هل كل مبرهنة قابلة للإثبات؟

"خذ أي مسألة غير محلولة محدّدة، مثل ... وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية من الشكل $2^n + 1$. مهما بدت هذه المسائل بعيدة المنال في أعيننا، ومهما كنّا عاجزين أمامها، فإننا مع ذلك نتملك يقينًا راسخًا بأن حلّها يجب أن ينبع من عدد منتهٍ من العمليات المنطقية المحضة..."
"...وهذا اليقين بإمكانية حلّ كل مسألة رياضية هو حافز قوي للعامل. نسمع في داخلنا النداء الأبدي: ها هي المسألة. ابحث عن حلّها. تستطيع أن تجده بالعقل المحض، فالرياضيات لا يوجد فيها ignorabimus.", ديفيد هيلبرت، 1900.

"معنى العبارة هو طريق التحقق منها.", موريتز شليك، 1938 (ما يُعرف بـ«مبدأ التحقق» (The verification principle) في الوضعية المنطقية)

المسائل التي بيّنا في الشمولية وغياب قابلية الحساب أنها غير قابلة للحساب، وعلى طبيعتها مهمة، فإنها كانت تتضمّن في تعريفاتها برامج NAND-TM أو آليات حوسبة أخرى بشكل وثيق. ربما يمكننا أن نأمل بأنه ما دمنا نبتعد عن الدوال التي تكون مداخلها برامج بذاتها، فسنستطيع تفادي «لعنة عدم قابلية الحساب». لكننا لسنا محظوظين بهذا.

في هذا الفصل سنرى مثالًا لمسألة طبيعية و«خالية من الحوسبة» ظاهريًا، لكنها مع ذلك تبيّن أنها غير قابلة للحساب: حلّ معادلات ديوفانطية (Diophantine equations). وبنتيجة تالية، سنرى إحدى أكثر نتائج الرياضيات في القرن العشرين إثارةً للدهشة: مبرهنة غودل في عدم الاكتمال، التي بيّنت أن هناك عبارات رياضية (بل في نظرية الأعداد تحديدًا) لا يمكن إثباتها بطبيعتها. سنبدأ في الواقع بالنتيجة الثانية، ثم نبيّن الأولى.

برنامج هيلبرت ومبرهنة غودل في عدم الاكتمال

"وماذا هذه… المقادير المتلاشية؟ إنها لا كميات منتهية، ولا كميات لانهائية الصغر، ولا هي لا شيء بعد. ألّا نسمّيها بأشباح مقادير رحلت؟", جورج بيركلي، أسقف كلاين، 1734.

كان القرن السابع عشر والثامن عشر زمنًا لاكتتشافات عظيمة في الرياضيات، وكذلك لعدة أزمات. فاكتشاف التفاضل والتكامل على يد نيوتن ولايبنتس في أواخر القرن السابع عشر قد فتحا عصرًا ذهبيًا في حل المسائل. وخضع كثير من التحديات الطويلة الأمد للأدوات الجديدة التي اكتُشفت، وأصبح الرياضيون أفضل بكثير في إنجاز حسابات مبهرة حقًا. غير أن الأسس الصارمة وراء هذه الحسابات كانت دون المستوى. كان الرياضيون يتعاملون بلا مبالاة مع الكميات اللانهائية الصغرى والمتتاليات اللانهائية، وإن كانوا في معظم الأوقات ينتهيبن بالنتائج الصحيحة، إلا أن هناك بضعة أمثلة غريبة (مثل محاولة حساب قيمة المتتالية اللانهائية $1-1+1-1+1+\ldots$) بدت تُعطي إجابات مختلفة بحسب طريقة الحساب. وهذا أدّى إلى تنامي الإحساس بالقلق تجاه أسس الميدان، وعولج ذلك في أعمال رياضيين مثل كوشي ووايرستراس وريمان، الذين وضعوا التحليل في النهاية على أسس أمتن، فنتج عن ذلك حدود $\epsilon$ و $\delta$ التي ما يزال الطلاب في دورات التفاضل والتكامل المتقدمة يصارعونها إلى هذا اليوم.

في مطلع القرن العشرين، كان هناك جهد لتكرار هذا الجهد، بصرامة أكبر، على جميع أبواب الرياضيات. كان الأمل أن نبيّن أن كل النتائج الصادقة في الرياضيات يمكن الحصول عليها انطلاقًا من عدد من البديهيات، واستنتاج مبرهنات منها باستعمال قواعد استنتاج منطقية. وكان هذا الجهد معروفًا بـ_برنامج هيلبرت_ (Hilbert program)، المسمّى نسبةً إلى الرياضيان المؤثر ديفيد هيلبرت.

