صنف NP والاكتمال في NP ومبرهنة كوك-ليفن

"في هذه الورقة نقدّم مبرهنات تُشير، لكنّها لا تُفيد، إلى أنّ هذه المسائل،وكثير غيرها، ستظلّ باهظة الحوسبة إلى الأبد", ريتشارد كارب، 1972

"من المُحزن أن نقول، لكنّ ذلك قد يستغرق سنواتٍ كثيرة أخرى، إن وُجد أصلًا، قبل أن نفهم حقًّا «القدرة السّريّة للاثنين»... 2-SAT سهل، و3-SAT صعب، والمطابقة ثنائية الأبعاد سهلة، والمطابقة ثلاثية الأبعاد صعبة. لماذا؟ آه، لماذا؟" يوجين لوغلر

حتى الآن بيّنا أنّ 3SAT ليس أصعب من المعادلات التربيعية، ولا المجموعة المستقلّة (Independent Set)، ولا القطع الأقصى (Maximum Cut)، ولا أطول مسار (Longest Path). ولكنّ بيّان أنّ هذه المسائل متكافئة حاسوبيًّا (computationally equivalent) يتطلّب إعطاء اختزالات في الاتجاه المعاكس أيضًا، أي اختزال كلٍّ من هذه المسائل إلى 3SAT كذلك. وي تبيّن أنّه يمكن اختزال هذه المسائل كلّها إلى 3SAT في ضربة واحدة.

وفي الحقيقة تمتدّ هذه النتيجة إلى ما هو أبعد بكثير من هذه المسائل بعينها. فجميع المسائل التي ناقشناها في الاختزال في زمن متعدد الحدود، وعدد كبير جدًا من المسائل الأخرى، تتشارك صفةً مشتركة واحدة: إنّها جميعًا مسائل بحث (search)، أي أنّ الهدف هو أن نقرّر، بالنظر إلى مدخل $x$، ما إذا كان ثمّة حلّ $y$ (solution) يحقّق شرطًا يمكن التحقّق منه في وقت متعدد الحدود. على سبيل المثال، في 3SAT يكون المدخل صيغةً والحلّ إسنادًا (assignment) للمتغيّرات؛ وفي Max-Cut يكون المدخل رسمًا بيانيًا (graph) والحلّ قطعًا (cut) في الرسم البياني؛ وهكذا دواليك. وي تبيّن أنّ كلّ مسألة بحث من هذا النوع يمكن اختزالها إلى 3SAT.

صنف $\mathbf{NP}$

لنجعل ما سبق دقيقًا، سنقدّم التعريف الرياضي التالي. نعرّف الصنف $\mathbf{NP}$ على أنّه يضمّ كلّ الدوال المنطقية الموافقة لمسألة بحث من الشكل المذكور أعلاه. أي إنّ الدالة المنطقية $F$ تنتمي إلى $\mathbf{NP}$ إذا كان $F$ من الشكل الذي، على مدخل سلسلة $x$، تكون $F(x)=1$ إذا وفقط إذا وُجدت سلسلة «حلّ» $w$ بحيث يحقّق الزوج $(x,w)$ شرطًا يمكن التحقّق منه في وقت متعدد الحدود. وبصياغة رسمية، يُعرَّف $\mathbf{NP}$ على النحو التالي:

بعبارة أخرى، كي تنتمي $F$ إلى $\mathbf{NP}$، يجب أن توجد دالة تحقّق $V$ قابلة للحساب في وقت متعدد الحدود، بحيث إذا كان $F(x)=1$ فيجب أن توجد $w$ (بطول متعدد الحدود في $|x|$) بحيث $V(xw)=1$، وإذا كان $F(x)=0$ فإنّ ذلك يعني أنّ لكلّ $w$ من هذا النوع يكون $V(xw)=0$. ولأنّ وجود هذه السلسلة $w$ يشهد بأنّ $F(x)=1$، فإنّ $w$ يُشار إليها غالبًا بأنّها شهادة (certificate) أو شاهد (witness) أو برهان (proof) على أنّ $F(x)=1$.

