العبارات الرياضية

القسم 1.1 العبارات الرياضية

الأهداف

بعد إتمام هذا القسم، ينبغي أن تكون قادرًا على ما يلي.

1. تمييز البنية المنطقية للعبارات لتحديد قيمة صدقها من حيث قيم صدق أجزاءها.
2. تمييز استخدام المكمِّمات في عبارة ما، وتحديد قيمة صدق العبارة بناءً على تلك المكمِّمات.
3. الترجمة بين العبارات المكتوبة باللغة الطبيعية وبين الرموز المنطقية.

معاينة القسم

استكشف!

أثناء تجوالك في غابةٍ خيالية، تصادف ثلاثة أقزام (trolls) يحرسون جسرًا. كلٌّ منهم إما فارس (knight) يقول الصدق دائمًا، أو غشّاش (knave) يكذب دائمًا. ولن يدعك الأقزام تعبر حتى تحدّد كلَّ واحدٍ منهم بدقّة على أنه فارس أو غشّاش. ويصوغ كلُّ غwarf عبارةً واحدة:

الغwarf 1: إذا كنتُ غشّاشًا، فهناك فارسان بالضبط هنا. الغwarf 2: الغwarf 1 يكذب. الغwarf 3: إمّا أننا جميعًا غشّاشون، أو أنّ واحدًا منّا على الأقلّ فارس.

أيُّهم فارس وأيّهم غشّاش؟

جرّب 1.1.1.

اقضِ بضع دقائق في التفكير في مسألة الاستكشاف أعلاه. ماذا يمكنك أن تستنتج لو علمتَ أنّ الغwarf 1 كان حقًّا غشّاشًا (أي أنّ عبارته كانت خاطئة)؟ شارك أفكارك الأوّلية في هذا.

كي نمارس الرياضيات، يجب أن نتمكّن من الحديث والكتابة عن الرياضيات. ربّما كانت خبرتك مع الرياضيات حتى الآن في معظمها تتطلّب إيجاد إجابات عددية للمسائل. وكما نمضي قدمًا نحو الرياضيات الأكثر تقدّمًا وتعمّقًا، سيأخذ الكتابة دورًا أكثر بروزًا في العملية الرياضية.

وفي الواقع، فإنّ الهدف الرئيسي للرياضيات، بوصفها تخصّصًا أكاديميًا قائمًا بذاته، هو إثبات الحقائق الرياضية العامة. وكيف يمكننا أن نعرف ما إذا كانت هذه الحقائق، التي قد تسمّى المبرهنات (theorems) أو القضيات (propositions)، صادقة؟ نبني حججًا صالحة تسمّى البراهين (proofs)، تُثبت صدق العبارات. وهنا، لا تعني الحجة ذلك الشيء الذي تكونه مع والدتك عندما تتّفقان على ما تأكلانه على العشاء، بل لدينا تعريف فنّي لهذا المصطلح.

التعريف 1.1.2. الحجة.

الحجة (argument) هي تسلسل من العبارات، تُسمّى آخِرُها الخاتمة، ويُسمّى ما عداها المقدمات.

وتُوصف الحجة بأنّها صالحة متى كانت الخاتمة لا بدّ أن تكون صادقة ما دامت جميع المقدمات صادقة. وتُوصف بأنّها غير صالحة إن لم تكن صالحة؛ أي إنّ جميع المقدمات قد تكون صادقة بينما تظلّ الخاتمة خاطئة.

وتُوصف الحجة بأنّها سليمة (sound) متى كانت صالحة وكانت جميع مقدماتها صادقة. أمّا برهان عبارة ما فهو حجة سليمة خاتمتها هي تلك العبارة.

بالمناسبة...

تعريفاتنا للحجة، وللحجة الصالحة، وللحجة السليمة، هي نفسها التعريفات المستخدَمة في الفلسفة، وهي التخصّص الأكاديمي الأول الآخر الذي يعنى بالمنطق والاستدلال.

ولتقدير ما إذا كان لدينا برهانٌ لإحدى العبارات، علينا أن نقرّر أمرين معًا: هل كلُّ مقدّمة صادقة؟ وهل الحجة صالحة، أي هل الخاتمة تترتّب عن المقدمات؟ وكيف يمكننا أن نفعل ذلك؟

مثال 1.1.3.

تأمّل الحجّتين التاليتين:

	إذا أكلت إيديث خضارها، استحالت عليها أن تنال كعكة.
	إيديث تأكل خضارها.
$\therefore$	إيديث تنال كعكة.

	على فلورنس أن تأكل خضارها كي تنال كعكة.
	فلورنس تأكل خضارها.
$\therefore$	فلورنس تنال كعكة.

(الرمز «$\therefore$» يعني «إذن»)

هل هاتان الحجّتان صالحتان؟

الحل. هل توافق على أنّ الحجّة الأولى صالحة بينما الحجّة الثانية ليست كذلك؟ سنطوّر قريبًا فهمًا أفضل للمنطق المتضمّن في هذا التحليل، ولكن إن كان حدسك موافقًا لهذا التقييم، فأنت في وضع جيّد.