لكن تبيّن أن النتائج التي رأيناها أوقعت ضربة قاضية لهذا البرنامج، كما بيّن كورت غودل سنة 1931:

تعريف «أنظمة البرهنة»

قبل إثبات مبرهنة — مبرهنة غودل في عدم الاكتمال: صيغة غير رسمية، نحتاج إلى تعريف «أنظمة البرهنة»، بل وإلى تعريف رسمي لمفهوم «العبارة الرياضية». في الهندسة وفي مجالات رياضية أخرى، تُعرَّف أنظمة البرهنة غالبًا بالبدء من بعض الافتراضات الأساسية أو البديهيات (axioms)، ثم استنتاج مزيد من العبارات باستعمال قواعد الاستنتاج (inference rules) مثل مذهب المقدمات الشهير، لكن ما البديهيات التي سنستعملها؟ وما القواعد؟ سنستعمل مفهومًا شديد العمومية لأنظمة البرهنة، ولا نقتصر حتى على الأنظمة التي تأخذ شكل بديهيات واستنتاج.

العبارات الرياضية. في أعلى المستويات، العبارة الرياضية ليست سوى قطعة نصّ، يمكننا التفكير فيها بوصفها سلسلة (string) $x\in \{0,1\}^*$. تحتوي العبارات الرياضية على دعاوى لا يعتمد صدقها على أي واقعة تجريبية، بل على خصائص الأجسام المجرّدة فحسب. مثلًا، العبارة الرياضية التالية هي كذلك:^[1]

"العدد $2$,$696$,$635$,$869$,$504$,$783$,$333$,$238$,$805$,$675$,$613$, $588$,$278$,$597$,$832$,$162$,$617$,$892$,$474$,$670$,$798$,$113$ عدد أولي (prime)".

لا يلزم أن تتضمّن العبارات الرياضية أعدادًا. إذ يمكنها أن تدّعي خصائص أي كائن رياضي آخر، بما في ذلك المجموعات والسلاسل والدوال والرسوم البيانية، بل وحتى البرامج. وعليه، فإن مثالًا آخر على عبارة رياضية هو ما يلي:^[2]

def f(n):
    if n==1: return 1
    return f(3*n+1) if n % 2 else f(n//2)

\

أنظمة البرهنة. البرهان (proof) لعبارة $x\in \{0,1\}^*$ هو قطعة نصّ أخرى $w\in \{0,1\}^*$ تشهد على صدق العبارة المُدَّعاة في $x$. شروط نظام برهنةٍ صالحة هي:

1. (الفاعلية) (Effectiveness) معطى عبارة $x$ وبرهان $w$، هناك خوارزمية تتحقق مما إذا كان $w$ برهانًا صالحًا لـ $x$ أم لا. (مثلًا، عبر المرور سطرًا سطرًا والتأكد من أن كل سطر يتبع الأسطر السابقة باستخدام إحدى قواعد الاستنتاج المسموح بها.)

2. (التسليمية) (Soundness) إذا كان هناك برهان صالح $w$ لـ $x$ فإن $x$ صادقة.

هذه متطلبات في غاية البساطة لنظام البرهنة. المتطلّب 2 (التسليمية) هو تعريف نظام البرهنة بعينه: فلا ينبغي أن تستطيع إثبات أمور ليست صادقة. والمتطلّب 1 أساسي أيضًا. فإذا لم تكن هناك مجموعة قواعد (أي خوارزمية) للتحقق من صلاحية البرهان، فبأي معنى يكون نظام برهنة؟ يمكننا استبداله بنظام يكون فيه «البرهان» لعبارة $x$ هو «ثق بي: إنها صادقة».

نعرّف أنظمة البرهنة رسميًا بأنها خوارزمية $V$ حيث تتحقّق $V(x,w)=1$ إذا كانت السلسلة $w$ برهانًا صالحًا للعبارة $x$. وحتى لو كانت $x$ صادقة، فلا يلزم أن تكون السلسلة $w$ برهانًا صالحًا لها (فهناك براهين خاطئة كثيرة للعبارات الصادقة مثل 4=2+2)، لكن إذا كانت $w$ برهانًا صالحًا لـ $x$ فيجب أن تكون $x$ صادقة.