انظر أيضًا الشكل التوضيحي لتجد رسمًا توضيحيًّا لـ تعريف — NP. واسم $\mathbf{NP}$ اختصار لعبارة «زمن متعدد الحدود غير الحتميّ (non-deterministic polynomial time)»، وهو اسم استُعمل لأسباب تاريخية؛ انظر الملاحظات الببليوغرافية. وأحيانًا ما تُسمّى السلسلة $w$ في المعادلة حلًّا (solution) أو شهادة (certificate) أو شاهدًا (witness) للمدخل $x$.

تعريف $\mathbf{NP}$ يعني أنّه لكلّ $F\in \mathbf{NP}$ وسلسلة $x\in \{0,1\}^*$، يكون $F(x)=1$ إذا وفقط إذا وُجد برهان قصير وقابل للتحقّق منه بكفاءة لهذه الحقيقة. أي يمكننا التفكير في الدالة $V$ في تعريف — NP على أنّها خوارزمية مُتحقِّقة (verifier)، على نحو ما رأينا في برنامج هيلبرت ومبرهنة غودل في عدم الاكتمال. تتحقّق المُتحقِّقة ممّا إذا كانت سلسلة معطاة $w\in \{0,1\}^*$ برهانًا صالحًا للعبارة «$F(x)=1$». وتتضمّن كلّ أنظمة البرهنة التي تُنظر في الرياضيات عمليًا فحوصًا سطرًا بسطر يمكن إنجازها في وقت متعدد الحدود. وعليه فإنّ جوهر $\mathbf{NP}$ هو طلب العبارات التي تمتلك براهين قصيرة (أي متعدّدة الحدود في حجم العبارات). وفي الحقيقة، كما سنرى في #chappvsnp، صاغ كورت غودل (Kurt Gödel) السؤال عمّا إذا كان $\mathbf{NP}=\mathbf{P}$ على أنّه السؤال عمّا إذا كان «الجهد الذهني لرياضيّ [في إثبات البرهنات] يمكن استبداله تمامًا بآلة».

أمثلة على دوال في $\mathbf{NP}$

نقدّم الآن بعض الأمثلة على دوال تنتمي إلى الصنف $\mathbf{NP}$. ونبدأ بالمثال النموذجي وهو الدالة $3SAT$.

INPUT: 3CNF formula $\varphi$ on $k$ variables and with $m$ clauses, string $w \in \{0,1\}^k$ 
OUTPUT: $1$ iff $w$ satisfies $\varphi$ 

For{$j \in [m]$}
   Let $\ell_1 \vee \ell_2 \vee \ell_3$ be the $j$-th clause of $\varphi$ 
   If{$w$ violates all three literals}
     return $0$
   Endif
Endfor
Return $1$

إليك المزيد من الأمثلة على مسائل في $\mathbf{NP}$. ولكلّ واحدة من هذه المسائل سنكتفي برسم مختصر لكيفية تمثيل الشاهد ولماذا يمكن التحقّق منه بكفاءة، لكنّ اشتقاق التفاصيل قد يكون طريقة جيدة للارتياح أكثر مع تعريف — NP:

• تنتمي $QUADEQ$ إلى $\mathbf{NP}$، لأنّ لكلّ مدخل $E$ من المعادلات التربيعية ذي $\ell$ متغيّرًا، يكون $QUADEQ(E)=1$ إذا وفقط إذا وُجد إسناد $x\in \{0,1\}^\ell$ يحقّق $E$. ويمكننا التحقّق من الشرط بأنّ $x$ يحقّق $E$ في وقت متعدد الحدود بأن نعدّ على كلّ المعادلات في $E$، وأن نُدخل لكلّ معادلة $e$ قيم $x$ ونتحقّق من أنّ $e$ مُحقَّقة.

• تنتمي $ISET$ إلى $\mathbf{NP}$، لأنّ لكلّ رسم بياني $G$ وعدد صحيح $k$، يكون $ISET(G,k)=1$ إذا وفقط إذا وُجدت مجموعة $S$ من $k$ رأسًا لا تحتوي أيّ زوج من الجيران في $G$. ويمكننا التحقّق من الشرط بأنّ $S$ مجموعة مستقلّة (independent set) بحجم $\geq k$ في وقت متعدد الحدود بأن نتحقّق أولًا من $|S| \geq k$ ثم نعدّ على كلّ الحوافّ $\{u,v \}$ في $G$، وأن نتحقّق لكلّ حافّة من أنّ $u\not\in S$ أو $v\not\in S$.