ولاحظ أنّ الحجّتين تبدو متطابقتين تقريبًا. فإيديث وفلورنس تأكلان خضارهما في الحالتين، وفي كلتا الحالتين هناك صلة بين أكل الخضار ونيل الكعكة. ومع ذلك ندّعي أنّه من الصواب أن نستنتج أنّ إيديث تنال كعكة، لكنّه ليس من الصواب أن نستنتج أنّ فلورنس تنالها. إنّ الفارق يجب أن يكون في الصلة بين أكل الخضار ونيل الكعكة. ونحتاج إلى أن نتقن قراءة هذه الجمل وفهمها. هل تعني الجملتان الشيء نفسه؟

لسوء الحظّ، فإنّنا في اللغة اليومية كثيرًا ما نكون مسرفين، وقد يغريك القول إنّهما متكافئتان. لكن لاحظ أنّه لمجرّد أنّ فلورنس يجب أن تأكل خضارها، فإنّنا لم ندّعَ أنّ فعل ذلك سيكون كافيًا (فقد تحتاج أيضًا إلى ترتيب غرفتها، على سبيل المثال). وفي الممارسة اليومية (غير الرياضية)، قد يغريك القول إنّ هذا «الاتجاه الآخر» مفترض ضمنًا. أمّا في الرياضيات فلا نُمنح هذه الرفاهية أبدًا.

ملاحظة 1.1.4.

توضّح الحجج في المثال أعلاه نقطةً مهمّة أخرى: حتى إن لم تكن تهتمّ بتقدّم المعرفة البشرية في مجال الرياضيات، فإنّ إتقانك تحليل الحجج أمر مفيد. وحتى إن لم تكن راغبًا في تقديم كعكة لجدّتك. فإذا كنتَ تستخدم الرياضيات لحلّ مسائل في تخصّص آخر، فإنّه لا يزال عليك إثبات أنّ حلّك صحيح. لا بدّ أن تكون لديك حجّة جيّدة على ذلك!

ولأنّ الحجج تُبنى من عبارات، علينا أن نتّفق على ما الذي يُعدّ عبارةً.

التعريف 1.1.5.

العبارة (statement) هي جملة خبرية تكون إمّا صادقة أو كاذبة.

ولو لم يكن بالإمكان أن تكون جمل الحجة صادقة أو كاذبة، لما وُجدت طريقة لتحديد ما إذا كانت الحجة صالحة، إذ إنّ الصلاحية تصف علاقة بين قيم صدق المقدمات والخاتمة.

والهدف من هذا القسم هو استكشاف «الأشكال» المختلفة التي يمكن أن تتّخذها العبارة. وسنرى أنّ العبارات الأكثر تعقيدًا يمكن بناؤها من عبارات أبسط، بطرق تحدّد قيمة صدقها كليًا بناءً على قيم صدق أجزاءها.

ورقة العمل: نشاط تمهيدي

قبل أن تتابع قراءة المحتوى الرئيس للقسم، أكمل هذا النشاط التمهيدي كي تبدأ التفكير في أنواع الأسئلة التي سيعالجها هذا القسم.

1.

أيُّ الجمل التالية ينبغي أن تُعدّ عبارات؟ أي إنّ أيَّ الجمل أدناه يمكنك أن تحتمل القول بأنها كانت صادقة أو كاذبة؟ اختر كل ما ينطبق.

• مجموع أول مئة عدد صحيح موجب.
• هذه ليست عبارة. بل إنّها ليست حتى جملةً تامّة (لا يوجد فيها فعل).
• ما مجموع أول مئة عدد صحيح موجب؟
• هذه سؤال. وليست عبارة.
• مجموع أول مئة عدد صحيح موجب هو 5050.
• هذه عبارة. فهي إمّا صادقة أو كاذبة (واتّضح أنّها صادقة).
• هل مجموع أول مئة عدد صحيح موجب هو 5050؟
• هذا سؤال. ولعلّ الجواب هو «نعم»، لكنّ ذلك ليس معناه أنّ العبارة «صادقة». فالأسئلة ليست عبارات أبدًا.
• مجموع أول مئة عدد صحيح موجب هو 17.
• هذه خاطئة بوضوح. لكنّها، لمجرّد أنّها خاطئة، فإنّها عبارة!

2.

أنت وصديقك السكن تتجادلان، وهو يدّعي بجرأة أنّ الأناناس جيّد على البيتزا وفي العصائر المخلوطة معًا. أيٌّ ممّا يلي يمثّل ردودًا معقولة على هذه الدعوى، من منظور منطقي؟

• العبارة خاطئة، لأنّ الأناناس وإن كان جيّدًا في العصائر، فهو ليس جيّدًا على البيتزا.
• إن كنتَ تعتقد حقًّا أنّ الأناناس ليس جيّدًا على البيتزا، فلا بدّ لك من القول إنّ العبارة خاطئة، لأنّ العبارة تدّعي أنّ الأمرين كلاهما صادق.
• العبارة خاطئة، لأنّ الأناناس جيّد على البيتزا وجيّد في العصائر، لكنّ بيتزا الأناناس المخفوق ليس جيّدًا أبدًا.
• الدعوى بأنّ الأناناس جيّد على البيتزا وفي العصائر لا تدّعي أنّه جيّد في الوقت نفسه فحسب، بل إنّها تدّعي بالضبط أنّ هاتين الحقيقتين المنفصلتين كلتيهما صادقتان.
• العبارة نصف صادقة، لأنّ بغضّ النظر عمّا تظنّه في الأناناس على البيتزا، يمكننا جميعًا أن نتفق على الأقلّ على أنّ الأناناس جيّد في العصائر.
• العبارات إمّا صادقة أو كاذبة. ولا يوجد ما يُسمّى «نصف صادقة».
• العبارة خاطئة، لأنّ كلَّ من يحبّ الأناناس على البيتزا لا يحبّ الأناناس في العصائر.
• لو كان الأمر كذلك، أي لو لم يحبّ كلُّ من يحبّ الأناناس على البيتزا الأناناس في العصائر، لكانت العبارة خاطئة حقًّا.

