الحساب الكمّي

"لقد واجهنا على الدوام (سرّ، سرّ، أغلقوا الأبواب!) ... صعوبة بالغة في فهم تصوّر العالم الذي تمثّله الميكانيكا الكمّية ... ولم يتبيّن لي بعد أنّه لا توجد مشكلة حقيقية. ... هل يمكنني أن أتعلّم شيئًا من طرح هذا السؤال عن الحاسوب؟", ريتشارد فايمان، 1981

"الفرق الوحيد بين عالم كلاسيكي احتمالي ومعادلات العالم الكمّي هو أنّه، بطريقة أو بأخرى، يبدو وكأنّ الاحتمالات لا بدّ من أن تصبح سالبة", ريتشارد فايمان، 1981

كان في اليونان القديمة مدرستان في فلسفة الطبيعة. آمن أرسطو بأنّ للأشياء جوهرًا يشرح سلوكها، وأنّ نظرية للعالم الطبيعي لا بدّ أن تشير إلى الأسباب (أو "السبب الغائي" بلغة أرسطو) التي تجعل هذه الأشياء تُبدي ظواهر معيّنة. آمن ديمقريطس بتفسير ميكانيكي بحت للعالم. وفي رأيه، تألّف الكون في النهاية من جسيمات أوّلية (أو ذَرّات)، وتنشأ الظواهر التي نلاحظها عن تفاعلات هذه الجسيمات بعضها ببعض وفق قواعد محلية ما. وقد تبنّى العلم الحديث (يمكن القول إنّما بدأ بنيوتن) وجهة نظر ديمقريطس، أي كونيّ ميكانيكي أو "كآلية الساعة" من جسيمات وقوى تعمل عليها.

في حين تطوّر تصنيف الجسيمات والقوى مع الزمن، لم تتغيّر "الصورة الكبرى" إلى حدٍّ بعيد من نيوتن حتى أينشتاين. وبخاصة، كان يُؤخذ كبدهيّة أنّنا لو عرفنا حالة الكون الحالية (أي الجسيمات وخصائصها كالموقع والسرعة) فحصريًّا، لاستطعنا التنبّؤ بحالته المستقبلية عند أيّ لحظة من الزمن. ولغة الحوسبة، في كلّ هذه النظريات يمكن تخزين حالة نظام يتكوّن من $n$ جسيمات في مصفوفة من $O(n)$ عدد، ويمكن التنبّؤ بتطوّر النظام بتشغيل حساب حتمي كَفء (مثلًا بزمن $poly(n)$) على هذه المصفوفة.

تجربة الشقَّين المزدوجين

للأسف، في مطلع القرن العشرين، كانت عدّة نتائج تجريبية تُشكّك في نظرية العالم هذه ذات "آلية الساعة" أو "كرات البلياردو". وإحدى هذه التجارب هي تجربة الشقَّين المزدوجين الشهيرة. وهذه إحدى طرائق وصفها. لنفترض أنّنا اشترينا إحدى آلات رمي كرات البيسبول، ووجّهناها نحو جدارٍ بلاستيكيٍّ لين، لكنّنا وضعنا بين الآلة والجدار البلاستيكي حاجزًا معدنيًّا بشقٍّ واحد (انظر doublebaseballfig). فإذا رجمنا كرات البيسبول نحو الجدار البلاستيكي، فإنّ بعضها سيرتدّ عن الحاجز المعدنيّ، بينما سيمرّ بعضها الآخر من الشقّ ويترك أثرًا في الجدار. وإذا شقّدنا الآن شقًّا إضافيًّا في الحاجز المعدنيّ، ليمرّ عدد أكبر من الكرات، فيصبح الجدار البلاستيكيّ متضرّسًا أكثر.

{#doublebaseballfig .margin width=300px height=300px}

إلى هنا، كلّ هذا هو الحسّ السليم المجرّد، وهو بالفعل (حسب علمي) وصفٌ دقيق لما يحدث عندما نرمي كرات البيسبول على جدارٍ بلاستيكيّ. لكنّ الأمر ليس كذلك عندما نرمي الفوتونات. وهذا مدهش: إن رجمنا بـ"مدفع فوتونات" (أي ليزر) عبر حاجبٍ ما نحو جدارٍ مزوّد بكاشفات فوتونات، فإنّه (كما هو مبيّن في doubleslitfig) سنرى في بعض مواضع الجدار عددًا أقلّ من الإصابات عندما يكون الشقّان مفتوحين ممّا يكون عليه عندما يكون أحدهما مفتوحًا فقط.^[1] وبخاصة، هناك مواضع في الجدار تصيبها الكرات عندما يكون الشقّ الأوّل مفتوحًا، وتصيبها الكرات عندما يكون الشقّ الثاني مفتوحًا، ولا تُصاب إطلاقًا عندما يكون الشقّان مفتوحين معًا!

{#doubleslitfig .margin width=300px height=300px}

يبدو وكأنّ كلّ فوتون يخرج من المدفع واعيًا بالتكوين العامّ للتجربة، ومتصرّفًا بشكلٍ مختلف إذا كان الشقّان مفتوحين عمّا يكون عليه إذا كان أحدهما مفتوحًا فقط. وإذا حاولنا "الإمساك بالفوتون متلبّسًا" فوضعنا كاشفًا بجوار كلّ شقّ مباشرةً لنرى بالضبط المسار الذي يسلكه كلّ فوتون، فإنّ شيئًا أغرب بكثير يحدث. فمجرّد أنّنا نقيس المسار يغيّر سلوك الفوتون، ويختفي نمط "التداخل الهدّام" هذا، ويصبح عدد مرّات إصابة الموضع الواحد عندما يكون الشقّان مفتوحين هو مجموع عدد مرّات إصابته عندما يكون كلّ شقّ مفتوحًا بمفرده.

سعات كمّية

أجبرت تجربة الشقّين المزدوجين وتجارب أخرى في النهاية العلماءَ على قبول تصوّرٍ شاقٍّ للنقيض من البديهة عن العالم. وليس الأمر مجرّد أنّ الطبيعة عشوائية، بل إنّ المقصود أنّ الاحتمالات "تصبح سالبة" بمعنىً ما وتلغي بعضها بعضًا!

ولكي نرى ما نعنيه بذلك، لنعد إلى تجربة البيسبول. لنفترض أنّ احتمال مرور الكرة من الشقّ الأيسر هو $p_L$ وأنّ احتمال مرورها من الشقّ الأيمن هو $p_R$. عندئذٍ، إن رجمنا $N$ كرة من كلّ مدفع، نتوقّع أن يُصاب الجدار $(p_L+p_R)N$ مرّة. وفي المقابل، في العالم الكمّي للفوتونات بدلًا من كرات البيسبول، قد يحدث أحيانًا أنّ الجدار يُصاب في كلٍّ من الحالتين الأولى والثانية باحتمالات موجبة $p_L$ و$p_R$ على التوالي، ثمّ بطريقة ما، عندما يكون الشقّان مفتوحين معًا، لا يُصاب الجدار (أو موضعٌ بعينه فيه) إطلاقًا. وكأنّ الاحتمالات تستطيع "أن تلغي بعضها بعضًا".

لفهم الطريقة التي نمذج بها هذا في الميكانيكا الكمّية، من المفيد التفكير في المقاربة "الكسولة" (lazy evaluation) للاحتمالات. ويمكننا التفكير في تجربة احتمالية مثل رمي كرة بيسبول من شقّين بطريقتين:

• عند رمي الكرة، ترمي "الطبيعة" قطعة نقد وتقرّر ما إذا كانت الكرة ستمرّ من الشقّ الأيسر (وهذا يحدث باحتمال $p_L$)، أو من الشقّ الأيمن (وهذا يحدث باحتمال $p_R$)، أو ترتدّ عكسيًا. فإذا مرّت الكرة من أحد الشقّين فإنّها ستصيب الجدار. ويمكننا لاحقًا أن ننظر إلى الجدار فنعرف ما إذا كان هذا الحدث قد وقع أم لا، لكنّ وقوع هذا الحدث من عدمه يُقرَّر بمعزلٍ عن النظر في الجدار من عدمه.

• والزاوية الأخرى أنّ "الطبيعة"، عند رمي الكرة، تحسب الاحتمالات $p_L$ و$p_R$ كما سبق، لكنّها لا "ترمي قطعة النقد" بعد، ولا تحدّد ما الذي حدث. فقط عندما ننظر فعلًا إلى الجدار، ترمي "الطبيعة" قطعة نقد، وتضمن باحتمال $p_L+p_R$ أن نرى أثرًا. أي إنّ الطبيعة تستخدم "التقييم الكسول"، ولا تحدّد نتيجة التجربة الاحتمالية إلّا حين نقرّر أن نقيسها.

في حين يبدو السيناريو الأوّل أكثر طبيعةً بكثير، فإنّ النتيجة النهائيّة في الحالتين واحدة (يُصاب الجدار باحتمال $p_L+p_R$)، وعليه فإنّ السؤال عمّا إذا كان علينا أن نمذج الطبيعة على أنّها تتبع السيناريو الأوّل أم الثاني يبدو كالسؤال عن الشجرة المثلّة في الغابة التي لا يسمع سقوطها أحد.

