نماذج حوسبة مكافئة

"كل المشكلات في علم الحاسوب يمكن حلها بمستوى آخر من التوجيه غير المباشر", منسوب إلى ديفيد وي Wheeler.

"لأننا سنحسب لاحقًا بتعبيرات عن الدوال، نحتاج إلى تمييز بين الدوال والصيغ، وإلى رمز للتعبير عن هذا التمييز. هذا التمييز، والرموز التي تصفه، والتي نحيد عنها بشكل تافه، هو ما قدّمه Church.", جون ماكانتي، 1960 (في ورقة تصف لغة البرمجة LISP)

حتى الآن، عرّفنا مفهوم حساب دالة باستخدام آلات تورينج، وهي لا تطابق الطرق التي يجري بها الحساب في الممارسة العملية عن قرب. في هذا الفصل نبرر هذا الاختيار بإظهار أن تعريف الدوال القابلة للحساب سيبقى كما هو تحت مجموعة واسعة من نماذج الحوسبة. يُعرف هذا المفهوم بـ_اكتمال تورينج_ (Turing completeness) أو تكافؤ تورينج (Turing equivalence)، وهو إحدى أكثر حقائق علم الحاسوب جوهرية. في الواقع، هناك دعوى منتشرة الانتشار تُعرف بـ_أطروحة Church-Turing_ تقول إن كل تعريف "معقول" للدالة القابلة للحساب هو مكافئ لقابلية حسابها بآلة تورينج. نناقش أطروحة Church-Turing والتعريفات المحتملة لكلمة "معقول" في أطروحة Church-Turing (مناقشة).

تشمل بعض نماذج الحوسبة الرئيسية التي سنناقشها في هذا الفصل:

• آلات RAM: لا تقابل آلات تورينج البنى المعمارية المعيارية للحاسوب التي تحتوي على ذاكرة عشوائية الوصول (Random Access Memory, RAM). فالنموذج الرياضي لآلات RAM أقرب بكثير إلى الحاسوب الفعلي، لكننا سنرى أنه مكافئ في القوة لآلات تورينج. كما سنناقش أيضًا متغيّرًا من لغات البرمجة لآلات RAM، نسميه NAND-RAM. والتكافؤ بين آلات تورينج وآلات RAM يتيح لنا إثبات تكافؤ تورينج للعديد من لغات البرمجة الشائعة، بما فيها جميع اللغات العامة المستخدمة عمليًا مثل C وPython وJavaScript وغيرها.

• الآليات الخلوية (cellular automata): يمكن نمذجة كثير من الأنظمة الطبيعية والاصطناعية كمجموعات من مكوّنات بسيطة، كل منها يتطور وفق قواعد بسيطة تستند إلى حالته وحالة جيرانه (neighbors) المباشرين. ومن الأمثلة الشهيرة على ذلك لعبة حياة كونواي (Conway's Game of Life). ولإثبات أن الآليات الخلوية مكافئة لآلات تورينج، نقدّم أداة التكوينات (configurations) الخاصة بآلات تورينج. ولكل هذه الأدوات تطبيقات أخرى، وعلى الأخص تُستخدم في هل كل مبرهنة قابلة للإثبات؟ لإثبات نظرية عدم اكتمال غودل: نتيجة مركزية في الرياضيات.

• حساب لامدا (lambda calculus): حساب لامدا هو نموذج للتعبير عن الحساب يعود أصله إلى ثلاثينيات القرن الماضي، وإن كان مرتبطًا عن قرب بلغات البرمجة الوظيفية المستخدمة على نطاق واسع اليوم. وإظهار تكافؤ حساب لامدا مع آلات تورينج يتطلب تقنية جميلة للتخلص من التهاكر تُعرف بـ"المُجمِّع Y" (Y Combinator).

آلات RAM وNAND-RAM

أحد قيود آلات تورينج (وبرامج NAND-TM) أننا لا نستطيع الوصول إلا إلى موقع واحد من مصفوفاتنا/شريطنا في كل مرة. إذا كانت الرأس عند الموضع $22$ في الشريط وأردنا الوصول إلى الموضع $957$، فإن ذلك سيستغرق منّا 923 خطوة على الأقل. في المقابل، تمتلك كل لغة برمجة تقريبًا صيغة رسمية (formalism) للوصول المباشر إلى مواقع الذاكرة. كما توفّر الحواسيب الفيزيائية الفعلية ما يُعرف بـ_الذاكرة العشوائية الوصول (RAM)_، ويمكن التفكير فيها على أنها مصفوفة كبيرة اسمها Memory، بحيث إن أعطينا فهرسًا $p$ (أي عنوان ذاكرة، أو مؤشرًا pointer) استطعنا القراءة من الموضع $p^{th}$ في Memory والكتابة إليه. ("الذاكرة العشوائية الوصول" تسمية مضللة إلى حد بعيد إذ لا علاقة لها بالاحتمال، لكن بما أنها مصطلح معتمد في نظريّة الحوسبة وممارستها معًا، سنستخدمها نحن أيضًا.)

نموذج الحوسبة الذي يجسّد الوصول إلى ذاكرة من هذا النوع هو آلة RAM (ويُعرف أحيانًا أيضًا بـ_نموذج Word RAM_)، كما هو موضح في الشكل التوضيحي. ذاكرة آلة RAM هي مصفوفة ذات حجم غير محدود، يمكن لكل خلية فيها أن تخزّن كلمةً واحدة، نعتبرها سلسلة في $\{0,1\}^w$، وكذلك (بشكل مكافئ) عددًا في $[2^w]$. على سبيل المثال، تستخدم كثير من البنى الحاسوبية الحديثة كلمات بطول $64$ بت، حيث يحمل كل موقع ذاكرة سلسلة في $\{0,1\}^{64}$، ويمكن أيضًا التفكير فيها على أنها عدد بين $0$ و$2^{64}-1= 18,446,744,073,709,551,615$. تُعرف المعامل $w$ بـ_حجم الكلمة_ (word size). في الممارسة غالبًا ما يكون $w$ عددًا ثابتًا مثل $64$، لكن عند تقديم النظرية نعتبر $w$ معاملًا قد يعتمد على طول المدخل أو على عدد الخطوات. (يمكنك التفكير في $2^w$ على أنها تقابل تقريبًا أكبر عنوان ذاكرة نستخدمه أثناء الحساب.) بالإضافة إلى مصفوفة الذاكرة، تحتوي آلة RAM أيضًا على عدد ثابت من السجلات (registers) $r_0,\ldots,r_{k-1}$، يمكن لكل منها أن يحتوي كلمة واحدة أيضًا.

تشمل العمليات التي تستطيع آلة RAM تنفيذها:

• نقل البيانات: تحميل بيانات من خلية معينة في الذاكرة إلى سجل، أو تخزين محتوى سجل في خلية معينة من الذاكرة. تستطيع آلة RAM الوصول إلى أي خلية في الذاكرة مباشرةً دون الحاجة إلى تحريك "الرأس" (كما تفعل آلات تورينج) إلى ذلك الموضع. أي أنه في خطوة واحدة تستطيع آلة RAM أن تحمّل في السجل $r_i$ محتوى خلية الذاكرة التي يفهرسها السجل $r_j$، أو أن تخزّن في خلية الذاكرة التي يفهرسها السجل $r_j$ محتوى السجل $r_i$.

• الحساب: تستطيع آلات RAM إجراء عمليات على السجلات مثل العمليات الحسابية، والعمليات المنطقية، والمقارنات.

• مسار التنفيذ: كما في حالة آلات تورينج، يمكن أن يعتمد اختيار أمر التعليمات التالي على حالة آلة RAM، وهي محدَّدة بمحتوى سجلها.

