*$ يحسب الدالة نفسها التي يحسبها برنامج بايثون $U$ بعينه، وهذا سيمنحنا طريقةً لتقييم كل برامج بايثون.

إنّ ما نراه مرّةً بعد أخرى هو مفهوم كونية (universality) الحساب أو الإحالة الذاتية (self reference)، أي أنّ كلّ نماذج الحساب الغنية بما يكفي تعبيريّةٌ بما يكفي لتتمكن من "محاكاة نفسها". ولا يمكن المبالغة في أهمية هذه الظاهرة بالنسبة لنظرية الحساب وممارسته، بل وللأبعد من ذلك بكثير، بما في ذلك أسس الرياضيات والمسائل الأساسية في العلم.

أطروحة كيرش-تورينغ الفيزيائية الموسّعة (نقاش)

لقد رأينا أنّ بوابات NAND (وغيرها من العمليات المنطقية) يمكن تنفيذها باستعمال أنظمةٍ مختلفةٍ تماماً في العالم الفيزيائي. وماذا عن الاتجاه المعاكس؟ هل تستطيع برامج NAND-CIRC محاكاة أيّ حاسوبٍ فيزيائي؟

ويمكننا أن نأخذ قفزة إيمان ونقرّر أنّ الدوائر المنطقية (أو بما يعادلها برامج NAND-CIRC) تحتضن فعلاً كلَّ الحساب الذي نستطيع تصوّره. وهذه العبارة (في مجال الدوال اللانهائية، وهو ما سنصادفه في الحلقات وما لا نهاية) تُنسب عادةً إلى ألونزو كيرش وآلان تورينغ، ويُشار إليها في ذلك السياق بـ_أطروحة كيرش-تورينغ_ (Church-Turing Thesis). وكما سنتاقش في المحاضرات القادمة، فإنّ أطروحة كيرش-تورينغ ليست مبرهنةً رياضية ولا حتى حدساً رياضياً. بل إنّها، كالنظريات في الفيزياء، تتعلّق بالنمذجة الرياضية للعالم الحقيقي. وفي سياق الدوال المنتهية، يمكننا تقديم الفرضية أو التنبّؤ غير الرسمي التالي:

"أطروحة كيرش-تورينغ الفيزيائية الموسّعة" (PECTT): إذا كانت الدالة $F:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^m$ قابلة للحساب في العالم الفيزيائي باستعمال مقدار $s$ من "الموارد الفيزيائية"، فإنّه يمكن حسابها ببرنامج دوائر منطقية من نحو $s$ بوابة.

قد يبدو على نظرية ساذجة أنّ افتراض أنّ نموذجنا المتواضع لبرامج NAND-CIRC أو للدوائر المنطقية يلتقط كلّ الحساب الفيزيائي الممكن هو افتراضٌ متطرّف إلى حدٍّ كبير. لكنّنا، في أكثر من قرنٍ من تقنيات الحوسبة، لم يبنِ أحدٌ بعد أيّ جهاز حوسبة قابل للتوسّع يتحدّى هذا الفرضية.

لنناقش الآن "التفاصيل الدقيقة" لـ PECTT بمزيدٍ من التفصيل، وكذلك المحاولات (التي لم تنجح حتى الآن) التي طُرحت ضدّه. لا توجد صياغةٌ رسمية واحدة متّفقٌ عليها عالميّاً على"نحو $s$ من الموارد الفيزيائية"، لكنّ بإمكاننا تقريب هذا المفهوم بالنظر في حجم أيّ جهاز حوسبة فيزيائي والزمن الذي يستغرقه حساب المخرجات، وطلب أن يُحاكى أيّ جهازٍ من هذا النوع بواسطة دائرة منطقية يكون عدد بواباتها متعدّداً للحدود (بأسّ لا كبير إلى حدٍّ ما) في حجم النظام وفي الزمن الذي يستغرقه كي يعمل.

بعبارة أخرى، يمكننا صياغة PECTT على أنّها تقرّر أنّ أيّ دالة يمكن حسابها بجهاز يشغل حجماً $V$ من الفضاء ويحتاج زمناً $t$ لإتمام الحساب، لا بدّ أن تكون قابلة للحساب بدائرة منطقية عدد بواباتها $p(V,t)$ متعدّدٌ للحدود في $V$ و$t$.

