الحوسبة والتمثيل

"كان الأبجدية (sic) اختراعًا عظيمًا، مكّن الرجال (sic) من أن يخزّنوا ويتعلّموا بجهدٍ يسير ما تعلّمه غيرهم بالكاد، أي أن يتعلّموا من الكتب بدلًا من الاتصال المباشر، المحتمل أن يكون مؤلمًا، بالعالم الحقيقي."، ب. ف. Skinner

"اسم الأغنية يدعى `HADDOCK'S EYES.'" [قال الفارس]

"آه، هذا إذن هو اسم الأغنية؟" قالت أليس، وهي تحاول أن تُبدي اهتمامًا.

"لا، أنت لا تفهمين شيئًا،" قال الفارس وهو ينظر بعضوية الانزعاج. "هذا هو الاسم الذي تُدعى به. الاسم هو حقًا `THE AGED AGED MAN.' "

"إذن كان ينبغي لي أن أقول `هذا هو ما تُدعى به الأغنية'؟" صحّحت أليس كلامها.

"لا، لا ينبغي لك: فذاك أمر مختلف تمامًا! الأغنية تُدعى `WAYS AND MEANS': لكن ذاك ليس سوى ما تُدعى به فحسب، أنت تعرف!"

"حسنًا، إذن ما هي الأغنية؟" قالت أليس، وقد صارت في هذه اللحظة تائهه تمامًا.

" كنت قادمًا إلى ذلك،" قال الفارس. "الأغنية هي حقًا `A-SITTING ON A GATE': واللحن من اختراعي أنا."

لويس كارول، عبر المرآة (Through the Looking-Glass)

في تقريب أول، الحوسبة هي عملية تنقل مُدخَلًا (input) إلى مُخرَج (output).

عند مناقشة الحوسبة، من الضروري فصل مسألة ما هو المهمة التي نحتاج إلى إنجازها (أي المواصفة) عن مسألة كيف نحقق هذه المهمة (أي التنفيذ). فمثلًا، كما رأينا، هناك أكثر من طريقة لتحقيق المهمة الحاسوبية الخاصة بحساب حاصل ضرب عددين صحيحين.

في هذا الفصل نركّز على جانب ما، أي تعريف المهام الحاسوبية. ولنبدأ، نحتاج إلى تعريف المُدخَلات والمُخرَجات. فالإفادة من كل المُدخَلات والمُخرَجات المحتملة التي قد نرغب يومًا في حسابها تبدو أمرًا صعبًا، إذ إن الحوسبة اليوم تُطبَّق على مجموعة واسعة جدًا من الكائنات. فنحن لا نحسب على الأعداد فحسب، بل أيضًا على النصوص والصور والفيديوهات ورسوم اتصال الشبكات الاجتماعية ومسارات التصوير بالرنين المغناطيسي (MRI) وبيانات الجينات، بل وحتى على برامج أخرى. وسنمثّل كل هذه الكائنات بوصفها سلاسل من الأصفار والواحدات، أي كائنات مثل $0011101$ أو $1011$ أو أي قائمة منتهية أخرى من $1$ و$0$. (هذا الاختيار للتيسير: فلا شيء «مقدّس» في الأصفار والواحدات، وكان بإمكاننا استعمال أي مجموعة أخرى منتهية من الرموز.)

اليوم، اعتدنا إلى حدٍّ كبير على فكرة التمثيل الرقمي، حتى لا ندهش من وجود مثل هذا الترميز. لكنه في الحقيقة بصيرة عميقة ذات آثار بالغة. يستطيع كثير من الحيوانات أن توصّل خوفًا معيّنًا أو رغبة، لكن ما يميز البشر هو اللغة: فنحن نستخدم مجموعة منتهية من الرموز الأساسية لوصف نطاق تجارب قد يكون غير محدود. وتتيح اللغة نقل المعلومات عبر الزمان والمكان، وتُمكّن مجتمعاتٍ تمتد على أعدادٍ كبيرة من الناس وتُراكم جسمًا من المعرفة المشتركة مع مرور الوقت.

خلال العقود العديدة الماضية، شهدنا ثورةً فيما نستطيع تمثيله ونقله بالشكل الرقمي. فأصبح بإمكاننا الإمساك بالتجارب بدقة تكاد تكون تامة، ونشرها آنيًا إلى حدٍّ كبير لجمهور غير محدود. وفضلا عن ذلك، متى أصبحت المعلومة في صيغة رقمية، أمكننا أن نحسب فوقها، فنستنبط رؤى من بيانات لم تكن متاحة في الأزمنة السابقة. وقلب هذه الثورة ملاحظةٌ بسيطة لكنها عميقة، وهي أنّه يمكننا تمثيل تنوّعٍ غير محدود من الكائنات باستخدام مجموعة منتهية من الرموز (بل باستخدام الرمزين 0 و1 فحسب).

في الفصول اللاحقة، سنُسقط هذه التمثيلات عادةً أمرًا مفترضًا، ومن ثم نستعمل تعبيرات مثل «البرنامج $P$ يأخذ $x$ مُدخَلًا» حين يكون $x$ عددًا أو متجهًا أو رسمًا بيانيًا أو أي كائن آخر، بينما المقصود حقًا هو أن $P$ يأخذ تمثيلَ $x$ بوصفه سلسلة ثنائية مُدخَلًا. غير أن هذا الفصل سنمكث فيه قليلًا أكثر على كيفية بناء مثل هذه التمثيلات.

تعريف التمثيلات

في كل مرة نخزّن فيها أعدادًا أو صورًا أو أصواتًا أو قواعد بيانات أو كائنات أخرى في حاسوب، فإن ما نخزّنه حقًا في ذاكرة الحاسوب هو تمثيل هذه الكائنات. وفضلا عن ذلك، فإن فكرة التمثيل لا تقتصر على الحواسيب الرقمية. فحين نكتب نصًّا أو نرسم صورة، فإننا نُمثّل أفكارًا أو تجارب في صورة سلاسل من الرموز (والتي قد تكون سلاسل من الأصفار والواحدات تمامًا). حتى مخّ أدمغتنا لا يخزّن المُدخَلات الحسية الفعلية التي نخوضها، بل يخزّن تمثيلَها فحسب.

لاستعمال كائنات مثل الأعداد أو الصور أو الرسوم البيانية أو غيرها كمدخلات للحساب، نحتاج إلى تعريف دقيق لكيفية تمثيل هذه الكائنات في سلاسل ثنائية. فـ_مخطّطُ التمثيل_ (representation scheme) هو طريقة تُسقط كائنًا $x$ على سلسلة ثنائية $E(x) \in \{0,1\}^*$. فمثلًا، مخطّط تمثيل للأعداد الطبيعية هو دالة $E:\N \rightarrow \{0,1\}^*$. بالطبع لا يمكننا أن نكتفي بتمثيل جميع الأعداد بالسلسلة "$0011$" (مثلًا). والحد الأدنى المطلوب هو أن إذا اختلف عددان $x$ و$x'$ فإنهما يتمثّلان بسلسلتين مختلفتين. وهي صياغة أخرى لقولنا إننا نطلب من دالة الترميز $E$ أن تكون واحد-لواحد (one to one).

تمثيل الأعداد الطبيعية

نبيّن الآن كيف يمكننا تمثيل الأعداد الطبيعية في سلاسل ثنائية. فقد مثّل الناس الأعداد على مر السنين بطرق متنوعة، منها الأرقام الرومانية وعلامات العدّ ونظامنا العشري الهندي-العربي، وطرائق أخرى كثيرة. ويمكننا استعمال أي واحدة منها، إضافةً إلى طرق أخرى كثيرة، لتمثيل عدد كسلسلة (انظر الشكل التوضيحي). غير أنه، من أجل الموضوعية، نأخذ الأساسَ الثنائيَ (binary basis) تمثيلًا افتراضيًا للأعداد الطبيعية في صورة سلاسل. فمثلًا، نمثّل العدد ستة بالسلسلة $110$ لأن $1\cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 6$، وكذلك نمثّل العدد خمسة وثلاثين بالسلسلة $y = 100011$ التي تحقق $\sum_{i=0}^5 y_i \cdot 2^{|y|-i-1} = 35$. وتُعطى أمثلة أخرى في الجدول أدناه.

جدول: تمثيل الأعداد في الأساس الثنائي. يحتوي العمود الأيسر على تمثيلات للأعداد الطبيعية في الأساس العشري، بينما يحتوي العمود الأيمن على تمثيلات الأعداد نفسها في الأساس الثنائي.

إذا كان $n$ زوجيًا، فإن الرقم الأقل أهمية في تمثيل $n$ الثنائي هو $0$، أما إذا كان $n$ فرديًا فإن هذا الرقم يساوي $1$. ومثلما يقابل العدد $\floor{n/10}$ «قطع» الرقم العشري الأقل أهمية (مثلًا، $\floor{457/10}=\floor{45.7}=45$)، يقابل العدد $\floor{n/2}$ «قطع» الرقم الثنائي الأقل أهمية. وعليه يمكن تعريف التمثيل الثنائي رسميًا بواسطة الدالة التالية $NtS:\N \rightarrow \{0,1\}^*$ ($NtS$ اختصار لعبارة «الأعداد الطبيعية في سلاسل»):

حيث $parity:\N \rightarrow \{0,1\}$ هي الدالة التي تُعرَّف بـ$parity(n)=0$ إذا كان $n$ زوجيًا وبـ$parity(n)=1$ إذا كان $n$ فرديًا، وكما جرت العادة فإنّ $xy$ لمُجموعتَي السلاسل $x,y \in \{0,1\}^*$ تعني ضمَّهما معًا. والدالة $NtS$ معرَّفة تعاُديًّا (recursively): فلكلّ $n>1$ نعرّف $rep(n)$ بدلالة تمثيل العدد الأصغر $\floor{n/2}$. ومن الممكن أيضًا تعريف $NtS$ بطريقة غير تعاودية، انظر تمرين — التمثيل الثنائي.

طوال معظم هذا الكتاب، لا يُهمّنا الخياراتُ الخاصة في تمثيل الأعداد كسلاسل ثنائية إلا قليلًا: فكل ما نحتاج إلى معرفته هو أنّ مثل هذا التمثيل موجود. بل إنّنا، في كثيرٍ من أغراضنا، يمكننا استعمال تمثيلٍ أبسط من ذلك، وهو تمثيل العدد الطبيعي $n$ بالسلسلة $0^n$ المكوّنة من $n$ صفرًا.

def NtS(n):# natural numbers to strings
    if n > 1:
        return NtS(n // 2) + str(n % 2)
    else:
        return str(n % 2)

print(NtS(236))
# 11101100

print(NtS(19))
# 10011

def StN(x):# String to number
    k = len(x)-1
    return sum(int(x[i])*(2**(k-i)) for i in range(k+1))

print(StN(NtS(236)))
# 236

معنى التمثيلات (نقاش)

من الطبيعيّ لنا أن نفكّر في $236$ على أنه العدد «الفعليّ»، وفي $11101100$ على أنه «مجرد» تمثيلٍ له. غير أنّ معظم الأوروبيين في القرون الوسطى كانوا يرون في CCXXXVI العدد «الفعليّ»، ويرون في $236$ (لو سمعوا به أصلًا) تمثيلًا موضعيًّا هنديًّا-عربيًّا غريبًا.^[1] وحين تتحقّق «سيادتُنا» الروبوتات من الذكاء الاصطناعي، فستظنّ على الأرجح أنّ $11101100$ هو العدد «الفعليّ»، وأنّ $236$ ليس سوى تمثيلٍ تحتاج إليه عند إصدار أوامرها للبشر.

فما هو العدد «الفعليّ»؟ لقد أتار هذا السؤالَ فلاسفةُ الرياضيات على مدى التاريخ. فقد ذهب أفلاط إلى أنّ الكائنات الرياضية توجد في نوعٍ ما من «المجال المثاليّ» للوجود (وهو مجالٌ «أكثر واقعيةً» إلى حدٍّ ما من العالم الذي ندركه بحواسّنا، إذ ذلك العالم الأخير ليس سوى ظلّ لذلك المجال المثاليّ). وفي رؤية أفلاط، فإنّ الرموز $236$ ليست سوى تدوينٍ لكائنٍ مثاليّ، يمكننا — إجلالًا للموسيقيّ المتوفّى (late musician) — أن نسمّيه «العدد الذي يُمثَّل عادةً بـ$236$».

أما الفيلسوف النمساوي لودفيغ فيتغنشتاين، فقد ذهب من جهةٍ أخرى إلى أنّ الكائنات الرياضية غير موجودة البتّة، وأنّ الموجود حقًا ليس سوى العلامات الفعلية على الورق التي تشكّل $236$ أو $11101100$ أو CCXXXVI. وفي رأي فيتغنشتاين، فإنّ الرياضيات لا تتعلّق إلا بالتعامل الصوريّ مع رموزٍ لا تحمل أيّ معنى بطبيعتها. ويمكنك أن تفكّر في العدد «الفعليّ» على نحوٍ (نوعٍ من التهافت) «ذلك الشيء المشترك بين $236$ و$11101100$ وCCXXXVI وكلّ التمثيلات السابقة واللاحقة التي يقصد بها التقاط الكائن نفسه».

وأنت أثناء قراءتك لهذا الكتاب حرٌّ في أن تختار فلسفتَك في الرياضيات، ما دمت تُبقي التمييز قائمًا بين الكائنات الرياضية ذاتها وبين الخيارات المختلفة لتمثيلها، سواء كانت بقعًا من الحبر أو بكسلات على شاشة أو أصفارًا وأحاد، أو أيّ صورةٍ أخرى.

التمثيلات خارج الأعداد الطبيعية

لقد رأينا أنّ الأعداد الطبيعية يمكن تمثيلها سلاسلَ ثنائية. والآن نبيّن أنّ الأمر نفسه صحيحٌ للأنواع الأخرى من الكائنات، بما في ذلك الأعداد الصحيحة (المحتملة السالب) والأعداد النسبية والمتجهات والقوائم والرسوم البيانية وكثيرٌ غيرها. وفي حالاتٍ كثيرة، فإنّ اختيار تمثيل السلسلة «المناسب» لقطعة بياناتٍ ما يتطلّب قدرًا كبيرًا من العناية، والعثور على التمثيل «الأفضل» (مثلًا: الأكثر إحكامًا، أو الأدقّ، أو الأسهل في المعالجة، أو الأكثر متانةً أمام الأخطاء، أو الأكثر غنىً بالسمات المفيدة، إلخ) هو موضوعُ بحثٍ شديد الكثافة. لكنّنا سنركّز الآن على عرض بعض التمثيلات البسيطة لمختلف الكائنات التي نودّ استعمالها مُدخَلات ومُخرَجات للحوسبة.

تمثيل الأعداد الصحيحة (المحتملة السالب)

بما أنّنا نستطيع تمثيل الأعداد الطبيعية سلاسل، فبإمكاننا تمثيل المجموعة الكاملة من الأعداد الصحيحة (أي عناصر المجموعة $\Z=\{ \ldots, -3 , -2 , -1 , 0 , +1, +2, +3,\ldots \}$ ) بإضافة بتٍّ واحد يمثّل الإشارة. ولتمثيل عددٍ $m$ (محتمل السالب)، نُضيف إلى مقدّمة تمثيل العدد الطبيعي $|m|$ بتًّا $\sigma$ يساوي $0$ إذا كان $m \geq 0$ ويساوي $1$ إذا كان $m<0$. رسميًّا، نعرّف الدالة $ZtS:\Z \rightarrow \{0,1\}^*$ على النحو التالي $$ZtS(m) = \begin{cases} 0\;NtS(m) & m \geq 0 \\ 1\;NtS(-m) & m < 0 \end{cases}$$ حيث $NtS$ معرَّفة كما في المعادلة.

في حين يجب أن تكون دالةُ الترميز في التمثيل واحد-لواحد (one to one)، فإنّها لا يلزم أن تكون شاملةً (onto). فمثلًا، لا يوجد في التمثيل أعلاه عددٌ يمثَّل بالسلسلة الفارغة، ومع ذلك فهو تمثيلٌ جيّد، لأنّ كلّ عدد صحيح يمثَّل بشكلٍ فريد بواسطة سلسلةٍ ما.

تمثيل المكمّل الثاني (اختياري)

الطريقة التي يتّبعها تمثيل الأعداد الصحيحة (المحتملة السالب) في تمثيل عددٍ صحيح ببتّ إشارةٍ محدَّد تُعرف باسم تمثيل القيمة ذات الإشارة (Signed Magnitude Representation)، وقد استُعمِلت في بعض الحواسيب المبكّرة. غير أنّ تمثيل المكمّل الثاني هو أكثر شيوعًا بكثيرٍ في الممارسة العملية. ويُعرَّف تمثيل المكمّل الثاني (two's complement) للعدد الصحيح $k$ في المجموعة $\{ -2^n , -2^n+1, \ldots, 2^n-1 \}$ بأنه السلسلة $ZtS_n(k)$ ذات الطول $n+1$ المعرَّفة على النحو التالي: $$ZtS_n(k) = \begin{cases} NtS_{n+1}(k) & 0 \leq k \leq 2^n-1 \\ NtS_{n+1}(2^{n+1}+k) & -2^n \leq k \leq -1 \end{cases} \;,$$ حيث $NtS_\ell(m)$ تدلّ على التمثيل الثنائي القياسيّ للعدد $m \in \{0,\ldots, 2^{\ell}\}$ كسلسلةٍ طولها $\ell$، متبوعةً بأصفارٍ بادئة بقدر الحاجة. فمثلًا، إذا كان $n=3$ فإن $ZtS_3(1)=NtS_4(1)=0001$، و$ZtS_3(2)=NtS_4(2)=0010$، و$ZtS_3(-1)=NtS_4(16-1)=1111$، و$ZtS_3(-8)=NtS_4(16-8)=1000$. وإذا كان $k$ عددًا سالبًا أكبرَ من $-2^n$ أو مساويًا له، فإنّ $2^{n+1}+k$ يكون عددًا بين $2^n$ و$2^{n+1}-1$. وعليه، فإنّ تمثيل المكمّل الثاني لمثل هذا العدد $k$ هو سلسلةٌ طولها $n+1$ يكون الرقم فيها الأول مساويًا لـ$1$.

وهذه الخلاصة يمكن صياغتها على نحوٍ آخر، وهو أنّنا نمثّل العدد $k \in \{ -2^n,\ldots, 2^n-1 \}$ المحتمل السالب بوصفه العدد غير السالب $k \mod 2^{n+1}$ (انظر أيضًا الشكل التوضيحي). وهذا يعني أنّه إذا كان العددان $k$ و$k'$ (المحتملان السالب) ليسا كبيرين إلى هذا الحدّ (أي إنّ $k + k' \in \{ -2^n,\ldots, 2^n-1 \}$)، فبإمكاننا حساب تمثيل $k+k'$ بجمع تمثيلي $k$ و$k'$ بمقياس $2^{n+1}$ كما لو كانا عددين صحيحين غير سالبين. وخاصيةُ تمثيل المكمّل الثاني هذه هي جاذبيّتُه الرئيسة، إذ إنّ المعالجات الدقيقة (microprocessors) تستطيع، تبعًا لبنيتها، تنفيذ العمليات الحسابية بمقياس $2^w$ بكفاءةٍ عالية جدًّا (ولقيم معيّنة من $w$ مثل $32$ و$64$). وتترك كثيرٌ من الأنظمة للمبرمج مهمّةَ التحقّق من ألّا تكون القيم كبيرةً، وتُنفّذ هذه الحسبة بمقياسها بصرف النظر عن حجم الأعداد المتدخّلة. ولهذا السبب، يمكن في بعض الأنظمة أن ينتج جمعُ عددين موجبين كبيرين عددًا سالبًا (مثلًا، قد ينتج جمعُ $2^n-100$ مع $2^n-200$ عددًا $-300$ لأنّ $(2^{n+1}-300) \mod 2^{n+1} = -300$، انظر أيضًا الشكل التوضيحي).

الأعداد النسبية وتمثيل أزواج السلاسل

يمكننا تمثيل عددٍ نسبي من الشكل $a/b$ بأن نمثّل العددين $a$ و$b$. غير أنّ مجردَ ضمّ تمثيلي $a$ و$b$ لن يجدي نفعًا. فمثلًا، التمثيل الثنائي للعدد $4$ هو $100$، والتمثيل الثنائي للعدد $43$ هو $101011$، لكنّ ضمَّ هاتين السلسلتين $100101011$ هو أيضًا ضمٌّ للتمثيل $10010$ للعدد $18$ وللتمثيل $1011$ للعدد $11$. وعليه، إن استعملنا هذا الضمّ البسيط لما استطعنا أن نُميّز ما إذا كانت السلسلة $100101011$ تمثّل $4/43$ أم $18/11$.

نعالج هذه المشكلة بإعطاء تمثيلٍ عامٍّ لـ_أزواج السلاسل_ (pairs of strings). ولو كنّا نستعمل قلمًا وورقًا لاكتفينا برمزٍ فاصلٍ مثل $\|$ لتمثيل، مثلًا، الزوج المكوّن من العددين اللذين تمثّلهما $10$ و$110001$ بوصفه السلسلةَ ذات الطول $9$ «$10\|110001$». بعبارةٍ أخرى، هناك خريطةٌ واحد-لواحد $F$ من أزواج السلاسل $x,y \in \{0,1\}^*$ إلى سلسلةٍ واحدة $z$ فوق الأبجدية $\Sigma = \{0,1,\| \}$ (بعبارةٍ أخرى، $z\in \Sigma^*$). استعمالُ هذه الفواصل يشبه الطريقة التي نفصل بها الكلمات في الإنجليزية بالمسافات وعلامات الترقيم. وبإضافة قدرٍ يسيرٍ من التكرار، نحصل على الأثر نفسه في المجال الرقميّ. ويمكننا ربط المجموعة الثلاثية $\Sigma$ بالمجموعة الثلاثية $\{00,11,01 \} \subset \{0,1\}^2$ ربطًا واحد-لواحد، ومن ثمّ ترميز سلسلة $z\in \Sigma^*$ ذات الطول $n$ بوصفها سلسلة $w\in \{0,1\}^*$ ذات الطول $2n$.

ويُستمدّ تمثيلنا النهائيّ للأعداد النسبية بدمج الخطوات التالية:

1. تمثيل عددٍ نسبي (محتمل السالب) كزوجٍ من الأعداد الصحيحة $a,b$ بحيث $r=a/b$.

2. تمثيل العدد الصحيح بسلسلةٍ عبر التمثيل الثنائي.

3. دمج 1 و2 للحصول على تمثيلٍ للعدد النسبي كزوجٍ من السلاسل.

4. تمثيل زوجِ سلاسلٍ فوق $\{0,1\}$ بسلسلةٍ واحدة فوق $\Sigma = \{0,1,\|\}$.

5. تمثيل سلسلةٍ فوق $\Sigma$ بسلسلةٍ أطول فوق $\{0,1\}$.

ويمكن استعمال الفكرة نفسها لتمثيل ثلاثياتِ السلاسل، والأربعات، وهكذا، في سلسلةٍ واحدة. وبالفعل، إنّ هذه إحدى حالات مبدأٍ عامٍّ جدًّا نطبّقه مرارًا وتكرارًا في نظريّة علوم الحاسوب وممارسته معًا (مثلًا، في البرمجة الكائنية (Object Oriented)):

وتكرارُ الفكرة نفسها يعني أنّنا، متى استطعنا تمثيل كائناتٍ من نوع $T$، استطعنا أيضًا تمثيل قوائمَ قوائمَ (lists of lists) من هذه الكائنات، بل وقوائمَ قوائمَ قوائمَ وهكذا وهكذا. وسنعود إلى هذه النقطة حين نناقش الترميزَ الخاليَ من البادئات (prefix free encoding) في الترميزُ الخالي من البادئات.

تمثيل الأعداد الحقيقية

مجموعةُ الأعداد الحقيقية $\R$ تضمّ جميع الأعداد بما فيها الموجبة والسالبة والكسرية، وكذلك الأعداد غير النسبية (irrational) مثل $\pi$ أو $e$. وكلّ عددٍ حقيقي يمكن تقريبه بعددٍ نسبي، ومن ثمّ يمكننا تمثيل كلّ عددٍ حقيقي $x$ بعددٍ نسبي $a/b$ قريبٍ جدًّا من $x$. فمثلًا، يمكننا تمثيل $\pi$ بالعدد $22/7$ ضمن خطأٍ قدره نحو $10^{-3}$، وإن أردنا خطأً أصغر (مثلًا نحو $10^{-4}$) فاستخدم $311/99$، وهكذا وهكذا.

إنّ التمثيل أعلاه للأعداد الحقيقية عبر أعداد نسبية تقاربها اختيارٌ جيّد لمخطّط تمثيل. غير أنّه، في تطبيقات الحوسبة المعتادة، يكون استعمال مخطّط تمثيل الفاصلة العائمة (floating-point representation scheme) لتمثيل الأعداد الحقيقية أكثر شيوعًا (انظر الشكل التوضيحي). في مخطّط تمثيل الفاصلة العائمة، نمثّل $x\in \R$ بالزوج $(b,e)$ من عددين صحيحين (موجب أو سالب) ذات أحجامٍ محدَّدة مسبقًا (يحدّدها مستوى الدقّة المرغوب) بحيث يكون $b \times 2^{e}$ أقرب ما يكون إلى $x$. وتمثيلُ الفاصلة العائمة هو النسخةُ بالأساس الثاني من الترميز العلمي (scientific notation)، إذ نمثّل عددًا $y\in R$ بتقريبه من الشكل $b \times 10^e$ لكلٍّ من $b$ و$e$. ويسمّى «الفاصلة العائمة» لأنّنا يمكننا التفكير في العدد $b$ على أنّه يحدّد متتابعةَ من الأرقام الثنائية، وفي $e$ على أنّه يصف موضعَ «الفاصلة الثنائية» داخل هذه المتتابعة. وإنّ استعمال تمثيل الفاصلة العائمة هو سببُ ظهور النتيجة 0.30000000000000004 بدلًا من 0.3 عند طباعة التعبير 0.1+0.2 في كثيرٍ من أنظمة البرمجة، للمزيد انظر هنا، وهنا، وهنا.

ولعلّ القارئ أن يكون (محقًّا في) قلقه من أنّ تمثيل الفاصلة العائمة (أو تمثيل الأعداد النسبية) لا يستطيع تمثيلَ الأعداد الحقيقية إلا تقريبًا. في كثيرٍ من تطبيقات الحوسبة (لا في جميعها)، يمكن جعلُ الدقّة محكمةً بالقدر الكافي بحيث لا يؤثّر ذلك في النتيجة النهائية، وإن كان علينا أحيانًا أن نكون حذرين. وبالفعل، فإنّ أعطالَ الفاصلة العائمة لا تكون أحيانًا أمرًا يُضحَك عليه. فمثلًا، تتّهم أخطاءُ التقريب في الفاصلة العائمة بحدوث العطل الذي مني به صاروخُ باتريوت الأمريكي وهو يعترض صاروخَ سكود عراقيًّا، وقد كلّف ذلك 28 حياة، فضلًا عن خطأٍ في مقداره مئة مليون جنيه في حساب المدفوعات لمتقاعدين بريطانيين.

مبرهنة كانتور، والمجموعات القابلة للعدّ، وتمثيلاتُ الأعداد الحقيقية في سلاسل

بالنظر إلى المشكلات في تقريب الأعداد الحقيقية بالفاصلة العائمة، فإنّ سؤالًا طبيعيًّا هو: هل يمكن تمثيلُ الأعداد الحقيقية بدقّة في سلاسل؟ ولأسف، فإنّ المبرهنة التالية تُبيّن أنّ ذلك غير ممكن:

المجموعات القابلة للعدّ. نقول إنّ مجموعةً $S$ قابلة للعدّ (countable) إذا وُجدت خريطةٌ شاملة $C:\N \rightarrow S$، أو بعبارةٍ أخرى، إذا استطعنا كتابة $S$ على هيئة المتتابعة $C(0),C(1),C(2),\ldots$. ولأنّ التمثيل الثنائي يعطي خريطةً شاملة من $\{0,1\}^*$ إلى $\N$، ولأنّ تركيب خريطتين شاملتين يعطي خريطةً شاملة، فإنّ المجموعة $S$ تكون قابلةً للعدّ إذا وإذا فقط وُجدت خريطةٌ شاملة من $\{0,1\}^*$ إلى $S$. وباستخدام الخصائص الأساسية للدوال (انظر الدوال)، تكون المجموعة قابلةً للعدّ إذا وإذا فقط وُجدت دالةٌ واحد-لواحد من $S$ إلى $\{0,1\}^*$. وعليه، يمكننا إعادة صياغة مبرهنة — مبرهنة كانتور على النحو التالي:

أثبت مبرهنة — مبرهنة كانتور (صياغة مكافئة) عالمُ الرياضيات جورج كانتور عام 1874. وكان هذه النتيجة (والنظرية التي تحيط بها) صادمةً للرياضيين إلى حدٍّ كبير في ذلك الوقت. فبإبرازه أنّ لا وجود لخريطة واحد-لواحد من $\R$ إلى $\{0,1\}^*$ (أو إلى $\N$)، برهن كانتور على أنّ هاتين المجموعتين اللانهائيتين لهما «أشكالٌ مختلفة من اللانهائية»، وأنّ مجموعة الأعداد الحقيقية $\R$ «أكبر» في معنى ما من المجموعة اللانهائية $\{0,1\}^*$. وكان فكرةُ وجود «درجاتٍ من اللانهائية» مربكةً إلى حدٍّ عميقٍ للرياضيين والفلاسفة في ذلك الوقت. فقد سمّى الفيلسوف لودفيغ فيتغنشتاين (الذي ذكرناه من قبل) نتائجِ كانتور «عبثًا محضًا» و«أمرًا مضحكًا». ورأى آخرون أنّها أسوأ من ذلك. فقد سمّى ليبولد كرونكر كانتور «مُفسدَ الشباب»، بينما قال هنري بوانكاري إنّ أفكارَ كانتور «يجب التخلّص منها في الرياضيات إلى الأبد». ثمّ إنّ التيار انقلب في النهاية، وأصبح عملُ كانتور مقبولًا في العالم أجمع بوصفه حجرَ الأساس في نظرية المجموعات وفي أسس الرياضيات. وكما قال ديفيد هيلبرت عام 1925: «لن يطردنا أحدٌ من الفردوس الذي خلقه كانْتور لنا.» وكما سنرى لاحقًا في هذا الكتاب، تلعب أفكارُ كانتور دورًا كبيرًا جدًّا أيضًا في نظرية الحوسبة.

والآن، بعد أن ناقشنا أهميةَ مبرهنة — مبرهنة كانتور، فلنرَ بُرهانَه. ينجَز ذلك على خطوتين:

1. نُعرّف مجموعةً لامتناهيية $\mathcal{X}$ يكون إثباتُ أنّ $\mathcal{X}$ غير قابلة للعدّ أسهلَ لنا (أي إنّ الأسهل لنا هو إثباتُ عدم وجود دالة واحد-لواحد من $\mathcal{X}$ إلى $\{0,1\}^*$).

2. نُثبت أنّ هناك دالةً واحد-لواحد $G$ تُسقط $\mathcal{X}$ على $\mathbb{R}$.

ويمكننا استعمالُ البرهان بالتناقض لإظهار أنّ هاتين الحقيقتين معًا تستلزمان مبرهنة — مبرهنة كانتور. وتحديدًا، إن افترضنا (قصدًا للتناقض) وجودَ خريطةٍ واحد-لواحد $F$ تُسقط $\mathbb{R}$ على $\{0,1\}^*$، فإنّ الدالة $x \mapsto F(G(x))$ الناتجة عن تركيب $F$ مع الدالة $G$ من الخطوة 2 أعلاه ستكون دالةً واحد-لواحد من $\mathcal{X}$ إلى $\{0,1\}^*$، وهذا يناقض ما أثبتناه في الخطوة 1!

ولتحويل هذه الفكرة إلى برهانٍ كامل لـمبرهنة — مبرهنة كانتور، نحتاج إلى:

• نُعرّف المجموعة $\mathcal{X}$.

• نُثبت أنّه لا توجد دالة واحد-لواحد من $\mathcal{X}$ إلى $\{0,1\}^*$

• نُثبت أنّ هناك دالةً واحد-لواحد من $\mathcal{X}$ إلى $\R$.

والآن ننتقل إلى فعل ذلك بالضبط. أي إنّنا سنُعرّف المجموعة $\{0,1\}^\infty$ التي ستلعب دور $\mathcal{X}$، ثمّ نصوغ ونُثبت مُبرهَنين يُظهران أنّ هذه المجموعة تفي بالخاصيتين اللتين نريدهما.

أي إنّ $\{0,1\}^\infty$ مجموعةُ دوال، والدالة $f$ تنتمي إلى $\{0,1\}^\infty$ إذا وإذا فقط كان مجالُها $\N$ ومجالُها المشترك $\ \{0,1\}$. ويمكننا أيضًا التفكير في $\{0,1\}^\infty$ بوصفها مجموعةَ كلّ المتتابعات (sequences) اللانهائية من البتات، إذ يمكن التمييز بين الدالة $f:\N \rightarrow \{0,1\}$ وبين المتتابعة $(f(0),f(1),f(2),\ldots )$. ويُظهر المُبرهانان التاليان أنّ $\{0,1\}^\infty$ تستطيع أن تلعب دور $\mathcal{X}$ لإثبات مبرهنة — مبرهنة كانتور.

وكما رأينا أعلاه، فإنّ لمّة ولمّة معًا تستلزمان مبرهنة — مبرهنة كانتور. ولنُكرّر الحجة بصورةٍ أكثر رسمية، فلنفترض، قصدًا للتناقض، أنّه كانت هناك فعلًا دالةٌ واحد-لواحد $RtS:\R \rightarrow \{0,1\}^*$. وبموجب لمّة، هناك دالةٌ واحد-لواحد $FtR:\{0,1\}^\infty \rightarrow \R$. وعليه، في ظلّ هذا الافتراض، ولأنّ تركيب دالتين واحد-لواحد يعطي دالةً واحد-لواحد (انظر تمرين — تركيب الدوال الواحد-لواحد)، فإنّ الدالة $FtS:\{0,1\}^\infty \rightarrow \{0,1\}^*$ المعرَّفة بـ$FtS(f)=RtS(FtR(f))$ ستكون واحد-لواحدة، وهذا يناقض لمّة. انظر الشكل التوضيحي لرسمٍ توضيحيٍّ لهذه الحجة.

ولا يبقى سوى إثبات المُبرهَنين. ونبدأ بإثبات لمّة، وهو في الحقيقة جوهرُ مبرهنة — مبرهنة كانتور.

تمهيد: «كانْتور الصغير». برهانُ لمّة دقيقٌّ إلى حدٍّ ما. ومن طرائق اكتساب الحدس له أن ندرِس العبارةَ المنتهية التالية: «لا توجد دالة شاملة $f:\{0,\ldots,99\} \rightarrow \{0,1\}^{100}$». ولنا نعلم بالطبع أنّها صادقة، إذ إنّ المجموعة $\{0,1\}^{100}$ أكبر من المجموعة $[100]$، لكنّنا لنرَ برهانًا مباشرًا. فلكلّ $f:\{0,\ldots,99\} \rightarrow \{0,1\}^{100}$ يمكننا تعريفُ السلسلة $\overline{d} \in \{0,1\}^{100}$ على النحو التالي: $\overline{d} = (1-f(0)_0, 1-f(1)_1 , \ldots, 1-f(99)_{99})$. وإن كانت $f$ شاملة، لَوُجدَ عددٌ $n\in [100]$ بحيث $f(n) =\overline{d}$، لكنّنا ندّعي أنّ مثل هذا $n$ غير موجود. بالفعل، إن وُجد مثل هذا $n$ لاتّسقَ الإحداثي رقم $n$ في $\overline{d}$ مع $f(n)_n$، بينما هو بالتعريف يساوي $1-f(n)_n$. وانظر أيضًا «برهانًا بالشيفرة» لهذه العبارة.

ولإتمام برهان مبرهنة — مبرهنة كانتور، نحتاج إلى إثبات لمّة. وهذا يتطلّب بعض الخلفية في التفاضل والتكامل، وإلّا فهو مباشر. وإن لم تكن قد حصّلت على خبرةٍ كبيرة في نهايات المتسلّلات الحقيقية من قبل، فقد يكون البرهانُ الرسمي أدناه صعبًا بعض الشيء في متابعته. وهذا الجزء ليس جوهرَ حجّة كانْتور، ولا تلعب هذه النهايات دورًا مهمًّا في بقية هذا الكتاب، من حقّك إذن أن تصدّق لمّة وأن تتخطّى برهانَها.

نتيجة: الدوال المنطقية غير قابلة للعدّ

تنبثق من مبرهنة كانْتور النتيجةُ التالية التي سنستعملها عدّة مرّات في هذا الكتاب: إنّ مجموعةَ كلّ الدوال المنطقية (Boolean functions) (التي تُسقط $\{0,1\}^*$ على $\{0,1\}$) غير قابلة للعدّ:

الشروط المكافئة لقابلية العدّ

النتائجُ أعلاه تتيّن صياغاتٍ متعدّدة ومتكافئة لحقيقة أنّ مجموعةً ما قابلة للعدّ. وتحديدًا، فالعباراتُ التالية كلّها متكافئة:

1. المجموعة $S$ قابلة للعدّ

2. هناك خريطةٌ شاملة من $\N$ إلى $S$

3. هناك خريطةٌ شاملة من $\{0,1\}^*$ إلى $S$.

4. هناك خريطةٌ واحد-لواحد من $S$ إلى $\N$

5. هناك خريطةٌ واحد-لواحد من $S$ إلى $\{0,1\}^*$.

6. هناك خريطةٌ شاملة من مجموعةٍ قابلة للعدّ $T$ ما إلى $S$.

7. هناك خريطةٌ واحد-لواحد من $S$ إلى مجموعةٍ قابلة للعدّ $T$ ما.

تمثيل كائناتٍ غير الأعداد

الأعدادُ ليست بالطبع الكائنات الوحيدة التي يمكننا تمثيلَها في سلاسل ثنائية. ويتكوّن مخطّطُ التمثيل (representation scheme) المستخدم لتمثيل كائناتٍ من مجموعة $\mathcal{O}$ من دالةِ ترميز (encoding) تُسقط كائنًا من $\mathcal{O}$ على سلسلة، ودالةِ فكّ ترميز (decoding) تُعيد السلسلةَ إلى كائنٍ في $\mathcal{O}$. ورسميًّا، نُعرِّف ما يلي:

لاحظ أنّ الشرط $D(E(o))=o$ لكلّ $o\in\mathcal{O}$ يستلزم أنّ $D$ شاملة (onto) (هل ترى لماذا؟). ويتبين أنّه لبناء مخطّط تمثيلٍ لا يلزم سوى العثور على دالةِ ترميز. أي إنّ لكلّ دالة ترميزٍ واحد-لواحد هناك دالةُ فكّ ترميزٍ مقابلة، كما يبيّنه المُبرهَن التالي:

التمثيلات المنتهية

إذا كانت $\mathcal{O}$ منتهية (finite)، فبإمكاننا تمثيلُ كلّ كائنٍ في $\mathcal{O}$ بسلسلةٍ طولها لا يتجاوز عددًا ما $n$. وما قيمة $n$؟ لنرمز بـ$\{0,1\}^{\leq n}$ إلى المجموعة $\{ x\in \{0,1\}^* : |x| \leq n \}$ من السلاسل التي لا يتجاوز طولها $n$. وحجمُ $\{0,1\}^{\leq n}$ يساوي $$|\{0,1\}^0| + |\{0,1\}^1| + |\{0,1\}^2| + \cdots + |\{0,1\}^n| = \sum_{i=0}^n 2^i = 2^{n+1}-1$$ باستعمال الصيغة القياسية لمجموع متتاليةٍ هندسية.

وللحصول على تمثيلٍ لكائنات $\mathcal{O}$ في سلاسلٍ طولها لا يتجاوز $n$، نحتاج إلى ايجاد دالةٍ واحد-لواحد من $\mathcal{O}$ إلى $\{0,1\}^{\leq n}$. ويمكننا فعلُ ذلك إذا وإذا فقط كان $|\mathcal{O}| \leq 2^{n+1}-1$، كما يستلزمه المُبرهَن التالي:

الترميزُ الخالي من البادئات

ولإظهار مخطّطِ تمثيلٍ للأعداد النسبية، استعملنا «الحيلة» (hack) التي تقضي بترميز الأبجدية $\{ 0,1, \|\}$ لتمثيل الصفوف المرتّبة من السلاسل في سلسلةٍ واحدة. وهذه حالةٌ خاصة من النمط العام للترميز الخالي من البادئات (prefix-free). والفكرةُ كالتالي: إن كان تمثيلُنا بحيث لا تكون السلسلةُ $x$ التي تمثّل كائنًا $o$ بادئةً (prefix) (أي سلسلةٍ ابتدائية) لسلسلة $y$ تمثّل كائنًا مختلفًا $o'$، فبإمكاننا تمثيلَ قائمةٍ من الكائنات بمجرّد ضمّ تمثيلات كلّ أعضاء القائمة. فمثلًا، لأنّ كلّ جملةٍ في الإنجليزية تنتهي بعلامة ترقيم مثل النقطة أو علامة التعجب أو علامة الاستفهام، فلا يمكن لأيّ جملةٍ أن تكون بادئةً لجملةٍ أخرى، ومن ثمّ يمكننا تمثيلَ قائمةٍ من الجمل بمجرّد ضمّ الجمل واحدةً تلو الأخرى. (وللإنجليزية بعضُ التعقيدات، مثل النقاط المستعملة في الاختصارات (مثل «e.g.») أو أقواس الجمل التي تحتوي علامات ترقيم، لكنّ الفكرة الجوهرية عن تمثيلٍ خالٍ من البادئات للجمل تبقى صحيحة.)

ويتبين أنّنا يمكننا تحويلَ كلّ تمثيلٍ إلى صورةٍ خاليةٍ من البادئات. وهذا يبرّر representtuplesidea، ويسمح لنا بتحويل مخطّطِ تمثيلٍ لكائناتٍ من نوع $T$ إلى مخطّطِ تمثيلٍ للقوائم من كائنات النوع $T$. وبتكرار التقنية نفسها، يمكننا أيضًا تمثيلَ قوائمَ قوائمَ من كائناتِ النوع $T$، وهكذا وهكذا. لكن لنُعرِّف أوّلًا «خلوّ التمثيل من البادئات» تعريفًا رسميًّا:

تذكّر أنّه لكلّ مجموعة $\mathcal{O}$، تتكوّن المجموعة $\mathcal{O}^*$ من كلّ الصفوف المرتّبة (tuples) (أي القوائم) ذات الطول المنتهي من عناصر $\mathcal{O}$. ويُظهر المبرهنةُ التالية أنّه إذا كانت $E$ ترميزًا خاليًا من البادئات لـ$\mathcal{O}$، فبإمكاننا، بضمّ الترميزات، الحصولَ على تمثيلٍ صحيحٍ (أي واحد-لواحد) لـ$\mathcal{O}^*$: