تعريف الحوسبة

"لا يوجد سبب يمنع من الاقتصاد في العمل العقلي كما في العمل البدني بمعاونة الآلات"، تشارلز بابيج، 1852

"إن لم ينبّهه مثالُي، وشرع أي رجل في بناء مُحرّك يجسّد في ذاته كامل القسم التنفيذي من التحليل الرياضي على مبادئ مختلفة أو بوسائل ميكانيكية أبسط، فلا أخشى أن أترك سمعتي في عهده، إذ هو وحده القادر تمامًا على تقدير طبيعة جهدي وقيمة نتائجه."، تشارلز بابيج، 1864

"لفهم برنامج لا بدّ أن تصير في آن واحد الماكينة والبرنامج"، آلان بيرليس، 1982

لقد كان الناس يحسبون لآلاف السنين، بمعونات لا تقتصر على القلم والورق، بل تشمل العدّاد (abacus) والمسطرةَ الحسابية (slide rules) والأجهزةَ الميكانيكيةَ المتنوعة، والحواسيبَ الإلكترونيةَ الحديثة. من حيث المبدأ، تبدو فكرة الحوسبة مرتبطة بالأداة التي تستخدمها بعينها. قد تظنّ أن الخوارزمية «الأفضل» لضرب الأعداد ستكون مختلفة إن نفّذتها في Python على حاسوب محمول حديث عمّا لو استخدمت القلم والورق. غير أننا، كما رأينا في المقدمة (مقدمة)، فإن الخوارزمية الأفضل من حيث السلوك التصاعدي (asymptotically better) كانت لتتفوّق في النهاية على خوارزمية أضعف مهما كانت التقنية الكامنة. وهذا يمنحنا أملًا في طريقة مستقلة عن التقنية (technology independent) لتعريف الحوسبة. وهذا هو ما نفعله في هذا الفصل. سنعرّف فكرة حساب مُخرَج من مُدخَل عبر تطبيق تسلسل من العمليات الأساسية (انظر الشكل التوضيحي). وباستخدام هذا، سنتمكن من تعريف عبارات مثل «الدالة $f$ يمكن حسابها بالنموذج $X$» أو «الدالة $f$ يمكن حسابها بالنموذج $X$ باستخدام $s$ عمليات» بدقّة.

تعريف الحوسبة

اسم «الخوارزمية» مشتق من النقل اللاتيني لاسم محمد بن موسى الخوارزمي. كان الخوارزمي عالمًا فارسيًا في القرن التاسع الميلادي، عرّض كتبه العالمَ الغربي على نظام الأرقام العشري الموضعي، فضلًا عن حلول المعادلات من الدرجة الأولى والثانية (انظر الشكل التوضيحي). غير أن أوصاف الخوارزميات عند الخوارزمي كانت غير رسمية إلى حدٍّ كبير بمقاييس اليوم. فهو لم يستخدم «متغيّرات» مثل $x,y$، بل استخدم أعدادًا بعينها مثل 10 و39، ووثق في القارئ أن يكون قادرًا على التعميم انطلاقًا من هذه الأمثلة، تمامًا كما لا يزال تُعلَّم الخوارزميات للأطفال اليوم.

إليك كيف وصف الخوارزمي خوارزمية حل معادلة من الشكل $x^2 +bx = c$:

[كيف تحلّ معادلة من الشكل ] «الجذور والمربعات تساوي أعدادًا»: على سبيل المثال «مربع واحد، وعشرة جذور منه، مجموعها تسعة وثلاثون درهمًا»، أي ما هو المربع الذي إذا زيد إليه عشرة من جذره بلغ تسعة وثلاثين؟ الحل هو هذا: أنصِف عدد الجذور، فيصير في هذه الحالة خمسة. اضرب هذا في نفسه، فيكون الناتج خمسة وعشرين. أضِف هذا إلى تسعة وثلاثين، فيكون المجموع أربعة وستين. خُذ الآن جذر هذا المجموع، وهو ثمانية، واطرح منه نصف عدد الجذور، وهو خمسة، فيبقى ثلاثة. هذا هو جذر المربع الذي كنت تبحث عنه؛ وأما المربع نفسه فتسعة.

ولأغراض هذا الكتاب، سنحتاج إلى طريقة أدقّ بكثير لوصف الخوارزميات. ولحسن الحظ (أو لسوء الحظ؟)، على الأقل في الوقت الحالي، تتأخر الحواسيب كثيرًا في التعلّم من الأمثلة مقارنةً بأطفال سنّ المدرسة. ولهذا، في القرن العشرين، ابتكر الناس صيغًا رسمية دقيقة لوصف الخوارزميات، وهي لغات البرمجة. إليك خوارزمية الخوارزمي لحل المعادلات من الدرجة الثانية مصوغةً بلغة البرمجة Python:

from math import sqrt
#Pythonspeak to enable use of the sqrt function to compute square roots.

def solve_eq(b,c):
    # return solution of x^2 + bx = c following Al Khwarizmi's instructions
    # Al Kwarizmi demonstrates this for the case b=10 and c= 39

    val1 = b / 2.0 # "halve the number of the roots"
    val2 = val1 * val1 # "this you multiply by itself"
    val3 = val2 + c # "Add this to thirty-nine"
    val4 = sqrt(val3) # "take the root of this"
    val5 = val4 - val1 # "subtract from it half the number of roots"
    return val5  # "This is the root of the square which you sought for"

# Test: solve x^2 + 10*x = 39
print(solve_eq(10,39))
# 3.0

يمكننا تعريف الخوارزميات إجرائيًا على النحو التالي:

في هذا الفصل سنجعل هذا التعريف الإجرائي دقيقًا باستخدام نموذج الدوائر المنطقية (Boolean Circuits). وسنبيّن أن الدوائر المنطقية متكافئة في القدرة مع البرامج المستقيمة (straight line programs) المكتوبة بلغات برمجة «فائقة البساطة» لا تحوي حتى حلقات تكرار. وسنرى أيضًا أن الاختيار بعينه للعمليات الأولية (elementary operations) لا أهمية له، وأن اختيارات كثيرة مختلفة تُنتج نماذج متكافئة القدرة (انظر الشكل التوضيحي). غير أننا سنحتاج إلى بعض الوقت حتى نصل إلى ذلك. وسنبدأ بمناقشة ما هي «العمليات الأولية»، وكيف نحوّل وصفًا لخوارزمية إلى عملية فيزيائية فعلية تُنتج مُخرجًا من مُدخل في العالم الحقيقي.

الحساب باستخدام AND وOR وNOT.

تفكّك الخوارزمية الحسابَ المعقّد إلى سلسلة من خطوات أبسط. وتنفيذ هذه الخطوات ممكن بطرق متنوّعة مختلفة، منها:

• كتابة الرموز على ورقة.

• تعديل التيار الكهربائي الذي يجري في الأسلاك.

• ربط بروتينٍ بخيط من الحمض النووي.

• الاستجابة لمنبّه من جانب عنصر في مجموعة (مثل نحلة في مستعمرة، أو تاجر في سوق).

ولكي نعرّف الخوارزميات تعريفًا رسميًا، فلنحاول أن «نميل إلى جهة البساطة» وأن نمذجة «خطواتنا الأساسية» بوصفها بالغة الدقّة. فمثلًا، إليك بعض الدوال البسيطة جدًا:

• $OR:\{0,1\}^2 \rightarrow \{0,1\}$ المعرَّفة بما يلي:

• $AND:\{0,1\}^2 \rightarrow \{0,1\}$ المعرَّفة بما يلي:

• $NOT:\{0,1\} \rightarrow \{0,1\}$ المعرَّفة بما يلي:

الدوال $AND$ و$OR$ و$NOT$ هي المشغّلات المنطقية الأساسية المستخدمة في المنطق وفي أنظمة حواسوب كثيرة. وفي سياق المنطق، من الشائع استعمال التدوين $a \wedge b$ للدالة $AND(a,b)$، و$a \vee b$ للدالة $OR(a,b)$، و$\overline{a}$ و$\neg a$ للدالة $NOT(a)$، وسنستعمل هذا التدوين أيضًا.

كل واحدة من الدوال $AND,OR,NOT$ تأخذ إمّا بتًّا واحدًا أو اثنين كمدخل، وتُنتج بتًّا واحدًا كمخرج. ومن البديهي أنها لا يمكن أن تكون أكثر أولية من ذلك. غير أن القدرة الحوسبية مصدرها تركيب هذه القوالب الأولية البسيطة معًا.

def MAJ(X[0],X[1],X[2]):
    firstpair  = AND(X[0],X[1])
    secondpair = AND(X[1],X[2])
    thirdpair  = AND(X[0],X[2])
    temp       = OR(secondpair,thirdpair)
    return OR(firstpair,temp)

بعض خواص AND وOR

كما في الجمع والضرب المعياريَّين، فإن الدالتين $AND$ و$OR$ تستوفيان خاصيتي التبديل (commutativity): $a \vee b = b \vee a$ و$a \wedge b = b \wedge a$، وخاصية التجميع (associativity): $(a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)$ و$(a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)$. وكما في حالة الجمع والضرب، فإننا نُسقط الأقواس غالبًا ونكتب $a \vee b \vee c \vee d$ بدلًا من $((a \vee b) \vee c) \vee d$، وكذلك في حالات OR وAND لأكثر من حدّ. كما أنهما تستوفيان صيغةً من صيغ قانون التوزيع:

مثال موسّع: حساب $XOR$ من $AND$ و$OR$ و$NOT$

لِنَرَ كيف يمكننا الحصول على دالة مختلفة من القوالب البناءية نفسها. لنُعرِّف $XOR:\{0,1\}^2 \rightarrow \{0,1\}$ لتكون الدالة $XOR(a,b)= a + b \mod 2$. أي أن $XOR(0,0)=XOR(1,1)=0$ و$XOR(1,0)=XOR(0,1)=1$. ونحن ندّعي أنه يمكننا بناء $XOR$ باستخدام $AND$ و$OR$ و$NOT$ لا غير.

تحسب الخوارزمية التالية $XOR$ باستخدام $AND$ و$OR$ و$NOT$:

Input: $a,b \in \{0,1\}$.
Output: $XOR(a,b)$

$w1 \leftarrow AND(a,b)$

$w2 \leftarrow NOT(w1)$

$w3 \leftarrow OR(a,b)$

return $AND(w2,w3)$

كما يمكننا التعبير عن الخوارزمية خوارزمية — XOR من AND/OR/NOT بلغة برمجة. وعلى وجه التحديد، إليك برنامج Python يحسب الدالة $XOR$:

def AND(a,b): return a*b
def OR(a,b):  return 1-(1-a)*(1-b)
def NOT(a):   return 1-a

def XOR(a,b):
    w1 = AND(a,b)
    w2 = NOT(w1)
    w3 = OR(a,b)
    return AND(w2,w3)

# Test out the code
print([f"XOR({a},{b})={XOR(a,b)}" for a in [0,1] for b in [0,1]])
# ['XOR(0,0)=0', 'XOR(0,1)=1', 'XOR(1,0)=1', 'XOR(1,1)=0']

def XOR3(a,b,c):
    w1 = AND(a,b)
    w2 = NOT(w1)
    w3 = OR(a,b)
    w4 = AND(w2,w3)
    w5 = AND(w4,c)
    w6 = NOT(w5)
    w7 = OR(w4,c)
    return AND(w6,w7)

# Let's test this out
print([f"XOR3({a},{b},{c})={XOR3(a,b,c)}" for a in [0,1] for b in [0,1] for c in [0,1]])
# ['XOR3(0,0,0)=0', 'XOR3(0,0,1)=1', 'XOR3(0,1,0)=1', 'XOR3(0,1,1)=0', 'XOR3(1,0,0)=1', 'XOR3(1,0,1)=0', 'XOR3(1,1,0)=0', 'XOR3(1,1,1)=1']

تعريف «العمليات الأساسية» و«الخوارزميات» إجرائيًا

لقد رأينا أننا يمكننا الحصول على بعض الأمثلة على الأقل من الدوال المهمة، عبر تركيب $AND$ و$OR$ و$NOT$ معًا. وهذا يوحي إلينا باستعمال $AND$ و$OR$ و$NOT$ بوصفها «عملياتنا الأساسية»، فنحصل على التعريف التالي لـ«الخوارزمية»:

يثير هذا التعريف عدة مخاوف:

1. أولًا وقبل كل شيء، هذا التعريف غير رسمي فعلًا. فنحن لا نحدّد بدقّة ما الذي تفعله كل خطوة، ولا ما الذي يعنيه «إدخال $x$ كمدخل».

2. ثانيًا، يبدو اختيار $AND$ أو $OR$ أو $NOT$ عشوائيًا إلى حدٍّ كبير. ولماذا لا $XOR$ و$MAJ$؟ ولماذا لا نسمح بعمليات مثل الجمع والضرب؟ وماذا عن أي بِنَى منطقية أخرى مثل if/then أو while؟

3. ثالثًا، هل نعرف أصلًا أن لهذا التعريف علاقة بأي حساب فعلي؟ فلو أعطى أحدهم لنا وصفًا لخوارزمية كهذه، فهل يمكننا استعمالها فعلًا لحساب الدالة في العالم الحقيقي؟

سيُخصَّص جزء كبير من هذا الكتاب لمعالجة المسائل أعلاه. وسنرى أن:

1. يمكننا أن نجعل تعريف الخوارزمية رسميًا تمامًا، وبالتالي منح معنى رياضيًا دقيقًا لعبارات مثل «الخوارزمية $A$ تحسب الدالة $f$».

2. ورغم أن اختيار $AND$/$OR$/$NOT$ عشوائي، وأن كان بإمكاننا أن نختار دوال أخرى بالقدر نفسه، فسنرى أيضًا أن هذا الاختيار لا أهمية كبيرة له. وسنرى أننا لو استخدمنا بدلًا منه الجمع والضرب، بل وكل عملية أخرى يمكن اعتبارها بصورة معقولة خطوةً أساسية، لَحَصّلنا على القدرة الحوسبية نفسها.

3. ويبيّن الأمر في الواقع أننا يمكننا أن نحسب هذه «الخوارزميات المعتمدة على $AND$/$OR$/$NOT$» في العالم الحقيقي، بل إننا نفعل ذلك فعلًا. أولًا، مثل هذه الخوارزمية محدَّدة بدقّة واضح، ولذلك يمكن تنفيذها من إنسان بقلم وورقة. وثانيًا، هناك طرائق متنوّعة لآلية (mechanize) هذا الحساب. لقد رأينا بالفعل أننا نستطيع كتابة شيفرة Python تقابل اتباع قائمة التعليمات هذه. لكننا في الواقع نستطيع تنفيذ عمليات مثل $AND$ و$OR$ و$NOT$ مباشرةً عبر إشارات إلكترونية باستخدام مكوّنات تُعرف بالـ_ترانزستورات_ (transistors). هكذا تعمل الحواسيب الإلكترونية الحديثة.

وفي بقية هذا الفصل، وفي بقية هذا الكتاب، سنبدأ في الإجابة عن بعض هذه الأسئلة. وسنرى أمثلة أكثر على قوة العمليات البسيطة في حساب عمليات أعقد، منها الجمع والضرب والترتيب وغيرها. وسنناقش أيضًا كيف نُنفّذ فيزيائيًا عمليات بسيطة مثل $AND$ و$OR$ و$NOT$ باستخدام تقنيات متنوّعة.

الدوائر المنطقية

توفّر الدوائر المنطقية (Boolean circuits) مفهومًا دقيقًا لـ«تركيب العمليات الأساسية معًا». تتألف الدائرة المنطقية (انظر الشكل التوضيحي) من بوابات و_مُدخلات_ متّصلة بواسطة أسلاك. تحمل الأسلاك إشارة تمثّل إمّا القيمة $0$ وإمّا القيمة $1$. تقابل كل بوابة إمّا عملية OR أو AND أو NOT. وللبوابة OR سلكان داخليان، وسلك خارج واحد أو أكثر. إذا حمل هذان السلكان الداخليان الإشارتين $a$ و$b$ (من أجل $a,b \in \{0,1\}$)، فإن الإشارة على الأسلاك الخارجية ستكون $OR(a,b)$. وتُعرَّف بوابتا AND و_NOT_ بالمثل. أما المُدخلات فليس لها إلا أسلاك خارجة. إذا عيّننا مُدخلًا معيّنًا على القيمة $a\in \{0,1\}$، فإن هذه القيمة تنتشر على كل الأسلاك الخارجة منه. كما نُعيّن بعض البوابات لتكون بوابات مُخرَج، وتُقابل قيمتها نتيجة تقييم الدائرة. على سبيل المثال، يقدّم الشكل التوضيحي دائرة كهذه للدالة $XOR$، وفق مثال موسّع: حساب XOR من AND وOR وNOT. نُقيّم دائرة منطقية ذات $n$ مُدخلًا $C$ على مُدخل $x\in \{0,1\}^n$ بوضع بتات $x$ على المُدخلات، ثم نشر القيم على الأسلاك حتى نصل إلى مُخرج، انظر الشكل التوضيحي.

الدوائر المنطقية: تعريف رسمي

عرّفنا الدوائر المنطقية إجرائيًا بأنها ما يُحصل عليه بوصل بوابات AND و_OR_ و_NOT_ بواسطة أسلاك لإنتاج مُخرج من مُدخل. غير أنه، لكي نتمكّن من إثبات مبرهنات حول وجود دوائر منطقية تحسب دوالّ متنوّعة أو عدم وجودها، نحتاج إلى:

1. أن نعرّف الدائرة المنطقية رسميًا بوصفها كائنًا رياضيًا.

2. أن نعرّف رسميًا معنى قول الدائرة $C$ إنها تحسب الدالة $f$.

وسنقوم الآن بذلك. سنعرّف الدائرة المنطقية بأنها رسم بياني موجَّه غير دوري (Directed Acyclic Graph) مُوسَم. وتُقابل رؤوس (vertices) الرسم البياني بوابات الدائرة ومُدخلاتها، بينما تُقابل حواف (edges) الرسم البياني الأسلاك. السلك الذي ينتقل من مُدخل أو بوابة $u$ إلى بوابة $v$ في الدائرة يقابل حافة موجَّهة بين الرأسين المقابلين. أما المُدخلات فهي رؤوس لا حواف داخلية لها، بينما لكل بوابة العدد المناسب من الحواف الداخلية بحسب الدالة التي تحسبها. (أي أن بوابتَي AND و_OR_ لهما جيران داخليان اثنان، بينما لبوابة NOT جار داخلي واحد.) والتعريف الرسمي هو ما يلي (انظر أيضًا الشكل التوضيحي):

إذا كانت $C$ دائرة ذات $n$ مُدخلًا و$m$ مُخرجًا، و$x\in \{0,1\}^n$، فيمكننا حساب مُخرج $C$ على المُدخل $x$ بالطريقة الطبيعية: نُسند إلى رؤوس المُدخلات X[$0$], $\ldots$, X[$n-1$] القيم $x_0,\ldots,x_{n-1}$، ونطبّق كل بوابة على قيم جيرانها الداخلة، ثم نُخرج القيم المقابلة لرؤوس الخرج. ويُعرَّف ذلك رسميًا على النحو التالي:

البرامج المستقيمة

لقد رأينا طريقتين لوصف كيفية حساب دالة $f$ باستخدام AND و_OR_ و_NOT_:

• الدائرة المنطقية (Boolean circuit)، المعرَّفة في تعريف — الدوائر المنطقية، تحسب $f$ بوصل بوابات AND و_OR_ و_NOT_ بالمُدخلات بواسطة الأسلاك.

• ويمكننا أيضًا وصف حساب كهذا باستخدام برنامج مستقيم (straight-line program) تتكون أسطره من الشكل foo = AND(bar,blah) وfoo = OR(bar,blah) وfoo = NOT(bar)، حيث foo وbar وblah أسماء متغيّرات. (ونسمّيه برنامجًا مستقيمًا لأنه لا يحتوي على حلقات تكرار ولا على تعليمات تفرّع (مثل if/then).)

ولجعل التعريف الثاني أدقّ، سنعرّف الآن لغة برمجة تكافئ الدوائر المنطقية. ونسميّ لغة البرمجة هذه لغة البرمجة AON-CIRC (يرمز "AON" إلى AND/OR/NOT، ويرمز "CIRC" إلى الدائرة).

على سبيل المثال، إليك برنامج AON-CIRC يُخرج، على مُدخل $x \in \{0,1\}^2$، القيمة $\overline{x_0 \wedge x_1}$ (أي عملية $NOT$ المطبَّقة على $AND(x_0,x_1)$:

temp = AND(X[0],X[1])
Y[0] = NOT(temp)

لغة AON-CIRC ليست لغة برمجة عملية: فقد صُمِّمت لأغراض تعليمية فحسب، بوصفها وسيلة لنمذجة الحوسبة بوصفها تركيبًا لدوال $AND$ و$OR$ و$NOT$. غير أنها مع ذلك يمكن تنفيذها بسهولة على الحاسوب.

وبناءً على هذا المثال، لعلك تستطيع بالفعل أن تخمّن كيف تكتب برنامجًا لحساب (مثلًا) $x_0 \wedge \overline{x_1 \vee x_2}$، وعمومًا كيف تترجم دائرة منطقية إلى برنامج AON-CIRC. غير أننا، لأننا نريد إثبات عبارات رياضية عن برامج AON-CIRC، سنحتاج إلى تعريف دقيق للغة البرمجة AON-CIRC. وقد تكون المواصفات الدقيقة للّغات البرمجة طويلة ومملّة في أحيانٍ كثيرة،^[2] لكنها بالغة الأهمية للتنفيذات الآمنة والموثوقة. ولحسن الحظ، فإن لغة البرمجة AON-CIRC بسيطة بما يكفي لنعرّفها رسميًا بألمٍ قليل.

مواصفة لغة البرمجة AON-CIRC

برنامج AON-CIRC هو تسلسل من النصوص، نسمّيها «أسطرًا»، يستوفي الشروط التالية:

• لكل سطر إحدى الصور التالية: foo = AND(bar,baz) أو foo = OR(bar,baz) أو foo = NOT(bar)، حيث foo وbar وbaz معرِّفات متغيّرات. (ونتبع عرف لغات البرمجة الشائع في استعمال أسماء مثل foo وbar وbaz بديلًا عن معرِّفات عامة.) ويقابل السطر foo = AND(bar,baz) عملية إسناد القيمة المنطقية لـ AND إلى المتغيّر foo من قيم المتغيّرين bar وbaz. ومثلًا، يقابل foo = OR(bar,baz) وfoo = NOT(bar) عمليتي OR المنطقية وNOT المنطقية.

• يمكن أن يكون معرِّف المتغيّر في لغة البرمجة AON-CIRC أي تركيبة من الحروف والأرقام والشرطات السفلية والأقواس. وهناك نوعان خاصان من المتغيّرات:

  • المتغيّرات من الشكل X[$i$], مع $i \in \{0,1,\ldots, n-1\}$ تُعرف بـ_متغيّرات المُدخل_.
  • المتغيّرات من الشكل Y[$j$] تُعرف بـ_متغيّرات الخرج_.

• برنامج AON-CIRC الصحيح $P$ يتضمّن متغيّرات مُدخل من الشكل X[$0$],$\ldots$,X[$n-1$] ومتغيّرات خرج من الشكل Y[$0$],$\ldots$, Y[$m-1$] حيث $n,m$ عددان طبيعيان. ونقول إن $n$ هو عدد مُدخلات البرنامج $P$ و$m$ هو عدد مُخرجاته.

• في برنامج AON-CIRC الصحيح، يجب أن تكون المتغيّرات الموجودة في الطرف الأيمن من معامل الإسناد في كل سطر إمّا متغيّرات مُدخل وإمّا متغيّرات فُسندت لها قيمة في سطر سابق.

• إذا كان $P$ برنامج AON-CIRC صحيحًا ذو $n$ مُدخلًا و$m$ مُخرجًا، فإن مُخرج $P$ على المُدخل $x$ لكل $x\in \{0,1\}^n$ هو النص $y\in \{0,1\}^m$ المعرَّف على النحو التالي:

  • نهيّئ متغيّرات المُدخل X[$0$],$\ldots$,X[$n-1$] على القيم $x_0,\ldots,x_{n-1}$
  • ننفّذ أسطر العمليات في $P$ واحدًا تلو الآخر بالترتيب، وفي كل سطر نُسند إلى المتغيّر في الطرف الأيسر من معاملات الإسناد قيمة العملية الموجودة في الطرف الأيمن.
  • لتكن $y\in \{0,1\}^m$ هي قيم متغيّرات الخرج Y[$0$],$\ldots$, Y[$m-1$] في نهاية التنفيذ.

• نرمز لمُخرج $P$ على المُدخل $x$ بـ$P(x)$.

• حجم برنامج AON circ $P$ هو عدد الأسطر التي يحتوي عليها. (ولعلّ القارئ يلاحظ أن هذا يوافق تعريفنا لحجم الدائرة بعدد البوابات التي تحتوي عليها.)

والآن وقد وصفنا برامج AON-CIRC رسميًا، يمكننا أن نعرّف معنى قول برنامج AON-CIRC $P$ إنه يحسب دالة $f$:

يعطي التمرين المحلول التالي مثالًا على برنامج AON-CIRC.

# Compute CMP:{0,1}^4-->{0,1}
# CMP(X)=1 iff 2X[0]+X[1] > 2X[2] + X[3]
temp_1 = NOT(X[2])
temp_2 = AND(X[0],temp_1)
temp_3 = OR(X[0],temp_1)
temp_4 = NOT(X[3])
temp_5 = AND(X[1],temp_4)
temp_6 = AND(temp_5,temp_3)
Y[0] = OR(temp_2,temp_6)

إثبات تكافؤ برامج AON-CIRC والدوائر المنطقية

وسنثبت الآن رسميًا أن برامج AON-CIRC والدوائر المنطقية لهما القدرة نفسها تمامًا:

التنفيذات الفيزيائية لأجهزة الحوسبة (استطراد)

الحوسبة مفهوم مجرد يختلف عن تنفيذاته الفيزيائية. ورغم أن معظم أجهزة الحوسبة الحديثة تُحصل بوَصْل البوابات المنطقية على ترانزستورات قائمة على أشباه الموصلات، إلا أن الناس على مدى التاريخ قد حسبوا باستخدام تشكيلة ضخمة من الآليات، منها الأنظمة الميكانيكية، والغازات والسوائل (المعروفة بـ_التحكّم الموائع_ (fluidics))، والعمليات الحيوية والكيميائية، بل وحتى الكائنات الحيّة (مثلًا، انظر الشكل التوضيحي أو هذا الفيديو لتعرف كيف يمكن استعمال السرطان أو العفن المخاطي في إجراء حسابات).

في هذا القسم سنستعرض بعض هذه التنفيذات، وذلك أولًا لتقدير كيف يمكن ترجمة الدوائر المنطقية مباشرةً إلى العالم الفيزيائي دون المرور بمنظومة العمارة وأنظمة التشغيل والمترجِمات كاملةً، وثانيًا للتأكيد على أن المعالجات القائمة على السيليكون ليست بأي حال الطريقة الوحيدة لإجراء الحوسبة. وفعلًا، كما سنرى في الحساب الكمّي، فإن خطًّا بحثيًا ممتعًا جدًا في الآونة الأخيرة يتطلّب استعمال وسائل مختلفة للحوسبة تتيح لنا الاستفادة من الآثار الميكانيكية الكمّية (quantum mechanical effects) لتفعيل أنواع مختلفة من الخوارزميات.

طريقة باردة جدًا لشرح البوابات المنطقية. pic.twitter.com/6Wgu2ZKFCx

— Lionel Page (\@page_eco) October 28, 2019

الترانزستورات

يمكن تصوّر الـ_ترانزستور_ (transistor) على أنه دائرة كهربائية لها مُدخلان يُعرفان بـ_المصدر_ (source) و_البوابة_ (gate)، ومُخرج يُعرف بـ_المصبّ_ (sink). تتحكّم البوابة في ما إذا كان التيار يفيض من المصدر إلى المصبّ. وفي الـ_ترانزستور القياسي_، إذا كانت البوابة «مُفعَّلة» (ON) أمكن للتيار أن يفيض من المصدر إلى المصبّ، وإذا كانت «معطَّلة» (OFF) لم يستطع. وفي الـ_ترانزستور التكاملي_ (complementary transistor) يكون هذا معكوسًا: إذا كانت البوابة «معطَّلة» أمكن للتيار أن يفيض من المصدر إلى المصبّ، وإذا كانت «مُفعَّلة» لم يستطع.

هناك عدة طرق لتنفيذ منطق الترانزستور. فمثلًا، يمكننا استعمال الصنابير لتنفيذه بواسطة ضغط الماء (انظر الشكل التوضيحي). وقد يبدو هذا مجرد فضول، لكن هناك مجال يُعرف بـالتحكّم الموائع (fluidics) يعنى بتنفيذ العمليات المنطقية باستعمال السوائل أو الغازات. ومن بين دوافعه العمل في ظروف بيئية قاسية مثل الفضاء أو أرض المعركة، حيث لن تصمد المعدات الإلكترونية القياسية.

تستخدم التنفيذات القياسية للترانزستورات تيارًا كهربائيًا. ومن أقدم التنفيذات ما استخدم أنابيب التفريغ (vacuum tubes). وكما يدل اسمها، فإن أنبوب التفريغ أنبوب لا يحتوي على شيء (أي فراغ)، حيث يمكن للإلكترونات مبدئيًا أن تفيض بحرية من المصدر (سلك) إلى المصبّ (لوح). غير أنه توجد بين الاثنين بوابة (شبكة)، وتعديل جهدها يمكن أن يعوق فيض الإلكترونات.

كانت أنابيب التفريغ المبكّرة بحجم لمبات المصابيح تقريبًا، وكانت تتشابه معها إلى حدٍّ كبير. وفي الخمسينيات حلّت محلّها الترانزستورات، التي تنفّذ المنطق نفسه باستعمال أشباه الموصلات (semiconductors)، وهي مواد لا توصّل الكهرباء عادةً ولكن يمكن تعديل ناقليتها والتحكم بها بإدخال شوائب (وتُسمّى «التخليق» (doping)) وتطبيق مجال كهربائي خارجي (ويُعرف ذلك بـ_أثر المجال_ (field effect)). وفي الستينيات بدأت تُنفَّذ الحواسيب باستعمال الدوائر المتكاملة (integrated circuits) التي سمحت بكثافة أعلى بكثير. وفي عام 1965 تنبّأ جوردون مور بأن عدد الترانزستورات في كل دائرة متكاملة سيتضاعف كل عام (انظر الشكل التوضيحي)، وأن هذا سيؤدي إلى «عجائب مثل الحواسيب المنزلية —أو على الأقلّ أطراف طرفية موصولة بحاسوب مركزي— وضوابط آلية للسيارات، ومعدّات اتصالات شخصية محمولة». ومنذ ذلك الحين، ظلّت هذه «قانون مور» المزعوم (في نسخ معدَّلة منه) يسير بقوة، وإن كان النمو الأُسّي لا يمكن أن يستمر إلى الأبد، فبعض القيود الفيزيائية بدأت بالفعل تظهر للعلن.

البوابات المنطقية من الترانزستورات

يمكننا استعمال الترانزستورات لتنفيذ دوال منطقية متنوّعة مثل $AND$ و$OR$ و$NOT$. ولكل بوابة ذات مُدخلين $G:\{0,1\}^2 \rightarrow \{0,1\}$، يكون هذا التنفيذ نظامًا فيه سلكا مُدخل $x,y$ وسلك مُخرج واحد $z$، بحيث إذا طابقنا الجهد العالي بـ«$1$» والجهد المنخفض بـ«$0$»، فإن السلك $z$ يساوي «$1$» إذا ونحو فقط كان تطبيق $G$ على قيمتي السلكين $x$ و$y$ يساوي $1$ (انظر الشكل التوضيحي والشكل التوضيحي). وهذا يعني أن ما دام هناك دائرة من نوع AND/OR/NOT تحسب الدالة $g:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^m$، فيمكننا حساب $g$ في العالم الفيزيائي باستعمال الترانزستورات أيضًا.

الحوسبة البيولوجية

يمكن أن تستند الحوسبة إلى الأنظمة البيولوجية أو الكيميائية. فمثلًا، ينتج lac operon_ الأنزيمات اللازمة لهضم اللاكتوز فقط إذا تحقّقت الشروط $x \wedge (\neg y)$، حيث $x$ تعني «اللاكتوز موجود» و$y$ تعني «الغلوكوز موجود». تمكن الباحثون من إنشاء ترانزستورات، ومنها بوابات منطقية، قائمة على جزيئات الحمض النووي (انظر أيضًا الشكل التوضيحي). وتتيح مشاريع مثل لغة برمجة Cello تحويل الدوائر المنطقية إلى تسلسلات حمض نووي ترمّز عمليات يمكن تنفيذها في الخلايا البكتيرية، انظر هذا الفيديو. وأحد دوافع حوسبة الحمض النووي هو تحقيق توازٍ أو كثافة تخزين أعلى؛ وآخر هو إنشاء «وكلاء بيولوجيين أذكياء» يمكن حقنهم في الأجساد فيتكاثرون ويصلحون الخلايا التالفة أو يقتلونها، والتي أضرّها مرضٌ مثل السرطان. وهي بالطبع لا تقتصر الحوسبة في الأنظمة البيولوجية على الحمض النووي: فحتى الأنظمة الأكبر مثل أسراب الطيور يمكن اعتبارها عمليات حسابية.

الأوتوماتا الخلوية ولعبة الحياة

الأوتوماتا الخلوية (cellular automata) نموذج لنظام مؤلَّف من تسلسل من الخلايا، لكل منها حالة متناهية محتملة. وفي كل خطوة تحدّث الخلية حالتها بناءً على حالات خلاياها المجاورة وعلى قواعد بسيطة. وكما سنناقش لاحقًا في هذا الكتاب (انظر الآليات الخلوية)، فإن الأوتوماتا الخلوية مثل «لعبة الحياة» لكونيواي يمكن استعمالها لمحاكاة البوابات الحسابية.

الشبكات العصبية

أحد أجهزة الحوسبة التي نحملها جميعًا هو دماغنا نفسه. وقد خدمت الأدمغة البشرية البشرية على مدى التاريخ، فأنجزت حسابات تمتدّ من التمييز بين الفرائس والمفترسات، مرورًا بالاكتشافات العلمية والتحفّرات الفنية، وصولًا إلى تأليف رسائل ذكية من 280 حرفًا. ولا يزال العمل الدقيق للدماغ غير مفهوم تمامًا، لكن أحد النماذج الرياضية الشائعة له هو شبكة عصبية (neural network) كبيرة جدًا.

يمكن تصوّر الشبكة العصبية على أنها دائرة منطقية تستعمل بوابات أخرى غير $AND$/$OR$/$NOT$ بوصفها الأساس. فمثلًا، أحد الأسس التي يمكننا استعمالها هي بوابات العتبة (threshold gates). ولكل متجه $w= (w_0,\ldots,w_{k-1})$ من الأعداد الصحيحة ولكل عدد صحيح $t$ (قد يكون بعضها أو كلها سالبة)، تكون دالة العتبة المقابلة لـ$w,t$ هي الدالة $T_{w,t}:\{0,1\}^k \rightarrow \{0,1\}$ التي تُسقط $x\in \{0,1\}^k$ على $1$ إذا ونحو فقط إذا كان $\sum_{i=0}^{k-1} w_i x_i \geq t$. فمثلًا، دالة العتبة $T_{w,t}$ المقابلة لـ$w=(1,1,1,1,1)$ و$t=3$ هي ببساطة دالة الأغلبية $MAJ_5$ على $\{0,1\}^5$. ويمكن تصوّر بوابات العتبة على أنها تقريب لـ_خلايا العصبونات_ التي تشكّل جوهر أدمغة البشر والحيوانات. وفي التقريب الأول، للعصبون $k$ مُدخلات ومُخرج واحد، وينطلق العصبون «ناريًا» أي يُشغّل مُخرجه حين تتجاوز تلك الإشارات عتبةً ما.

تستعمل كثير من خوارزميات التعلّم الآلي الشبكات العصبية الاصطناعية التي لا يقصد منها محاكاة الأحياء بل تنفيذ مهمة حسابية ما، ولذلك فهي غير مقيّدة ببوابة عتبة أو ببوابات أخرى مستوحاة من الأحياء. وبوجه عام، تُوصف الشبكة العصبية بأنها تعمل على إشارات هي أعداد حقيقية لا قيم $0/1$، حيث يُحصل مُخرج بوابة على مُدخلات $x_0,\ldots,x_{k-1}$ بتطبيق $f(\sum_i w_i x_i)$، حيث $f:\R \rightarrow \R$ هي دالة تنشيط (activation function) كوحدة الخطية المصحَّحة (ReLU) أو السيغمويد (Sigmoid) أو غيرها كثير (انظر الشكل التوضيحي). غير أنه، لأغراض مناقشتنا، كل ما سبق متكافئ (انظر أيضًا تمرين — NAND من دوال التنشيط). ويسرّنا أن نلاحظ أننا نستطيع اختصار حالة المُدخلات الحقيقية إلى مُدخلات ثنائية بتمثيل العدد الحقيقي في الأساس الثنائي، ثم ضرب وزن البت المقابل لرتبة الخانة $i^{th}$ في $2^i$.

حاسوب مصنوع من الكرات والأنابيب

يمكننا تنفيذ الحوسبة بوسائط فيزيائية كثيرة أخرى، دون أي مكوّنات إلكترونية أو حيوية أو كيميائية. وقد تقدُّمت مقترحات كثيرة لحاسوبات ميكانيكية، يعود أقدمها على الأقل إلى آلات الحوسبة لغوتفريد لايبنتس في سبعينيات القرن السابع عشر، وإلى خطة تشارلز بابيج عام 1837 المحرك التحليلي الميكانيكي. ومن الأمثلة، يوضّح الشكل التوضيحي تنفيذًا مبسّطًا لبوابة NAND (نفي AND، انظر دالة NAND) باستعمال كرات تمرّ في أنابيب. ونمثّل قيمة منطقية في $\{0,1\}$ بزوج من الأنابيب بحيث يمرّ في أحدهما كرة بالضبط. ونسمّي أحد الأنابيب «أنبوب $0$» والآخر «أنبوب $1$»، وبذلك تحدّد هوية الأنبوب الذي توجد فيه الكرة القيمة المنطقية. وتقابل بوابة NAND جسمًا ميكانيكيًا له زوجان من الأنابيب الداخلة وزوج من الأنابيب الخارجة، بحيث لكل $a,b \in \{0,1\}$، إذا كانت كرتان تتدحرجان نحو الجسم في أنبوب $a$ من الزوج الأول وأنبوب $b$ من الزوج الثاني، فإن كرة ستتدحرج خارج الجسم في أنبوب $NAND(a,b)$ من الزوج الخرج. وفعلًا، هناك حتى لعبة تعليمية متوفّرة تجاريًا تستعمل الكرات أساسًا للحوسبة، انظر الشكل التوضيحي.

دالة NAND

دالة $NAND$ هي دالة أخرى بسيطة بالغة النفع لتعريف الحوسبة. وهي الدالة التي تُسقط $\{0,1\}^2$ على $\{0,1\}$ والمعرَّفة بما يلي:

وكما يدل اسمها، فإن $NAND$ هي نفي AND (أي $NAND(a,b)= NOT(AND(a,b))$)، ولذلك يمكننا بوضوح حساب $NAND$ باستعمال $AND$ و$NOT$. ومن اللافت أن الاتجاه المعاكس يصمد أيضًا:

ويمكننا استعمال $NAND$ لحساب دوال أخرى كثيرة، كما يوضّح التمرين التالي.

دوائر NAND

نعرّف دوائر NAND بأنها الدوائر التي كل بوابات فيها عمليات NAND. وتقابل هذه الدائرة أيضًا رسمًا بيانيًا موجَّهًا غير دوري (DAG)، إذ إن كل البوابات تقابل الدالة نفسها (أي NAND)، ولذلك لا نحتاج حتى إلى وسمها، وكل البوابات درجتها الداخلة اثنان بالضبط. ورغم بساطتها، فإن دوائر NAND قد تكون بالغة القوة.

وفعلًا، يمكننا إثبات المبرهنة التالية:

أمثلة أخرى على دوائر NAND (اختياري)

إليك بعض الأمثلة الأكثر تعقيدًا على دوائر NAND:

_زيادة الأعداد الصحيحة. لنُعتبر مهمة حساب، انطلاقًا من مُدخل نصي $x\in \{0,1\}^n$ يمثّل عددًا طبيعيًا $X\in \N$، التمثيلَ الخاص بـ$X+1$. أي أننا نريد حساب الدالة $INC_n:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^{n+1}$ بحيث لكل $x_0,\ldots,x_{n-1}$، يكون $INC_n(x)=y$ الذي يستوفي $\sum_{i=0}^n y_i 2^i = \left( \sum_{i=0}^{n-1} x_i 2^i \right)+1$. (لتبسيط التدوين، نستخدم في هذا المثال التمثيل الذي تكون فيه الخانة الأقل أهمية أولًا لا آخرًا.)