مبرهنة غودل في عدم الاكتمال: الصيغة الحاسوبية

صياغتنا الأولى لـ مبرهنة — مبرهنة غودل في عدم الاكتمال: صيغة غير رسمية تنطوي على عبارات عن آلات تورينج. ولنضع $\mathcal{H}$ لتكون مجموعة السلاسل $x\in \{0,1\}^*$ التي تأخذ الشكل «آلة تورينج $M$ لا تتوقّف عند المدخل الصفري».

INPUT: Turing machine $M$
OUTPUT:  $1$  $M$ -if halts on -input $0$;  $0$ otherwise.

for{$n=1,2,3,\ldots$}
    for{$w\in \{0,1\}^n$}
       if{$V($"$M$ does not halt on $0$"$,w)=1$}
         return $0$
       endif
       Simulate $M$ -for $n$ steps on $0$.
       if{$M$ halts}
         return $1$
       endif
    endfor
endfor

العبارات العددية المُكمَّمة

في مبرهنة — مبرهنة غودل في عدم الاكتمال: الصيغة الحاسوبية شيء غير مُرضٍ. نعم، فهو يبيّن أن هناك عبارات غير قابلة للإثبات، لكنها لا تبدو كعبارات رياضية «حقيقية». فهي تتحدث عن برامج بدل الأعداد أو المصفوفات أو المشتقات، أو أي شيء آخر يُدرَّس في مقرّرات الرياضيات. ويبيّن الأمر أننا يمكننا الحصول على نتيجة مماثلة لعبارات مثل «لا يوجد عددان صحيحان موجبان $x$ و $y$ بحيث $x^2 - 2 = y^7$»، أو «يوجد أعداد صحيحة موجبة $x,y,z$ بحيث $x^2 + y^6 = z^{11}$»، وهي عبارات لا تتحدث إلا عن الأعداد الطبيعية. ولا يمكن أن تكون «رياضيات حقيقية» أكثر من هذا. وفعلًا، قال الرياضياتي في القرن التاسع عشر، ليبولد كرونِكر (Leopold Kronecker)، شهيرًا: «خلق الله الأعداد الصحيحة، وكل ما عداها من صنع الإنسان.» (وبالمناسبة، فإن حالة العبارتين أعلاه غير معروفة.)

ولنجعل هذا أدق، لنعرّف مفهوم العبارات العددية المُكمَّمة:

نحن نهتم كثيرًا بتحديد صدق العبارات العددية المُكمَّمة. مثلًا، يمكن صياغة العبارة القائلة إن نظرية فيرما الأخيرة صادقة من أجل $n=3$ على أنها العبارة العددية المُكمَّمة

أما حدس الأعداد الأولية التوأم، الذي ينص على أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد $p$ بحيث يكون $p$ و $p+2$ أوليين معًا، فيمكن صياغته على أنه العبارة العددية المُكمَّمة $$\forall_{n\in\N} \exists_{p\in\N} (p>n) \wedge PRIME(p) \wedge PRIME(p+2)$$ حيث نستبدل أي ورود لـ $PRIME(q)$ بالعبارة $(q>1) \wedge \forall_{a\in \N} \forall_{b\in \N} (a=1) \vee (a=q) \vee \neg (a\times b =q)$.

أما الادّعاء المذكور في اقتباس هيلبرت أعلاه، بأنه يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية من الشكل $p=2^n+1$، فيمكن صياغته كما يلي:

حيث $DIVIDES(a,b)$ هي العبارة $\exists_{c\in\N} b\times c = a$. وبالعربية، يقابل هذا الادّعاء أن لكل $n$ يوجد $p>n$ بحيث يكون كل العوامل الأولية لـ $p-1$ مساويًا للعدد $2$.

يهتم جزء كبير من نظرية الأعداد بتحديد صدق العبارات العددية المُكمَّمة. ولأن خُبرتنا تُظهر أن الإنسان، متى توافر له وقت كافٍ (قد يكون أحيانًا عدة قرون)، تمكّن من ذلك للعبارات التي اهتم بها إلى هذا الحد، فيمكن للمرء (كما فعل هيلبرت) أن يرجو أن نتمكّن في النهاية من إثبات كل هذه العبارات أو نفيها. لكن تبيّن أن هذا مستحيل:

مبرهنة — مبرهنة غودل في عدم الاكتمال للعبارات العددية المُكمَّمة نتيجةٌ مباشرةٌ للاستنتاج التالي، تمامًا كما كان مبرهنة — مبرهنة غودل في عدم الاكتمال: الصيغة الحاسوبية نتيجةً مباشرةً لعدم قابلية حساب $HALTONZERO$:

ولأن العبارة العددية المُكمَّمة ليست سوى تتابع من الرموز، يمكننا تمثيلها بسهولة في صورة سلسلة. ولأغراض التبسيط، سنفترض أن كل سلسلة تمثّل عبارة عددية مُكمَّمة ما، بأن نُسق السلاسل التي لا تقابل عبارة من هذا النوع إلى عبارة اعتباطية مثل $\exists_{x\in \N} x=1$.

في بقية هذا الفصل، سنبيّن برهان مبرهنة — مبرهنة غودل في عدم الاكتمال للعبارات العددية المُكمَّمة، متبعين المخطط الموضَّح في الشكل التوضيحي.

معادلات ديوفانطية ومبرهنة MRDP

تضمنت كثير من الدوال التي أراد الناس حسابها على مر السنين حلّ معادلات. وتاريخها أطول بكثير من تاريخ الحواسيب الميكانيكية. كان البابليون يعرفون من قبل عام 2000 ق.م. كيفية حلّ بعض المعادلات التربيعية، والصيغة التي تعمّ كل المعادلات التربيعية ترد في مخطوطة بخشالي التي أُلّفت في الهند نحو القرن الثالث. وفي عصر النهضة، اكتشف الرياضيون الإيطاليون تعميمات لهذه الصيغ على المعادلات التكعيبية والرباعية (الدرجتين $3$ و $4$). وعمل كثير من أعظم العقول في القرنين السابع عشر والثامن عشر، ومنهم أويلر ولاغرانج ولايبنتز وغاوس، على مشكلة إيجاد صيغة كهذه للمعادلات الخُماسية دون جدوى، إلى أن بيّن روفيني وأبيل وغالوا في القرن التاسع عشر أنه لا توجد صيغة من هذا النوع، وهو ما أنجب في الطريق نظرية الزمر (group theory).

غير أن عدم وجود صيغة مغلقة الشكل لا يعني أننا لا نستطيع حلّ هذه المعادلات. فقد حلّ الناس المعادلات ذات الدرجات الأعلى عدديًا منذ عصور طويلة. وتذكر المخطوطة الصينية تسعة فصول في الفن الرياضي من القرن الأول هذه المقاربات. فحلّ المعادلات متعددة الحدود لا يقتصر البتّة على التاريخ القديم أو على واجبات الطلبة. وتُعدّ طريقة نزول التدرّج هي الأداة الأساسية التي تُدير كثيرًا من أدوات التعلّم الآلي التي أحدثت ثورة في علوم الحاسوب على مدى السنوات الماضية.

لكن هناك بعض المعادلات التي لا نعرف ببساطة كيف نحُلّها بأي وسيلة. مثلًا، استغرق الأمر أكثر من 200 سنة حتى نجح الناس في إثبات أن المعادلة $a^{11} + b^{11} = c^{11}$ لا حلّ لها في الأعداد الصحيحة.^[3] وحفّزت الصعوبة الشهيرة لمّا تُسمى المعادلات ديوفانطية (أي إيجاد جذور صحيحة لكثيرة حدود) الرياضياتي ديفيد هيلبرت سنة 1900 على إدراج مسألة إيجاد إجراء عام لحلّ هذه المعادلات في قائمته الشهيرة المكوّنة من ثلاث وعشرين مسألة مفتوحة لرياضيات القرن العشرين. لا أظن أن هيلبرت شكّ في وجود مثل هذا الإجراء. فبعد كل شيء، كان تاريخ الرياضيات بأكمله حتى هذه اللحظة متضمّنًا اكتشاف طرق أقوى وأقوى، بل إن نتائج الاستحالة، مثل استحالة ثلث زاوية بالمسطرة والفرجار، أو عدم وجود صيغة جبرية للمعادلات الخُماسية، لم تكن إلا تشير إلى الحاجة إلى استعمال طرق أكثر عمومية.

لكن تبيّن أن الأمر لم يكن كذلك بالنسبة للمعادلات ديوفانطية. وفي سنة 1970، بيّن يوري ماتْياسيفتش (Yuri Matiyasevich)، مبنيًا على سلسلة أعمال دامت عقودًا لكل من مارتن ديفيز وهيلاري باتنام وجوليا روبنسون، أنه لا يوجد ببساطة أي طريقة لحلّ هذه المعادلات عمومًا:

وكما هو معتاد، نفترض طريقة قياسية ما للتعبير عن الأعداد والنصوص في صورة سلاسل ثنائية. والعدد $100$ بطبيعة الحال اعتباطي؛ فالمسألة معروفة بأنها غير قابلة للحساب حتى ومتعددات حدود من الدرجة الرابعة وبحد أقصى 58 متغيّرًا. وفعلًا يمكن تقليل عدد المتغيّرات إلى تسعة، على حساب ارتفاع درجة متعددة الحدود (لكنها تبقى ثابتة). انظر ورقة جونز لمزيد من التفاصيل حول هذه المسألة.

صعوبة العبارات العددية المُكمَّمة

لن نبرهن على مبرهنة MRDP (مبرهنة — مبرهنة MRDP). غير أنه، كما ذكرنا، سنبرهن على عدم قابلية حساب $QIS$ (أي مبرهنة — عدم قابلية حساب العبارات العددية المُكمَّمة)، وهي حالة خاصة من مبرهنة MRDP. والسبب أن المعادلة ديوفانطية هي حالة خاصة من عبارة عددية مُكمَّمة لا يتضمّن كمّيتها إلا $\exists$. وهذا يعني أن تحديد صدق العبارات العددية المُكمَّمة مسألة أصعب من حلّ المعادلات ديوفانطية، ولذلك قد يكون إثبات عدم قابلية حساب $QIS$ أسهل.

سيجري برهاننا لعدم قابلية حساب $QIS$ (أي مبرهنة — عدم قابلية حساب العبارات العددية المُكمَّمة)، كما هو معتاد، عبر الاختزال من مشكلة التوقّف، ولكننا سنفعل ذلك في خطوتين:

1. سنستعمل أولًا اختزالًا من مشكلة التوقّف لنبيّن أن تحديد صدق العبارات المُكمَّمة المختلطة (quantified mixed statements) غير قابل للحساب. وتتضمّن العبارات المُكمَّمة المختلطة السلاسل والأعداد الصحيحة معًا. ولأن العبارات المُكمَّمة المختلطة مفهوم أعمّ من العبارات العددية المُكمَّمة، فإن إثبات عدم قابلية حساب تحديد صدقها هو أسهل.

2. سنختزل بعدها مسألة العبارات المُكمَّمة المختلطة إلى العبارات العددية المُكمَّمة.

الخطوة 1: العبارات المُكمَّمة المختلطة وسجلّات الحساب

نعرّف العبارات المُكمَّمة المختلطة بأنها عبارات لا تتضمّن الأعداد الصحيحة والمعاملات الحسابية المعتادة فحسب، بل تتضمّن أيضًا متغيّرات سلاسل (string variables).

مثلًا، العبارة الصادقة القائلة إن لكل سلسلة $a$ هناك سلسلة $b$ تقابل $a$ بترتيب معكوس يمكن صياغتها على أنها العبارة المُكمَّمة المختلطة التالية $$\forall_{a\in\{0,1\}^*} \exists_{b\in \{0,1\}^*} (|a|=|b|) \wedge (\forall_{i\in\N} i < |a| \Rightarrow (a_i \Leftrightarrow b_{|a|-i})) \;.$$

العبارات المُكمَّمة المختلطة أعمّ من العبارات العددية المُكمَّمة، ولذلك فإن النظرية التالية قد تكون أسهل في البرهان من مبرهنة — عدم قابلية حساب العبارات العددية المُكمَّمة:

الخطوة 2: اختزال العبارات المختلطة إلى عبارات عددية

سنبيّن الآن كيف نبرهن على مبرهنة — عدم قابلية حساب العبارات العددية المُكمَّمة باستعمال مبرهنة — عدم قابلية حساب العبارات المُكمَّمة المختلطة. والفكرة أيضًا هي البرهان بالاختزال. سنبيّن تحويلًا لكل عبارة مُكمَّمة مختلطة $\varphi$ إلى عبارة عددية مُكمَّمة $\xi$ لا تستعمل متغيّرات تأخذ قيم سلاسل، بحيث $\varphi$ صادقة إذا وإلى إذا كانت $\xi$ صادقة.

ولإزالة المتغيّرات التي تأخذ قيم سلاسل من عبارة، نرمّز كل سلسلة بزوج من الأعداد الصحيحة. سنبيّن أنه يمكننا ترميز سلسلة $x\in \{0,1\}^*$ بزوج من الأعداد $(X,n)\in \N$ بحيث

• $n=|x|$

• هناك عبارة عددية مُكمَّمة $COORD(X,i)$ تصدق لكل $i<n$ إذا كان $x_i=1$ وتكون خاطئة بغير ذلك.

وهذا يعني أننا نستطيع استبدال كمّية «لكل» على السلاسل مثل $\forall_{x\in \{0,1\}^*}$ بزوج من الكمّيات على الأعداد الصحيحة من الشكل $\forall_{X\in \N}\forall_{n\in\N}$ (وبالمثل استبدال كمّية وجود من الشكل $\exists_{x\in \{0,1\}^*}$ بزوج من الكمّيات $\exists_{X\in \N}\exists_{n\in\N}$). يمكننا بعدها استبدال كل استدعاء لـ $|x|$ بـ $n$ وكل استدعاء لـ $x_i$ بـ $COORD(X,i)$. وهذا يعني أن إذا استطعنا تعريف $COORD$ عبر عبارة عددية مُكمَّمة، فإننا سنحصل على برهان لـ مبرهنة — عدم قابلية حساب العبارات العددية المُكمَّمة، لأننا نستطيع استعمالها لإسقاط كل عبارة مُكمَّمة مختلطة $\varphi$ على عبارة عددية مُكمَّمة مكافئة $\xi$ بحيث $\xi$ صادقة إذا وإلى إذا كانت $\varphi$ صادقة، ومن ثمّ $QMS(\varphi)=QIS(\xi)$. وهذا الإجراء يعني أن مهمة حساب $QMS$ تختزل في مهمة حساب $QIS$، وهو ما يعني أن عدم قابلية حساب $QMS$ تستلزم عدم قابلية حساب $QIS$.

يبيّن ما سبق أن برهان مبرهنة — عدم قابلية حساب العبارات العددية المُكمَّمة ينحصر كله في إيجاد الترميز المناسب للسلاسل في صورة أعداد صحيحة، وفي الطريقة الصحيحة لتنفيذ $COORD$ في هيئة عبارة عددية مُكمَّمة. ولتحقيق ذلك نستعمل النتيجة الفنية التالية:

باستعمال لمّة — متتالية أولية قابلة للبناء يمكننا ترميز $x\in\{0,1\}^*$ بالأعداد $(X,n)$ حيث $X = \prod_{x_i=1} p_i$ و $n=|x|$. يمكننا بعدها تعريف العبارة $COORD(X,i)$ على النحو $$COORD(X,i) = \exists_{p\in\N} PSEQ(p,i) \wedge DIVIDES(p,X)$$ حيث $DIVIDES(a,b)$، كما سبق، معرَّفة بأنها $\exists_{c\in\N} a\times c = b$. ولاحظ أن فعلًا إذا كان $X,n$ يرمّزان السلسلة $x\in \{0,1\}^*$، فإن لكل $i<n$ نحصل على $COORD(X,i)=x_i$، لأن $p_i$ يقسم $X$ إذا وإلى إذا كان $x_i=1$.

وعليه، لم يبقَ لإتمام برهان مبرهنة — عدم قابلية حساب العبارات العددية المُكمَّمة سوى إثبات لمّة — متتالية أولية قابلة للبناء، وهو ما سنقوم به الآن.

ولإيجاز، فقد بيّنا أن لكل عبارة مُكمَّمة مختلطة $\varphi$ يمكننا حساب عبارة عددية مُكمَّمة $\xi$ بحيث $QMS(\varphi)=1$ إذا وإلى إذا كان $QIS(\xi)=1$. وعليه، فإن عدم قابلية حساب $QMS$ (مبرهنة — عدم قابلية حساب العبارات المُكمَّمة المختلطة) تستلزم عدم قابلية حساب $QIS$، وبذلك يكتمل برهان مبرهنة — عدم قابلية حساب العبارات العددية المُكمَّمة، وكذلك برهان مبرهنة غودل في عدم الاكتمال للعبارات العددية المُكمَّمة (مبرهنة — مبرهنة غودل في عدم الاكتمال للعبارات العددية المُكمَّمة).