لكنّ حين نريد وصف تجربة الشقّين المزدوجين بالفوتونات لا بكرات البيسبول، فإنّ السيناريو الثاني هو الذي يميل إلى التعميم الكمّي أكثر.

تربط الميكانيكا الكمّية بكلّ تجربة احتمالية عددًا $\alpha$ يُعرف بـ_السعة_ (amplitude). ويمكن لهذا العدد $\alpha$ أن يكون سالبًا، بل وحتى معقّدًا. نحن لا نلاحظ السعات أبدًا بشكلٍ مباشر، ذلك أنّ كلّما قِسنا حدثًا سعته $\alpha$ ترمي الطبيعة قطعة نقد وتحدّد أنّ الحدث يقع باحتمال $|\alpha|^2$. لكنّ إشارة السعات (أو طورها في الحالة المعقّدة) تؤثّر في ما إذا كان بين حدثين مختلفين تداخل بنّاء أم تداخل هدّام.

وبحدّة، لنفكّر في حدثٍ إما أن يقع أو لا يقع (مثل "أن يصيب الكاشف رقم 17 فوتون"). في الاحتمالات الكلاسيكية، نمذجه بتوزيع احتمالي على ناتجين اثنين: زوجٍ من الأعداد غير السالبة $p$ و$q$ بحيث $p+q=1$، حيث يمثّل $p$ احتمال وقوع الحدث ويمثّل $q$ احتمال عدم وقوعه. وفي الميكانيكا الكمّية، نمذجه أيضًا بزوجٍ من الأعداد نسمّيهما سعتين. وهو زوجٌ من الأعداد $\alpha$ و$\beta$ (قد تكون سالبة بل معقّدة) بحيث $|\alpha|^2 + |\beta|^2 =1$. احتمال وقوع الحدث هو $|\alpha|^2$، واحتمال عدم وقوعه هو $|\beta|^2$. وبمعزلها، لا يهمّ كثيرًا هذا العدد السالب أو المعقّد، فنحن نربّعها على أيّ حال للحصول على الاحتمالات. لكنّ تفاعل السعات الموجبة مع السالبة قد ينتج إلغاءات مفاجئة، بحيث ينتج عن دمج سيناريوهين يقع في كلٍّ منهما الحدث باحتمال موجب، سيناريو لا يقع فيه إطلاقًا.

الميكانيكا الكمّية نظرية رياضية تتيح لنا حساب نتائج تجربة الشقّين المزدوجين وكثير من التجارب الأخرى والتنبّؤ بها. وإن فكّرت في الميكانيكا الكمّية على أنّها تفسير لما يجري "فعلًا" في العالم، فقد تكون مربكةً إلى حدٍّ ما. لكنّك إن اكتفت ببساطة بأن "أسكت وأحسب" فإنّها تعمل على نحوٍ مذهل في التنبّؤ بالنتائج التجريبية. وبخاصة، في تجربة الشقّين المزدوجين، لأيّ موضع في الجدار يمكننا حساب أعداد $\alpha$ و$\beta$ بحيث تصيب الفوتونات الصادرة من الشقّ الأوّل والثاني ذلك الموضع باحتمالات $|\alpha|^2$ و$|\beta|^2$ على التوالي. وحين نفتح الشقّين معًا، يكون احتمال إصابة الموضع متناسبًا مع $|\alpha+\beta|^2$، وعليه فبخاصة، إن كان $\alpha=-\beta$، فإنّ الموضع — رغم أنّه يُصاب عندما يكون الشقّ الأوّل أو الشقّ الثاني مفتوحًا — لا يُصاب إطلاقًا حين يكونان مفتوحين معًا. وإن كنت محتارًا بسبب الميكانيكا الكمّية فأنت لست وحدك: فقد سعى الناس طوال عقود إلى ابتكار تفسيرات لـ"الواقع المتجذّر" وراء الميكانيكا الكمّية، منها ميكانيكا بوم والعوالم المتعدّدة وغيرها. لكنّ أيًّا من هذه التأويلات لم يحظَ بقبولٍ عامّ، وكلّها (بتصميمها) تعطي التنبّؤات التجريبيّة نفسها. وعليه، فإنّ كثيرًا من العلماء يفضّلون في هذه المرحلة تجاهل سؤال ما هو "الواقع الحقيقي"، والعودة إلى مجرّد "الإسكات والحساب".

متباينة بِل (Bell's Inequality)

في الميكانيكا الكمّية شيءٌ غريب. وفي عام 1935، حاول آينشتاين وبودولسكي وروزن (EPR) تحديد هذه المسألة عبر إبراز نتيجةٍ لازمة لهذه النظرية لم يُنتبه إليها من قبل. بيّنوا أنّ الفكرة القائلة إنّ الطبيعة لا تحدّد نتائج التجربة إلّا حين تُقاس، تؤدّي إلى ما يُسمّى "التأثير المرعب عن بُعد". أي إنّ إجراء قياسٍ على جسمٍ ما قد يؤثّر فورًا في حالة (أي متّجه سعات) جسمٍ آخر في الطرف المقابل من الكون.

ولأنّ متّجه السعات ليس سوى تجريدٍ رياضي، فإنّ ورقة EPR عُدّت مجرّد تجربةٍ فكرية تشغل الفلاسفة، ولا علاقة لها بالتجارب. لكنّ هذا تغيّر حين عرض جون بِل عام 1965 تجربةً فعلية لاختبار تنبّؤات EPR، ومن ثمّ واجه الحسّ السليم الحدسيّ بالميكانيكا الكمّية. وفازت الميكانيكا الكمّية: إذ تبيّن أنّه بالفعل يمكن استخدام القياسات لإنشاء ارتباطات بين حالات أجسامٍ متباعدةٍ جدًّا عن بعضها، لا يستطيع أيّ نظريةٍ سابقة تفسيرها. لكنّ، ولأنّ نتائج هذه التجارب تبدو "خاطئة" إلى حدٍّ واضح لأيّ شخصٍ جلس يومًا في كرسيٍّ مريح، ما زال هناك عددٌ من منكري متباينة بِل يزعمون أنّ هذا لا يمكن أن يكون صحيحًا وأنّ الميكانيكا الكمّية خاطئة.

إذًا، ما هي متباينة بِل هذه؟ لنفترض أنّ أليس وبوب يحاولان إقناعك بأنّ لديهما قدرةً على التنبّؤ الذهنيّ، ويريدان إثبات ذلك عبر التجربة التالية. سيكون أليس وبوب في غرفٍ مغلقة منفصلة.^[2] أنت ستستجوب أليس، ومساعدك سيستجوب بوب. تختار أنت بتًّا عشوائيًّا $x\in\{0,1\}$، ويختار مساعدك بتًّا عشوائيًّا $y\in\{0,1\}$. ونترك $a$ لتكون إجابة أليس، و$b$ لتكون إجابة بوب. ونقول إنّ أليس وبوب يفوزان في هذه التجربة إذا تحقّق $a \oplus b = x \wedge y$. بمعنى آخر، يحتاج أليس وبوب إلى إخراج بتّين يتناقضان إذا كان $x=y=1$، و_يتّفقان_ في غير ذلك.^[3]

الآن، إن لم يكونا أليس وبوب تنبّؤيين ذهنيًّا، فإنّهما يحتاجان إلى الاتفاق مسبقًا على استراتيجية ما. وليس صعبًا على أليس وبوب أن ينجحا باحتمال $3/4$: يكفي أن يُخرجا دائمًا البتّ نفسها. علاوةً على ذلك، بإجراء بعض تحليل الحالات، يمكننا أن نبيّن أنّه مهما كانت الاستراتيجية التي يستعملانها، لا يمكن لأليس وبوب أن ينجحا باحتمالٍ أعلى من ذلك:^[4]

من الحقائق المذهلة التي تحقّقت تجريبيًّا أنّ الميكانيكا الكمّية تسمح بـ"التنبّؤ الذهنيّ".^[5] وبحدّة، ثبت أنّه باستغلال غرابة الميكانيكا الكمّية، هناك بالفعل استراتيجيةٌ ينجح بها أليس وبوب في هذه اللعبة باحتمالٍ أكبر من $3/4$ (بل إنّهما يمكنهما النجاح باحتمالٍ نحو $0.85$، انظر لمّة).

غرابة الكمّ

من بين الخصائص المناقضة الحدس النشئة عن الميكانيكا الكمّية نذكر:

• التداخل (interference) - كما رأينا، يمكن للسعات الكمّية أن "تلغي بعضها بعضًا".

• القياس (measurement) - إنّ الفكرة بأنّ السعات تكون سالبة ما دام "لا أحد ينظر"، ثمّ "تنهار" (بربيعها) إلى احتمالاتٍ موجبة حين تُقاس بـ، هي فكرةٌ مقلقة إلى حدٍّ عميق. بالفعل، كما بيّن EPR وبِل، فإنّ هذا يؤدّي إلى نتائج غريبة متعدّدة مثل "التأثيرات المرعبة عن بُعد"، حيث يمكننا إنشاء ارتباطات بين نتائج قياساتٍ في أماكن متباعدةٍ جدًّا. وللأسف (أو للحسن؟) فإنّ هذه النتائج الغريبة قد تأكّدت تجريبيًّا.

• التشابك (entanglement) - إنّ فكرة أنّ جزأين من النظام قد يرتبطان بهذه الطريقة الغريبة التي يكون فيها قياس أحدهما مؤثّرًا في الآخر تُعرف بـ_التشابك الكمّي_.

