الشمولية وغياب قابلية الحساب

"دالة متغيّر كميّ هي تعبير تحليلي مؤلَّف بأي طريقة كانت من المتغيّر الكميّ والأعداد أو الكميات الثابتة."، ليونارد أويلر، 1748.

"أهمية الآلة الشاملة واضحة. فنحن لا نحتاج إلى ما لا نهاية من الآلات المختلفة التي تؤدّي مختلف الأعمال. ... فالمسألة الهندسية في إنتاج آلات مختلفة لأعمال مختلفة تُستبدل بالعمل المكتبي في «برمجة» الآلة الشاملة", آلان تورينج، 1948

من أبرز النتائج التي أثبتناها للدوائر البوليانية (أو بما يكافئها، برامج الأسطر المستقيمة) هو مفهوم الشمولية: هناك دائرة واحدة تستطيع تقييم كل الدوائر الأخرى. لكن هذه النتيجة جاءت مصحوبة بتحفّظ مهم. فظتقييم دائرة ذات $s$ بوابة يحتاج الدائرة الشاملة إلى عدد من البوابات أكبر من $s$. ويبيّن الأمر أن النماذج المنتظمة (uniform) مثل آلات تورينج أو برامج NAND-TM تتيح لنا «الخروج من هذه الحلقة» والوصول إلى آلة تورينج شاملة (universal Turing machine) $U$ بالشكل الحقيقي، قادرة على تقييم كل الآلات الأخرى، بما في ذلك آلات أكثر تعقيدًا (مثلًا ذات حالات أكثر) من $U$ نفسها. (وبالمثل، يوجد برنامج NAND-TM شامل $U'$ يستطيع تقييم كل برامج NAND-TM، بما في ذلك برامج تحوي أسطرًا أكثر من $U'$.)

ليس في الأمر مبالغة القول إن وجود مثل هذا البرنامج/الآلة الشاملة يكمن وراء ثورة تقنية المعلومات التي بدأت في النصف الثاني من القرن العشرين (ولا تزال مستمرة). حتى تلك الحقبة التاريخية، كان الناس يصنعون أجهزة حساب متخصصة مختلفة مثل العدّاد (abacus) والمسطرة الانزلاقية (slide ruler) وآلات تحسب متسلسلات مثلثية مختلفة. لكن كما لاحظ تورينج (وربما كان هو من رأى نتائج الشمولية بأوضح صورة)، فإن الحاسوب العام الغرض (general purpose computer) أقوى بكثير. فمتى ما بنينا جهازًا يستطيع حساب الدالة الشاملة الواحدة، أملكنا القدرةَ عبر البرمجيات على توسيعه لينفّذ عمليات حسابية اعتباطية. فمثلًا، إذا أردنا محاكاة آلة تورينج جديدة $M$، فلا نحتاج إلى بناء آلة فيزيائية جديدة، بل يمكننا تمثيل $M$ كسلسلة (أي باستخدام شيفرة (code)) ثم إدخال $M$ إلى الآلة الشاملة $U$.

إلى جانب التطبيقات العملية، فإن وجود خوارزمية شاملة له أيضًا نتائج نظرية مدهشة، وخصوصًا يمكن استخدامه لإثبات وجود دوال غير قابلة للحساب، وهو ما ينقض حدس الرياضيين عبر القرون من أويلر إلى هيلبرت. في هذا الفصل سنبرهن على وجود البرنامج الشامل، وسنبيّن أيضًا آثاره على غياب قابلية الحساب، انظر الشكل التوضيحي

الشمولية أو المُقيِّم المُنداخي (meta-circular)

سنبدأ بإثبات وجود آلة تورينج شاملة. إنها آلة تورينج واحدة $U$ تستطيع تقييم آلات تورينج اعتباطية $M$ على مدخلات اعتباطية $x$، بما في ذلك آلات $M$ التي قد يكون لها حالات أكثر وأبجدية أكبر من $U$ نفسها. وبالتحديد، يمكن حتى استخدام $U$ في تقييم نفسها! وسنرى هذا المفهوم، وهو الإحالة إلى الذات (self reference)، يظهر مرارًا وتكرارًا في هذا الكتاب، وأنه يقود إلى عدة ظواهر مخالفة للحدس في الحوسبة.