• تنتمي $LONGPATH$ إلى $\mathbf{NP}$، لأنّ لكلّ رسم بياني $G$ وعدد صحيح $k$، يكون $LONGPATH(G,k)=1$ إذا وفقط إذا وُجد مسار بسيط $P$ في $G$ طوله $k$ على الأقلّ. ويمكننا التحقّق من الشرط بأنّ $P$ مسار بسيط طوله $k$ في وقت متعدد الحدود بأن نتحقّق من أنّ له الشكل $(v_0,v_1,\ldots,v_k)$ حيث كلّ $v_i$ رأس في $G$، ولا يُكرَّر أيّ $v_i$، ولكلّ $i \in [k]$ تكون الحافّة $\{v_i,v_{i+1}\}$ موجودة في الرسم البياني.

• تنتمي $MAXCUT$ إلى $\mathbf{NP}$، لأنّ لكلّ رسم بياني $G$ وعدد صحيح $k$، يكون $MAXCUT(G,k)=1$ إذا وفقط إذا وُجد قطع $(S,\overline{S})$ في $G$ يقطع $k$ حافّة على الأقلّ. ويمكننا التحقّق من الشرط بأنّ $(S,\overline{S})$ قطع قيمته $k$ على الأقلّ في وقت متعدد الحدود بأن نتحقّق من أنّ $S$ مجموعة جزئية من رؤوس $G$ وأن نعدّ على كلّ حوافّ $\{u,v\}$ في $G$، عدًّا لتلك الحوافّ التي يكون $u\in S$ و $v\not\in S$ أو العكس.

حقائق أساسيّة عن $\mathbf{NP}$

تعريف $\mathbf{NP}$ هو أحد أهمّ تعريفات هذا الكتاب، ويستحقّ أن نخصّص له وقتًا من أجل استيعابه وإدماجه في بنائنا المعرفي. وتضع التمارين المحلولة التالية بعض الخصائص الأساسيّة لهذا الصنف. وكالمعتاد، أوصي بشدّة بأن يحاول القارئ حلّها بنفسه.

من تمرين محلول — التحقّق ليس أصعب من الحلّ وتمرين محلول — NP تنتمي إلى الزمن الأُسّيّ معًا نستنتج أنّ

ويُترتَّب على مبرهنة تسلسل الأوقات (مبرهنة — نظرية التسلسل الزمني) أنّ $\mathbf{P} \subsetneq \mathbf{EXP}$، ومن ثمّ فعلى الأقلّ احتواءً واحدًا من الاحتوائين $\mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}$ أو $\mathbf{NP} \subseteq \mathbf{EXP}$ هو تأمّ أي محتوى تحتيًّا تامًّا. ويُعتقد أنّ الاحتوائين معًا هما في الواقع احتواءان تامّان. أي إنّنا نُعتقد أنّ هناك دوال في $\mathbf{NP}$ لا يمكن حسابها في وقت متعدّد الحدود (وهذه هي حجّة $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$)، وأنّه هناك دوال $F$ في $\mathbf{EXP}$ لا يمكننا حتى أن نُثبت بكفاءة أنّ $F(x)=1$ لمدخل $x$ معطى. ومن الدوال $F$ التي يُعتقد أنّها تنتمي إلى $\mathbf{EXP} \setminus \mathbf{NP}$ الدالة $\overline{3SAT}$ المعرَّفة بأنّ $\overline{3SAT}(\varphi)= 1 - 3SAT(\varphi)$ لكلّ صيغة 3CNF $\varphi$. وتُعرف حجّة $\overline{3SAT}\not\in \mathbf{NP}$ باسم حجّة «$\mathbf{NP} \neq \mathbf{co-NP}$». وهي تستلزم حجّة $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$ (انظر تمرين — NP ≠ co − NP ⇒ NP ≠ P).

لقد سوينا سابقًا، على نحو غير رسمي، بين مفهوم $F \leq_p G$ وبين القول إنّ $F$ «لا أصعب من $G$»، ورأينا بالتحديد في تمرين محلول — الاختزال وP أنّه إذا كان $G \in \mathbf{P}$ و $F \leq_p G$ فإنّ $F \in \mathbf{P}$ أيضًا. ويبيّن التمرين التالي أنّه إذا كان $F \leq_p G$ فإنّه أيضًا «لا أصعب في التحقّق» من $G$. أي بغضّ النظر عمّا إذا كان في $\mathbf{P}$ أم لا، إذا كانت $G$ تمتلك الخاصيّة أنّ الحلول (solutions) لها يمكن التحقّق منها بكفاءة، فإنّ $F$ تمتلكها أيضًا.