3.

يعمد صديقك السكن الآن إلى دعوى أكثرّ وقاحة: إذا كان فيلم أبطالٍ خارق جزءًا من عالم مارفل السينمائي، فهو جيّد. أيٌّ ممّا يلي يمثّل ردودًا معقولة على هذه الدعوى، من منظور منطقي؟

• هذا خاطئ، لأنّه توجد أفلام أبطالٍ خارق جيّدة، مثل «Wonder Woman» و«Dark Knight»، قائمة على شخصيات DC Comics، ولذلك فهي ليست جزءًا من عالم مارفل السينمائي.
• كانت الدعوى أنّه إذا كان الفيلم من مارفل، فهو جيّد. وهي لا تدّعي أنّه إذا كان الفيلم جيّدًا، فهو من مارفل.
• العبارة خاطئة، لأنّه يوجد على الأقلّ فيلم أبطالٍ خارق واحدٌ جزء من عالم مارفل السينمائي وليس جيّدًا أيضًا.
• بالضبط. هذا هو معنى أن تكون عبارة «إذا... فإنّ...» خاطئة.
• العبارة خاطئة، لأنّ فيلم «Green Lantern» ليس من مارفل وليس جيّدًا.
• في الواقع، لم أشاهد ذلك الفيلم قطّ، لكنّ حتى لو كان سيّئًا فإنّ ذلك لا يقول شيئًا عن العبارة الأصلية، لأنّه ليس فيلمًا من مارفل.
• العبارة صادقة لأنّ أكثر من نصف أفلام مارفل جيّد.
• كانت الدعوى أنّ هذه العبارة تصدق على كلّ فيلم أبطالٍ خارق، لا على معظمها فحسب.

4.

لن يتوقّف صديقك السكن عن دعواه الصادمة. فقد ادّعى الآن أنّه إمّا أنّ كلّ الأقزام غشّاشون، أو أنّ هناك غwarfًا واحدًا على الأقلّ فارس. ماذا تقول في هذا؟

• نعم، هذا صحيح لأنّ كل غwarf إمّا فارس أو غشّاش. فإن لم يكن الحال أنّ كلّ الأقزام غشّاشون، فلا بدّ من وجود غwarf فارس.
• بالضبط!
• هذا خاطئ لأنّ بعض الأقزام فارس وبعضهم الآخر غشّاش.
• لو كان الحال كذلك، لكان هناك فارس واحد على الأقلّ.
• العبارة خاطئة لأنّه لا سبيل إلى التحقّق أيُّ الخيارين هو الواقع.
• ما إذا أمكن التحقّق من أيّ جزأين من عبارة «أو» هو صادق لا يغيّر ما إذا كانت العبارة صادقة.
• العبارة خاطئة، لأنّه يستحيل على أيّ غwarf أن يقول إنّ كلّ الأقزام غشّاشون، إذ إنّ الغشّاشين يكذبون دائمًا.
• صحيح أنّه لو قال غwarf إنّ كلّ الأقزام غشّاشون لكان لا بدّ أن يكون غشّاشًا، وعندئذٍ يكون القول إنّ كلّ الأقزام غشّاشون خاطئًا. لكنّنا على حظّنا، إذ لدينا خيار آخر.

العبارات الذرية والجزئية

العبارة هي أي جملة خبرية تكون إمّا صادقة أو كاذبة. وتُعدّ العبارة ذرية (atomic) إذا لم يكن بالإمكان تقسيمها إلى عبارات أصغر، وإلا فإنّها تُسمّى جزئية (molecular).

مثال 1.1.6.

هذه عبارات (بل إنّها عبارات ذرية):

• أرقام الهواتف في الولايات المتحدة تتكوّن من 10 أرقام.
• القمر مصنوع من الجبن.
• 42 عدد تامّ مربّع.
• كلّ عدد زوجي أكبر من 2 يمكن التعبير عنه على صورة مجموع عددين أوليّين.
• $\displaystyle 3+7 = 12$

وهذه ليست عبارات:

• هل تودّ بعض الكعكة؟
• مجموع مربّعين.
• $1+3+5+7+\cdots+2n+1\text{.}$
• اذهب إلى غرفتك!
• $\displaystyle 3+x = 12$

فالسبب في أنّ الجملة «$3 + x = 12$» ليست عبارةً هو أنّها تحتوي متغيّرًا. فبحسب ما يكون عليه $x$ تكون الجملة إمّا صادقة أو كاذبة، أمّا الآن فهي ليست واحدة منهما. وإحدى الطرق لجعل الجملة عبارة هي تحديد قيمة المتغيّر بطريقة ما. ويمكن ذلك بإجراء استبدال معيّن، مثل «$3+x = 12$ where $x = 9\text{,}$» وهي عبارة صادقة. أو يمكنك التقاط المتغيّر الحرّ بالتكميم عليه، كما في «لكلّ قيم $x\text{,}$ $3+x = 12\text{,}$» وهي خاطئة. وسنناقش المكمِّمات بمزيد من التفصيل في البند الفرعي المكمِّمات والمنشِّقات أدناه.