إثبات وجود آلة تورينج شاملة

لكي نبرهن على مبرهنة — آلة تورينج الشاملة (بل وحتى لصياغتها بدقّة)، نحتاج إلى تثبيت تمثيل ما لآلات تورينج بوصفه سلاسل. أحد الخيارات الممكنة لهذا التمثيل هو استعمال التكافؤ بين آلات تورينج وبرامج NAND-TM، وبالتالي تمثيل آلة تورينج $M$ باستعمال ترميز ASCII لشيفرة المصدر لبرنامج NAND-TM المقابل $P$. غير أننا سنستعمل ترميزًا أكثر مباشرة.

باستعمال هذا التمثيل، يمكننا البرهان رسميًا على مبرهنة — آلة تورينج الشاملة.

# constants
def EVAL(δ,x):
    '''Evaluate TM given by transition table δ
    on input x'''
    Tape = ["▷"] + [a for a in x]
    i = 0; s = 0 # i = head pos, s = state
    while True:
        s, Tape[i], d = δ[(s,Tape[i])]
        if d == "H": break
        if d == "L": i = max(i-1,0)
        if d == "R": i += 1
        if i>= len(Tape): Tape.append('Φ')

    j = 1; Y = [] # produce output
    while Tape[j] != 'Φ':
        Y.append(Tape[j])
        j += 1
    return Y

يبني الإنشاء السابق آلة تورينج شاملة ذات عدد حالات كبير جدًا. غير أنه، وبما أن آلات تورينج الشاملة ذات أهمية فلسفية وتقنية بالغة، فقد حاول الباحثون إيجاد أصغر آلات تورينج شاملة ممكنة، انظر ملاحظات مرجعية.

آثار الشمولية (نقاش)

هناك أكثر من آلة تورينج واحدة $U$ تستوفي شروط مبرهنة — آلة تورينج الشاملة، لكن وجود آلة واحدة فقط من هذا النوع يكوّن بالفعل أمرًا أساسيًا إلى حد بعيد، لنظرية علوم الحاسوب وتطبيقاتها العملية. أثر مبرهنة — آلة تورينج الشاملة يتجاوز نموذج آلات تورينج بعينه. لأننا نستطيع محاكاة كل آلة تورينج ببرنامج NAND-TM وبالعكس، فإن مبرهنة — آلة تورينج الشاملة يعني فورًا وجود برنامج NAND-TM شامل $P_U$ بحيث $P_U(P,x)=P(x)$ لكل برنامج NAND-TM $P$. كما يمكننا أيضًا «المزج والمطابقة» بين النماذج. فمثلًا، بما أننا نستطيع محاكاة كل برنامج NAND-RAM بآلة تورينج، وكل آلة تورينج بحساب $\lambda$ (lambda calculus)، فإن مبرهنة — آلة تورينج الشاملة يعني وجود تعبير $\lambda$ $e$ بحيث لكل برنامج NAND-RAM $P$ ومدخل $x$ يُحقّق $P(x)=y$، فإن رمزنا $(P,x)$ على صورة تعبير $\lambda$ $f$ (باستعمال ترميز السلاسل في حساب $\lambda$ كقوائم من الأصفار والواحدات) فإن $(e\; f)$ يُقيَّم إلى ترميز لـ $y$. وبشكل أعم، يمكننا القول إن لكل $\mathcal{X}$ و $\mathcal{Y}$ في المجموعة $\{$ آلات تورينج، آلات RAM، NAND-TM، NAND-RAM، حساب $\lambda$، JavaScript، Python، $\ldots$ $\}$ من النماذج المتكافئة تورينجيًا، يوجد برنامج/آلة في $\mathcal{X}$ يحسب الخرائط $(P,x) \mapsto P(x)$ لكل برنامج/آلة $P \in \mathcal{Y}$.

فكرة «البرنامج الشامل» ليست بالطبع محصورة في النظرية. فمثلًا تُستعمل مترجَمات (compilers) لغات البرمجة في أحيان كثيرة لترجمة نفسها، فضلًا عن ترجمة برامج أعقد من المترجم نفسه. (ومن الأمثلة المتطرفة لذلك مُترجم C المُموَّه (Obfuscated Tiny C Compiler) لفابريس بيلار، وهو برنامج C بطول 2048 بايت يستطيع ترجمة مجموعة كبيرة من لغة C، وبالذات يستطيع ترجمة نفسه.) وهذا أيضًا مرتبط بحقيقة أنه من الممكن كتابة برنامج يطبع شيفرته المصدرية الخاصة، انظر الشكل التوضيحي. وهناك آلات تورينج شاملة معروفة تتطلب عددًا صغيرًا جدًا من الحالات أو من رموز الأبجدية، وبالخصوص هناك آلة تورينج شاملة (بالنسبة إلى اختيار معيّن لتمثيل آلات تورينج بوصفها سلاسل) أبجديتها $\{ \triangleright, \varnothing, 0, 1 \}$ ولديها أقل من $25$ حالة (انظر ملاحظات مرجعية).