من $\mathbf{NP}$ إلى 3SAT: مبرهنة كوك-ليفن

لقد رأينا عدّة أمثلة لمسائل لا نعرف ما إذا كانت أفضل خوارزمياتها متعدّدة الحدود أم أُسّية، لكنّنا نستطيع أن نبيّن أنّها تنتمي إلى $\mathbf{NP}$. أي إنّنا لا نعرف ما إذا كانت سهلة الحلّ (solve)، لكنّنا نعرف تمامًا أنّه سهل التحقّق (verify) من حلّ معطى. وهناك كثير جدًّا، جدًّا جدًّا، من الأمثلة الأخرى لدوال مثيرة للاهتمام نودّ حسابها، ثبت بسهولة أنّها تنتمي إلى $\mathbf{NP}$. والمدهش حقًّا هو أنّه إذا استطعنا حلّ 3SAT أمكِنّا عندئذٍ حلّ كلّها!

وفيما يلي إحدى أكثر البرهنات أساسيّة في علوم الحاسوب:

سنُثبت قريبًا برهان مبرهنة — مبرهنة كوك-ليفن، لكنّ لاحظ أنّه يستلزم فورًا أنّ $QUADEQ$ و $LONGPATH$ و $MAXCUT$ تختزل جميعها إلى $3SAT$. وإذا ما جمعناه مع الاختزالات التي رأيناها في الاختزال في زمن متعدد الحدود، فإنّه يستلزم أنّ كلّ هذه المسائل متكافئة! فمثلًا، لاختزال $QUADEQ$ إلى $LONGPATH$، يمكننا أولًا اختزال $QUADEQ$ إلى $3SAT$ باستعمال مبرهنة — مبرهنة كوك-ليفن، ثمّ استعمال الاختزال الذي رأيناه في مبرهنة — صعوبة أطول مسار من $3SAT$ إلى $LONGPATH$. أي إنّنا بما أنّ $QUADEQ \in \mathbf{NP}$، فإنّ مبرهنة — مبرهنة كوك-ليفن يستلزم أنّ $QUADEQ \leq_p 3SAT$، و مبرهنة — صعوبة أطول مسار يستلزم أنّ $3SAT \leq_p LONGPATH$، وهو ما يعني، بفضل تعدّادية الاختزال (transitivity of reductions) (تمرين محلول — تعدّادية الاختزال في زمن متعدد الحدود)، أنّ $QUADEQ \leq_p LONGPATH$. وبشكل مشابه، بما أنّ $LONGPATH \in \mathbf{NP}$، يمكننا استعمال مبرهنة — مبرهنة كوك-ليفن و مبرهنة — صعوبة المعادلات التربيعية لبيّان أنّ $LONGPATH \leq_p 3SAT \leq_p QUADEQ$، ونتّفق على أنّ $LONGPATH$ و $QUADEQ$ متكافئتان حاسوبيًّا.

وبالطبع لا شيء خاصّ بـ $QUADEQ$ و $LONGPATH$ هنا: فبدمج مبرهنة — مبرهنة كوك-ليفن مع الاختزالات التي رأيناها، نرى أنّه كما $3SAT$ بالضبط، كلّ $F\in \mathbf{NP}$ يختزل إلى $LONGPATH$، وأنّ الأمر نفسه صحيح بالنسبة إلى $QUADEQ$ و $MAXCUT$. وكافة هذه المسائل هي «الأصعب في $\mathbf{NP}$» بالمعنى هذا، إذ إنّ خوارزمية فعّالة لأيّ واحدة منها تستلزم خوارزمية فعّالة لكلّ المسائل في $\mathbf{NP}$. وهذا يقودنا إلى التعريف التالي:

يمكن إعادة صياغة مبرهنة كوك-ليفن (مبرهنة — مبرهنة كوك-ليفن) على أنّها تقول إنّ $3SAT$ هي $NP$-صعبة، وبما أنّها تنتمي أيضًا إلى $\mathbf{NP}$، فإنّ هذا يعني أنّ $3SAT$ هي $NP$-كاملة. ومع الاختزالات في الاختزال في زمن متعدد الحدود، تُظهر مبرهنة — مبرهنة كوك-ليفن أنّه على الرغم من فروقها الظاهريّة، فإنّ 3SAT، والمعادلات التربيعية، وأطول مسار، والمجموعة المستقلّة، والقطع الأقصى، هي كلّها $NP$-كاملة. وقد ثبت أنّ آلاف المسائل الإضافيّة هي أيضًا $NP$-كاملة، آتيةً من جميع العلوم والرياضيات والاقتصاد والهندسة والميادين كثيرة أخرى. (ولأمثلة قليلة، انظر هذه صفحة ويكيبيديا و هذا الموقع.)

ماذا يعني هذا؟

وكما رأينا في تمرين محلول — التحقّق ليس أصعب من الحلّ، لدينا $\mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}$. و_أشهر_ حجّة في علوم الحاسوب هي أنّ هذا الاحتواء تأمّ. أي إنّ الناس يتفقون على الحجّة بأنّ $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$. وإحدى طرائق دحض حجّة $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$ هي إعطاء خوارزمية تعمل في وقت متعدد الحدود، ولو لمسألة واحدة فقط من المسائل $NP$-كاملة مثل 3SAT أو «القطع الأقصى» (Max Cut)، أو لآلاف المسائل الأخرى التي دُرست في جميع ميادين نشاط الإنسان. وكون هذه المسائل قد دُرست من قِبل هذا العدد الكبير من الناس، ومع ذلك لم يُعثر على خوارزمية واحدة تعمل في وقت متعدد الحدود لأيّ منها، يؤيّد تلك الحجّة بأنّ $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$ بالفعل. وفي الحقيقة، بالنسبة للكثير من هذه المسائل (بما فيها كلّ ما ذكرناه أعلاه)، لا نعرف حتى خوارزمية تعمل في وقت $2^{o(n)}$! غير أنّه، إلى حيرة علماء الحاسوب، لم نتمكّن بعد من إثبات أنّ $\mathbf{P}\neq\mathbf{NP}$، ولا حتى من استبعاد وجود خوارزمية تعمل في وقت $O(n)$ لـ 3SAT. والبتّ في ما إذا كان $\mathbf{P}=\mathbf{NP}$ أم لا معروف بـ مسألة $\mathbf{P}$ مقابل $\mathbf{NP}$. وقد قُدِّمت جائزة بمليون دولار لحلّ هذه المسألة، وكُتب عنها كتاب شعبي، ويخرج كلّ عام بحثٌ جديد يدّعي برهان $\mathbf{P}=\mathbf{NP}$ أو $\mathbf{P}\neq\mathbf{NP}$، ليبتلعه الفحص النقدي في النهاية.

ومن أغرب الغموضات في الحساب أنّ الناس لاحظوا «قانونًا تجريبيًّا للصفر والواحد» أو «ثنائية» معيّنة في التعقيد الحاسوبي للمسائل الطبيعيّة، بالمعنى أنّ كثيرًا من المسائل الطبيعيّة إمّا تنتمي إلى $\mathbf{P}$ (وكثيرًا ما في $TIME(O(n))$ أو $TIME(O(n^2))$)، وإمّا أنّها $NP$-صعبة. وهذا مرتبطٌ بالواقعة أنّه بالنسبة لمعظم المسائل الطبيعيّة، أفضل خوارزمية معروفة هي إمّا أُسّية أو متعدّدة الحدود، مع وجود أمثلة ليست قليلة يكون فيها أفضل زمن تشغيل بعض التعقيد الوسيط الغريب مثل $2^{2^{\sqrt{\log n}}}$. غير أنّه يُعتقد بوجود مسائل في $\mathbf{NP}$ لا تنتمي إلى $\mathbf{P}$ ولا هي $NP$-كاملة، وفي الحقيقة فإنّ نتيجة معروفة بـ «مبرهنة لادنر» (Ladner's Theorem) تُبيّن أنّه إذا كان $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$ فإنّ هذا هو الحال بالفعل (انظر أيضًا تمرين — مبرهنة لادنر للفقراء و الشكل التوضيحي).