أمّا الصيغة الدقيقة للدالة $p(V,t)$ فلا يوجد اتفاقٌ عام عليها، لكنّه يُقبل عموماً أنّه إذا كانت $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ دالةً صعبة أُسّياً (exponentially hard)، بمعنى أنّها لا تملك برنامج NAND-CIRC من أقلّ من $2^{n/2}$ سطراً مثلاً، فإنّ إظهار جهازٍ فيزيائي يستطيع حساب $f$ في العالم الحقيقي عند أطوال مدخلات متوسطة (مثل $n=500$) سيكون انتهاكاً لـ PECTT.

محاولات إبطال PECTT

من إحدى صفات البشرية المُثيرة للإعجاب رفضهم قبول القيود. في أفضل الحالات يتجلّى ذلك في أشخاص يحقّقون تحدّيات "مستحيلة" منذ زمنٍ طويل، كالطيران أثقل من الهواء، أو إنزال إنسان على القمر، أو الدوران حول الأرض، بل أو حتى حلّ نظرية فيرما الأخيرة. وفي أسوأ الحالات يتجلّى ذلك في أشخاص يسيرون دائماً في آثار الإخفاقات السابقة محاولين إنجاز مهامّ ثبت استحالتها، مثل بناء آلة الحركة الدائمة، أو ثلاثية الزاوية بالمسطرة والقلم، أو نقض متراجحة بيل. وقد جذب أطروحة كيرش-تورينغ الفيزيائية الموسّعة (بصورها المختلفة) كلا النوعين من الأشخاص. وهذه بعض الأجهزة الفيزيائية التي رُشّح لها بأنّها تحقّق مهامّ حوسبية لا يمكن إنجازها ببرامج NAND-CIRC غير كبيرة إلى حدٍّ كبير:

• ترتيبُ المعكرونة: إحدى أوائل الحدود الدنيا التي يصطدم بها طلاب علوم الحاسوب هي أنّ ترتيب $n$ عدداً يتطلّب إجراء $\Omega(n \log n)$ مقارنة. و"ترتيب المعكرونة" (spaghetti sort) هو وصفٌ لحاسوبٍ "ميكانيكي" مقترح يقوم بذلك على نحوٍ أسرع. والفكرة أنّه لترتيب $n$ عدداً $x_1,\ldots,x_n$ يمكننا قصّ $n$ خيطاً من المعكرونة إلى أطوال $x_1,\ldots,x_n$، ثمّ إن أمسكناها معاً في أيدينا وأنزلناها إلى سطحٍ مستوٍ، فإنّها ستخرج مرتّبة. وهناك أسبابٌ عديدة لكيل هذا ليس تحدياً حقيقياً لفرضية PECTT، ولن أحرم القارئ من متعة اكتشافها بنفسه.

• فقاعات الصابون: إحدى الدوال $F:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ التي يُفتَرَض أنّها تتطلّب عدداً كبيراً من أسطر NAND لحلّها هي مسألة شجرة شتاينر الإقليدية (Euclidean Steiner Tree). وهذه هي المسألة التي يُعطى فيها $m$ نقطة في المستوى $(x_1,y_1),\ldots,(x_m,y_m)$ (ولنفرض بإحداثيات صحيحة تمتدّ من $1$ إلى $m$، وعليه يمكن تمثيل القائمة كسلسلة من الحجم $n=O(m \log m)$) مع عددٍ ما $K$. والهدف هو تحديد ما إذا كان من الممكن وصل كلّ النقط بمقطعات مستقيمة يكون مجموع طولها $K$ على الأكثر. ويفترض أنّ هذه الدالة صعبة لأنّها كاملة في صنف NP (NP complete) — وهو مفهوم سنصادفه لاحقاً في هذه المساق — بل إنّ من المعقول أن نفترض أنّه مع نموّ $m$، ينمو عدد أسطر NAND اللازمة لحساب هذه الدالة أُسّياً في $m$، ما يعني أنّ PECTT تتنبّأ بأنّه إذا كان $m$ كبيراً بما يكفي (مثل بضع مئات مثلاً) لن يستطيع أيّ جهاز فيزيائي حساب $F$. ومع ذلك، ادّعى بعض الناس أنّ هناك في الواقع جهازاً فيزيائياً بسيطاً جداً يستطيع حلّ هذه المسألة، وأنّه يمكن بناؤه باستعمال بعض أوتاد الخشب والصابون. والفكرة أنّنا إذا أخذنا لوحين زجاجيين ووضعنا بينهما $m$ وتداً خشبياً في المواضع $(x_1,y_1),\ldots,(x_m,y_m)$، فإنّ فقاعات ستتشكّل تمسّ حوافّها تلك الأوتاد على نحوٍ يُصغّر الطاقة الكلية، وهو ما يبيّن أنّه دالةً في مجموع أطوال المقاطع المستقيمة. والمشكلة في هذا الجهاز أنّ الطبيعة، تماماً كالبشر، كثيراً ما تعلق في "المتفارعات المحلية" (local optima). أي أنّ التهيئة الناتجة لن تكون هي التهيئة التي تحقّق الحدّ الأدنى المطلق للطاقة الكلية، بل ستكون تهيئةً لا يمكن تحسينها بتغييراتٍ محلية. وقد أجرى آرونسون تجاربً فعلية (انظر الشكل التوضيحي)، فرأى أنّه بينما ينجح هذا الجهاز غالباً مع ثلاثة أو أربعة أوتاد، إلا أنّه يبدأ بإعطاء نتائج دون الأمثلية ما إن يزيد عدد الأوتاد عن ذلك.