وكما أنّ هذه المفاهيم مناقضة للحدس إلى حدٍّ كبير، فقد تأكّدت تجريبيًّا، فعلينا فقط أن نتعايش معها.

الحوسبة الكمّية والحساب — ملخّص تنفيذي

من الجوانب الغريبة في التصوّر الكمّي-الميكانيكيّ للعالم أنّه، على خلاف مثال كرات البلياردو، لا توجد خوارزميّةٌ بديهية لمحاكاة تطوّر $n$ جسيمات خلال $t$ حقبة زمنية في $poly(n,t)$ خطوة. وفي الواقع، فإنّ الطريقة الطبيعيّة لمحاكاة $n$ جسيمًا كمّيًّا ستتطلّب عددًا من الخطوات أسّيًّا في $n$. وهذا صداعٌ هائل للعلماء الذين يحتاجون فعلًا إلى إجراء هذه الحسابات في الممارسة العمليّة.

وفي عام 1981 اقترح الفيزيائي ريتشارد فايمان أن "يحوّل هذا الليمون إلى عصير الليمون"، عبر الملاحظة شبه البديهية التالية:

إذا لم يستطع حاسوبٌ محاكاة نظامٍ فيزيائي في $T$ خطوة، فيُعتبر النظام وكأنّه يؤدّي حسابًا يستغرق أكثر من $T$ خطوة.

وعليه، فقد سأل: هل يمكن تصميم نظامٍ كمّيّ تكون نتيجته $y$ انطلاقًا من الشرط الابتدائي $x$ هي دالّة $y=f(x)$ بحيث (أ) لا نعرف كيف نحسبها بكفاءة بأيّ طريقة أخرى، و**(ب)** تكون نافعةً فعلًا في شيءٍ ما.^[6] وفي عام 1985 اقترح ديفيد دويتش رسميًّا فكرة آلة تورينج الكمّية، وقد طوُّر هذا النموذج منذ ذلك الحين في أعمال دويتش وجوزا وبرنشتاين وفازيراني. ويُعرف مثل هذا النظام اليوم بأنّه حاسوب كمّي.

لمدّة من الوقت بدت هذه الحواسيب الكمّية الافتراضية نافعةً لأحد أمرين. فالأوّل، لتوفير آليةٍ عامّة الغرض لمحاكاة مجموعةٍ متنوّعة من الأنظمة الكمّية الحقيقيّة التي يهتمّ بها الناس، مثل التفاعلات المختلفة داخل الجزيئات في الكيمياء الكمّية. والثاني، كتبرٍّ لـ_فرضية كنيسة-تورينج الموسَّعة_ التي تقول إنّ كلّ جهاز حساب قابل للتحقيق فيزيائيًّا يمكن نمذجته (حتى تكلفة متعدّدة الحدود) بواسطة آلات تورينج (أو بما يعادلها، برامج NAND-TM / NAND-RAM).

الكيمياء الكمّية مهمّة (وفهمها بالتحديد قد يكون عنق زجاجة في تصميم موادّ جديدة وأدوية وغيرها)، لكنّها ما زالت مجالًا ضيّقًا نوعًا ما ضمن السياق الأوسع لتطبيقات الحوسبة (وحتى الحوسبة العلميّة). وعليه، فلفترة من الوقت ظنّ معظم الباحثين (إلى الحدّ الذي كانوا واعين له) أنّ الحواسيب الكمّية فضولٌ نظريّ لا صلة له تقريبًا بالممارسة، إذ بدا أنّ هذه "القوّة الإضافية" النظرية لا تقدّم ميزةً تُذكر في أغلب المسائل التي يريد الناس حلّها في مجالات مثل التحسين التوافقيّ والتعلّم الآليّ وبنى البيانات وغيرها.

إلى حدٍّ ما، لا يزال هذا صحيحًا اليوم. وحسب علمي، لن توفّر الحواسيب الكمّية — إن بُنيت — تسريعًا أسّيًّا لـ 95% من تطبيقات الحوسبة.^[7] وبخاصة، وحسب علمي، لن تساعدنا الحواسيب الكمّية على حلّ مسائل $\mathbf{NP}$ الكاملة في زمن متعدّد الحدود أو حتى تحت-أسّيّ، وإنّما خوارزمية غروفير (ملاحظة — الحوسبة الكمّية وNP) تمنح ميزةً تربيعيّة في حالاتٍ عديّة.

لكنّ هناك استثناءً واحدًا بحجم علم التعمية: في عام 1994 أثبت بيتر شور أنّ الحواسيب الكمّية تستطيع حلّ مشكلتَي تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها واللوغاريتم المتقطّع في زمن متعدّد الحدود. وقد استأثرت هذه النتيجة خيال عددٍ كبيرٍ جدًّا من الناس، وأشعلت البحث في الحوسبة الكمّية بطاقةٍ كاملة. وذلك لأمرين: لأنّ صعوبة هذه المسائل بعينها تشكّل الأسس لتأمين جزءٍ هائل من اتصالاتنا (وفي هذه الأيام، اقتصادنا)، ولأنّه كان عرضًا قويًّا على أنّ الحواسيب الكمّية قد تنفع في مسائل تبدو، في الظاهر، لا علاقة لها إطلاقًا بالفيزياء الكمّية.

وسنناقش هذا لاحقًا، فإنّ هناك في الوقت الحالي عدّة جهودٍ كثيفة لبناء حواسيب كمّية واسعة النطاق. ويبدو من الآمن القول، حسب علمي، إنّه خلال السنوات الخمس ة أو نحوها لن يوجد حاسوب كمّي كبير بما يكفي لتحليل، مثلًا، عددٍ بـ $1024$ بتّ إلى عوامله. ومن الجهة الأخرى، يبدو مرجّحًا جدًّا أنّه في المستقبل القريب جدًّا ستكون هناك حواسيب كمّية تؤدّي بعضَ المهمة بسرعةٍ أسّيّة أكبر بكثير من أفضل طريقةٍ معروفة لتأدية المهمة نفسها بحاسوبٍ كلاسيكيّ. أمّا متى تُبنى، وإذَا بُنيت، حاسوبٌ كمّيّ قويّ بما يكفي لكسر المعاملات المعقولة في ديفي-هيلمان وRSA وتعمية المنحنيات الإهليلجية، فلا أحد يعرف. وقد يكون الأمر أيضًا "نبوءةً مدمِّرة لنفسها"، حيث إنّ وجود حاسوب كمّيّ صغير النطاق يدفع الجميع إلى الانتقال إلى التعمية المبنيّة على الشبكات البلّورية، وهو ما سيُضعف بدوره الدافع لاستثمار الموارد الهائلة اللازمة لبناء حاسوب كمّيّ واسع النطاق.^[8]

الأنظمة الكمّية

قبل أن نتحدّث عن الحوسبة الكمّية، لنُراجع كيف نحقّق فيزيائيًّا الحوسبة "العاديّة" أي الكلاسيكيّة. ننمذج البتّ المنطقيّ الذي يمكن أن يساوي $0$ أو $1$ بواسطة نظامٍ فيزيائيّ يكون في إحدى حالتين. على سبيل المثال، قد يكون سلكًا بجهدٍ عالٍ أو منخفض، أو مكثّفًا مشحونًا أو غير مشحون، أو حتى (كما رأينا) أنبوبًا يجري فيه الماء أو لا يجري، أو وجود جندي متمركز أو غيابه. يتكوّن النظام الكلاسيكيّ المكوّن من $n$ بتًّا من $n$ من هذه "الأنظمة الأساسيّة"، كلٌّ منها يمكن أن يكون في حالة "صفر" أو "واحد". ويمكننا نمذجة حالة مثل هذا النظام بسلسلةٍ $s \in \{0,1\}^n$. فإذا نفّذنا عمليةً مثل كتابة NAND للبتّين الثالث والخامس في البتّ السابع عشر، فإنّ ذلك يقابل تطبيق دالّة موضعيّة على $s$ مثل ضبط $s_{17} = 1 - s_3\cdot s_5$.

في إطار الاحتماليّ، سننمذج حالة النظام بـ_توزيع_. أمّا البتّ الفرديّ فيمكننا نمذجته بزوجٍ من الأعداد غير السالبة $\alpha,\beta$ بحيث $\alpha+\beta=1$، حيث $\alpha$ هو احتمال أن يكون البتّ صفرًا و$\beta$ هو احتمال أن يكون البتّ واحدًا. على سبيل المثال، تطبيق عملية النفي (أي NOT) على هذا البتّ يقابل تحويل الزوج $(\alpha,\beta)$ إلى $(\beta,\alpha)$، لأنّ احتمال أن يساوي $NOT(\sigma)$ العددَ $1$ هو نفسه احتمال أن يساوي $\sigma$ العددَ $0$. وهذا يعني أنّه يمكننا اعتبار دالّة NOT الخريطة الخطّية $N:\R^2 \rightarrow \R^2$ بحيث $N \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta \\ \alpha \end{pmatrix}$، أو بما يعادلها المصفوفة $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

فإذا نظرنا إلى نظام الـ $n$ بتًّا ككلّ، فبما أنّ الـ $n$ بتًّا يمكن أن تأخذ إحدى $2^n$ قيمةٍ محتملة، فإنّنا ننمذج حالة النظام كمتجّه $p$ من $2^n$ احتمال. لكلّ $s\in \{0,1\}^n$، نرمز بالمتجّه $e_s$ المتّجهَ ذي البعد $2^n$ الذي له $1$ في الإحداثيّ الموافقة لـ $s$ (بعد مطابقته إلى عددٍ في $[2^n]$)، هكذا يمكننا كتابة $p$ على أنّها $\sum_{s\in \{0,1\}^n} p_s e_s$ حيث $p_s$ هو احتمال أن يكون النظام في الحالة $s$.