ويمكنك بناء عبارات أكثر تعقيدًا (جزئية) من عبارات أبسط (ذرية أو جزئية) باستخدام الروابط المنطقية. فمثلًا، هذه عبارة جزئية:

أرقام الهواتف في الولايات المتحدة تتكوّن من 10 أرقام، و42 عدد تامّ مربّع.

ولاحظ أنّنا يمكننا تفكيك هذه إلى عبارتين أصغر. فالعبارتان الأقصر مرتبطتان بـ«و». وسندرس خمسة روابط: «و» (سام ذكر، وكريس أنثى)، و«أو» (سام ذكر، أو كريس أنثى)، و«إذا... فإنّ...» (إذا كان سام ذكرًا، فإنّ كريس أنثى)، و«إذا كانت... إذا فقط» (سام ذكر إذا كانت كريس أنثى إذا فقط)، و«ليس» (سام ليس ذكرًا). أمّا الأربعة الأولى فتُسمّى روابط ثنائية (لأنّها تربط عبارتين)، أمّا «ليس» فمثال على رابط أحادي (لأنّه ينطبق على عبارة واحدة).

وهذه العبارات الجزئية هي بطبيعة الحال عبارات أيضًا، لذا يجب أن تكون إمّا صادقة أو كاذبة. أمّا الملاحظة الجوهرية هنا فهي أنّ قيمة الصدق التي تبلغها العبارة الجزئية تحدّدها تمامًا نوع الرابط وقيم صدق الأجزاء. فنحن لا نحتاج إلى معرفة ما تقوله الأجزاء فعلًا، ولا ما إذا كانت بينها صلة موضوعية، بل نحتاج فقط إلى معرفة ما إذا كانت تلك الأجزاء صادقة أو كاذبة.

ولتحليل الروابط المنطقية، يكفي النظر في متغيّرات العبارات (propositional variables) (وتُسمّى أحيانًا متغيّرات جُملية)، وهي عادةً حروف كبيرة في منتصف الأبجدية: $P, Q, R, S, \ldots\text{.}$ ونفكّر فيها على أنها تقوم مقام عبارات (ذرية عادةً)، لكنّ قيم المتغيّرات لا تتجاوز اثنتين: صادقة أو كاذبة. 1 وفي البرمجة الحاسوبية ينبغي أن نسمّي هذه المتغيّرات متغيّرات منطقية (Boolean variables). ولدينا أيضًا رموز للروابط المنطقية: $\wedge\text{,}$ $\vee\text{,}$ $\imp\text{,}$ $\iff\text{,}$ $\neg\text{.}$

التعريف 1.1.7. الروابط المنطقية.

نُعرِّف الروابط المنطقية التالية.

• تُقرأ $P \wedge Q$ على النحو «$P$ و$Q\text{,}$» وتُسمّى عطفًا (conjunction).
• تُقرأ $P \vee Q$ على النحو «$P$ أو $Q\text{,}$» وتُسمّى فصلًا (disjunction).
• تُقرأ $P \imp Q$ على النحو «إذا كان $P$ فإنّ $Q\text{,}$» وتُسمّى استلزامًا (implication) أو شرطًا (conditional).
• تُقرأ $P \iff Q$ على النحو «$P$ إذا كانت $Q\text{,}$ إذا فقط» وتُسمّى تكافؤًا (biconditional).
• تُقرأ $\neg P$ على النحو «ليس $P\text{,}$» وتُسمّى نفيًا (negation).

وتُحدَّد قيمة صدق العبارة بقيمة صدق أجزاءها، بحسب الروابط:

التعريف 1.1.8. شروط صدق الروابط.

تُعرَّف شروط صدق الروابط المنطقية على النحو التالي.

• $P \wedge Q$ صادقة عندما يكون كلٌّ من $P$ و$Q$ صادقًا.
• $P \vee Q$ صادقة عندما يكون $P$ أو $Q$ أو كلاهما صادقًا.
• $P \imp Q$ صادقة عندما يكون $P$ كاذبًا أو يكون $Q$ صادقًا (أو كليهما).
• $P \iff Q$ صادقة عندما يكون كلٌّ من $P$ و$Q$ صادقًا، أو كلاهما كاذبًا.
• $\neg P$ صادقة عندما يكون $P$ كاذبًا.

ويمكن تمثيل كلٍّ من هذه التعريفات في جدول، يُسمّى جدول الصدق. فنحن نكتفي بذكر قيمة صدق العبارة لكلّ تركيبة ممكنة من قيم صدق الأجزاء.

| $P$ | $Q$ | $P\wedge Q$ | | --- | --- | --- | | T | T | T | | T | F | F | | F | T | F | | F | F | F |

$P$	$Q$	$P\vee Q$
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

$P$	$Q$	$P\imp Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

$P$	$Q$	$P\iff Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

$P$	$\neg P$
T	F
F	T

الشكل 1.1.9. جداول الصدق للروابط المنطقية.