• حوسبة الـ DNA. اقترح الناس استعمال خصائص الـ DNA لحلّ مسائل حوسبية صعبة. والمزايا الرئيسية للـ DNA هي القدرة، من حيث المبدأ، على ترميز كثيرٍ من المعلومات في مساحةٍ فيزيائية صغيرة نسبياً، وكذلك إجراء الحساب على هذه المعلومات بطريقة شديدة التوازي. ووقت كتابة هذا النص، كان قد أُبْرِزَت إمكانية استعمال الـ DNA لتخزين نحو $10^{16}$ بتّاً من المعلومات في منطقة نصف قطرها نحو مليمتر، مقابل نحو $10^{10}$ بتّاً بأفضل تقنية أقراصٍ صلبة معروفة. وهذا لا يضع تحدّياً حقيقياً أمام PECTT، لكنّه يشير إلى ضرورة التحفّظ في اختيار الثابت وعدم افتراض أنّ تقنيات الأقراص الصلبة + السيليكون الحالية هي الأفضل الممكن على الإطلاق.^[7]

• الحواسيب المستمرة/الحقيقية. يُوصف العالم الفيزيائي غالباً باستعمال كمّياتٍ مستمرة مثل الزمن والفضاء، واقترح الناس أنّ الأجهزة التناظرية (analog) قد تكون لها وصولٌ مباشر إلى الحساب بالكمّيات ذات القيمة الحقيقية، وأنّها ستكون بطبيعتها أقوى من النماذج المتفرّقة مثل آلات NAND. أمّا ما إذا كان العالم الفيزيائي "الحقيقي" مستمراً أم متفرّقاً فهو سؤالٌ مفتوح. وفعلاً، لا نعرف حتى كيف نصوغ هذا السؤال بدقّة، فضلاً عن الإجابة عليه. لكنّه، بغضّ النظر عن الإجابة، يبدو واضحاً أنّ الجهد المبذول لقياس كمّيةٍ مستمرة يزداد مع مستوى الدقة المطلوب، وعليه لا يوجد "غداءٌ مجاني" ولا طريقة لتجاوز PECTT باستعمال مثل هذه الآلات (انظر أيضاً هذه الورقة). ويرتبط بذلك مقترحات تُعرف بـ"الحساب الفائق" (hypercomputing) أو "حواسيب زينو" (Zeno's computers)، والتي تحاول استغلال استمرارية الزمن بأن تنفّذ العملية الأولى في ثانية، والثانية في نصف ثانية، والثالثة في ربع ثانية وهكذا.. وتفشل هذه لأسبابٍ مشابهة لتلك التي تضمن أنّ أخيل سيلحق بالسلحفاة في النهاية رغم إشكال زينو الأصلي.