لن نقدّم تعريفًا رسميًا لآلات RAM، وإن كان قسم ملاحظات المراجع (ملاحظات مرجعية) يحتوي على مصادر لمثل هذه التعريفات. تمامًا كما تُجسّد لغة البرمجة NAND-TM آلات تورينج، يمكننا أيضًا تعريف لغة برمجة NAND-RAM تُجسّد آلات RAM. توسّع لغة برمجة NAND-RAM لغة NAND-TM بإضافة الميزات التالية:

• يُسمح لمتغيرات NAND-RAM بأن تكون ذات قيم صحيحة (غير سالبة) بدلًا من أن تكون بوليانية فقط كما في NAND-TM. أي أن المتغير العددي foo يحمل عددًا صحيحًا غير سالب في $\N$ (بدلًا من بت واحد في $\{0,1\}$)، والمتغير المصفوفي Bar يحمل مصفوفة من الأعداد الصحيحة. وكما في حالة آلات RAM، لن نسمح بأعداد صحيحة ذات حجم غير محدود. بشكل ملموس، يحمل كل متغير عددًا بين $0$ و$T-1$، حيث $T$ هو عدد الخطوات التي نفّذها البرنامج حتى الآن. (يمكنك تجاهل هذا القيد الآن: إن أردنا حمل أعداد أكبر، يمكننا ببساطة تنفيذ تعليمات وهمية؛ وسيكون ذلك مفيدًا في الفصول اللاحقة.)

• نسمح بـ_الوصول المفهرس_ (indexed access) إلى المصفوفات. إذا كان foo متغيرًا عدديًا وBar مصفوفة، فإن Bar[foo] تشير إلى الموضع في Bar الذي تفهرسه قيمة foo. (لاحظ أن هذا يعني أننا لم نعد بحاجة إلى متغير فهرس خاص i.)

• كما هو شائع في لغات البرمجة، سنفترض أنه في العمليات البوليانية مثل NAND، يُعتبر العدد الصحيح ذو القيمة صفرًا خطأً (false)، ويُعتبر العدد الصحيح غير الصفري صوابًا (true).

• بالإضافة إلى NAND، تشمل NAND-RAM أيضًا جميع العمليات الحسابية الأساسية: الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة (على الأعداد الصحيحة)، وكذلك المقارنات (التساوي، والأكبر، والأصغر، إلخ).

• تتضمن NAND-RAM عبارات شرطية if/then كجزء من اللغة.

• تحتوي NAND-RAM على بنيات تكرارية مثل while وdo كجزء من اللغة.

الوصف الكامل للغة برمجة NAND-RAM موجود في الملحق. لكن أهم ما تحتاج معرفته عن NAND-RAM هو أنك في الحقيقة لا تحتاج إلى معرفة الكثير عنها إطلاقًا، لأنها مكافئة في القوة لآلات تورينج:

لأن برامج NAND-TM مكافئة لآلات تورينج، وبرامج NAND-RAM مكافئة لآلات RAM، فإن مبرهنة — آلات تورينج (أي برامج NAND-TM) وآلات RAM (أي برامج NAND-RAM) متكافئة تُظهر أن هذه النماذج الأربعة كلها متكافئة فيما بينها.

النهج أعلاه ليس الطريقة الوحيدة لإثبات مبرهنة — آلات تورينج (أي برامج NAND-TM) وآلات RAM (أي برامج NAND-RAM) متكافئة، انظر على سبيل المثال تمرين — برهان بديل لتكافؤ TM/RAM

التفاصيل القبيحة (اختياري)

لن نعرض البرهان الرسمي الكامل لـ مبرهنة — آلات تورينج (أي برامج NAND-TM) وآلات RAM (أي برامج NAND-RAM) متكافئة، بل نركّز على أهم الأجزاء: تنفيذ الوصول المفهرس، ومحاكاة المصفوفات ثنائية البعد بالمصفوفات أحادية البعد. حتى هذين الجزءين مملة في وصفها، ولن يكون ذلك مفاجئًا لأي شخص كتب مترجمًا (compiler) من قبل. لذا يمكنك أن تتصفح هذا القسم قراءة سريعة دون عناء. النقطة المهمة ليست أن تحفظ كل التفاصيل عن ظهر قلب، بل أن تُقنع بأن من الممكن في المبدأ تحويل برنامج NAND-RAM إلى برنامج NAND-TM مكافئ، وأن تُقنع حتى بأنك أنت تستطيع فعل ذلك، لو أردت، مع وقت كافٍ وجهد كافٍ.

الوصول المفهرس في NAND-TM

في NAND-TM لا يمكننا الوصول إلى مصفوفاتنا إلا في موضع متغير الفهرس i، بينما لدى NAND-RAM متغيرات ذات قيم صحيحة يمكن استخدامها لـ_الوصول المفهرس_ إلى المصفوفات، من صيغة Foo[bar]. لتنفيذ الوصول المفهرس في NAND-TM، سنُرمِّز الأعداد الصحيحة في مصفوفاتنا باستخدام تمثيل ما (خالٍ من البادئة) (انظر الترميزُ الخالي من البادئات))، ثم نضع إجراءً Setindex(Bar) يضبط i على القيمة التي يرمّزها Bar. يمكننا محاكاة أثر Foo[Bar] باستخدام Setindex(Bar) يتبعه Foo[i].

يمكن تنفيذ Setindex(Bar) على النحو التالي:

1. نهيّئ مصفوفة Atzero بحيث يكون Atzero[$0$]$=1$ وAtzero[$j$]$=0$ لكل $j>0$. (يمكن dilakukan ذلك بسهولة في NAND-TM لأن كل المتغيرات غير المهيّأة تُعتبر صفرًا افتراضيًا.)

2. نضبط i على صفر، بأن نقصنه حتى نصل إلى النقطة التي يكون فيها Atzero[i]$=1$.

3. نجعل Temp مصفوفة ترمِّز للعدد $0$.

4. نستخدم GOTO لمحاكاة حلقة داخلية من الشكل: بينما Temp $\neq$ Bar، نزيد Temp.

5. في نهاية الحلقة، تكون i مساوية للقيمة التي يرمّزها Bar.

في شيفرة NAND-TM (باستخدام بعض السكر النحوي)، يمكننا تنفيذ العمليات أعلاه على النحو التالي:

# assume Atzero is an array such that Atzero[0]=1
# and Atzero[j]=0 for all j>0

# set i to 0.
LABEL("zero_idx")
dir0 = zero
dir1 = one
# corresponds to i <- i-1
GOTO("zero_idx",NOT(Atzero[i]))
...
# zero out temp
#(code below assumes a specific prefix-free encoding in which 10 is the "end marker")
Temp[0] = 1
Temp[1] = 0
# set i to Bar, assume we know how to increment, compare
LABEL("increment_temp")
cond = EQUAL(Temp,Bar)
dir0 = one
dir1 = one
# corresponds to i <- i+1
INC(Temp)
GOTO("increment_temp",cond)
# if we reach this point, i is number encoded by Bar
...
# final instruction of program
MODANDJUMP(dir0,dir1)

المصفوفات ثنائية البعد في NAND-TM

لتنفيذ المصفوفات ثنائية البعد، نريد أن نضمّها (نُدرجها) في مصفوفة أحادية البعد. الفكرة أن نأتي بدالة واحد إلى واحد (one to one) $embed:\N \times \N \rightarrow \N$، وبذلك نضمّ الموضع $(i,j)$ من المصفوفة ثنائية البعد Two في الموضع $embed(i,j)$ من المصفوفة One.