وتطبيق عملية الضبط السابقة، أي جعل البتّ $17$ مساويًا لـ NAND للبتّين الثالث والخامس، يقابل تحويل المتّجه $p$ إلى المتّجه $Fp$ حيث $F:\R^{2^n} \rightarrow \R^{2^n}$ هي الخريطة الخطّية التي ترسل $e_s$ إلى $e_{s_0\cdots s_{16}(1-s_3\cdot s_5)s_{18}\cdots s_{n-1}}$.^[9]

سعات كمّية

في الإطار الكمّي، تُنمذج حالة البتّ الفرديّ (أو "الكيوبِت" (qubit) بلغة الكمّ) بزوجٍ من الأعداد $(\alpha,\beta)$ بحيث $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$. في حين أنّ هذه الأعداد قد تكون معقّدة على العموم، سنفترض في بقية هذا الفصل غالبًا أنّها حقيقية (رغم أنها قد تكون سالبة)، ولذلك نُسقط مشغّل القيمة المطلقة في مواضعٍ كثيرة. (وهذا لا يؤثّر كثيرًا على القدرة التفسيرية.) وكما سبق، نفكّر في $\alpha^2$ على أنّها احتمال أن يساوي البتّ العددَ $0$، وفي $\beta^2$ على أنّها احتمال أن يساوي البتّ العددَ $1$. وكما فعلنا من قبل، يمكننا نمذجة عملية NOT بالخريطة $N:\R^2 \rightarrow \R^2$ حيث $N(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$.

وإلّا اتّباعًا للتقليد الكمّي، بدلًا من استعمال $e_0$ و$e_1$ كما فعلنا أعلاه، سنرمز من الآن فصاعدًا للمتجّه $(1,0)$ بالرمز $|0\rangle$، و$(0,1)$ بالرمز $|1\rangle$ (وعلاوةً، نفكّر في هذين كمتجّهين أعمّدة). وتُعرف هذه بترميز ديراك «الكِت» (ket). وهذا يعني أنّ NOT هي الخريطة الخطّية الوحيدة $N:\R^2 \rightarrow \R^2$ التي تحقّق $N |0\rangle=|1\rangle$ و$N |1\rangle =|0\rangle$. بمعنى آخر، في الحالة الكمّية كما في الحالة الاحتمالية، تقابل NOT المصفوفة $$N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \;.$$

في الحوسبة الكلاسيكيّة، نميل عادةً إلى الاعتقاد بأنّ عملياتٍ اثنتين فقط يمكن إجراؤهما على بتٍّ واحد: الإبقاء عليه كما هو أو نفيه. في الإطار الكمّي، تقابل عملية البتّ الواحد أي خريطة خطّية $OP:\R^2 \rightarrow \R^2$ حافِظة للمعيار بالمعنى أنّه لكلّ $\alpha,\beta$، إذا طبّقنا $OP$ على المتّجه $\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$ نحصل على متّجه $\begin{pmatrix} \alpha' \\ \beta' \end{pmatrix}$ بحيث $\alpha'^2 + \beta'^2 = \alpha^2 + \beta^2$. وتقابل خريطةٍ خطّية كهذه $OP$ مصفوفةً وحادية 2×2.^[10] الإبقاء على البتّ كما هو يقابل المصفوفة $I = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$، و(كما رأينا) عملية NOT تقابل المصفوفة $N = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$. لكنّ هناك عملياتٍ أخرى يمكننا استعمالها أيضًا. إحدى هذه العمليات المفيدة هي عملية هادامارد (Hadamard)، وهي تقابل المصفوفة $$H = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} +1 & +1\\ +1 & -1 \end{pmatrix} \;.$$

وفي الواقع، يتبيّن أنّ هادامارد هو كلّ ما نحتاج إلى إضافته إلى أساسٍ كلاسيكيّ شامل للحصول على كامل قوة الحوسبة الكمّية.

ملخّص

تُنمذج حالة نظامٍ كمّيّ من $n$ كيوبِت بمتجّهٍ ذي البعد $2^n$ هو $\psi$ ومعياره وحدة (أي أنّ مربّعات كلّ الإحداثيّات مجموعها $1$)، ونكتبه على أنّه $\psi=\sum_{x\in \{0,1\}^n} \psi_x |x \rangle$ حيث $|x\rangle$ هو متّجه العمود الذي له $0$ في كلّ الإحداثيّات إلّا ذلك المقابل لـ $x$ (بعد مطابقة $\{0,1\}^n$ مع الأعداد $\{0,\ldots,2^n-1\}$). ونستخدم العُرف بأنّه إذا كانت $a,b$ سلسلتين بطول $k$ و$\ell$ على التوالي، فيمكننا كتابة المتّجه ذي البعد $2^{k+\ell}$ الذي له $1$ في الإحداثيّة $ab$ وصفرًا في بقيّة المواضع، ليس على صورة $|ab\rangle$ فحسب بل أيضًا على صورة $|a\rangle |b \rangle$. وبخاصة، لكلّ $x\in \{0,1\}^n$، يمكننا كتابة المتّجه $|x\rangle$ أيضًا على صورة $|x_0\rangle |x_1\rangle \cdots |x_{n-1} \rangle$. وهذا الترميز يحقّق قوانين توزيعيّة جيّدة معيّنة مثل $|a\rangle(|b\rangle + |b'\rangle)|c \rangle = |abc \rangle + |ab'c\rangle$.

وتُنمذج عمليةٌ كمّية على مثل هذا النظام بمصفوفة $2^n \times 2^n$ وحاديّة $U$ (أي التي تحقّق $UU^\top = I$ حيث $U^\top$ هي عملية النقل (transpose)، أو النقل المرافق للمصفوفات المعقّدة). فإذا كان النظام في الحالة $\psi$ وطبّقنا عليه العملية $U$، فإنّ الحالة الجديدة للنظام هي $U\psi$.

وحين نقيس نظامًا من $n$ كيوبِت في حالة $\psi= \sum_{x\in \{0,1\}^n} \psi_x |x \rangle$، نلاحظ القيمة $x\in \{0,1\}^n$ باحتمال $|\psi_x|^2$. وفي هذه الحالة، ينهار النظام منهارًا إلى الحالة $|x \rangle$.

تحليل متباينة بِل (اختياري)

الآن وبعد أن استقرّ الترميز، يمكننا عرض استراتيجيةٍ لأليس وبوب تُظهر "التنبّؤ الذهني الكمّي" في لعبة بِل. وتذكّروا أنّه في الحالة الكلاسيكيّة يمكن لأليس وبوب النجاح في "لعبة بِل" باحتمالٍ لا يتجاوز $3/4 = 0.75$. وسنبيّن الآن أنّ الميكانيكا الكمّية تسمح لهما بالنجاح باحتمالٍ لا يقلّ عن $0.8$.^[11]

الحوسبة الكمّية

تذكّروا أنّنا في الإطار الكلاسيكيّ نمذجنا الحساب بأنّه يُحصَل عليه عبر تسلسلٍ من عملياتٍ أساسيّة. وقد كان لدينا نوعان من النماذج الحوسبية:

• نماذج حسابٍ غير منتظمة مثل الدوائر البوليانية وبرامج NAND-CIRC، حيث تكون الدالّة المنتهية $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ قابلةً للحساب بحجم $T$ إذا أمكن التعبير عنها كتركيبٍ من $T$ عمليةً أساسيّة (بوّاباتٍ في دائرة أو أسطرٍ في برنامج NAND-CIRC)

• نماذج حسابٍ منتظمة مثل آلات تورينج وبرامج NAND-TM، حيث تكون الدالّة اللانهائية $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ قابلةً للحساب في زمن $T(n)$ إذا كانت هناك خوارزميّةٌ واحدة تُعطى مدخلًا $x\in \{0,1\}^n$ فتُقيّم $F(x)$ باستعمال $T(n)$ خطوةً أساسيّةً على الأكثر.

وحين كنا نتناول الحساب الكَفء، عرّفنا الصنف $\mathbf{P}$ على أنّه يتكوّن من كلّ الدوالّ اللانهائية $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ التي يمكن حسابها بآلة تورينج أو ببرنامج NAND-TM في زمن $p(n)$ لمتعدّد حدودٍ ما $p(\cdot)$. وعرّفنا الصنف $\mathbf{P_{/poly}}$ على أنّه يتكوّن من كلّ الدوالّ اللانهائية $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ بحيث لكلّ $n$، يمكن حساب تقييد $F$ على $\{0,1\}^n$، وهو $F_{\upharpoonright n}$، بدائرةٍ بوليانية أو ببرنامج NAND-CIRC حجمها لا يتجاوز $p(n)$ لمتعدّد حدودٍ ما $p(\cdot)$.