• حاسوب النسبية والسفر عبر الزمن. افترضت الصياغة أعلاه وجود مفهوم الزمن، لكنّ في نظرية النسبية الزمن نسبيٌّ بالنسبة إلى المراقب. ومن أساليب حلّ المسائل الصعبة ترك الحاسوب يعمل زمناً طويلاً من منظور المراقب هو، مع الحرص على أن يكون ذلك زمناً قصيراً فعلاً من منظور منظورنا. وإحدى طرق ذلك أن يقوم المستخدم بتشغيل الحاسوب ثمّ يذهب لجريةٍ سريعة بسرعة قريبة من سرعة الضوء قبل أن يطّلع على حالته. وبحسب سرعة تحرّكك، قد يقابل بضع ثوانٍ من منظور المستخدم قروناً من زمن الحاسوب (بل ربّما ينتهي من تحديث نظام تشغيله Windows!). طبعاً أنّ المقصد هنا هو أنّ الطاقة المطلوبة من المستخدم تتناسب مع مدى اقترابه من سرعة الضوء. وهناك مقترحٌ أكثر إثارة للاهتمام وهو استعمال السفر عبر الزمن عبر المنحنيات الزمنية المغلقة (CTCs). وفي هذه الحالة يمكننا تشغيل حسابٍ طويلٍ اعتباطيّ بأن نُجري بعض الحسابات، ونتذكّر الحالة الراهنة، ثمّ نسافر إلى الوراء في الزمن لنكمل من حيث توقّفنا. وفعلاً، إن كانت CTCs موجودة، فمن المحتمل ألّا نضطر إلى مراجعة PECTT (لكنّ في هذه الحالة سأسافر ببساطة إلى الوراء في الزمن وأحرّر هذه الملاحظات، وبذلك أستطيع أن أدّعي أنّني لم أحزرها من الأصل أصلاً...)

• البشر. نظام حوسبةٍ آخر اقترح بوصفه مثالاً مضاداً لـ PECTT هو حاسوبٌ يزن 3 أرطال ونصف قطره نحو 0.1m، وهو الدماغ البشري. يستطيع البشر التنقّل والحديث والإحساس وفعل أمورٍ أخرى لا تُنجَز عادةً برامج NAND-CIRC، لكنّهم هل يستطيعون حساب دوال جزئية لا تستطيعها برامج NAND-CIRC؟ وهناك بالطبع مهامّ حوسبية يؤديها حالياً البشر أفضل من الحواسيب (مثلاً لعب بعض ألعاب الفيديو في الوقت الحالي)، لكنّ، بناءً على فهمنا الحالي للدماغ، لا يملك البشر (ولا الحيوانات الأخرى) أيّ ميزة حوسبية فطرية على الحواسيب. يحتوي الدماغ على نحو $10^{11}$ خلية عصبية (neuron)، كلٌّ منها يعمل بسرعة نحو $1000$ عملية في الثانية. ومن ثمّ فإنّ التقريب الأوّل الخام هو أنّ دائرةً منطقية من نحو $10^{14}$ بوابة تستطيع محاكاة ثانيةٍ واحدة من نشاط الدماغ.^[8] ولاحظ أنّ وجود مثل هذه الدائرة (على الأرجح) لا يعني أنّ من السهل العثور عليها. بعد كلّ شيء، استغرق تطوّرُ هذه الدائرة مليارات السنين. وتركّز كثير من البحوث الحديثة في الذكاء الاصطناعي على إيجاد برامج تكرّر بعض قدرات الدماغ، ويحتاج اكتشافها إلى جهدٍ حوسبي هائل، غير أنّ هذه البرامج غالباً ما يتبيّن أصغر بكثير من التقديرات المتحفّظة أعلاه. فمثلاً، وقت كتابة هذا النص، تحتوي الشبكة العصبية للترجمة الآلية من Google على نحو $10^4$ عقدة (ويمكن محاكاتها ببرنامج NAND-CIRC من حجمٍ مماثل). ومنذ قديم الزمان، ادّعى الفلاسفةُ والكهنةُ وكثيرون غيرهم أنّ في البشر شيئاً لا يمكن لآلاتٍ ميكانيكية مثل الحواسيب استيعابه؛ وسواء أكان الأمر كذلك أم لا، فإنّ الدليل ضعيف على أنّ البشر يستطيعون أداء مهامّ حوسبية يستحيل على الحواسيب من تعقيدٍ مماثل إنجازها بطبيعتها.^[9]

• الحوسبة الكمّية. يأتي أقوى هجوم على أطروحة كيرش-تورينغ الفيزيائية الموسّعة من فكرة الحوسبة الكمّية (quantum computing). وقد انطلقت الفكرة من الملاحظة أنّ الأنظمة ذات التأثيرات الكمّية القوية يصعب جداً محاكاتها على حاسوب. وبقلب هذه الملاحظة رأساً على عقب، اقترح الناس استعمال مثل هذه الأنظمة لإجراء حسابات لا نعرف كيف نجريها بغير ذلك. ووقت كتابة هذا النص، لم تبنَ بعد حواسيب كمّية قابلة للتوسّع، لكنّها إمكانيةٌ مذهلة، ولا تبدو مناقضةً لأيّ قانونٍ من قوانين الطبيعة المعروف. وسنتناول الحوسبة الكمّية بمزيدٍ من التفصيل بكثير في الحساب الكمّي. وينطوي نمذجة الحوسبة الكمّية على توسيع نموذج الدوائر المنطقية إلى دوائر كمّية (Quantum circuits) ذات بوابةٍ واحدةٍ إضافية (خاصة جداً). غير أنّ الخلاصة الرئيسة هي أنّه بينما تُشير الحوسبة الكمّية إلى حاجتنا إلى تعديل PECTT، فإنّها لا تتطلّب مراجعةً كاملة لنظرةنا إلى العالم. وفعلاً، يبقى كلّ محتوى هذا الكتاب تقريباً كما هو سواء أكان نموذج الحوسبة الأساسيّ دوائر منطقية أم دوائر كمّية.

خلاصة الجزء الأول: الحوسبة المنتهية

يُختم هذا الفصل الجزء الأول من الكتاب الذي يتناول الحوسبة المنتهية (finite computation) (أي حساب الدوال التي تُسقِط عدداً ثابتاً من المدخلات المنطقية إلى عددٍ ثابتٍ من المخرجات المنطقية). والخلاصات الرئيسة من تعريف الحوسبة والسكر النحوي، وحساب كل دالة والشيفرة بيانات والبيانات شيفرة هي كما يلي (انظر أيضاً الشكل التوضيحي):

• يمكننا تعريف رسميّ فكرة أنّ الدالة $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^m$ قابلة للحساب باستعمال $s$ عملية أساسية. ولا يهمّ كثيراً ما إذا كانت هذه العمليات هي AND/OR/NOT أو NAND أو أساساً كونيّاً آخر. يمكننا وصف حسابٍ من هذا النوع إمّا باستعمال دائرة (circuit) وإمّا باستعمال برنامج سطريّ (straight-line program).

• نُعرّف $SIZE_{n,m}(s)$ على أنّها مجموعة الدوال التي يمكن حسابها بدوائر NAND من $s$ بوابة على الأكثر. وهذه المجموعة تساوي مجموعة الدوال القابلة للحساب ببرنامج NAND-CIRC من $s$ سطراً على الأكثر، بحدٍّ ثابت في $s$ (لن نعره بالينا)؛ وهي أيضاً نفسها مجموعة الدوال القابلة للحساب بدائرة منطقية من $s$ بوابة AND/OR/NOT على الأكثر. والصنف $SIZE_{n,m}(s)$ مجموعة من الدوال لا من البرامج/الدوائر.

• كلُّ دالة $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^m$ يمكن حسابها بدائرة من على الأكثر $O(m \cdot 2^n / n)$ بوابة. و_بعضُ_ الدوال تتطلّب على الأقلّ $\Omega(m \cdot 2^n /n)$ بوابة. ونُعرّف $SIZE_{n,m}(s)$ على أنّها مجموعة الدوال من $\{0,1\}^n$ إلى $\{0,1\}^m$ التي يمكن حسابها باستعمال $s$ بوابة على الأكثر.

• يمكننا وصف دائرة/برنامج $P$ كسلسلة. ولكل $s$، هناك دائرة/برنامج كونيّ (universal) $U_s$ يستطيع تقييم برامج من الطول $s$ معطى وصفَها كسلاسل. ويمكننا استعمال هذا التمثيل أيضاً لعدِّ عدد الدوائر التي عدد بواباتها $s$ على الأكثر، ومن ثمّ إثبات أنّ بعض الدوال لا يمكن حسابها بدوائر أصغر حجماً من الأسّي.

• إذا كانت هناك دائرة من $s$ بوابة تحسب دالة $f$، فإنّنا نستطيع بناء جهاز فيزيائي لحساب $f$ باستعمال $s$ مكوّناً أساسياً (مثل الترانزستورات). و"أطروحة كيرش-تورينغ الفيزيائية الموسّعة" تقرّر أنّ الاتجاه المعاكس صحيح أيضاً: إذا كانت $f$ دالة يتطلّب كلّ دائرةٍ فيها $s$ بوابة على الأقلّ، فإنّ كلّ جهاز فيزيائي لحساب $f$ سيتطلّب نحو $s$ من "الموارد الفيزيائية". وأبرز تحدٍّ لـ PECTT هو الحوسبة الكمّية، وسنتناولها في الحساب الكمّي.

معاينة سريعة: في الجزء التالي سنتناول كيفية نمذجة المهامّ الحوسبية على مدخلاتٍ غير مقيّدة (unbounded)، حيث تُصنَّف بدوال $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$ (أو $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$) تستطيع أن تأخذ عدداً غير مقيَّد من المدخلات المنطقية.