هل كل دالة قابلة للحساب؟

في مبرهنة — شمولية NAND رأينا أن برامج NAND-CIRC تستطيع حساب كل دالة منتهية $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$. وعليه فإن التخمّن الطبيعي هو أن برامج NAND-TM (أو بما يكافئها، آلات تورينج) تستطيع حساب كل دالة لا نهائية $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$. غير أن الأمر يتبيّن أنه غير صحيح. أي إن توجد دالة $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ غير قابلة للحساب!

وجود الدوال غير القابلة للحساب مدهش إلى حد كبير. فتصوّرنا الحدسي لـ«الدالة» (والتصوّر الذي كان لدى معظم الرياضيين حتى القرن العشرين) هو أن الدالة $f$ تعرّف طريقة ضمنية أو صريحة لحساب الخرج $f(x)$ انطلاقًا من المدخل $x$. وهكذا يبدو مفهوم «الدالة غير القابلة للحساب» متناقضًا في ذاته، لكن النظرية التالية تُظهر هذه الكائنات موجودة فعلًا:

نوع الحجّة المستخدَمة لإثبات مبرهنة — الدوال غير القابلة للحساب يُعرف بـ_الحَجّ القطري_ (diagonalization)، إذ يمكن وصفه بأنه تعريف دالة بالاعتماد على مداخل القطر في جدول كما في الشكل التوضيحي. ويمكن التفكير في البرهان بوصفه نسخة لا نهائية من حجّة العدّ (counting) التي استعملناها لإثبات الحدّ الأدنى لبرامج NAND-CIRC في مبرهنة — حدٌّ أدنى من عدِّ الدوال. أي أننا نبيّن أنه من المستحيل حساب كل الدوال من $\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ بآلات تورينج، لمجرّد أن هناك عددًا من هذه الدوال أكبر من عدد آلات تورينج.

وكما ذُكر في ملاحظة — الدوال مقابل اللغات، فإن كثيرًا من الكتب تستعمل مصطلح «اللغة» (language)، ومن ثمّ فإنها تسمّي مجموعة $L \subseteq \{0,1\}^*$ لغةً غير قابلة للقرار أو غير تكرارية (non-recursive) إذا كانت الدالة $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ التي تحقّق $F(x)=1 \leftrightarrow x\in L$ غير قابلة للحساب.

مشكلة التوقّف

تبيّن مبرهنة — الدوال غير القابلة للحساب أن هناك بعضَ دالة لا يمكن حسابها. لكن هل هذه الدالة هي ما يعادل «الشجرة التي تسقط في الغابة دون أن يسمعها أحد»؟ أي إنها ربما دالة لا يريد أحد فعلًا حسابها. ويتبيّن أن هناك دوال غير قابلة للحساب طبيعية:

قبل أن ننتقل إلى إثبات مبرهنة — عدم قابلية حساب دالة التوقّف، نلاحظ أن $HALT$ دالة طبيعية جدًا نرغب في حسابها. فمثلًا يمكن التفكير في $HALT$ على أنها حالة خاصة من مهمة إدارة «متجر تطبيقات» (App store). أي إن، معطى شيفرة بعض التطبيقات، يحتاج حارس المتجر إلى أن يقرّر ما إذا كانت هذه الشيفرة آمنة بما يكفي للسماح بدخولها المتجر أم لا. على أقل تقدير، يبدو أنه علينا التحقق من أن الشيفرة لن تدخل في حلقة لا نهائية.

INPUT: $x\in \{0,1\}^*$
OUTPUT: $F^*(x)$
# Assume T.M. $M_{HALT}$ computes $HALT$

Let $z \leftarrow M_{HALT}(x,x)$. # Assume $z=HALT(x,x)$.
If{$z=0$}
return $1$
endif
Let $y \leftarrow U(x,x)$ # $U$ universal TM, i.e., $y=x(x)$
If{$y=1$}
return $0$
endif
Return $1$

هل مشكلة التوقّف صعبة حقًا؟ (نقاش)

أول ما يخطر بمخالب كثيرين عند رؤية برهان مبرهنة — عدم قابلية حساب دالة التوقّف هو ألّا يصدّقوه. أي إن معظم الناس يصدّقون العبارة الرياضية، لكنهم لا يشعرون حدسيًا بأن مشكلة التوقّف صعبة إلى هذا الحد. بعد كل شيء، عدم قابلية الحساب لا تعني سوى أن $HALT$ لا يمكن حسابها بآلة تورينج.

لكن المبرمجين يبدو أنهم يحلّون $HALT$ في كل وقت، وذلك بالجدال — رسميًا أو غير رسمي — في أن برامجهم تتوقّف. ومن الصحيح أن برامجهم مكتوبة بـ C أو Python، لا بآلات تورينج، لكن هذا لا يحدث أي فرق: فنحن نستطيع بسهولة الترجمة ذهابًا وإيابًا بين هذا النموذج وأي لغة برمجية أخرى.

وإن كان كل مبرمج يصطدم بحلقة لا نهائية في وقت ما، فهل حقًا لا توجد أي طريقة لحل مشكلة التوقّف؟ يقول بعض الناس إن هم أنفسهم يستطيعون، إن فكّروا بجدّية كافية، تحديد ما إذا كان أي برنامج ملموس يُعطَون له سيتوقّف أم لا. بل ذهب بعضهم إلى القول إن الإنسان بشكل عام يملك هذه القدرة، وبالتالي فإن الإنسان بذكاء يتفوّق بطبيعته على الحواسيب وعلى أي شيء آخر يُنمذَج بآلات تورينج.^[1]

أفضل إجابة لدينا حتى الآن هي أنه حقًا لا توجد أي طريقة لحل $HALT$، سواء باستعمال أجهزة Mac أو PC أو الحواسيب الكمّية أو البشر، أو أي تركيبة أخرى من الأجهزة الإلكترونية والميكانيكية والحيوية. وبالفعل، فإن هذا هو جوهر أطروحة كنغ-تورينج (Church-Turing Thesis). بالطبع لا يعني هذا أن تحديد ما إذا كان برنامج $P$ محتمل يدخل في حلقة لا نهائية يصعب بالنسبة لكل برنامج $P$ ممكن. بعض البرامج لا تحوي حلقات أصلًا (وبالتالي تتوقّف على نحو بديهي)، وهناك أمثلة كثيرة أقل إثارةً بكثير لبرامج يمكننا التحقّق من أنها لن تدخل أبدًا في حلقة لا نهائية (أو برامج نعرف بيقين أنها ستدخل في حلقة كهذه). غير أنه لا يوجد إجراء عام (general procedure) يحدّد ما إذا كان برنامج $P$ اعتباطي يتوقّف أم لا. وفضلا عن ذلك، هناك بعض البرامج البسيطة جدًا التي لا يعرف أحد ما إذا كانت تتوقّف أم لا. فمثلًا، سيتوقّف برنامج Python التالي إذا وفقط إذا كان حدس غولدباخ (Goldbach's conjecture) خاطئًا:

def isprime(p):
    return all(p % i for i in range(2,p-1))

def Goldbach(n):
    return any( (isprime(p) and isprime(n-p))
           for p in range(2,n-1))

n = 4
while True:
    if not Goldbach(n): break
    n+= 2

وبما أن حدس غولدباخ مفتوح منذ عام 1742، فإن من غير الواضح أن للبشر أي قدرة سحرية على القول ما إذا كان هذا البرنامج (أو برامج مشابهة له) سيتوقّف أم لا.

برهان مباشر لعدم قابلية حساب $HALT$ (اختياري)

يتبيّن أنه يمكننا جمع أفكار برهاني مبرهنة — الدوال غير القابلة للحساب و مبرهنة — عدم قابلية حساب دالة التوقّف للحصول على برهان قصير للنظرية الأخيرة، لا يلجأ إلى عدم قابلية حساب $F^*$. وقد ظهر هذا البرهان القصير مطبوعًا في رسالة عام 1965 إلى محرّر مجلة The Computer Journal:

إلى المحرّر، مجلة The Computer Journal.

برنامج مستحيل

سيدي المحترم،

هناك قطعة مشهورة من الحكاية الشائعة بين المبرمجين تقول إنه من المستحيل كتابة برنامج يستطيع فحص أي برنامج آخر ويخبرنا في كل حالة بما إذا كان سينتهي أم سيدخل في حلقة مغلقة عند تشغيله. ولم أَرَ قط برهانًا مطبوعًا لهذا، ومع أن آلان تورينج أعطى لي برهانًا شفويًا مرة (في عربة قطار في طريقنا إلى مؤتمر في NPL عام 1953)، فإنني نسيتُ التفاصيل على نحو لسوء حظّي وحالًا. وهذا ترك لديّ شعورًا مضطربًا بأن البرهان يجب أن يكون طويلًا أو معقّدًا، لكنه في الواقع قصير وبسيط إلى حدّ قد يهمّ القراء العابثين. وتستعمل النسخة أدناه CPL، لكن ليس على أي نحو جوهري.

لنفترض أن T[R] دالة بوليانية تأخذ إجراءً (أو برنامجًا) R مجرّدًا من المتغيّرات الشكليّة أو الحرّة كوسائط لها، وأنها لكل R تحقق T[R] = True إذا كان R ينتهي عند تشغيله، و T[R] = False إذا لم يكن R ينتهي.

اعتبر الإجراء P المعرَّف كالتالي

rec routine P
§L: if T[P] go to L
Return §

إذا كان T[P] = True فسيعمل الإجراء P في حلقة، ولن ينتهي إلا إذا كان T[P] = False. وفي كل حالة تكون القيمة T[P] خاطئة تمامًا، وهذا التناقض يُظهر أن الدالة T لا يمكن أن توجد.

وتفضّلوا بقبول فائق الاحترام،
سي. ستراتشي

كلية تشرشل، كامبريدج

وبما أن CPL لم يعد شائعًا اليوم، فلنُعد عرض هذا البرهان. الفكرة كالتالي: لنفرض، طلبًا للتناقض، أن هناك برنامجًا T بحيث T(f,x) يساوي True إذا وفقط إذا كان f يتوقّف عند المدخل x. (تعتبر رسالة ستراتشي صيغة $HALT$ بلا مدخلات، لكن كما سنرى، فهذا تمييز غير جوهري.) عندئذ يمكننا إنشاء برنامج P ومدخل x بحيث يعطي T(P,x) الجواب الخاطئ. والفكرة أن البرنامج P عند المدخل x سيفعل ما يلي: ينفّذ T(x,x)، فإذا كان الجواب True دخل في حلقة لا نهائية، وإلا فتوقّف. والآن ترى أن T(P,P) سيعطي الجواب الخاطئ: إذا توقّف P حين يحصل على شيفرته الخاصة كمدخل، فإن T(P,P) يُفترض أن تكون True، لكن عندئذ سيدخل P(P) في حلقة لا نهائية. وإذا لم يتوقّف P، فإن T(P,P) يُفترض أن تكون False، لكن عندئذ سيتوقّف P(P). ويمكننا أيضًا كتابة هذا في Python:

def CantSolveMe(T):
    """
    Gets function T that claims to solve HALT.
    Returns a pair (P,x) of code and input on which
    T(P,x) ≠ HALT(x)
    """
    def fool(x):
        if T(x,x):
            while True: pass
        return "I halted"

    return (fool,fool)

فمثالًا، خُذ بعين الاعتبار برنامج Python البسيط التالي T الذي يخمّن أن دالة معطاة لا تتوقّف إذا كان مدخلها يحتوي while أو for

def T(f,x):
    """Crude halting tester - decides it doesn't halt if it contains a loop."""
    import inspect
    source = inspect.getsource(f)
    if source.find("while"): return False
    if source.find("for"): return False
    return True

والآن إذا جعلنا (f,x) = CantSolveMe(T)، فإن T(f,x)=False بينما f(x) تتوقّف فعلًا. وبالطبع هذا ليس خاصًّا بهذا T بعينه: فلكل برنامج T، إذا شغّلنا (f,x) = CantSolveMe(T)، فسنحصل على مدخل يعطي عنده T جوابًا خاطئًا لـ $HALT$.

الاختزال

تبيّن أن مشكلة التوقّف هي محور عدم قابلية الحساب، بمعنى أن مبرهنة — عدم قابلية حساب دالة التوقّف استُعمل لإثبات عدم قابلية حساب عدد كبير جدًا من الدوال المثيرة. سنرى في هذا الفصل وفي التمارين عدة أمثلة لمثل هذه النتائج، لكن هناك نتائج أخرى كثيرة (انظر الشكل التوضيحي).

الفكرة وراء نتائج عدم قابلية الحساب هذه بسيطة من الناحية المفاهيمية، لكنها قد تكون محيِّرة في البداية. فإذا كنا نعرف أن $HALT$ غير قابلة للحساب، وأردنا أن نبيّن أن دالة أخرى $BLAH$ غير قابلة للحساب، فيمكننا فعل ذلك بحجّة عكسية (contrapositive) (أي بالبرهان بالتناقض). أي إننا نبيّن أنّ إن كانت هناك آلة تورينج تحسب $BLAH$ فإن هناك آلة تورينج تحسب $HALT$. (وبالفعل، هكذا بيّنا بالضبط أن $HALT$ نفسها غير قابلة للحساب، إذ استخرجنا هذه الحقيقة من عدم قابلية حساب الدالة $F^*$ في مبرهنة — الدوال غير القابلة للحساب.)

فمثلًا، لإثبات أن $BLAH$ غير قابلة للحساب، يمكننا أن نبيّن أنه توجد دالة قابلة للحساب $R:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$ بحيث لكل زوج $M$ و $x$، يكون $HALT(M,x)=BLAH(R(M,x))$. ووجود دالة $R$ كهذه يعني أنّ إن كانت $BLAH$ قابلة للحساب فإن $HALT$ ستكون قابلة للحساب أيضًا، مما يقود إلى تناقض! والجزء المحيّر في الاختزال أننا نفترض شيئًا نعتقد أنه خاطئ (أنّ $BLAH$ لها خوارزمية) لنستنتج شيئًا نعرف أنه خاطئ (أنّ $HALT$ لها خوارزمية). ويصف مايكل سيبسر هذه النتائج بأنها تأخذ الشكل «إذا كان الخنازير تستطيع الصفير لأمكنت الخيل أن تحلّق».

يتكوّن البرهان المبني على الاختزال من مكوّنين. للبداية، بما أننا نحتاج إلى أن تكون $R$ قابلة للحساب، علينا أن نصف الخوارزمية التي تحسبها. وتُعرف الخوارزمية التي تحسب $R$ بـ_اختزال_ (reduction)، إذ إن التحويل $R$ يحوّل مدخلًا لـ $HALT$ إلى مدخل لـ $BLAH$، وبالتالي يختزل مهمة حساب $HALT$ في مهمة حساب $BLAH$. والمكوّن الثاني في البرهان المبني على الاختزال هو التحليل (analysis) للخوارزمية $R$: أي برهان على أن $R$ تستوفي بالفعل الصفات المطلوبة.

البراهين المبنية على الاختزال تشبه غيرها من البراهين بالتناقض، لكن الحقيقة أنها تتضمّن خوارزميات افتراضية غير موجودة فعلًا، وهذا ما يجعل الاختزال محيِّرًا إلى حد كبير. والبُدء الوحيد في الحل هو أن مفهوم الاختزال، في نهاية المطاف، بسيط إلى حد كبير رياضيًا، ولذلك فليس الأمر سيئًا جدًا حتى لو اضطررت إلى العودة إلى المبادئ الأولى كلما احتجت إلى تذكّر الاتجاه الذي يجب أن يسلكه الاختزال.

مثال: مشكلة التوقّف على الصفر

إليك مثالًا ملموسًا على برهان بالاختزال. نعرّف الدالة $HALTONZERO:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ كالتالي. معطى أي سلسلة $M$، يكون $HALTONZERO(M)=1$ إذا وفقط إذا كانت $M$ تصف آلة تورينج تتوقّف عند إعطائها السلسلة $0$ كمدخل. قبل كل شيء، تبدو $HALTONZERO$ دالة يحتمل أن تكون أسهل في الحساب من دالة $HALT$ الكاملة، ولذلك قد نأمل ألّا تكون غير قابلة للحساب. لكن، للأسف، تُظهر النظرية التالية أن الأمر ليس كذلك:

INPUT: Turing machine $M$ and string $x$.
OUTPUT: Turing machine $M'$ such that $M$ halts on $x$ iff $M'$ halts on zero

Procedure{$N_{M,x}$}{$w$} # Description of the T.M. $N_{M,x}$
 Return $EVAL(M,x)$ # Ignore the input $w$, evaluate $M$ on $x$.
Endprocedure

Return $N_{M,x}$ # We do not execute $N_{M,x}$: only return its description

def N(z):
    M = r'.......'
    # a string constant containing desc. of M
    x = r'.......'
    # a string constant containing x
    return eval(M,x)
    # note that we ignore the input z

نظرية رايس واستحالة التحقق البرمجي العام

يتبيّن أن عدم قابلية حساب مشكلة التوقّف حالة خاصة من ظاهرة أعمّ بكثير. أي إنّنا لا نستطيع التصديق على الخصائص الدلالية (semantic properties) للبرامج العامة الغرض. وتعني «الخصائص الدلالية» خصائصَ الدالة التي يحسبها البرنامج، على عكس الخصائص التي تعتمد على الصياغة (syntax) الخاصة المستعملة في البرنامج.

مثال على خاصية دلالية لبرنامج $P$ هو الخاصية القائلة إن كلما أُعطي $P$ سلسلة مدخلات فيها عدد زوجي من $1$'s، فهو يُخرج $0$.

ومثال آخر هو الخاصية القائلة إن $P$ ستتوقّف دائمًا متى ما انتهى المدخل بـ $1$. وبالمقابل، الخاصية القائلة إن برنامج C يحتوي على تعليق قبل كل تعريف دالة ليست خاصية دلالية، لأنها تعتمد على الشيفرة المصدرية الفعلية لا على علاقة المدخل/الخرج.

والتحقّق من الخصائص الدلالية للبرامج ذا أهمية بالغة، لأنه يماثل التحقّق مما إذا كان برنامج ما يطابق مواصفة (specification). لكن، للأسف، يتبيّن أن هذه الخصائص غير قابلة للحساب في العموم. لقد رأينا بالفعل بعض الأمثلة على الدوال الدلالية غير القابلة للحساب، وهي $HALT$ و $HALTONZERO$، لكن هذه ليست سوى «قمة جبل الجليد». ونبدأ بملاحظة مثال آخر من هذا النوع:

ونتيجة أخرى على خط متوازٍ هي التالية:

نظرية رايس

يمكن تعميم مبرهنة — عدم قابلية حساب التحقّق من التكافؤ إلى ما هو أبعد بكثير من دالة التكافؤ. وفي الواقع، هذا التعميم يستبعد التحقّق من أي نوع من المواصفات الدلالية على البرامج. ونعرّف المواصفة الدلالية (semantic specification) على البرامج بأنها خاصية لا تعتمد على شيفرة البرنامج بل على الدالة التي يحسبها البرنامج فحسب.

فمثالًا، خُذ بعين الاعتبار برنامجَي C التاليين

int First(int n) {
    if (n<0) return 0;
    return 2*n;
}

int Second(int n) {
    int i = 0;
    int j = 0
    if (n<0) return 0;
    while (j<n) {
        i = i + 2;
        j = j + 1;
    }
    return i;
}

First و Second برنامجان مختلفان في C، لكنهما يحسبان الدالة نفسها. والخاصية الدلالية ستكون إما صادقة للبرنامجين معًا أو كاذبة لهما معًا، لأنها تعتمد على الدالة التي يحسبها البرنامجان لا على شيفرتيهما. ومن أمثلة الخاصية الدلالية التي يحققها كلٌّ من First و Second ما يلي: «البرنامج $P$ يحسب دالة $f$ تُسقط الأعداد الصحيحة على الأعداد الصحيحة بحيث $f(n) \geq n$ لكل مدخل $n$».

والخاصية غير دلالية إذا كانت تعتمد على الشيفرة المصدرية لا على سلوك المدخل/الخرج. فمثالًا، الخصائص مثل «البرنامج يحوي المتغيّر k» أو «البرنامج يستعمل العملية while» ليست دلالية. فمثل هذه الخصائص قد تكون صادقة لأحد البرنامجين وكاذبة للآخرين. ونعرّف الخصائص الدلالية رسميًا كالتالي:

وهناك مثالان تافهان على الدوال الدلالية: دالة الواحد الثابتة ودالة الصفر الثابتة. فمثلًا، إذا كانت $Z$ هي دالة الصفر الثابتة (أي $Z(M)=0$ لكل $M$)، فمن الواضح أن $F(M)=F(M')$ لكل زوج من آلات تورينج $M$ و $M'$ المتكافئتين وظيفيًا. وها هو مثال غير تافه

غالبًا ما تكون الخصائص التي تهمّنا أكثر من غيرها في الحساب هي الخصائص الدلالية، لأننا نريد أن نفهم وظائفية البرامج. وللأسف، تخبرنا نظرية رايس أن هذه الخصائص جميعها غير قابلة للحساب:

Yale[0] = NAND(X[0],X[0])
Y[0] = NAND(X[0],Yale[0])

Harvard[0] = NAND(X[0],X[0])
Y[0] = NAND(X[0],Harvard[0])

التوقّف ونظرية رايس لنماذج تورينج الكاملة الأخرى

كما رأينا سابقًا، تبيّن أن كثيرًا من نماذج الحوسبة الطبيعية متكافئة فيما بينها، بمعنى أننا نستطيع تحويل «برنامج» من نموذج (مثل تعبير $\lambda$، أو configurations لعبة الحياة) إلى نموذج آخر (مثل برنامج NAND-TM). وهذا التكافؤ يعني أننا نستطيع ترجمة عدم قابلية حساب مشكلة التوقّف لبرامج NAND-TM إلى عدم قابلية الحساب لمسألة التوقّف في النماذج الأخرى.

فمثالًا:

وينتقل البرهان نفسه إلى نماذج حوسبة أخرى مثل حساب $\lambda$ و_المصفوفات الآلية_ (automata) ثنائية البعد (أو حتى أحادية البعد) وغيرها. وعليه فمثلًا لا توجد خوارزمية لتحديد ما إذا كان تعبير $\lambda$ يُقيَّم إلى دالة الهوية، ولا خوارزمية لتحديد ما إذا كانت configuration ابتدائية في لعبة الحياة ستؤدي في النهاية إلى تلوين الخلية $(0,0)$ بالسواد أم لا.

وبالفعل يمكننا تعميم نظرية رايس على كل هذه النماذج. فمثلًا، إذا كانت $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ دالة غير تافهة بحيث $F(P)=F(P')$ لكل برنامجَي NAND-TM متكافئين وظيفيًا $P,P'$، فإن $F$ غير قابلة للحساب، وينطبق الأمر نفسه على برامج NAND-RAM وعلى تعبيرات $\lambda$ وعلى كل نماذج تورينج الكاملة الأخرى (بحسب تعريفها في تعريف — اكتمال تورينج والتكافؤ (اختياري))، وانظر أيضًا تمرين — نظرية رايس للنماذج المتكافئة تورينجيًا العامة (اختياري).

هل التحقّق البرمجي محكوم بالهزيمة؟ (نقاش)

تُستعمل البرامج على نحو متزايد في الأغراض الحرجة، سواء كانت تشغّل نظامنا المصرفي أو تُقلّع الطائرات أو تراقب المفاعلات النووية. وإذا كنا لا نستطيع حتى تقديم خوارزمية تصديق بأن برنامجًا ما يحسب دالة التكافؤ على نحو صحيح، فكيف يمكننا أبدًا أن نطمئن إلى أن برنامجًا ما يفعل ما يُفترض أن يفعله؟ الفكرة الجوهرية هي أنه يستحيل التصديق على أن برنامجًا عامًا يطابق مواصفة ما، لكنه ممكن كتابة البرنامج من الأساس بطريقة تجعل تصديقه أسهل. فمثالًا تافهًا، إذا كتبت برنامجًا بلا حلقات، فيمكنك التصديق على أنه يتوقّف. كما أنه، وإن كان من المستحيل التصديق على أن برنامجًا اعتباطيًا يحسب دالة التكافؤ، فمن الممكن تمامًا كتابة برنامج بعينه $P$ يمكننا رياضيًا إثبات أن $P$ يحسب التكافؤ. وبالفعل، كتابة البرامج أو الخوارزميات وتقديم البراهان على صحتها هو ما نفعله طوال الوقت في أبحاث الخوارزميات.

يهمّ مجالُ التحقّق البرمجي (software verification) التحقّقَ من أن البرامج المعطاة تستوفي شروطًا معيّنة. قد تكون هذه الشروط أن البرنامج يحسب دالة معيّنة، أو أنه لا يكتب أبدًا في موقع ذاكرة خطِر، أو أنه يحترم ثوابت معيّنة (invariants)، وغيرها. ورغم أن المهمّة العامة للتحقّق من ذلك قد تكون غير قابلة للحساب، فقد تمكّن الباحثون من فعل ذلك في حالات كثيرة مهمة، وخصوصًا إذا كان البرنامج مكتوبًا من الأساس بصياغة أو لغة برمجية تجعل التحقّق أسهل. ومع ذلك، يبقى التحقّق — وخاصةً تحقّق البرامج الكبيرة والمعقّدة — مهمّة شديدة الصعوبة عمليًا أيضًا، ولا يزال عدد البرامج التي ثبتت صحتها رسميًا صغيرًا إلى حد بعيد. وفضلا عن ذلك، فإن حتى صياغة النظرية الصحيحة لإثباتها (أي المواصفة) غالبًا ما تكون مهمّة غير تافهة إلى حد كبير.