وسنفعل الشيء نفسه للحوسبة الكمّية، مع التركيز في الغالب على الإطار غير المنتظم للدوائر الكمّية، لأنّه الأبسط، ويوضّح أصلًا الفروق المهمّة مع الحوسبة الكلاسيكيّة.

الدوائر الكمّية

الدائرة الكمّية شبيهةٌ بالدائرة البوليانية، ويمكن وصفها بأنّها رسمٌ بيانيّ موجّهٌ بلا دورات. ومن الفروق الجوهرية أنّ درجة الخروج (out degree) لكلّ رأسٍ في دائرةٍ كمّية لا تتجاوز واحدًا. ويعود ذلك إلى أنّنا لا نستطيع "إعادة استعمال" الحالات الكمّية من غير قياسها (وأنّ القياس يُنهار "احتمالاتها"). وعليه، لا يمكننا استعمال كيوبِت واحدٍ كمدخلٍ لبوّابتين مختلفتين.^[13] ومن الفروق الأخرى الأكثر تقنيّة أنّه، حتى نعبّر عن عملياتنا كمصفوفاتٍ وحاديّة، سنحتاج إلى التأكّد من أنّ كلّ بوّاباتنا قابلة للعكس. وهذا ليس صعبًا الضمان. على سبيل المثال، في السياق الكمّي، بدلًا من التفكير في $NAND$ كخريطةٍ (غير قابلة للعكس) من $\{0,1\}^2$ إلى $\{0,1\}$، سنفكّر فيها كخريطةٍ قابلة للعكس على ثلاثة كيوبِتات ترسل $a,b,c$ إلى $a,b,c\oplus NAND(a,b)$ (أي تنقلب البتّ الأخيرة إذا كانت $NAND$ للبتّين الأوّلَين تساوي $1$). وبما يعادله، تقابل عملية NAND المصفوفةَ الوحاديّة $8\times 8$ المسمّاة $U_{NAND}$ بحيث (بعد مطابقة $\{0,1\}^3$ مع $[8]$) لكلّ $a,b,c \in \{0,1\}$، إذا كان $|abc\rangle$ هو عنصر الأساس الذي له $1$ في الإحداثيّة $abc$ وصفرًا في غيرها، فإنّ $U_{NAND} |abc\rangle =|ab(c \oplus NAND(a,b))\rangle$.^[14] وإذا رتّبنا الصفوف والأعمدة بالترتيب $000,001,010,\ldots,111$، فإنّ $U_{NAND}$ يمكن كتابتها على صورة المصفوفة التالية:

$$U_{NAND} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

فلن كان لدينا نظامٌ من $n$ كيوبِت، فإنّه لكلّ $i,j,k \in [n]$ سنرمز بـ $U_{NAND}^{i,j,k}$ إلى المصفوفة الوحاديّة $2^n \times 2^n$ الموافقة لتطبيق $U_{NAND}$ على البتّات $i$ و$j$ و$k$، مع ترك البقيّة كما هي. أي أنّه لكلّ $v = \sum_{x\in \{0,1\}^n} v_x |x \rangle$، $U_{NAND}^{i,j,k}v = \sum_{x\in \{0,1\}^n}v_x |x_0 \cdots x_{k-1}(x_k \oplus NAND(x_i,x_j))x_{k+1} \cdots x_{n-1} \rangle$.

وكما ذكرنا أعلاه، سنستعمل أيضًا عملية هادامارد أو $HAD$. وتُنشأ الدائرة الكمّية بتطبيق تسلسلٍ من بوّابات $U_{NAND}$ و$HAD$، وهي تقابل المصفوفة $$H = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} +1 & +1\\ +1 & -1 \end{pmatrix} \;.$$ وتوجد طريقةٌ أخرى لتعريف $H$ وهي أنّه لكلّ $b \in \{0,1\}$، $H |b\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \tfrac{1}{\sqrt{2}} (-1)^b |1\rangle$. ونعرّف $HAD^i$ على أنّها المصفوفة الوحاديّة $2^n \times 2^n$ التي تطبّق $HAD$ على الكيوبِت $i$ وتترك البقيّة كما هي. وباستعمال ترميز الكِت، يمكننا كتابة هذا على الصورة $$HAD^i \; \sum_{x\in \{0,1\}^n} v_x |x \rangle \;=\; \tfrac{1}{\sqrt{2}}\sum_{x\in \{0,1\}^n}|x_0 \cdots x_{i-1}\rangle \left(|0\rangle + (-1)^{x_i}|1\rangle\right)|x_i \cdots x_{n-1} \rangle \;.$$

وتُنشأ دائرةٌ كمّية بترطيب هذه العمليات الأساسيّة على $m$ كيوبِتٍ ما. فإذا كان $m \geq n$، فإنّنا نستعمل دائرةً لحساب دالّة $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$:

• على المدخل $x$، نهيّئ النظام ليحتوي $x_0,\ldots,x_{n-1}$ في كيوبِتات $n$ الأولى، ونهيّئ بقية الكيوبِتات الـ $m-n$ كلها إلى الصفر.

• ننفّذ كلّ عمليةٍ أوّليّة واحدةً تلو الأخرى.

• في نهاية الحساب، نقيس النظام، ونُخرج نتيجة الكيوبِت الأخير (أي الكيوبِت في الموضع $m-1$).^[15]

• ونقول إنّ الدائرة تحسب $f$ إذا كان احتمال أن يساوي هذا الناتج $f(x)$ لا يقلّ عن $2/3$. ولاحظ أنّ هذا الاحتمال يُحصَل عليه بجمع مربّعات سعات كلّ الإحداثيّات في الحالة النهائيّة للنظام الموافقة للمتجّهات $|y \rangle$ حيث $y_{m-1}=f(x)$.

رسميًّا، يُعرَّف هذا على النحو التالي:

وبما أنّ لدينا الآن فكرة الدوائر الكمّية، يمكننا تعريف نظير $\mathbf{P_{/poly}}$ الكمّي (أي تعريف صنف الدوالّ القابلة للحساب بدوائرَ كمّية بحجم متعدّد الحدود) على النحو التالي:

برامج QNAND-CIRC (اختياري)

كما في الحالة الكلاسيكيّة بالضبط، هناك تكافؤٌ بين الدوائر وبرامج السطور المتتابعة، ولذلك يمكننا تعريف لغة البرمجة QNAND التي هي النظير الكمّي للغة NAND-CIRC البرمجيّة لدينا. ولللعمل على ذلك، نضيف عمليةً واحدةً فقط: HAD(foo) التي تطبّق العملية أحادية البتّ $H$ على المتغيّر foo. ونستعمل أيضًا التفسير التالي لجعل NAND قابلة للعكس: foo = NAND(bar,blah) تعني أنّنا نعدّل foo ليصبح XOR لقيمته الأصليّة مع NAND لـ bar وblah. (بمعنى آخر، طبّق التحويلَ الوحاديّ $8$ في $8$ المعرّف أعلاه $U_{NAND}$ على الكيوبِتات الثلاثة الموافقة لـ foo وbar وblah.) وإذا كان foo مهيّأً إلى الصفر فإنّ هذا لا يحدث أيّ فرق.

فإذا كان $P$ برنامج QNAND-CIRC فيه $n$ متغيّرَات مدخلات، و$\ell$ متغيّرَات مساحة عمل، و$m$ متغيّرَات مخرجات، فإنّ تشغيله على المدخل $x\in \{0,1\}^n$ يقابل إنشاء نظامٍ من $n+m+\ell$ كيوبِت وأداء العملية التالية:

1. نهيّئ متغيّرات المدخلات X[$0$] $\ldots$ X[$n-1$] على $x_0,\ldots,x_{n-1}$، ونضع جميع المتغيّرات الأخرى على $0$.

2. ننفّذ البرنامج سطرًا سطرًا، مطبّقًا العملية الفيزيائيّة المناظرة $H$ أو $U_{NAND}$ على الكيوبِتات التي يشير إليها السطر.

3. نقيس متغيّرات المخرجات Y[$0$], $\ldots$, Y[$m-1$] ونُخرج النتيجة (وإذا كان هناك أكثر من ناتج فإنّنا نقيس متغيّراتٍ أكثر).

الحساب المنتظم

كما في الحالة الكلاسيكيّة بالضبط، يمكننا تعريف نماذج حسابٍ منتظمة. على سبيل المثال، يمكننا تعريف لغة البرمجة QNAND-TM بوصفها QNAND مضافًا إليها الحلقات والمصفوفات، كما يُحصَّل NAND-TM من NAND. وباستعمال هذا يمكننا تعريف الصنف $\mathbf{BQP}$، وهو النظير المنتظم لـ $\mathbf{BQP_{/poly}}$. وكما في الإطار الكلاسيكيّ حيث $\mathbf{BPP} \subseteq \mathbf{P_{/poly}}$، يمكن في الإطار الكمّي إثبات أنّ $\mathbf{BQP} \subseteq \mathbf{BQP_{/poly}}$. وكما في الحالة الكلاسيكيّة، يمكننا أيضًا استعمال آلات تورينج الكمّية بدلًا من QNAND-TM لتعريف $\mathbf{BQP}$.

وتوجد طريقةٌ أخرى لتعريف $\mathbf{BQP}$ وهي التالية: الدالّة $F:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ تنتمي إلى $\mathbf{BQP}$ إذا (1) كان $F\in \mathbf{BQP_{/poly}}$ و (2) علاوةً على ذلك، لكلّ $n$، أمكن توليد الدائرة الكمّية التي تتحقّق من ذلك بواسطة برنامج NAND-TM كلاسيكيّ بزمن متعدّد الحدود (أو بما يعادله، آلة تورينج بزمن متعدّد الحدود).^[16] ونستعمل هذا التعريف هنا، وإنّما يمكن صياغة تعريفٍ مكافئ باستعمال QNAND-TM أو آلات تورينج الكمّية:

العلاقة بين $\mathbf{NP}$ و$\mathbf{BQP}$ غير معروفة (وانظر أيضًا ملاحظة — الحوسبة الكمّية وNP). ويُعتقد على نطاقٍ واسع أنّ $\mathbf{NP} \not\subseteq \mathbf{BQP}$، لكن لا يوجد إجماعٌ على ما إذا كان $\mathbf{BQP} \subseteq \mathbf{NP}$ أم لا. ومن المحتمل جدًّا أن يكون الصنفان غير قابلين للمقارنة، بمعنى أنّ $\mathbf{NP} \nsubseteq \mathbf{BQP}$ (وبخاصة لا تنتمي أيّ دالّةٍ $\mathbf{NP}$-كاملة إلى $\mathbf{BQP}$)، لكن أيضًا $\mathbf{BQP} \nsubseteq \mathbf{NP}$ (وهناك بعض المرشّحين الواعدين لمثل هذه المسائل).

ويمكن إثبات أنّ $QNANDEVAL$ (تقييم دائرة كمّية على مدخلٍ ما) قابلٌ للحساب ببرنامج QNAND-CIRC بحجم متعدّد الحدود، وعلاوةً على ذلك يمكن حتى توليد هذا البرنامج بشكلٍ منتظم، ومن ثمّ فإنّ $QNANDEVAL$ في $\mathbf{BQP}$. وهذا يتيح لنا "نقل" كثيرٍ من نتائج التعقيد الحوسبّي الكلاسيكيّ إلى عالم الكمّ أيضًا.

التحقّق الفيزيائيّ من الحوسبة الكمّية

ولتحقيق الحوسبة الكمّية فيزيائيًّا، يحتاج المرء إلى إنشاء نظامٍ فيه $n$ حالة ثنائيّة مستقلّة (أي "كيوبِتات")، وإلى القدرة على التلاعب بمجموعاتٍ صغيرة من اثنين أو ثلاثةٍ من هذه الكيوبِتات لتغيير حالتها. في حين إنّ الطريقة التي عرّفنا بها العمليات أعلاه قد توحي بأنّ المرء يحتاج إلى القدرة على تنفيذ عملياتٍ وحاديّةٍ اعتباطيّة على هذين الكيوبِتَين أو الثلاثة، يتبيّن أنّ هناك عدّة خيارات لـ_مجموعاتٍ شاملة_ — أي عددٍ ثابتٍ صغيرٍ من البوّابات تولّد كلّ البوّابات الأخرى. أكبر تحدٍّ هو كيفية منع النظام من أن يُقاس وينهار منهارًا إلى تركيبةٍ كلاسيكيّةٍ واحدة من الحالات. وتُعرف هذه أحيانًا بـ_زمن التماسك_ (coherence time) للنظام. وتقول نظرية العتبة إنّ هناك مستوى أخطاءٍ ثابتًا مطلقًا $\tau$ بحيث إذا تكوّنت الأخطاء عند كلّ بوّابة بمعدّلٍ أصغر من $\tau$ أمكننا التعافي منها وتنفيذ حساباتٍ عشوائية الطول. (وبالطبع هناك طرائقٌ مختلفة لنمذجة الأخطاء، ولذلك توجد فعليًّا عدةُ نظرياتِ عتبةٍ موافقةً لنماذج ضجيجٍ مختلفة).

هناك عدّة مقترحات لبناء حواسيب كمّية:

• تستعمل الحواسيب الكمّية فائقة التوصيل دوائرَ كهربائيّة فائقة التوصيل لإجراء الحوسبة الكمّية. وهذه حاليًّا هي الأجهزة ذات أكبر عددٍ من الكيوبِتات القابلة للتحكّم بالكامل.

• في هارفارد، تستخدم مجموعة لوكين الذرّات الباردة لتنفيذ حواسيب كمّية.

• تستعمل الحواسيب الكمّية ذات الأيونات المحتجَسة حالات أيونٍ ما لمحاكاة كيوبِت. وأجرى الناس بعض التقدّمات الحديثة على هذه الحواسيب أيضًا. على سبيل المثال، استُخدم حاسوبُ احتجاس أيونات في تنفيذ خوارزمية شور لتحليل العدد 15. (ويُبيَّن أنّ $15=3\times 5$ :) )

• تستعمل الحواسيب الكمّية الطوبولوجيّة تقنيةً مختلفة، وهي أكثر ثباتًا بالتصميم، لكنّ التلاعب بها لإنشاء حواسيب كمّية أصعب على الأرجح.

هذه المقاربات ليست متعارضةً فيما بينها، وقد يكون الأمر في النهاية أنّ الحواسيب الكمّية تُبنى بالجمع بينها جميعًا. في الوقت الحالي، لدينا أجهزةٌ فيها نحو $100$ كيوبِت، ونسبة خطأ نحو $1\%$ لكلّ بوّابة. وتُسمّى هذه الأجهزة المقيَّدة أحيانًا "الحواسيب الكمّية المتوسّطة ضوضاء" أو "NISQ". وانظر هذا المقال لجون بريسكيل لتطّلع على بعض التقدّم والتطبيقات لهذه الأجهزة الأكثر تقييدًا. وإذا زاد عددُ الكيوبِتات وانخفض الخطأ بمقدار رتبةٍ أو رتبتين عشريّتين، لأمكننا أن نبدأ برؤية مزيدٍ من التطبيقات.

{#googlequantumfig .margin width=300px height=300px}

خوارزمية شور: سماع شكل العوامل الأوّليّة

متباينة بِل عرضٌ قويّ يدلّ على أنّ ثمة أمرًا غريبًا جدًّا يجري في الميكانيكا الكمّية. لكنّ هل يمكن لهذه "الغريبة" أن تنفع في حلّ مسائلَ حوسبيةٍ لا صلة لها مباشرةً بالأنظمة الكمّية؟ في البديهة، يمكن للمرء أن يخمن بأنّ الجواب لا. وفي عام 1994 أثبت بيتر شور أنّ واحدًا يكون مخطئًا في ذلك:

وتوجد طريقةٌ أخرى لصياغة مبرهنة — خوارزمية شور وهي أنّه إذا عرّفنا $FACTORING:\{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ لتكون الدالّة التي تأخذ كمدخل زوجَين من الأعداد $(M,X)$ وتُخرج $1$ إذا وفقط إذا كان لـ $M$ عاملٌ $P$ بحيث $2 \leq P \leq X$، فإنّ $FACTORING$ في $\mathbf{BQP}$. وهذا تحسّنٌ أسّيّ مقارنةً بأفضل الخوارزميات الكلاسيكيّة المعروفة، التي تستغرق نحو $2^{\tilde{O}(n^{1/3})}$ من الزمن، حيث يخفي ترميز $\tilde{O}$ عواملَ متعدّدة اللوغاريتم في $n$. ولن نُثبت مبرهنة — خوارزمية شور في هذا الفصل، لكنّنا سنرسم بعض الأفكار الكامنة وراء الإثبات.

إيجاد الدورية

في قلب نظرية شور تكمن خوارزميّة كمّية كَفئة لإيجاد دوريّات دالّةٍ معطاة. على سبيل المثال، الدالّة $f:\R \rightarrow \R$ تكون دوريّة إذا كان هناك $h>0$ بحيث $f(x+h)=f(x)$ لكلّ $x$ (انظر مثلًا periodicfig).

{#periodicfig .margin width=300px height=300px}

النوتات الموسيقية تعطي نوعًا من الدوالّ الدوريّة. فحين تشدّ وترًا في آلةٍ موسيقية، فإنّه يهتزّ بنمطٍ متكرّر. ومن ثمّ، إن رسمنا سرعة الوتر (وعليه أيضًا سرعة الهواء حوله) بدالّةٍ للزمن، فإنّها ستقابل دالّةً دوريّةً ما. وطول الدورة يُعرف بـ_الطول الموجيّ_ (wave length) للنوتة. و_التردّد_ (frequency) هو عدد المرّات التي تتكرّر فيها الدالّة نفسها خلال وحدةٍ من الزمن. على سبيل المثال، نوتة "-do" الوسطى ("Middle C") تردّدها $261.63$ هرتز، ما يعني أنّ دورتها $1/(261.63)$ ثانية. وإذا عزفنا وترًا (chord) بالعزف على عدّة نوتاتٍ في آنٍ واحد، نحصل على دالّةٍ دوريّةٍ أعقد، تُنشأ بالجمع بين دوالّ النوتات المنفردة (انظر timefreqfig). تحتوي الأذن البشريّة على شعيراتٍ صغيرةٍ كثيرة، كلُّ منها حسّاسٌ لنطاقٍ ضيّقٍ من التردّددات. ومن ثمّ، حين نسمع الصوت المقابل لوترٍ ما، فإنّ شعيرات أذُنينا تفصله في الواقع إلى مكوّناته الموافقة لكلّ تردّد.