نظرًا إلى أن المجموعة $\N \times \N$ تبدو "أكبر بكثير" من المجموعة $\N$، قد لا يكون من البديهي في البداية أن مثل هذا الوقوف الواحد إلى الواحد موجود. لكن بمجرد التفكير في الأمر أكثر، لا يكون بناؤه صعبًا إلى هذا الحد. على سبيل المثال، يمكنك أن تطلب من طفل أن يستخدم المقصّ واللصق ليحوّل قطعة ورق بمقاس 10" في 10" إلى شريط بمقاس 1" في 100". وهذا في جوهره وقوف واحد إلى واحد من $[10]\times [10]$ إلى $[100]$. ويمكننا تعميم ذلك للحصول على وقوف واحد إلى واحد من $[n]\times [n]$ إلى $[n^2]$، وعمومًا من $\N \times \N$ إلى $\N$. وبالتحديد، الوقوف $embed$ التالي يكفي (انظر الشكل التوضيحي):

تمرين — الأزواج يطلب إليك أن تُثبت أن $embed$ يق فعلًا واحدًا إلى واحد، وكذلك أن حسابه ممكن ببرنامج NAND-TM. (ويمكن للأخير أن يتم ببساطة باتباع خوارزميات المدرسة الابتدائية في الضرب والجمع والقسمة.) وهذا يعني أننا نستطيع استبدال شيفرة من الشكل Two[Foo][Bar] = something (أي الوصول إلى المصفوفة ثنائية البعد Two عند الأعداد الصحيحة التي ترمّزها المصفوفتان أحاديتا البعد Foo وBar) بشيفرة من الشكل:

Blah = embed(Foo,Bar)
Setindex(Blah)
Two[i] = something

كل ما تبقّى

بعد أن تتوفر لدينا المصفوفات ثنائية البعد والوصول المفهرس، لا توجد محاكاة NAND-RAM بواسطة NAND-TM إلا مجرد مسألة تنفيذ الخوارزميات القياسية للعمليات الحسابية والمقارنات في NAND-TM. وإن كان هذا مرهقًا، فهو ليس صعبًا، والنتيجة النهائية هي إظهار أن كل برنامج NAND-RAM $P$ يمكن محاكاته ببرنامج NAND-TM $Q$ مكافئ له، وبذلك يكتمل برهان مبرهنة — آلات تورينج (أي برامج NAND-TM) وآلات RAM (أي برامج NAND-RAM) متكافئة.

Stack[stackpointer]=foo
stackpointer += one

bar = Stack[stackpointer]
stackpointer -= one

تكافؤ تورينج (مناقشة)

أي من لغات البرمجة المعيارية مثل C وJava وPython وPascal وFortran لديها عمليات مشابهة جدًا لتلك في NAND-RAM. (وفي الحقيقة، في النهاية يمكن تنفيذها جميعًا بآلات تملك عددًا ثابتًا من السجلات ومصفوفة ذاكرة كبيرة.) لذلك، باستخدام مبرهنة — آلات تورينج (أي برامج NAND-TM) وآلات RAM (أي برامج NAND-RAM) متكافئة، يمكننا محاكاة أي برنامج في أي من لغات البرمجة هذه ببرنامج NAND-TM. وفي الاتجاه المقابل، فإن كتابة مُفسِّر (interpreter) لـ NAND-TM بأي من لغات البرمجة أعلاه هي تمرين برمجي سهل إلى حد كبير. لذلك يمكننا أيضًا محاكاة برامج NAND-TM (وبالتالي آلات تورينج بحسب مبرهنة — آلات تورينج وبرامج NAND-TM متكافئة) باستخدام لغات البرمجة هذه. تُسمى هذه الخاصية، أي التكافؤ في القوة مع آلات تورينج / NAND-TM، بـ_التكافؤ مع تورينج_ (Turing Equivalent) (وتُسمى أحيانًا الاكتمال بحسب تورينج). وعليه، فجميع لغات البرمجة التي نعرفها متكافئة مع تورينج.^[1]

نموذج "أفضل الحلين"

التكافؤ بين آلات تورينج وآلات RAM يتيح لنا اختيار أنسب لغة للمهمة قيد اليد:

• عندما نريد إثبات مبرهنة عن جميع البرامج/الخوارزميات، يمكننا استخدام آلات تورينج (أو NAND-TM) لأنها أبسط وأسهل في التحليل. وبشكل خاص، إذا أردنا إظهار أن دالة معينة لا يمكن حسابها، فإننا سنستخدم آلات تورينج.

• عندما نريد إظهار أن دالة يمكن حسابها، يمكننا استخدام آلات RAM أو NAND-RAM، لأن البرمجة فيها أسهل، ولأنها تقابل عن قرب لغات البرمجة عالية المستوى التي اعتدنا عليها. وفي الواقع، كثيرًا ما سنصف برامج NAND-RAM بصيغة غير رسمية، واثقين من أن القارئ يستطيع ملء التفاصيل وترجمة الوصف عالي المستوى إلى البرنامج الدقيق. (وهذا مثل تمامًا الطريقة التي يستخدم بها الناس عادةً أوصافًا غير رسمية أو "شيفرة زائفة" (pseudocode) للخوارزميات، واثقين من أن جمهورهم سيعرف ترجمة هذه الأوصاف إلى شيفرة عند الحاجة.)

استخدامنا لآلات تورينج / NAND-TM وآلات RAM / NAND-RAM مشابه جدًا للطريقة التي يستخدم بها الناس في الممارسة لغات البرمجة عالية ومنخفضة المستوى. عندما يريد أحدهم إنتاج جهاز ينفّذ البرامج، يكون من الأنسب فعل ذلك بلغة برمجة بسيطة جدًا و"منخفضة المستوى". وعندما يريد أحدهم وصف خوارزمية، يكون من الأنسب استخدام أعلى صيغة رسمية ممكنة.

لنتحدث عن التجريدات

"إن المبرمج في موقف فريد ... إذ عليه أن يكون قادرًا على التفكير وفق تسلسلات هرمية مفاهيمية أعمق بكثير مما واجهه أي عقل منفرد في أي وقت مضى."، إدسغر دايكسترا، "في قسوة تدريس علوم الحاسوب حقًا"، 1988.

في وقت ما من أي مقرر في نظريّة الحوسبة، يحتاج كلٌّ من المدرّس والطلاب إلى إجراء هذا الحديث. أي أننا نحتاج إلى مناقشة مستوى التجريد (level of abstraction) في وصف الخوارزميات. في مقرّرات الخوارزميات، يُكتب عادةً وصف الخوارزميات بالإنجليزية، مع الافتراض بأن القارئ يستطيع "ملء التفاصيل" وأنه قادر على تحويل تلك الخوارزمية إلى تنفيذ ملموس عند الحاجة. على سبيل المثال، خوارزمية — Breadth First Search هو وصف عالي المستوى لخوارزمية البحث بالعرض أولًا (breadth first search).

Input: Graph $G$, vertices $u,v$
Output: "connected" when $u$ is connected to $v$ in $G$, "disconnected"


Initialize empty queue $Q$.
Put $u$ in $Q$
While{$Q$ is not empty}
   Remove top vertex $w$ from $Q$
   If{$w=v$} return "connected" endif
   Mark $w$
   Add all unmarked neighbors of $w$ to $Q$.
Endwhile
Return "disconnected"

لو أردنا إعطاء تفاصيل أكثر عن كيفية تنفيذ البحث بالعرض أولًا في لغة برمجة مثل Python أو C (أو NAND-RAM / NAND-TM على سبيل المثال)، لَوَصَفنا كيف ننفّذ بنية بيانات الطابور باستخدام مصفوفة، وكذلك كيف نستخدم المصفوفات لوضع علامات على الرؤوس. ونسمّي هذا الوصف "ذو المستوى الوسيط" وصفًا على مستوى التنفيذ (implementation level) أو وصفًا بالشيفرة الزائفة (pseudocode). وأخيرًا، إذا أردنا وصف التنفيذ بدقّة، لقَدّمنا الشيفرة الكاملة للبرنامج (أو تمثيلًا دقيقًا آخر تمامًا، مثلًا على شكل قائمة من الثنائيات (tuples)). ونسمّي هذا وصفًا رسميًا أو منخفض المستوى.