فمثلًا، يمكننا استخدام جدول الصدق لـ $P \imp Q$ لتحديد ما إذا كانت العبارة «إذا كان 5 زوجيًّا، فإنّ 6 زوجيّ» صادقة أم خاطئة. هنا $P$ هي العبارة «5 زوجيّ»، و$Q$ هي العبارة «6 زوجيّ». ولأنّ 5 ليس زوجيًّا، فإنّ العبارة $P$ خاطئة. ولأنّ 6 زوجيّ، فإنّ العبارة $Q$ صادقة. ويخبرنا جدول الصدق أنّ العبارة $P \imp Q$ صادقة عندما تكون $P$ خاطئة وتكون $Q$ صادقة (الصف الثالث). إذًا فالعبارة «إذا كان 5 زوجيًّا، فإنّ 6 زوجيّ» صادقة. (وإن لم يعجبك أنّ العبارة صادقة، فأمسك بهذا الفكرة، فلن نُنهيها قريبًا.)

ولاحظ أنّ «أو» عندنا تعني «أو الشاملة» (وليس أو الحصرية التي تُستخدم أحيانًا)، أي إنّ $P \vee Q$ صادقة عندما يكون $P$ أو $Q$ أو كلٌّ من $P$ و$Q$ صادقًا. أمّا بقية الروابط فتعمل كما تتوقّع تمامًا، وكذلك النفي. أمّا التكافؤ (إذا كانت... إذا فقط) فقد يبدو غريبًا بعض الشيء، لكنّ ينبغي أن تنظر إليه على أنه يقول إنّ جزأَي العبارة متكافئان أي إنّ لهما قيمة الصدق نفسها.

ويبقى لنا وحده الاستلزام $P \imp Q$ الذي له معنًى مختلف قليلًا في الرياضيات عمّا له في الاستعمال العادي. لكنّ الاستلزامات شائعة ومفيدة جدًّا في الرياضيات حتى إنّنا نحتاج إلى مستوى من الإتقان في استخدامها يستحقّ قسمًا كاملًا (القسم 1.2).

مثال 1.1.10.

باستخدام شروط صدق الروابط المنطقية، حدّد أيّ العبارات أدناه صادقة وأيّها خاطئة.

1. 17 عدد أوليّ، و17 عدد فردي.
2. 17 عدد أوليّ، و18 عدد أوليّ.
3. 17 عدد أوليّ، أو 18 عدد أوليّ.
4. 17 عدد أوليّ، أو 19 عدد أوليّ.
5. إذا كان 17 عددًا أوليًّا، فإنّ 19 عدد أوليّ.
6. إذا كان 18 عددًا أوليًّا، فإنّ 17 هو عددي المفضّل.
7. 17 عدد أوليّ إذا كانت 19 عددًا أوليًّا إذا فقط.
8. 17 ليس عددًا أوليًّا إذا كانت 19 ليست عددًا أوليًّا إذا فقط.

الحل. لنبدأ أوّلًا بالاتّفاق على بعض الحقائق: 17 عدد أوليّ وفرديّ في الوقت نفسه، و18 ليس واحدًا منهما، و19 عدد أوليّ.

1. صادقة. كلا جزأي العطف صادقان، إذًا فالعبارة كلّها صادقة.
2. خاطئة. الجزء الأول صادق، لكنّ الجزء الثاني خاطئ، إذًا فالعبارة كلّها خاطئة.
3. صادقة. الجزء الأول صادق، إذًا فالعبارة كلّها صادقة. وفور أن نرى عبارة صادقة واحدة في الفصل، يمكننا التوقّف عن الفحص وإعلان أنّ العبارة كلّها صادقة.
4. صادقة. ولأنّنا نستخدم «أو» الشاملة، فإنّ العبارة صادقة عندما يكون كلا الجزأين صادقًا.
5. صادقة. لا تقلق من عدم وجود سبب جيّد بأنّ كون 17 عددًا أوليًّا يسبّب كون 19 عددًا أوليًّا. فليس هذا ما نعنيه بعبارة شرطية. وبما أنّ جزء «فإنّ» صادق، فإنّنا نعلم أنّ العبارة ككلّ صادقة.
6. صادقة. جزء «إذا» في العبارة خاطئ. وهذا كلّ ما نحتاجه. وأراهنّ أنّك لا تعرف حتى عددي المفضّل، ولا تحتاج إلى معرفته. العبارة صادقة.
7. صادقة. هل لكلا الجزأين قيمة صدق واحدة؟ نعم، لأنّهما كلاهما صادق. إذًا فالعبارة كلّها صادقة.
8. صادقة أيضًا. فالجزآن كلاهما الآن خاطئان (لأنّهما كلاهما نفي عبارة صادقة)، إذًا فالعبارة كلّها صادقة.

الطريقة التي نُعرِّف بها الروابط المنطقية وقيمة صدقها دقيقة وتقنيّة إلى حدٍّ كبير. أمّا اللغة فليست كذلك في غالب الأحيان. ومن جوانب تعلّم كيفية توصيل الرياضيات هو تعلّم الأعراف الثقافية للغة الرياضية وكيفية ترجمة العبارات باللغة العادية إلى هذه العبارات التقنية. وسيصبح هذا أسهل مع الممارسة، لذا تأكّد من تحدّثك مع كثيرين عن الرياضيات التي تدرسها.

وفيما يلي بعض الأمثلة على كيف قد تكون اللغة العادية صعبة الترجمة.

مثال 1.1.11.

حدّد البنية المنطقية لكلٍّ من العبارات التالية.

1. 4 و5 كلاهما عدد أوليّ.
2. واحد فقط من 4 أو 5 عدد أوليّ.
3. عليك أن تحضر كلّ يوم وأن تحلّ الواجب كي تنجح في هذه المادة.
4. كلّ عدد زوجي أو فردي.

الحل.

1. هل توافق على أنّ هذه هي العبارة نفسها التي تقول «4 عدد أوليّ، و5 عدد أوليّ»؟ لاحظ أنّه لا معنى لكتابة هذا على صورة $P \wedge Q$ حيث $P$ هي «4» و$Q$ هي «5 عدد أوليّ». لكنّنا إن أخذنا $P$ لتكون العبارة «4 عدد أوليّ،» فإنّ كلا جزئي العطف يكونان عبارتين.
2. مرّة أخرى، لا يمكننا وضع ما على أحد طرفي «أو» بوصفه عبارة. لكنّنا إن أخذنا $P$ لتكون «4 عدد أوليّ» و$Q$ لتكون «5 عدد أوليّ،» أمكننا كتابة ذلك على صورة $(P \vee Q) \wedge \neg (P \wedge Q)\text{.}$ أي إنّ 4 عدد أوليّ أو 5 عدد أوليّ، وليس الحال أنّ 4 عدد أوليّ و5 عدد أوليّ معًا.
3. وفيما يلي طريقة أخرى لصياغة العبارة نفسها: إذا نجحت في المادة، فلا بدّ أن تكون قد حضرت كلّ يوم وأن تكون قد حلّلت الواجب. فإن اتّفقنا على أنّ هذه ليست سوى طريقة أوضح لقول العبارة الأصلية، فيمكننا توضيح بنيتها على صورة $P \imp (Q \wedge R)\text{.}$
4. لاحظ أنّ هذا ليس معناه القول إنّ «كلّ الأعداد زوجية، أو كلّ الأعداد فردية». وبالطّبع، فإنّ القول إنّ «3 زوجيّ أو فرديّ،» يكافئ القول إنّ «3 زوجيّ، أو 3 فرديّ». فاللغة محيّرة!

وليس لدينا بعد التقنية المنطقية لترجمة هذه العبارة على صورة تتجاوز $P\text{,}$ حيث $P$ هي العبارة «كلّ الأعداد زوجية أو فردية». ولحسن الحظّ فإنّ تلك التقنية متاحة، ابتداءً من... الآن!

قسم فرعي: المكمِّمات والمنشِّقات

هل تعلم أنّ جميع الثدييات لها شعر؟ وأنّ كل عدد صحيح زوجيّ أو فرديّ؟ وأنّ بعض الأعداد الفردية ليست أوليّة؟

وهدفنا هو استكشاف كيفية كتابة عبارات مثل هذه بالترميز الرياضي لإبراز بنيتها المنطقية.

وهذا يتطلّب النظر في نوعٍ جديد من الجمل الأساسية يُسمّى المنشِق (predicate)، وهو يشبه العبارة، لكنّه يحتوي متغيّرًا حرًّا. فإذا استبدلتَ ذلك المتغيّر بثابتٍ من نوع ما، تصارت الجملة عبارةً بالمعنى الدقيق. فكّر في المنشِق على أنه يدّعي شيئًا عن القيم التي تُستبدل بالمتغيّر «العنصر النائب».

ويمكن تحويل المنشِق إلى عبارة (صادقة أو كاذبة) بتقييمه عند ثوابت، أو يمكننا أن ندّعي أنّ بعض الثوابت الممكنة أو كلّها ستجعل العبارة الناتجة صادقة أو كاذبة. ويتمّ ذلك باستخدام المكمِّمات.

التعريف 1.1.12. المكمِّمات.

يُكتب المكمِّم الكلي $\forall$ ويُقرأ «لكلّ». ويُكتب المكمِّم الوجودي $\exists$ ويُقرأ «يوجد» أو «لبعض».

ونحن عادةً ما نكتب المنشِقات بطريقة مشابهة لطريقة كتابة دالة، وإن كان ذلك بحروف كبيرة. فمثلًا قد نستخدم المنشِق $P(x)$ للدلالة على «$x$ عدد أوليّ». يمكننا عندئذٍ أن نقول إنّ $P(7)$ صادقة (لأنّ 7 عدد أوليّ) وإنّ $P(8)$ خاطئة. أو باستخدام المكمِّمات يمكننا أن ندّعي (بصورة خاطئة) أنّ كل الأعداد أوليّة بكتابة $\forall x P(x)$، أو أن ندّعي (بصورة صادقة) أنّ هناك عددًا أوليًّا واحدًا على الأقلّ بكتابة $\exists x P(x)\text{.}$

مثال 1.1.13.

ترجم العبارة «كلّ الأعداد زوجية أو فردية» إلى رموز.

الحل. قبل أن نبدأ حتى باستخدام الرموز، من المفيد أن نعيد صياغة ذلك بطريقة تلتقط البنية المنطقية للعبارة. فماذا تقول هذه الدعوى؟ إنّنا مع أيّ عدد، إمّا أن يكون العدد زوجيًّا وإمّا أن يكون فرديًّا. وبخاصة، فإنّنا لا ندّعي إمّا أنّ كلّ الأعداد زوجية أو أنّ كلّ الأعداد فردية.

لنستخدم $E(x)$ للدلالة على أنّ $x$ زوجيّ، و$O(x)$ للدلالة على أنّ $x$ فرديّ. ثمّ يمكننا أن نكتب $$\begin{equation*} E(x) \vee O(x) \end{equation*}$$ للدلالة على أنّ $x$ زوجيّ أو أنّ $x$ فرديّ. فأيّ $x$ يصحّ ذلك عليه (بحسب الدعوى)؟ جميعها. ولذلك نكتب العبارة على صورة $$\begin{equation*} \forall x (O(x) \vee E(x))\text{.} \end{equation*}$$ أضفنا بعض الأقواس للتأكيد على أنّ مدى المكمِّم الكلي يشمل كلا المنشِقين.

ولاحظ أنّه لو فسّرنا العبارة على نحو خاطئ بوصفها تدّعي إمّا أنّ كلّ الأعداد زوجية أو أنّ كلّ الأعداد فردية، لكان بإمكاننا كتابتها على صورة $\forall x O(x) \vee \forall x E(x)\text{.}$ وهذا ليس الشيء نفسه!

وكما فعلنا مع منطق العبارات (propositional logic) والروابط المنطقية، علينا أن نقرّر ما معنى أن يكون منشِقٌ مُكمَّمٌ صادقًا أو كاذبًا. نقول إنّ $\forall x P(x)$ صادق إذا كانت $P(a)$ صادقة مهما كان الثابت $a$ الذي نستبدله بـ$x\text{.}$ وبالمثل، إنّ $\exists x P(x)$ صادق إذا وُجدت قيمة واحدة على الأقلّ $a$ تكون عندها $P(a)$ صادقة.

غير أنّنا يجب أن نكون حذرين هنا. تأمّل العبارة $$\begin{equation*} \forall x \exists y (y \lt x)\text{.} \end{equation*}$$ وستقرأها: «لكلّ $x$ يوجد $y$ بحيث يكون $y$ أصغر من $x\text{.}$» لاحظ أنّ $\lt$ منشِق ذو متغيّرَين حرّين؛ وقد اخترنا كتابته بالرمز الموضوع بين المتغيّرَين بدلًا من $L(y,x)$ أو $\lt\!(y,x)\text{.}$ ذي الشكل الغريب.

هل هذه العبارة صادقة؟ يعتمد الجواب على مجال الخطاب (domain of discourse) لدينا. حين نقول «لكلّ» $x\text{,}$ هل نعني كلّ الأعداد الصحيحة الموجبة، أم كلّ الأعداد الحقيقية، أم كلّ الفيلة، أم...؟ وعادةً ما تكون هذه المعلومة مفترضة ضمن سياق العبارة. وفي الرياضيات المتقطّعة، نُكمِّم دائمًا تقريبًا على الأعداد الطبيعية $0, 1, 2,\ldots \text{,}$ فلنعتبرها هنا مجالَ خطابنا.

وكي تكون العبارة صادقة، نحتاج إلى أنّه مهما كان العدد الطبيعي الذي نختاره، يوجد عدد طبيعي أصغر منه تمامًا. ربّما يمكننا أن نختار $y$ يساوي $x-1\text{?}$ لكنّ المشكلة هنا: ماذا لو كان $x = 0\text{?}$ عندئذٍ $y = -1\text{,}$ وهذا ليس عددًا! (في مجال خطابنا). وهكذا نرى أنّ العبارة خاطئة، لأنّ هناك عددًا أصغر من أو يساوي سائرَ الأعداد. وبالرموز، $$\begin{equation*} \exists x \forall y (y \ge x)\text{.} \end{equation*}$$

وسنستكشف بعض القواعد للعمل مع المكمِّمات والروابط الأخرى في القسم 1.3. أمّا الآن فسنركّز على الترجمة بين العبارات غير الرسمية باللغة العادية واللغة المنطقية الأدقّ. ولا توجد خوارزمية مثالية لإجراء هذه الترجمة، لكنّ إليك بعض القواعد الإرشادية المفيدة.

كلّ فراغ هو فراغ.

أيّ عبارة من الصورة «كلّ شيء ذي $P$ هو شيء ذي $Q$» يمكن كتابتها على صورة $$\begin{equation*} \forall x(P(x) \imp Q(x))\text{.} \end{equation*}$$

فمثلًا: جميع الثدييات لها شعر، تصبح $\forall x (M(x) \imp H(x))\text{,}$ حيث $M(x)$ تعني أنّ $x$ ثدييّ، و$H(x)$ تعني أنّ $x$ له شعر.

ولكي نفهم ذلك، فكّر فيما نعنيه بعبارات مثل هذه بالمجموعات. فنحن ندّعي أنّ مجموعة الثدييات مجموعةٌ محتواة في، أو مجموعة جزئية من، مجموعة الأشياء ذات الشعر. ومعنى قولنا «$A$ مجموعة جزئية من $B$» هو بالضبط أنّ كل عنصر من $x$ هو عنصر من $y\text{.}$ ويمكن التعبير عن ذلك أيضًا بقولنا «إذا كان $x$ عنصرًا في $A\text{,}$ فإنّ $x$ عنصر أيضًا في $B\text{.}$»

بعض الفراغات فراغ.

أيّ عبارة من الصورة «بعض الأشياء ذات $P$ هي أشياء ذات $Q$» يمكن كتابتها على صورة $$\begin{equation*} \exists x (P(x) \wedge Q(x))\text{.} \end{equation*}$$

فمثلًا: بعض القطط تستطيع السباحة، تصبح $\exists x (C(x) \wedge S(x))\text{,}$ حيث $C(x)$ تعني أنّ $x$ قطة، و$S(x)$ تعني أنّ $x$ يستطيع السباحة.

ومرّة أخرى، من المفيد أن نفكّر في كيفية التعبير عن هذه العبارات بالمجموعات. فالقول إنّ بعض القطط تستطيع السباحة هو القول إنّ هناك أشياء تنتمي إلى مجموعة القطط وإلى مجموعة الأشياء السابحة معًا. فهذه الحيوانات تنتمي إلى تقاطع هاتين المجموعتين، وهو ما يمكنك وصفه بأنها تنتمي إلى المجموعة الأولى والثانية. وعبارات الوجود من هذه الصورة تدّعي أنّ تقاطع المجموعتين ليس فارغًا.

المكمِّمات الضمنية.

الدقة في الرياضيات أمر دائمًا جيّد. لكنّنا نستطيع أحيانًا أن نخفّف قليلًا، ما دام الجميع متّفقًا على اتّفاق (convention). ومن أمثلة هذا الاتّفاق افتراض أنّ الجمل التي تحتوي منشِقات ذات متغيّرات حرة مقصود بها أن تكون عبارات، فتُكمَّم متغيّراتها كمّيًّا كليًّا.

فمثلًا، هل تصدّق أنّه إذا كان شكلٌ ما مربّعًا، فإنّه مستطيل؟ لكنّ كيف يمكن أن يكون ذلك صادقًا إن لم تكن عبارةً؟ ولأدقّ قليلًا، لدينا منشِقان: $S(x)$ لتعني «$x$ مربّع» و$R(x)$ لتعني «$x$ مستطيل». أمّا الجملة التي نتحدّث عنها فهي $$\begin{equation*} S(x) \imp R(x)\text{.} \end{equation*}$$ وهي ليست صادقة ولا خاطئة، لأنّها ليست عبارةً. لكن تعالَ! فنحن جميعًا نعلم أنّنا قصدنا النظر في العبارة $$\begin{equation*} \forall x (S(x) \imp R(x))\text{,} \end{equation*}$$ وهذا هو ما يخبرنا به اتّفاقنا بأن ننظر إليه. ونسمي العبارة الناتجة التعميمَ الكليّ (universal generalization) للجملة الأصلية.

التعريف 1.1.14.

بالنسبة إلى جملة ذات متغيّرات حرة، فإنّ التعميم الكليّ لتلك الجملة هو العبارة التي تُحصل عليها بإضافة مكمِّمات كلّية كافية في بداية الجملة بحيث تصبح جميع المتغيّرات الحرّة مربوطة.

وبالمثل، كثيرًا ما نكون مهملين قليلًا في التمييز بين المنشِق والعبارة. فمثلًا قد نكتب: ولنجعل $P(n)$ هي العبارةَ «$n$ عدد أوليّ»، وهو غير صحيح تقنيًّا. فالمفترض ضمنًا أنّنا نعني أنّنا نعرّف $P(n)$ ليكون منشِقًا، يتحوّل مع كل $n$ إلى العبارة «$n$ عدد أوليّ».

أسئلة القراءة

1.

• $P \wedge Q$
• $P$ و$Q$ (عطف)
• $P \imp Q$
• إذا كان $P\text{,}$ فإنّ $Q\text{,}$ (استلزام)
• $P \vee Q$
• $P$ أو $Q$ (فصل)
• $\neg P$
• ليس $P$ (نفي)

2.

تأمّل الجملة «إذا كان $x \gt 3\text{,}$ فإنّ $x$ زوجيّ.»

أيّ العبارات التالية صادقة عن هذه الجملة؟ اختر كل ما ينطبق.

• الجملة عبارة خاطئة لأنّ فيها متغيّرًا حرًّا.
• لأيّ قيم المتغيّر الحرّ $x\text{?}$
• التعميم الكليّ للجملة عبارة.
• الشيء الوحيد الذي يمنع الجملة من أن تكون عبارة هو المتغيّر الحرّ $x\text{.}$ فالتعميم الكليّ يكمّم هذا المتغيّر الحرّ.
• إذا استبدلتَ $10$ مكان $x\text{,}$ فإنّ العبارة الناتجة صادقة.
• مع هذا الاستبدال، فإنّ جزأَي «إذا» و«فإنّ» كلاهما صادق.
• تصير الجملة عبارة صادقة مهما كان العدد الطبيعي الذي تستبدله بـ$x\text{.}$
• إذا استبدلتَ $x$ بـ$5\text{,}$ فإنّ جزء «إذا» صادق وجزء «فإنّ» خاطئ.

3.

ما الأسئلة التي تدور في ذهنك بعد قراءة هذا القسم؟ اكتب سؤالًا واحدًا على الأقلّ حول محتوى هذا القسم يثير فضولك.