{#timefreqfig .margin width=300px height=300px}

يتبيّن أنّ (في جوهرها) كلّ دالّةٍ دوريّة $f:\R \rightarrow \R$ يمكن تفكيكها إلى مجموع دوالّ موجيّة بسيطة (أي دوالّ من الشكل $x \mapsto \sin(\theta x)$ أو $x \mapsto \cos(\theta x)$). ويُعرف هذا بـتحويل فورييه (انظر qfourierfig). ويجعل تحويل فورييه حسابَ دورة دالّةٍ معطاة أمرًا يسيرًا: فهي ببساطة المضاعف المشترك الأدنى لدوريات الموجات المكوّنة لها.

{#qfourierfig .margin width=300px height=300px}

خوارزمية شور: نظرة من مرتفع

تأخذ خوارزمية شور كمدخل عددًا صحيحًا $M$، وتُخرج التحليلَ الأوّليّ لـ $M$ في زمنٍ متعدّد الحدود في $\log M$. والخطوات الرئيسيّة في الخوارزميّة هي:

الخطوة 1: الاختزال إلى إيجاد الدورية. تتمثّل الخطوة الأولى في الخوارزميّة في اختيار $A\in \{0,1\ldots,M-1\}$ عشوائيًّا وتعريف الدالّة $F_A:\{0,1\}^m \rightarrow \{0,1\}^m$ على أنّها $F_A(x)= A^x (\mod M)$، حيث نطابق السلسلةَ $x \in \{0,1\}^m$ مع عددٍ صحيحٍ باستخدام التمثيل الثنائي، ومثلًا نمثّل العددَ $A^x (\mod M)$ كسلسلة. (سنختار $m$ لتكون متعدّدةَ الحدود في $m$، ومن ثمّ فبخاصة $\{0,1\}^m$ مجموعةٌ كبيرةٌ بما يكفي لتمثيل كلّ الأعداد في $\{0,1,\ldots, M-1 \}$).

تُظهر حساباتٌ ليست صعبةً جدًّا (لكنّها تقنيةٌ إلى حدٍّ ما) أنّ: (1) الدالّة $F_A$ دوريّة (أي أنّه هناك عددٌ صحيح $p_A$ بحيث $F_A(x+p_A)=F_A(x)$ لكلّ $x$ تقريبًا^[17])، والأهمّ (2) إذا استطعنا استرجاع الدورة $p_A$ لـ $F_A$ بالنسبة إلى عدّة قيمَ $A$ مختارةٍ عشوائيًّا، استطعنا عندئذٍ استرجاع تحليل $M$ إلى عوامله. وعليه، فإنّ تحليل $M$ إلى عوامله يختزل في معرفة دورة الدالّة $F_A$. و تمرين — اللوغاريتم المتقطّع من إيجاد الرتبة يطلب منك تنفيذ ذلك على المهمة المرتبطة بحساب اللوغاريتم المتقطّع (الذي يقوم عليه أمن تبادل المفاتيح في ديفي-هيلمان وتعمية المنحنيات الإهليلجية).

الخطوة 2: إيجاد الدورية عبر تحويل فورييه الكمّي. باستعمال حيلةٍ بسيطة تُعرف بـ"التربيع المتكرّر"، من الممكن حسابُ الخريطة $x \mapsto F_A(x)$ في زمنٍ متعدّد الحدود في $m$، ما يعني أنّه يمكننا أيضًا حساب هذه الخريطة باستعمال عددٍ متعدّد الحدود من بوّابات NAND، ومن ثمّ فبخاصة يمكننا في زمنٍ كمّيّ متعدّد الحدود توليد حالةٍ كمّية $\rho$ تساوي (حتى التطبيع)

$$\sum_{x\in \{0,1\}^m} |x\rangle |F_A(x) \rangle \;\;.$$

وبخاصة، إن قِسنا الحالة $\rho$ فإنّنا سنحصل على زوجٍ عشوائيٍّ من الشكل $(x,y)$ حيث $y= F_A(x)$. إلى هنا، لا يوجد شيء مُبهر إطلاقًا. فبعد كلّ شيء، لم نكن بحاجة إلى قوّة الحوسبة الكمّية لتوليد أزواجٍ كهذه: يمكننا ببساطة توليد $x$ عشوائيّ ثمّ حساب $F_A(x)$.

وتوجد طريقةٌ أخرى لوصف الحالة $\rho$ وهي أنّ معامل $|x \rangle |y \rangle$ في $\rho$ متناسبٌ مع $f_{A,y}(x)$ حيث $f_{A,y} : \{0,1\}^m \rightarrow \R$ هي الدالّة التي $$f_{A,y}(x) = \begin{cases} 1 & y = A^x (\mod M) \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \;.$$

يأتي سحر خوارزمية شور من إجراءٍ يُعرف بـتحويل فورييه الكمّي. وهو يسمح بتغيير الحالة $\rho$ إلى الحالة $\hat{\rho}$ حيث يكون معامل $|x\rangle|y \rangle$ متناسبًا الآن مع معامل فورييه رقم $x$ لـ $f_{A,y}$. بمعنى آخر، إن قِسنا الحالة $\hat{\rho}$، فسنحصل على زوجٍ $(x,y)$ بحيث احتمال اختيار $x$ متناسبٌ مع مربّع وزن التردّد $x$ في تمثيل الدالّة $f_{A,y}$. وبما أنّ الدالّة $f_{A,y}$ لكلّ $y$ لها الدورة $p_A$، فيمكن إثبات أنّ التردد $x$ سيكون (تقريبًا^[18]) مضاعفًا لـ $p_A$. فإذا أخذنا عدّة عيناتٍ كهذه $y_0,\ldots,y_k$ وحصلنا على التردّدات $x_1,\ldots,x_k$، فإنّ الدورة الحقيقيّة $p_A$ تقسم جميعها، ويمكن إثبات أنّها ستكون في الواقع أكبر القواسم المشتركة (g.c.d.) لكلّ هذه التردّدات: قيمةٌ يمكن حسابها في زمن متعدّد الحدود. وكما ذكرنا أعلاه، يمكننا استرجاع تحليل $M$ إلى عوامله من دورات $F_{A_0},\ldots,F_{A_t}$ لبعض $A_0,\ldots,A_t$ المختارة عشوائيًّا في $\{0,\ldots, M-1\}$، و$t$ متعدّدةِ الحدود في $\log M$.

ويمكن وصف الخوارزميّة الناتجة على مستوى عالٍ (إلى حدٍّ ما غير دقيق) كالتالي:

الاختزال من تحليل الأعداد إلى عواملها إلى إيجاد رتبتها مُرهِق، لكنّه يمكن إنجازه في زمن متعدّد الحدود باستعمال حاسوبٍ كلاسيكيّ. والمكوّن الكمّي الرئيس في خوارزمية شور هو تحويل فورييه الكمّي.

تحويل فورييه الكمّي (متقدّم، اختياري)

الوصف أعلاه لخوارزمية شور قد تجاوز تنفيذ المكوّن الكمّي الرئيس: خوارزمية تحويل فورييه الكمّي. في هذا القسم سنناقش الأفكار الكامنة وراء هذه الخوارزميّة. سنكون قصيرين وغير دقيقين إلى حدٍّ ما. ويحتوي ملاحظة — المزيد عن الكمّ وملاحظات المراجع على إشاراتٍ إلى مصادرَ لمعلوماتٍ أكثر حول هذا الموضوع.

لفهم تحويل فورييه الكمّي، نحتاج إلى فهم تحويل فورييه نفسه على نحوٍ أفضل. وبخاصة، سنحتاج إلى فهم كيف ينطبق ليس فقط على الدوالّ التي مدخلها عددٌ حقيقيّ، بل وعلى الدوالّ التي نطاقها قد يكون أيّ جماعة (group) ابداعيّة مهما كانت. وعليه، ننتقل الآن في excursiónٍ قصيرة إلى نظرية الزمر (بسطحة جدًّا)، ونعرّف مفهوم الدوالّ الدوريّة على الزمر.

تحويل فورييه موضوعٌ عميقٌ وواسع، لن نلمس منه هنا إلّا القليل. فوق الأعداد الحقيقيّة، يُحصل على تحويل فورييه للدالّة $f$ بالتعبير عن $f$ على الشكل $\sum \hat{f}(\alpha)\chi_\alpha$ حيث $\chi_\alpha$ هي «دوالّ موجيّة» (مثل sine و cosine). لكنّ يتبيّن أنّ المفهوم نفسه موجود لكلّ جماعةٍ أبليّة $\mathbb{G}$. وبحدّة، لكلّ جماعةٍ من هذا النوع $\mathbb{G}$، إذا كانت $f$ دالّةً ترسم $\mathbb{G}$ إلى $\mathbb{C}$، فيمكننا كتابة $f$ على الصورة

$$f = \sum_{g \in \mathbb{G}} \hat{f}(g)\chi_g \;\;,$$

حيث $\chi_g$ هي دوالٌ ترسم $\mathbb{G}$ إلى $\mathbb{C}$، وهي نظائر «الدوالّ الموجيّة» للجماعة $\mathbb{G}$، ولكلّ $g\in \mathbb{G}$، يكون $\hat{f}(g)$ عددًا معقّدًا يُعرف بـ_معامل فورييه المقابل لـ $f$ لـ $g$.^[19] ويُعرف التمثيل المعادلة بـ_تمدّد فورييه أو تحويل فورييه لـ $f$، وتُعرف الأعداد $( \hat{f}(g) )_{g\in\mathbb{G}}$ بـ_معاملات فورييه_ لـ $f$، وتُعرف الدوالّ $( \chi_g )_{g\in\mathbb{G}}$ بـ_شخصيات فورييه_ (Fourier characters). والخاصيّة المركزيّة لشخصيات فورييه هي أنّها تماثلاتٌ تجسيرية (homomorphisms) من الجماعة إلى الأعداد المعقّدة، بمعنى أنّه لكلّ $x,x' \in \mathbb{G}$، $\chi_g(x \star x')=\chi_g(x)\chi_g(x')$، حيث $\star$ هي عملية الجماعة. ومن نتائج هذه الخاصيّة أنّه إذا كان $\chi_g(h)=1$ فإنّ $\chi_g$ دوريّةٌ بـ $h$ بمعنى أنّ $\chi_g(x \star h)=\chi_g(x)$ لكلّ $x$. ويتبيّن أنّه إذا كانت $f$ دوريّةً بأدنى دورةٍ وهي $h$، فإنّ شخصيات فورييه الوحيدة التي لها معاملات غير صفرية في التعبير المعادلة هي أيضًا الدوريّة بـ $h$. ويمكن استعمال هذا لاسترجاع دورة $f$ من تمدّدها الفوريهي.

تحويل فورييه الكمّي فوق المكعّب البولياني: خوارزمية سيمون

نصف الآن أبسط إطارٍ لتحويل فورييه الكمّي: الجماعة $\{0,1\}^n$ مع عملية XOR، وسنرمز لها بـ $(\{0,1\}^n,\oplus)$. ويمكن إثبات أنّ تحويل فورييه فوق $(\{0,1\}^n,\oplus)$ يقابل التعبير عن $f:\{0,1\}^n \rightarrow \mathbb{C}$ على الصورة

$$f = \sum_{y\in \{0,1\}} \hat{f}(y) \chi_y$$

حيث يُعرَّف $\chi_y:\{0,1\}^n \rightarrow \mathbb{C}$ على أنّه $\chi_y(x) = (-1)^{\sum_i y_i x_i}$ و $\hat{f}(y) = \tfrac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{x\in \{0,1\}^n} f(x)(-1)^{\sum_i y_i x_i}$.

إنّ تحويل فورييه الكمّي فوق $(\{0,1\}^n,\oplus)$ بسيطٌ في الواقع إلى حدٍّ مذهل:

من فورييه إلى إيجاد الدورية: خوارزمية سيمون (متقدّمة، اختياريّة)

باستعمال مبرهنة — تحويل فورييه الكمّي فوق المكعّب البولياني، ليس صعبًا الحصول على خوارزميّة تستطيع استرجاع سلسلةٍ $h^* \in \{0,1\}^n$، انطلاقًا من دائرةٍ تحسب دالّةً $F:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^*$ دوريّةً بـ $h^*$ بمعنى أنّ $F(x)=F(x')$ لـ $x,x'$ مختلفَين إذا وفقط إذا كان $x' = x \oplus h^*$. والملاحظة المفتاحيّة هي أنّه إذا حسبنا الحالة $\sum_{x\in \{0,1\}^n} |x \rangle |F(x) \rangle$، وأجرينا تحويل فورييه الكمّي على الكيوبِتات $n$ الأولى، فسنحصل على حالةٍ لا تكون عناصرُها الأساسيّة ذات المعاملات غير الصفرية إلّا على صورة $|y \rangle$ حيث

$$\sum y_i h^*_i = 0 (\mod 2)$$

إذًا، بقياس الحالة، يمكننا الحصول على عيّنةٍ لـ $y$ عشوائيّ يحقّق المعادلة. لكنّ بما أنّ المعادلة معادلةٌ خطّيّة بالمودولو $2$ في $n$ متغيّراتٍ مجهولةٍ هي $h^*_0,\ldots,h^*_{n-1}$، فإنّنا إذا كرّرنا هذا الإجراء للحصول على $n$ من هذه المعادلات،فإنّنا سنحصل على عددٍ من المعادلات لا يقلّ عن عدد المتغيّرات، وسيكفي ذلك (ويمكن إثباته) لاسترجاع $h^*$."

وتُعرف هذه النتيجة بـخوارزمية سيمون، وقد سبقَت خوارزمية شور وألهمتها.

من سيمون إلى شور (متقدّمة، اختياريّة)

بدا أنّ مبرهنة — تحويل فورييه الكمّي فوق المكعّب البولياني يستغلّ حقًّا البنيةَ الخاصّة البيتية للجماعة $\{0,1\}^n$، ومن ثمّ يمكن للمرء أن يتساءل عمّا إذا كان يمكن تمديده إلى جماعاتٍ أخرى. لكنّ يتبيّن أنّه يمكننا في الواقع تحقيق مثل هذا التعميم.

والخطوة المفتاحيّة في خوارزمية شور هي تنفيذ تحويل فورييه للجماعة $\Z_L$، وهي مجموعة الأعداد $\{0,\ldots,L-1\}$ مع عملية الجمع بالمودولو $L$. في هذه الحالة يتبيّن أنّ شخصيات فورييه هي الدوالّ $\chi_y(x) = \omega^{yx}$ حيث $\omega = e^{2\pi i/L}$ (وهنا $i$ تشير إلى العدد المعقّد $\sqrt{-1}$). ومعاملُ فورييه رقم $y$ في الدالّة $f:\Z_L \rightarrow \mathbb{C}$ هو

$$\hat{f}(y) = \tfrac{1}{\sqrt{L}}\sum_{x\in \Z_L} f(x)\omega^{xy} \;.$$

ومفتاح تنفيذ تحويل فورييه الكمّي لمثل هذه الجماعات هو استعمال المعادلات العوديّة نفسها التي تُمكِّن خوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT) الكلاسيكيّة. وبحدّة، لنفكّر في الحالة $L=2^\ell$. ويمكننا فصل المجموع على $x$ في المعادلة إلى الحدود الموافقة لـ $x$ الزوجية (من الشكل $x=2z$) و $x$ الفردية (من الشكل $x=2z+1$) فنحصل على

$$\hat{f}(y) = \tfrac{1}{\sqrt{L}}\sum_{z \in Z_{L/2}} f(2z)(\omega^2)^{yz} + \tfrac{\omega^y}{\sqrt{L}}\sum_{z\in \Z_{L/2}}f(2z+1)(\omega^2)^{yz}$$

وهذا يختزل حساب تحويل فورييه لـ $f$ فوق الجماعة $\Z_{2^\ell}$ في حساب تحويل فورييه للدوالّ $f_{even}$ و$f_{odd}$ (الموافقة لتطبيق $f$ على $x$ الزوجية والفردية على التوالي)، ولديهما $2^{\ell-1}$ مدخلًا يمكننا مطابقتها مع الجماعة $\Z_{2^{\ell-1}}=\Z_{L/2}$. وبحدّة، شخصيات فورييه للجماعة $\Z_{L/2}$ هي الدوالّ $\chi_y(x) = e^{2\pi i/(L/2) yx} = (\omega^2)^{yx}$ لكلّ $x,y \in \Z_{L/2}$. وعلاوةً على ذلك، بما أنّ $\omega^L = 1$، فإنّ $(\omega^2)^y = (\omega^2)^{y \mod L/2}$ لكلّ $y\in \N$. وعليه تُترجَم المعادلة إلى $$\hat{f}(y) = \hat{f}_{even}(y \mod L/2) + \omega^y \hat{f}_{odd}(y \mod L/2) \;.$$

وتُستعمل هذه الملاحظة عادةً للحصول على زمنٍ سريع (مثل $O(L \log L)$) لحساب تحويل فورييه في إطارٍ كلاسيكيّ، لكنّها يمكن أن تُستعمل للحصول على دائرةٍ كمّية من $poly(\log L)$ بوّابة لتحويل حالةٍ من الشكل $\sum_{x\in \Z_L} f(x)|x\rangle$ إلى حالةٍ من الشكل $\sum_{y\in \Z_L} \hat{f}(y)|y \rangle$.

الحال أنّه إذا لم يكن $L$ قوةً دقيقةً للعدد 2 فإنّ ذلك يسبّب بعض التعقيدات في كلٍّ من الحالة الكلاسيكيّة لتحويل فورييه السريع والإطار الكمّي لخوارزمية شور. لكنّ من الممكن معالجتها. والفكرة أنّه يمكننا غمر $Z_L$ في الجماعة $\Z_{A\cdot L}$ لأيّ عددٍ صحيح $A$، ويمكننا إيجاد عددٍ صحيح $A$ بحيث يكون $A\cdot L$ قريبًا بما يكفي من قوةٍ للعدد $2$ (أي عددٍ من الشكل $2^m$ لبعض $m$)، بحيث إن أجرينا تحويل فورييه فوق الجماعة $\Z_{2^m}$ لم نُدخل أخطاءً كثيرةً.