رغم أننا بدأنا بوصف برامج NAND-CIRC وNAND-TM وNAND-RAM على المستوى الرسمي الكامل، فإننا مع تقدّمنا في هذا الكتاب سننتقل إلى التنفيذ والوصف عالي المستوى. فهدفنا في النهاية ليس استخدام هذه النماذج في حساب فعلي، بل تحليل ظاهرة الحساب بصفة عامة. ومع ذلك، إن كنت لا تفهم كيف يُترجَم الوصف عالي المستوى إلى تنفيذ فعلي، فإن النزول "إلى المعدن" ("down to the metal") هو غالبًا تمرين ممتاز. ومن أهم المهارات التي يحتاجها عالم الحاسوب القدرة على الصعود والهبوط في التسلسلات الهرمية للتجريدات.

ينطبق تمييز مشابه على مفهوم التمثيل (representation) للأشياء بوصفها سلاسل. أحيانًا، من أجل الدقّة، نقدّم مواصفة منخفضة المستوى تصف بالضبط كيف يُرمَّز كائن ما في سلسلة ثنائية. على سبيل المثال، يمكننا وصف ترميز لرسوم بيانية ذات $n$ رأسًا كسلاسل ثنائية طولها $n^2$، بالقول إننا نرمّز رسمًا بيانيًا $G$ على الرؤوس $[n]$ إلى سلسلة $x\in \{0,1\}^{n^2}$ بحيث يكون الإحداثي رقم $n\cdot i + j$ في $x$ يساوي $1$ إذا وفقط إذا كان الضلع $\overrightarrow{i \; j}$ موجودًا في $G$. ويمكننا أيضًا استخدام وصف وسيط أو على مستوى التنفيذ، بأن نقول ببساطة إننا نمثّل رسمًا بيانيًا باستخدام تمثيل مصفوفة التجاور (adjacency matrix).

وأخيرًا، بما أن الترجمة بين مختلف تمثيلات الرسوم البيانية (والأشياء عمومًا) يمكن إجراؤها عبر برنامج NAND-RAM (وبالتالي برنامج NAND-TM)، فإننا عند الحديث على مستوى عالٍ نكبّ أيضًا مناقشة التمثيل كليًا. على سبيل المثال، إن كانت حقيقة أن "ترابط" الرسم البياني دالة قابلة للحساب، فذلك صحيح بغضّ النظر عن كوننا نمثّل الرسوم البيانية كقوائم تجاور، أو مصفوفات تجاور، أو قوائم من أزواج الأضلاع، وهكذا وهكذا. ولذلك، في الحالات التي لا يُحدث فيها التمثيل الدقيق فرقًا، كثيرًا ما نتحدث عن خوارزمياتنا وكأنها تأخذ كمدخل كائنًا $X$ (قد يكون رسمًا بيانيًا أو متجهًا أو برنامجًا إلخ) دون تحديد كيفية ترميز $X$ كسلسلة.

تعريف "الخوارزميات". حتى الآن استخدمنا مصطلح "الخوارزمية" بشكل غير رسمي. غير أن آلات تورينج ومجموعة النماذج المكافئة لها تتيح لنا طريقة لتعريف الخوارزميات بدقّة وبشكل رسمي. ولذلك، كلما أشرنا في هذا الكتاب إلى خوارزمية، فإننا نعني أنها حالة من إحدى النماذج المكافئة مع تورينج، مثل آلات تورينج، وNAND-TM، وآلات RAM، إلخ. وبسبب تكافؤ جميع هذه النماذج، فلن يهم في كثير من السياقات أيًّا منها نستخدم.

اكتمال تورينج والتكافؤ، تعريف رسمي (اختياري)

النموذج الحوسبي (computational model) هو أي طريقة نعرّف بها معنى أن برنامج (يمثَّل بسلسلة) يحسب دالة (جزئية). إن النموذج الحوسبي $\mathcal{M}$ هو كامل بحسب تورينج إذا استطاعنا أن نُسقط كل آلة تورينج (أو بما يكافئها برنامج NAND-TM) $N$ في برنامج $P$ لـ $\mathcal{M}$ يحسب الدالة نفسها التي تحسبها $N$. وهو متكافئ مع تورينج إذا كان الاتجاه الآخر قائمًا أيضًا (أي أننا نستطيع إسقاط كل برنامج في $\mathcal{M}$ في آلة تورينج تحسب الدالة نفسها). ويمكننا تعريف هذا المفهوم رسميًا على النحو التالي. (هذا التعريف الرسمي ليس جوهريًا لبقية هذا الكتاب، فلا تتردد في تخطيه ما دمت تفهم المفهوم العام للتكافؤ مع تورينج؛ ويُشار إلى هذا المفهوم أحيانًا في الأدبيات بـترقيم غودل (Gödel numbering) أو الترقيم المقبول (admissible numbering).)

من أمثلة النماذج المتكافئة مع تورينج (بعضها رأيناه بالفعل، وبعضها سنناقشه أدناه):

• آلات تورينج
• برامج NAND-TM
• برامج NAND-RAM
• حساب لامدا
• لعبة الحياة (إسقاط البرامج والمدخلات والمخرجات على تكوينات البداية والنهاية)
• لغات برمجة مثل Python/C/Javascript/OCaml... (مع السماح بتخزين غير محدود)

الآليات الخلوية

يمكن وصف كثير من الأنظمة الفيزيائية على أنها تتألف من عدد كبير من المكوّنات الأولية التي تتفاعل فيما بينها. إحدى طرق نمذجة مثل هذه الأنظمة هي استخدام الآليات الخلوية (cellular automata). وهذا نظام يتألف من عدد كبير (أو حتى لا نهائي) من الخلايا. لكل خلية عدد ثابت فقط من الحالات الممكنة. وفي كل خطوة زمنية، تحدّث الخلية حالتها إلى حالة جديدة بتطبيق قاعدة بسيطة على حالتها وعلى حالة جيرانها.

مثال نموذجي على آلية خلوية هو لعبة حياة كونواي (Conway's Game of Life). في هذه الآلية تُرتَّب الخلايا في شبكة ثنائية البعد لا نهائية. لكل خلية حالتان فقط: "ميتة" (يمكن ترميزها بـ $0$ والتعرّف عليها مع $\varnothing$) أو "حيّة" (يمكن ترميزها بـ $1$). تعتمد الحالة التالية للخلية على حالتها السابقة وعلى حالات جيرانها الثمانية الرأسية والأفقية والقطرية (انظر الشكل التوضيحي). تصبح الخلية الميتة حيّة فقط إذا كان ثلاثة من جيرانها بالضبط أحياء. وتبقى الخلية الحيّة على قيد الحياة إذا كان لديها جيران أحياء عددهما اثنان أو ثلاثة. على الرغم من أن عدد الخلايا قد يكون لا نهائيًا، يمكننا ترميز الحالة باستخدام سلسلة ذات طول متناهٍ عبر متابعة الخلايا الحيّة وحدها. فإذا هيّأنا النظام في تكوين يحوي عددًا متناهى من الخلايا الحيّة، فإن عدد الخلايا الحيّة سيبقى متناهى في جميع الخطوات اللاحقة. وتحتوي صفحة ويكيبيديا الخاصة بلعبة الحياة على بعض الأشكال والرسوم المتحركة الجميلة لتكوينات تنتج تطورات شديدة الإثارة.

نظرًا لأن خلايا لعبة الحياة مرتَّبة في شبكة ثنائية البعد لا نهائية، فإنها مثال على آلية خلوية ثنائية البعد. ويمكننا أيضًا أن ندرس الحالة الأبسط هي حالة من آلية خلوية أحادية البعد، حيث تُرتَّب الخلايا في خط لا نهائي، انظر الشكل التوضيحي. ويبيّن أن هذا النموذج البسيط جدًا كافٍ أيضًا لتحقيق الاكتمال بحسب تورينج. وسنعرّف الآن رسميًا الآليات الخلوية أحادية البعد ثم نبيّن اكتمالها بحسب تورينج.

التكوين المتناهي. نقول إن تكوينًا للآلة $r$ هو متناهٍ إذا كان هناك عدد متناهٍ فقط من الفهارس $i_0,\ldots,i_{j-1}$ في $\Z$ بحيث $A(i_j) \neq \varnothing$. (أي أنه لكل $i \not\in \{ i_0, \ldots, i_{j-1}\}$، يكون $A(i)=\varnothing$.) يمكن تمثيل مثل هذا التكوين بسلسلة متناهية تُرمِّز الفهارس $i_0,\ldots,i_{n-1}$ والقيم $A(i_0),\ldots,A(i_{n-1})$. ولأن $R(\varnothing,\varnothing,\varnothing)=\varnothing$، فإن كان $A$ تكوينًا متناهيًا فإن $NEXT_r(A)$ يكون متناهيًا أيضًا. ولن يهمّنا إلا دراسة الآليات الخلوية التي تُهيَّأ في تكوينات متناهية، وتبقى كذلك في تكوين متناهٍ طوال تطورها. ولن يهمّنا إلا دراسة الآليات الخلوية التي تُهيَّأ في تكوينات متناهية، ومن ثمّ تبقى في تكوين متناهٍ طوال تطورها.

الآليات الخلوية أحادية البعد كاملة بحسب تورينج

يمكننا كتابة برنامج (مثلًا باستخدام NAND-RAM) يحاكي تطوّر أي آلية خلوية انطلاقًا من تكوين متناهٍ أولي، بمجرد تخزين قيم الخلايا التي حالتها لا تساوي $\varnothing$ وتطبيق القاعدة $r$ تكرارًا. وعليه يمكن محاكاة الآليات الخلوية بآلات تورينج. والأمر الأكثر مدهشة هو أن الاتجاه الآخر قائم أيضًا. فعلى سبيل المثال، مهما بدت قواعد لعبة الحياة بسيطة، يمكننا محاكاة آلة تورينج باستخدامها (انظر الشكل التوضيحي).

في الواقع، حتى الآليات الخلوية أحادية البعد يمكن أن تكون كاملة بحسب تورينج:

لجعل مفهوم "محاكاة آلة تورينج" أكثر دقّة، سنحتاج إلى تعريف تكوينات آلات تورينج. وسنقوم بذلك في تكوينات آلات تورينج ودالة الخطوة التالية أدناه، لكن على مستوى عالٍ، التكوين لآلة تورينج هو سلسلة تُرمِّز حالتها الكاملة عند خطوة معيّنة من حسابها. أي محتويات جميع خلايا (شريطها) غير الفارغة، وحالتها الحالية، وكذلك موضع الرأس.

الفكرة المفتاحية في برهان مبرهنة — الآليات أحادية البعد كاملة بحسب تورينج هي أن الموضع الوحيد في شريط آلة تورينج $M$ الذي يمكن أن يتغيّر عند كل نقطة في الحساب هو الموضع الذي توجد فيه الرأس، والقيمة التي تتغيّر إليها هذه الخلية هي دالة لحالتها الحالية والحالة المتناهية لآلة $M$. تتيح لنا هذه الملاحظة ترميز تكوين آلة تورينج $M$ على هيئة تكوين متناهٍ لآلية خلوية $r$، وضمان أن تطوّر هذا التكوين المرمَّز خطوة واحدة تحت قواعد $r$ يقابل خطوة واحدة في تنفيذ آلة تورينج $M$.

تكوينات آلات تورينج ودالة الخطوة التالية

لتحويل الأفكار أعلاه إلى برهان صارم (بل حتى إلى صياغة صارمة!) لـ مبرهنة — الآليات أحادية البعد كاملة بحسب تورينج، سنحتاج إلى تعريف دقيق لمفهوم تكوينات آلات تورينج. وسيفيدنا هذا المفهوم أيضًا في الفصول اللاحقة.

تعريف — تكوين آلة تورينج. مُعقَّد بعض الشيء، لكن في النهاية التكوين هو مجرد سلسلة تُرمِّز لقطة (snapshot) لآلة تورينج عند نقطة معيّنة في التنفيذ. (بلغة أنظمة التشغيل، هذه "نسخة ذاكرة أساسية" (core dump).) يحتاج مثل هذه اللقطة أن تُرمِّز المكوّنات التالية:

1. موضع الرأس الحالي.

2. المحتويات الكاملة للذاكرة واسعة النطاق، أي الشريط.

3. محتويات "السجلات المحلية"، أي حالة الآلة.

التفاصيل الدقيقة لكيفية ترميز التكوين ليست مهمة، لكننا نودّ أن نُسجّل الحقيقة البسيطة التالية:

(لتبسيط الرمز، استخدمنا أعلاه الاصطلاح الذي إذا كان $i$ "خارج الحدود"، مثل $i<0$ أو $i>|\alpha|$، فإننا نفترض أن $\alpha_i = (\varnothing,\cdot)$.) نترك إثبات لمّة كتمرين في تمرين — دالة الخطوة التالية محلية. الفكرة وراء البرهان بسيطة: إذا لم تكن الرأس عند الموضع $i$ ولا عند المواضع $i-1$ و$i+1$، فإن تكوين الخطوة التالية عند $i$ سيكون كما كان سابقًا. وإلا، يمكننا "قراءة" حالة آلة تورينج وقيمة الشريط عند موضع الرأس من التكوين عند $i$ أو عند أحد جيرانه، واستخدام ذلك لتحديث ما يجب أن تكون عليه الحالة الجديدة عند $i$. إكمال البرهان الكامل ليس صعبًا، لكن فعله طريقة ممتازة للتأكد من أنك مرتاح لتعريف التكوينات.

إكمال برهان مبرهنة — الآليات أحادية البعد كاملة بحسب تورينج. يمكننا الآن إعادة صياغة مبرهنة — الآليات أحادية البعد كاملة بحسب تورينج بصورة أكثر رسمية، وإكمال برهانه:

الآلية الناتجة عن برهان مبرهنة — الآليات أحادية البعد كاملة بحسب تورينج (الصياغة الرسمية) لها أبجدية كبيرة، وفوق ذلك حجمها يعتمد على الآلة $M$ التي يجري محاكاتها. ويبيّن أنه يمكن الحصول على آلية بأبجدية ذات حجم ثابت مستقل عن البرنامج الذي يُحاكى، بل يمكن أن تكون أبجدية الآلية هي المجموعة الدنيا $\{0,1\}$! انظر الشكل التوضيحي لمثال على مثل هذه الآلة الكاملة بحسب تورينج.

حساب لامدا ولغات البرمجة الوظيفية

حساب لامدا (λ calculus) طريقة أخرى لتعريف الدوال القابلة للحساب. وقد اقترحه أوندزو تشُرْش (Alonzo Church) في ثلاثينيات القرن الماضي في وقت قريب جدًا من اقتراح آلان تورينج لآلة تورينج. ومن المثير للاهتمام أنه بينما لا تُستخدم آلات تورينج في الحساب العملي، إلا أن حساب لامدا ألهم لغات برمجة وظيفية مثل LISP وML وHaskell، وبدوره ألهم وغيرها من لغات البرمجة. وسنعرض في هذا القسم حساب لامدا ونبيّن أن قوته مكافئة لبرامج NAND-TM (وبالتالي أيضًا لآلات تورينج). ويحتوي مستودع Github لدينا على دفتر Jupyter فيه تنفيذ بلغة Python لحساب لامدا، يمكنك التجريب فيه لتكتسب إحساسًا أفضل بهذا الموضوع.

عامل $\lambda$. جوهر حساب لامدا هو طريقة لتعريف دوال "مجهولة الاسم". فعلى سبيل المثال، بدلًا من إعطاء اسم $f$ لدالة وتعريفها بأن $$f(x) = x\times x$$ يمكننا كتابتها على أنها $$\lambda x. x\times x$$ وبالتالي $(\lambda x.x\times x)(7)=49$. أي أنك تستطيع التفكير في $\lambda x. exp(x)$، حيث $exp$ هو تعبير ما، على أنها طريقة لتحديد الدالة المجهولة $x \mapsto exp(x)$. وتظهر الدوال المجهولة، باستخدام $\lambda x.f(x)$ أو $x \mapsto f(x)$ أو رموز أخرىمرتبط، في كثير من لغات البرمجة. فعلى سبيل المثال، في Python يمكننا تعريف دالة التربيع باستخدام lambda x: x*x، بينما في JavaScript يمكننا استخدام x => x*x أو (x) => x*x. وفي Scheme سنعرّفها على أنها (lambda (x) (* x x)). ومن الواضح أن اسم مُعامل الدالة لا يهم، ومن ثمّ فإن $\lambda y.y\times y$ هو نفسه $\lambda x.x \times x$، إذ يقابلان كلاهما دالة التربيع.

حذف الأقواس. لتقليل فوضى الرمز، فإننا عند كتابة تعبيرات حساب لامدا نُسقط غالبًا أقواس تقييم الدوال. فعوضًا عن كتابة $f(x)$ لنتيجة تطبيق الدالة $f$ على المدخل $x$، يمكننا أيضًا كتابة ذلك ببساطة $f\; x$. ولذلك يمكننا كتابة $(\lambda x.x\times x) 7=49$. وسنستخدم في هذا الفصل كلَّيْ رمزي $f(x)$ و$f\; x$ لتطبيق الدوال. تطبيقات الدوال تجَمّعية وترتبط من اليسار إلى اليمين، ومن ثمّ فإن $f\;g\;h$ هو نفسه $(f g) h$.

تطبيق الدوال على الدوال

من أهم سمات حساب لامدا أن الدوال "كائنات من الدرجة الأولى"، بمعنى أننا نستطيع استخدام الدوال كوسائط لدوال أخرى. فعلى سبيل المثال، هل تستطيع تخمين العدد الذي يساويه التعبير التالي؟

لنقيّم المعادلة خطوة في كل مرة. ولئن كان السماح بالدوال المجهولة في حساب لامدا أمرًا لطيفًا، فإن إضافة الأسماء مفيدة جدًا لفهم التعبيرات المعقّدة. ولذلك، لنكتب $F = \lambda f.(\lambda y.(f (f y)))$ و $g = \lambda x.x\times x$.

وعليه يصبح المعادلة $$((F \; g)\; 3) \;.$$

على مدخل دالة $f$، تُخرج $F$ الدالة $\lambda y.(f (f\; y))$، أو بعبارة أخرى $F f$ هي الدالة $y \mapsto f(f(y))$. ودالتنا $g$ هي ببساطة $g(x)=x^2$، ومن ثمّ فإن $(F g)$ هي الدالة التي تُسقط $y$ على $(y^2)^2= y^4$. وعليه $((F g) 3) = 3^4 = 81$.

الحصول على دوال متعدّدة الوسائط عبر Curry

في تعبير $\lambda$ من الشكل $\lambda x. e$، يمكن أن يأتي التعبير $e$ نفسه فيه معامل $\lambda$. إذن مثلًا الدالة $$\lambda x. (\lambda y. x+y)$$ تُسقط $x$ على الدالة $y \mapsto x+y$.

وبشكل خاص، إذا استدعينا الدالة المعادلة على $a$ لنحصل على دالة $f$، ثم استدعينا $f$ على $b$، نحصل على القيمة $a+b$. ونرى أن الدالة أحادية الوسيط المعادلة المقابلة لـ $a \mapsto (b \mapsto a+b)$ يمكن أيضًا التفكير فيها على أنها الدالة ثنائية الوسيط $(a,b) \mapsto a+b$. وبشكل عام، يمكننا استخدام تعبير $\lambda$ ‏$\lambda x.(\lambda y.f(x,y))$ لمحاكاة أثر دالة ذات وسيطين $(x,y) \mapsto f(x,y)$. وتُعرف هذه التقنية بـCurrying (currying). وسنستخدم الاختصار $\lambda x,y. e$ من أجل $\lambda x. (\lambda y. e)$. إذا كان $f= \lambda x.(\lambda y.e)$ عندها $(f a) b$ يقابل تطبيق $f a$ ثم استدعاء الدالة الناتجة على $b$، مما ينتج عنه نتيجة استبدال مواضع $x$ في $e$ بـ $a$. وبقواعد التجميع التي لدينا، فإن هذا هو نفسه $(f a b)$، وهو ما سنكتبه أحيانًا أيضًا $f(a,b)$.

الوصف الرسمي لحساب لامدا

نقدّم الآن وصفًا رسميًا لحساب لامدا. نبدأ بـ"تعبيرات أساسية" تحتوي على متغير واحد مثل $x$ أو $y$، ونبني منها تعبيرات أعقد من الشكل $(e \; e')$ و$\lambda x.e$، حيث $e,e'$ تعبيران و$x$ مُعرِّف متغير. وتُعرَّف تعبيرات $\lambda$ رسميًا على النحو التالي:

تعريف — تعبير λ. هو تعريف تكراري (recursive definition) لأننا عرّفنا مفهوم تعبيرات $\lambda$ في مصطلح نفسه. قد يبدو هذا محيّرًا في البداية، لكن في الحقيقة لقد اطلعت على التعريفات التكرارية منذ كنت تلميذًا في المدرسة الابتدائية. فكّر في كيفية تعريفنا لتعبير حسابي (arithmetic expression): إنه تعبير إما مجرد رقم، أو يأخذ أحد الأشكال $(e + e')$ أو $(e - e')$ أو $(e \times e')$ أو $(e \div e')$، حيث $e$ و$e'$ تعبيرات حسابية أخرى.

المتغيرات الحرة والمربوطة. المتغيرات في تعبير $\lambda$ تكون إما حرة (free) أو مربوطة (bound) بمعامل $\lambda$ (بالمعنى الموضَّح في تحليل الصيغ: المتغيّرات المربوطة والحرّة). في تعبير $\lambda$ أحادي المتغير $var$، المتغير $var$ حر. ومجموعة المتغيرات الحرة والمربوطة في تعبير تطبيق $e = (e' \; e'')$ هي نفسها مجموعة المتغيرات في التعبيرين $e'$ و$e''$ الأساسيين. أما في تعبير تجريد $e = \lambda var.(e')$، فإن جميع المواضع الحرة لـ $var$ في $e'$ تكون مربوطة بمعامل $\lambda$ في $e$. إن وجدتَ مفهوم المتغيرات الحرة والمربوطة محيّرًا، فيمكنك تفادي كل هذه القضايا باستخدام مُعرِّفات فريدة لكل المتغيرات.

الأولوية والأقواس. سنستخدم القواعد التالية التي تتيح لنا إسقاط بعض الأقواس. ترتبط تطبيقات الدوال من اليسار إلى اليمين، ومن ثمّ فإن $fgh$ هو نفسه $(fg)h$. ولتطبيق الدوال أولوية أعلى من معامل $\lambda$، ومن ثمّ فإن $\lambda x.fgx$ هو نفسه $\lambda x.((fg)x)$. وهذا مشابه لاستخدامنا قواعد الأولوية في العمليات الحسابية لنتمكن من استخدام أقواس أقل، ومن ثمّ كتابة التعبير $(7 \times 3) + 2$ على صورة $7\times 3 + 2$. وكما ذُكر في الحصول على دوال متعدّدة الوسائط عبر Curry، فإننا نستخدم أيضًا الاختصار $\lambda x,y.e$ من أجل $\lambda x.(\lambda y.e)$، والاختصار $f(x,y)$ من أجل $(f\; x)\; y$. وهذا ينسجم جيدًا مع تحويل "Currying" الذي يحاكي الدوال متعددة المداخل بتعبيرات $\lambda$.

تكافؤ تعبيرات $\lambda$. كما رأينا في تمرين محلول، فإن القاعدة التي تقول إن $(\lambda x. exp) exp'$ مكافئة لـ $exp[x \rightarrow exp']$ تتيح لنا تعديل تعبيرات $\lambda$ للحصول على صيغة مكافئة أبسط لها. ومن القواعد الأخرى التي نستطيع استخدامها أن المعامل لا يهم، ومن ثمّ فإن $\lambda y.y$ هو نفسه $\lambda z.z$. ومعًا تعرّف هاتان القاعدتان مفهوم تكافؤ تعبيرات $\lambda$:

إذا كان $exp$ تعبير $\lambda$ من الشكل $\lambda x.exp'$، فإنه يقابل بشكل طبيعي الدالة التي تُسقط أي مدخل $z$ على $exp'[x \rightarrow z]$. وعليه فإن حساب لامدا يستلزم بشكل طبيعي نموذجًا حوسبيًا. وبما أن المداخل في حساب لامدا يمكن أن تكون بدورها دوالًا، فعلينا أن نقرّر بترتيب تقييم تعبير مثل $$(\lambda x.f)(\lambda y.g\; z) \;.$$ وهناك عُرفان طبيعيان لهذا:

• الاستدعاء بالاسم (أي "التقييم الكسول", lazy evaluation): نقيّم المعادلة بأن نُدخل أولًا التعبير $(\lambda y.g\; z)$ في الطرف الأيسر كمدخل، فنحصل على $f[x \rightarrow (\lambda y.g\; z)]$ ثم نكمل من هناك.

• الاستدعاء بالقيمة (أي "التقييم النشِط", eager evaluation): نقيّم المعادلة بأن نقيّم أولًا الطرف الأيمن فنحصل على $h=g[y \rightarrow z]$، ثم نُدخل هذا في الطرف الأيسر لنحصل على $f[x \rightarrow h]$.

ولأن حساب لامدا لا يحتوي إلا على دوال نقيّة (pure) لا تملك "آثارًا جانبية" (side effects)، فإن الترتيب لا يهم في كثير من الحالات. وفي الواقع، يمكن إظهار أن إن وصلنا إلى تعبير غير قابل للاختصار وحتم (مثلًا عدد) في كلا الاستراتيجيتين، فسيكون التعبير نفسه. غير أنه، ولأجل الوضوح، سنستخدم دائمًا ترتيب "الاستدعاء بالاسم" (أي التقييم الكسول). (الاختيار نفسه قائم في لغة البرمجة Haskell، وإن كانت كثير من لغات البرمجة الأخرى تستخدم التقييم النشِط.) (formally)، ويُرمَّز تقييم تعبير $\lambda$ باستخدام "الاستدعاء بالاسم" بالعملية التالية:

الحلقات اللانهائية في حساب لامدا

كما في آلات تورينج وبرامج NAND-TM، يمكن لعملية التبسيط في حساب لامدا أن تدخل أيضًا في حلقة لا نهائية. فعلى سبيل المثال، خذ التعبير $\lambda$ التالي

إذا حاولنا تبسيط المعادلة باستدعاء الدالة الموجودة على اليسار على الموجودة على اليمين، فإننا نحصل على نسخة أخرى من المعادلة، ومن ثمّ فإن هذا لا ينتهي أبدًا. وهناك أمثلة قد يهمّ فيها ترتيب التقييم ما إذا كان بإمكان تعبير ما أن يُختزل أم لا، انظر تمرين — مثال على ترتيب التقييم في حساب لامدا.

حساب لامدا "المُعزَّز"

سنناقش الآن حساب لامدا بوصفه نموذجًا حوسبيًا. سنبدأ بوصف نسخة "معزّزة" من حساب لامدا تحتوي على بعض "الميزات الزائدة" لكنها أسهل في الفهم. سنبيّن أولًا كيف يكون حساب لامدا المعزّز مكافئًا لآلات تورينج في القوة الحاسوبية. ثم سنبيّن كيف يمكن تنفيذ جميع ميزات "حساب لامدا المعزّز" بوصفها "سكرًا نحويًا" فوق حساب لامدا "النقي" (أي غير المعزّز). وعليه فإن حساب لامدا النقي مكافئ في القوة لآلات تورينج (وبالتالي أيضًا لآلات RAM وكل النماذج الأخرى المتكافئة مع تورينج).

يتضمن حساب لامدا المعزّز مجموعة الكائنات والعمليات التالية:

• الثوابت البوليانية ودالة IF: توجد تعبيرات $\lambda$ هي $0$ و$1$ و$IF$ تحقق الشروط التالية: لكل تعبيرَي $\lambda$ هما $e$ و$f$، لدينا $IF\; 1\;e\;f = e$ و$IF\;0\;e\;f = f$. أي أن $IF$ هي الدالة التي تعطى ثلاثة وسائط $a,e,f$ فتُخرج $e$ إذا كان $a=1$ و$f$ إذا كان $a=0$.

• الأزواج: يوجد تعبير $\lambda$ هو $PAIR$ سنفكّر فيه على أنه دالة الأزواج (pairing). لكل تعبيرَي $\lambda$ هما $e,f$، يكون $PAIR\; e\; f$ هو الزوج $\langle e,f \rangle$ الذي يحتوي $e$ كعضو أول و$f$ كعضو ثاني. ولدينا أيضًا تعبيرا $\lambda$ هما $HEAD$ و$TAIL$ يستخرجان على التوالي عضو الأول والثاني من الزوج. وعليه، لكل تعبيرَي $\lambda$ هما $e,f$، لدينا $HEAD\; (PAIR \; e\; f) = e$ و$TAIL \; (PAIR \; e\; f) = f$.^[2]

• القوائم والسلاسل النصية: يوجد تعبير $\lambda$ هو $NIL$ يقابل القائمة الفارغة، الذي نرمز له أيضًا بـ $\langle \bot \rangle$. باستخدام $PAIR$ و$NIL$ نبني القوائم. الفكرة أنه إذا كان $L$ قائمة من $k$ عناصر على الشكل $\langle e_1, e_2, \ldots, e_k, \bot \rangle$، إذًا لكل تعبير $\lambda$ هو $e_0$ يمكننا الحصول على قائمة من $k+1$ عناصر $\langle e_0,e_1, e_2, \ldots, e_k, \bot \rangle$ باستخدام التعبير $PAIR\; e_0 \; L$. على سبيل المثال، لكل ثلاثة تعبيرات $\lambda$ هي $e,f,g$، يقابل التالي قائمة من ثلاثة عناصر $\langle e,f,g,\bot \rangle$: $$PAIR \; e \; \left(PAIR\; f \; \left( PAIR\; g \; NIL \right) \right) \;.$$

تعيد الدالة $ISEMPTY$ القيمة $1$ على $NIL$ وتُعيد $0$ على كل قائمة أخرى. و_السلسلة النصية_ (string) هي ببساطة قائمة من البتات.

• عمليات القوائم: يحتوي حساب لامدا المعزّز أيضًا على دوال معالجة القوائم وهي $MAP$ و$REDUCE و$FILTER. إذا أعطينا قائمة $L= \langle x_0,\ldots,x_{n-1}, \bot \rangle$ ودالة $f$، فإن $MAP\; L \; f$ تطبّق $f$ على كل عنصر في القائمة فتحصل على القائمة الجديدة $L'= \langle f(x_0),\ldots,f(x_{n-1}), \bot \rangle$. وإذا أعطينا قائمة $L$ على النحو أعلاه وتعبيرًا $f$ يكون ناتجه إما $0$ أو $1$، فإن $FILTER\; L\; f$ تُعيد القائمة $\langle x_i \rangle_{f x_i = 1}$ التي تحتوي كل عناصر $L$ التي تُخرج $f$ لها $1$. وتطبّق الدالة $REDUCE عملية "دمج" على قائمة. فعلى سبيل المثال، ستُعيد$REDUCE; L ; + ; 0$مجموع كل عناصر القائمة$L. وبشكل أكثر عمومية، تأخذ $REDUCE قائمة$L$، وعملية$f$(نفكّر فيها على أنها تأخذ وسيطين)، وتعبير$\lambda$هو$z$(نفكّر فيه على أنه "العنصر المحايد" للعملية$f$، مثل $0$ للجمع و$1$ للضرب). ويُعرَّف الناتج بـ $$REDUCE\;L\;f\;z = \begin{cases}z & L=NIL \\ f\;(HEAD\; L) \; (REDUCE\;(TAIL\; L)\;f\;z) & \text{otherwise}\end{cases}\;.$$ انظر الشكل التوضيحي لتوضيح عمليات معالجة القوائم الثلاث.

• التهاكر: وأخيرًا، نريد أن نتمكّن من تنفيذ دوال تهاكرية. ولأن الدوال في حساب لامدا مجهولة الاسم، فلا يمكننا كتابة تعريف من الشكل $f(x) = blah$ حيث يحتوي $blah$ على استدعاءات إلى $f. بدلًا من ذلك نستخدم دوال $f تأخذ مدخلًا إضافيًا$me كوسيط. وسيأخذ المعامل $RECURSE مثل هذه الدالة$f كمدخل ويُعيد "نسخة تهاكرية" من $f حيث تُستبدل جميع الاستدعاءات إلى$me باستدعاءات تهاكرية إلى هذه الدالة. أي أنه إذا كانت لدينا دالة $F تأخذ وسيطين هما$me و$x، فإن$RECURSE; F ستكون الدالة $f التي تأخذ وسيطًا واحدًا$x$بحيث$f(x) = F(f,x)$لكل$x$.

حساب دالة في حساب لامدا المعزّز

يَنحصل على تعبير $\lambda$ معزّز (enhanced λ expression) بتركيب الكائنات أعلاه مع قواعد التطبيق و_التجريد_. ونتيجة تبسيط تعبير $\lambda$ هي تعبير مكافئ له، ومن ثمّ فإن كان لتعبيرين التبسيط نفسه فإنهما متكافئان.

حساب لامدا المعزّز كامل بحسب تورينج

العمليات الأساسية في حساب لامدا المعزّز تعادل إلى حد كبير لغتَي البرمجة Lisp أو Scheme. وبناءً على ذلك، ربما لا يكون مفاجئًا أن حساب لامدا المعزّز مكافئ لآلات تورينج:

INPUT: List $L = \langle \alpha_0,\alpha_1,\ldots, \alpha_{m-1}, \bot \rangle$ encoding a configuration $\alpha$.
OUTPUT: List $L'$ encoding $NEXT_M(\alpha)$

PROCEDURE{ComputeNext}{$L_{prev},L,L_{next}$}
If $ISEMPTY \; L_{prev}$
return $NIL$
Endif
$a \leftarrow HEAD \; L_{prev}$
If $ISEMPTY\; L$
$b \leftarrow \varnothing$ # Encoding of $\varnothing$ in $\{0,1\}^\ell$
Else
$b \leftarrow HEAD\;L$
Endif
If $ISEMPTY\; L_{next}$
$c \leftarrow \varnothing$
Else
$c \leftarrow HEAD \; L_{next}$
Endif
Return $PAIR \; r(a,b,c) \; ComputeNext(TAIL\; L_{prev}\;,\;TAIL\; L\;,\;TAIL\; L_{next})$
Endprocedure

$L_{prev} \leftarrow PAIR \; \varnothing \; L$ # $L_{prev} = \langle \varnothing , \alpha_0,\ldots, \alpha_{m-1},\bot \rangle$
$L_{next} \leftarrow  TAIL\; L$ # $L_{next} = \langle \alpha_1,\ldots,\alpha_{m-1}, \bot \}$
Return $ComputeNext(L_{prev},L,L_{next})$

من حساب لامدا المعزّز إلى حساب لامدا النقي

بينما مجموعة الدوال "الأساسية" التي سمحنا بها في حساب لامدا المعزّز أصغر مما توفره معظم لهجات Lisp، إلا أنها تبدو، على اعتبارنا قادمًا من NAND-TM، لا تزال منتفخة بعض الشيء. هل يمكننا الاكتفاء بأقل من ذلك؟ بعبارة أخرى، هل يمكننا إيجاد مجموعة جزئية من هذه العمليات الأساسية يمكنها تنفيذ الباقي؟

ويبيّن أنه يوجد بالفعل مجموعة جزئية فعلية من عمليات حساب لامدا المعزّز يمكن استخدامها لتنفيذ الباقي. تلك المجموعة الجزئية هي المجموعة الخالية. أي يمكننا تنفيذ جميع العمليات أعلاه باستخدام الصيغة $\lambda$ وحدها، حتى من دون استخدام $0$ و$1$. إنها λ حتى القاع!

الفكرة الكامنة وراء مبرهنة — حساب لامدا المعزّز مكافئ لحساب لامدا النقي. هي أننا نرمّز $0$ و$1$ نفسهما على هيئة تعبيرات $\lambda$، ونبني الأشياء انطلاقًا من هناك. ويُعرف هذا بـترميز Church (Church encoding)، لأنه نشأ عن Church في محاولته إظهار أن حساب لامدا يمكن أن يكون أساسًا لكل الحوسبة. ولن نكتب البرهان الرسمي الكامل لـ مبرهنة — حساب لامدا المعزّز مكافئ لحساب لامدا النقي.، بل سنعرض مخطط الأفكار المتضمَّنة فيه:

• نعرّف $0$ لتكون الدالة التي على مدخلين $x,y$ تُخرج $y$، و$1$ لتكون الدالة التي على مدخلين $x,y$ تُخرج $x$. ونستخدم Curry لتحقيق أثر دوال الإدخال، ومن ثمّ $0 = \lambda x. \lambda y.y$ و$1 = \lambda x.\lambda y.x$. (نظام التمثيل هذا هو العُرف الشائع لتمثيل false وtrue، لكن هناك تمثيلات بديلة كثيرة أخرى لـ $0$ و$1$ لكنها كانت ستؤدي الغرض على الأرجح.)

• التنفيذ أعلاه يجعل الدالة $IF$ تافهة: فـ $IF(cond,a,b)$ هي ببساطة $cond \; a\; b$ لأن $0ab = b$ و$1ab = a$. يمكننا كتابة $IF = \lambda x.x$ للحصول على $IF(cond,a,b) = (((IF cond) a) b) = cond \; a \; b$.

• لترميز زوج $(x,y)$ سننتج دالة $f_{x,y}$ يكون فيها $x$ و$y$ "في بطنها" وتُحقِّق $f_{x,y}g = g x y$ لكل دالة $g$. أي أن $PAIR = \lambda x,y. \left(\lambda g. gxy\right)$. ويمكننا استخراج العنصر الأول من زوج $p$ بكتابة $p1$ والعنصر الثاني بكتابة $p0$، ومن ثمّ $HEAD = \lambda p. p1$ و$TAIL = \lambda p. p0$.

• نعرّف $NIL$ لتكون الدالة التي تتجاهل مدخلها وتُخرج دائمًا $1$. أي أن $NIL = \lambda x.1$. ودالة $ISEMPTY$ تفحص، إذا أعطينا مدخلًا $p$، هل نحصل على $1$ عند تطبيق $p$ على الدالة $zero = \lambda x,y.0$ التي تتجاهل كل مداخيلها وتُخرج دائمًا $0$. لكل زوج صحيح على الشكل $p = PAIR x y$، لدينا $p zero = p x y = 0$ بينما $NIL zero=1$. وبشكل رسمي، $ISEMPTY = \lambda p. p (\lambda x,y.0)$.