مبرهنة كوك-ليفن: مخطّط البرهان

سنبرهن الآن على مبرهنة كوك-ليفن، وهي الأساس الذي تقوم عليه شبكة عظيمة من الاختزالات من 3SAT إلى آلاف المسائل في ميادين كثيرة وعظيمة. ومن المسائل التي ثبت أنّها $NP$-كاملة: طيّ البروتين بطاقة طاقة دنيا، وتهيئة الرغوة بمساحة سطح دنيا، وتلوين الخرائط، وتوازن ناش المثالي، والتشابك بين الحالات الكمّية، وأقصر تسلسل فائق لسلسلة وراثية، ومسألة أصغر كلمة شيفرة، وأقصر متجهة في شبكة، وعُقد أصغر جنس، والمعادلات ديوفانطية الموجبة، والبرمجة الصحيحة، وقريبًا من ذلك كثير جدًّا. وتعقيد الحالة الأسوأ لكلّ هذه المسائل مكافئ (حتى عوامل متعدّدة الحدود) لتعقيد 3SAT، ومن خلال مبرهنة كوك-ليفن، لكلّ المسائل في $\mathbf{NP}$.

ولإثبات مبرهنة — مبرهنة كوك-ليفن نحتاج أن نبيّن أنّ $F \leq_p 3SAT$ لكلّ $F\in \mathbf{NP}$. وسنقوم بذلك على ثلاث مراحل. ونعرّف مسألةً وسيطة اثنتين: $NANDSAT$ و $3NAND$. وسنبيّن قريبًا تعريفات هاتين المسألتين، لكنّ مبرهنة — مبرهنة كوك-ليفن سيترتّب على دمج النتائج الثلاث التالية:

1. المسألة $NANDSAT$ هي $NP$-صعبة (لمّة).

2. لدينا $NANDSAT \leq_p 3NAND$ (لمّة).

3. لدينا $3NAND \leq_p 3SAT$ (لمّة).

وبتعدّادية الاختزال، سيترتّب أنّه لكلّ $F \in \mathbf{NP}$،

وبالتالي نُثبت مبرهنة — مبرهنة كوك-ليفن.

سنبرهن على هذه النتائج الثلاث لمّة و لمّة و لمّة واحدةً واحدة، مع تقديم التعريفات اللازمة في أثناء ذلك.

مسألة $NANDSAT$، ولماذا هي $NP$-صعبة

تُعرَّف الدالة $NANDSAT:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ على النحو التالي:

• المدخل لـ $NANDSAT$ هو سلسلة $Q$ تمثّل برنامج NAND-CIRC (أو بما يعادله، رسمًا منطقيًّا من بوّابات NAND).

• الخرج لـ $NANDSAT$ على المدخل $Q$ هو $1$ إذا وفقط إذا وُجدت سلسلة $w\in \{0,1\}^n$ (حيث $n$ هو عدد مداخل $Q$) بحيث $Q(w)=1$.

سنبرهن الآن على أنّ $NANDSAT$ هي $NP$-صعبة.

مسألة $3NAND$

تُعرَّف مسألة $3NAND$ على النحو التالي:

• المدخل هو صيغة منطقية $\Psi$ على مجموعة متغيّرات $z_0,\ldots,z_{r-1}$ هي عطف (AND) من قيود من الشكل $z_i = NAND(z_j,z_k)$.

• الخرج هو $1$ إذا وفقط إذا وُجد مدخل $z\in \{0,1\}^r$ يحقّق كلّ القيود.

على سبيل المثال، الصيغة التالية هي صيغة $3NAND$ ذات $5$ متغيّرات و $3$ قيود:

في هذه الحالة يكون $3NAND(\Psi)=1$ لأنّ الإسناد $z = 01010$ يحقّقها. ومعطى صيغة $3NAND$ $\Psi$ على $r$ متغيّرًا وإسناد $z\in \{0,1\}^r$، يمكننا التحقّق في وقت متعدد الحدود ممّا إذا كان $\Psi(z)=1$، ومن ثمّ $3NAND \in \mathbf{NP}$. ونبرهن الآن على أنّ $3NAND$ هي $NP$-صعبة:

من $3NAND$ إلى $3SAT$

الخطوة الأخيرة في برهان مبرهنة — مبرهنة كوك-ليفن هي الآتية: