الاستلزامات

القسم 1.2 الاستلزامات

الأهداف

بعد إتمام هذا القسم، ينبغي أن تتمكن من أداء ما يلي.

1. أن تشرح الشروط التي يكون الاستلزام (implication) تحتها صحيحاً.
2. أن تُحدِّد العبارات المكافئة لاستلزام معطى أو لعكسه (converse).
3. أن تشرح العلاقة بين قيم صدق الاستلزام وعكسه وعكس المقابل (contrapositive) له.

معاينة القسم

استكشف!

تخبر أم تيمي الصغير ابنها: «إذا لم تأكل كل البروكلي، فلن تحصل على أي مثلجات.» وبالطبع يحب تيمي المثلجات، لذا أسرع فأكل كل البروكلي (ذي الطعم الجيد في الواقع).

وبعد العشاء، حين طلب تيمي مثلجاته، قيل له لا! أيحق لتيمي أن ينزعج؟ ولماذا أو لماذا لا؟

إن أهم أنواع العبارات في الرياضيات على الإطلاق هو الاستلزام. وهو أيضاً أقل أنواع العبارات المركبة (molecular statements) الأساسية حدساً. وهدفنا في هذا القسم أن نزيد تألّفنا بهذا المفهوم المحوري.

ولمعرفة سبب انتشار هذا النوع من العبارات بهذا القدر، تأمّل نظرية فيثاغورس. فعلىغم مما قد تدّعيه وسائل التواصل الاجتماعي، فإن نظرية فيثاغورس ليست $$\begin{equation*} a^2 + b^2 = c^2\text{.} \end{equation*}$$ حسناً، طبعاً، فيها متغير، لذا علينا أن نأخذ التعميم الكلي (universal generalization)، $$\begin{equation*} \forall a,b,c \in \R \left( a^2 + b^2 = c^2 \right)\text{.} \end{equation*}$$ إذاً $1^2 + 5^2 = 2^2\text{???}$ حسناً، حسناً. المعادلة صحيحة ما دام $a$ و$b$ هما طولَا ضلعي المثلث القائم، و$c$ هو طول الوتر (hypotenuse). بمعنى آخر:

إذا كان $a$ و$b$ طولَي ضلعي مثلث قائم ووتره طوله $c\text{,}$ فإن $a^2 + b^2 = c^2\text{.}$

تدور الرياضيات حول تقديم ادعاءات عامة، لكن نادراً ما يكون الادعاء صحيحاً بالنسبة إلى كل كائن رياضي على الإطلاق. إن الطريقة التي نقصر بها ادعاءاتنا على نوع معيّن من الكائنات هي الاستلزام: «خذ أي كائن شئت، فإذا كان من النوع المناسب، فإن هذا الأمر صحيح بالنسبة إليه.»

وعلى نحو مماثل، كما رأينا في القسم الفرعي الكمّات والمُسندات، حين نقدم ادعاءات مثل «كل مربع مستطيل»، فإننا في الواقع نصوغ استلزاماً: «إذا كان شيء ما مربعاً، فإنه مستطيل.»

وفيما يلي تذكير بما نعنيه بالاستلزام.

التعريف 1.2.1. الاستلزام.

الاستلزام (أو الشرطي (conditional)) هو عبارة مركّبة من الشكل $$\begin{equation*} P \imp Q \end{equation*}$$ حيث $P$ و$Q$ عبارتان. ونقول إن:

• $P$ هي الفرضية (hypothesis) (أو المقدمة (antecedent)).
• $Q$ هي النتيجة (conclusion) (أو اللاحقة (consequent)).

الاستلزام صحيح ما دام $P$ خاطئة أو $Q$ صحيحة (أو كلتيهما)، وخاطئ فيما عدا ذلك. وبشكل خاص، فالطريقة الوحيدة لأن يكون $P \imp Q$ خاطئاً هي أن تكون $P$ صحيحة وأن تكون $Q$ خاطئة.

كما يمكن التعبير عن تعريف صدق الاستلزام في صورة جدول صدق (truth table):

| $P$ | $Q$ | $P \imp Q$ | | --- | --- | --- | | T | T | T | | T | F | F | | F | T | T | | F | F | T |

الشكل 1.2.2. جدول الصدق لـ $P \imp Q\text{.}$

هل هذا جدول الصدق منطقي؟ وهل ينبغي أن نصدّقه؟ لاحظ على وجه التحديد الصف الثالث: F، T، T، وتأمّل الاستلزام «إذا $5 \lt 3$ فإن $5+3 = 8\text{.}$» هل يبدو أن هذه العبارة صحيحة؟ يقول جدول الصدق إنها يجب أن تكون كذلك (لأن $5 \lt 3$ خاطئة، و$5+3 = 8$ صحيحة).

إن كثيراً مما سنفعله في بقية هذا القسم إنما هو أن نُقنع أنفسنا بأن جدول الصدق هذا منطقي.

ورقة العمل: نشاط تمهيدي

1.

تأمّل العبارة: «إذا لم يأكل تومي البروكلي، فلن يحصل على أي مثلجات.» أيّ من العبارات التالية تعني الشيء ذاته (أي أنها تصدق في المواقف نفسها)؟ اختر كل ما ينطبق.

• إذا كان تومي قد أكل البروكلي، فإنه سيحصل على المثلجات.
• هل أنت متأكد؟ ألم نقل ماذا يحدث عندما يأكل البروكلي، أم قلنا فقط ماذا يحدث عندما لا يأكله؟
• إذا حصل تومي على المثلجات، فإنه قد أكل البروكلي.
• إذا حصل على المثلجات، فلا بد أنه أكل البروكلي، لأنه لو لم يكن قد أكله لما حصل على المثلجات.
• إذا لم يحصل تومي على المثلجات، فإنه لم يأكل البروكلي.
• هل قد يوجد سبب يمنع تومي من الحصول على المثلجات حتى لو كان قد أكل البروكلي؟
• أكل تومي البروكلي ولم يحصل على أي مثلجات على أي حال.
• هذه عكس العبارة الأصلية (فهي خاطئة على وجه الدقة عندما تكون العبارة الأصلية صحيحة).

2.

لنفترض أن عمّك الخادع يعرض عليك الصفقة التالية: إذا أعرته سيارتك، فإنه سيحضر لك التاكو. في أيّ من المواقف التالية يكون من الإنصاف القول إن عمّك كاذب (أي إن عبارته كانت خاطئة)؟ اختر كل ما ينطبق.

• أعرته سيارتك. أحضر لك التاكو.
• أعرته سيارتك. لم يشترِ لك التاكو أبداً.
• لم تُعره سيارتك. أحضر لك التاكو على أي حال.
• ربما أنه يحب مجرد إعطائك التاكو فحسب. وهذا لا يكفي للقول إنه كان كاذباً، أليس كذلك؟
• لم تُعره سيارتك. لم يحضر لك التاكو أبداً.

3.

تأمّل الجملة: «إذا $x \ge 10\text{,}$ فإن $x^2 \ge 25\text{.}$» تتحوّل هذه الجملة إلى عبارة عندما نستبدل $x$ بقيمة ما، أو عندما «نأسر» $x$ في نطاق كمّ ما. أيّ من الادعاءات التالية صحيحة (اختر كل ما ينطبق)؟

• إذا استبدلنا $x$ بالعدد $15\text{,}$ فستكون العبارة الناتجة صحيحة. (لاحظ أن $15^2 = 225\text{.}$)
• إذا استبدلنا $x$ بالعدد $3\text{,}$ فستكون العبارة الناتجة صحيحة.
• إذا استبدلنا $x$ بالعدد $6\text{,}$ فستكون العبارة الناتجة صحيحة.
• التعميم الكلي («لكل $x\text{,}$ إذا كان $x \ge 10$ فإن $x^2 \ge 25$») صحيح.
• هناك عدد يمكننا استبدال $x$ به يجعل العبارة خاطئة.

4.

تأمّل العبارة: «إذا شاهدت فيلماً، فإنني آكل الفشار» (وهي عبارة صحيحة بالمناسبة). اعتماداً على حدسك باللغة الإنجليزية وحدها، أيّ من العبارات التالية تعني الشيء ذاته؟ اختر كل ما ينطبق.

• إذا أكلت الفشار، فإنني أشاهد فيلماً.
• هذه ليست مكافئة للعبارة الأصلية. فربما آكل الفشار أيضاً عندما أشاهد التلفاز؟ في هذه الحالة تكون العبارة الأصلية صحيحة، لكن هذه تكون خاطئة.
• إذا لم آكل الفشار، فإنني لا أشاهد فيلماً.
• صحيح.
• من الضروري أن آكل الفشار عندما أشاهد فيلماً.
• هذه مكافئة للعبارة الأصلية (مع أن «الضروري» هنا يُستعمل بالمعنى المنطقي).
• لمشاهدة فيلم يكفي أن آكل الفشار.
• مجرد أن آكل الفشار لا يعني أنني أشاهد فيلماً. فربما آكل الفشار في مواقف أخرى. لذا فهذه ليست مكافئة للعبارة الأصلية.
• لا أشاهد فيلماً إلا إذا أكلت الفشار.
• طريقة أخرى لقول ذلك هي: «لا أشاهد فيلماً إلا إذا أكلت الفشار.» وهذه مكافئة للعبارة الأصلية.

قسم فرعي: فهم جدول الصدق

تتحدد قيمة صدق الاستلزام بقيمتي صدق جزأيه. ويبيّن تعريفنا لشروط صدق الاستلزام أن هناك طريقة واحدة فقط لأن يكون الاستلزام خاطئاً: أن تكون الفرضية صحيحة والنتيجة خاطئة.

المثال 1.2.3.

تأمّل العبارة:

إذا حصل بوب على درجة 90 في الاختبار النهائي، فإن بوب سينجح في المساق.

هذه عبارة استلزامية بلا شك: فـ $P$ هي العبارة «يحصل بوب على 90 في الاختبار النهائي»، و$Q$ هي العبارة «سينجح بوب في المساق».

لنفترض أنني قلت ذلك لبوب. في أيّ ظروف يكون من الإنصاف أن تسمّني كاذباً؟ وماذا لو حصل بوب فعلاً على 90 في الاختبار النهائي ونجح في المساق؟ عندئذ لا تكون قد كذبت؛ فعبارتي صحيحة. لكن إذا حصل بوب على 90 في الاختبار النهائي ولم ينجح في المساق، فقد كذبت، فيصبحت العبارة خاطئة. أما الحالة الصعبة فهي هذه: وماذا لو لم يحصل بوب على 90 في الاختبار النهائي؟ ربما ينجح في المساق، وربما لا ينجح. هل كذبت في أيّ من هاتين الحالتين الأخيرتين؟ أظن لا. فهاتان الحالتان كانتا $P$ خاطئة، وعبارة $P \imp Q$ صحيحة. وفي الحالة الأولى كانت $Q$ صحيحة، وبالتالي كانت $P \imp Q\text{.}$ صحيحة أيضاً. إذاً يكون $P \imp Q$ صحيحاً عندما تكون $P$ خاطئة أو تكون $Q$ صحيحة.

ولنكن واضحين: رغم أننا نقرأ أحياناً $P \imp Q$ على أنها «$P$ تستلزم $Q$»، فإننا لا نؤكد وجود علاقة سببية بين العبارتين $P$ و$Q$ (رغم أنه قد تكون موجودة). إن العبارة «إذا $x \lt y\text{,}$ فإن $x+1 \lt y+1\text{,}$» عبارة صحيحة (أو على الأقل تعميمها الكلي صحيح). ونعرف أنها صحيحة لأننا نفهم كيف يتفاعل الجزءان. فإذا أضفت 1 إلى عددين $x$ و$y\text{,}$ فإن ترتيبهما لا يتغير. لكن العبارة «إذا $1 \lt 2\text{,}$ فإن إقليدس درس الهندسة» هي أيضاً استلزام صحيح.

المثال 1.2.4.

حدّد أيّ من العبارات التالية صحيحة وأيّها خاطئة. واشرح بإيجاز.

1. إذا $1=1\text{,}$ فإن معظم الخيل لها 4 أرجل.
2. إذا $0=1\text{,}$ فإن $1=1\text{.}$
3. إذا كان 8 عدداً أولياً، فإن الرقم 7624 من خانات $\pi$ يساوي 8.
4. إذا كان الرقم 7624 من خانات $\pi$ يساوي 8، فإن $2+2 = 4\text{.}$

الحل. العبارات الأربع كلها صحيحة. تذكّر أن الطريقة الوحيدة لأن يكون الاستلزام خاطئاً هي أن يكون جزء «إذا» صحيحاً وجزء «فإن» خاطئاً.

1. هنا الفرضية والنتيجة كلتاهما صحيحة، لذا فإن الاستلزام صحيح. ولا يهمّ أنه لا توجد علاقة ذات معنى بين الحقيقة الرياضية والحقيقة المتعلقة بالخيل.
2. هنا الفرضية خاطئة والنتيجة صحيحة، لذا فإن الاستلزام صحيح.
3. لا أعرف ما هو الرقم 7624 من خانات $\pi$، لكن هذا لا يهمّ. فبما أن الفرضية خاطئة، فإن الاستلزام صحيح تلقائياً.
4. بغضّ النظر عن قيمة صدق الفرضية، فإن النتيجة صحيحة، مما يجعل الاستلزام صحيحاً.

هذا مثال غريب، وليس في الحقيقة طريقة استخدامنا للاستلزامات. لكن هذا الغرابة ليس مجرّد عناد من الرياضيين. إن شروط صدق الاستلزامات يجب أن تكون كما هي حتى تصحّ الرياضيات. فلنرَ لماذا.

المثال 1.2.5.

تأمّل العبارة: «كل مربع مستطيل»، والتي يمكن صياغتها أيضاً هكذا: «لكل الأشكال، إذا كان الشكل مربعاً، فإنه مستطيل.» فهل هذه العبارة صحيحة أم خاطئة؟ هل نحن متأكدون؟ وماذا عن الأشكال الثلاثة التالية؟

الحل. العبارة صحيحة بالطبع. فالمربع شكل مستوي ذو 4 أضلاع و4 زوايا قائمة و4 أضلاع متساوية الطول، بينما المستطيل شكل مستوي ذو 4 أضلاع و4 زوايا قائمة.

غير أن ما نعنيه حين نأخذ بعين الاعتبار عبارة كهذه ذات تعميم كلي هو أن العبارة الناتجة صحيحة مهما ما «أدخلناه» في المتغير («الشكل» في هذه الحالة). وحين تكون العبارة عن شكل بعينه، لدينا استلزام $P \imp Q\text{.}$ وهذا يعني أنه يجب أن يكون صحيحاً: إذا كان الشكل المعني مربعاً، فإنه مستطيل. ممتاز. فالشكل مربع ($P$ صحيحة) وهو مستطيل ($Q$ صحيحة)، إذن نعم، الاستلزام صحيح.

فهل الاستلزام صحيح بالنسبة إلى المستطيل في الوسط؟ حسناً، ذلك الشكل ليس مربعاً ($P$ خاطئة)، وهو مستطيل ($Q$ صحيحة). لكن لاحظ أننا نؤمن بأن كل المربعات مستطيلات، لذا يجب أن تكون العبارة صحيحة. حتى بالنسبة إلى مستطيل. والطريقة الوحيدة التي يعمل بها هذا هي أن تكون عبارة «الخاطئة تستلزم الصحيحة» صحيحة!

وبالمثل، فإن عبارة «كل مربع مستطيل» عبارة صحيحة حتى حين ننظر إلى مثلث. فـ $P$ خاطئة (المثلث ليس مربعاً)، و$Q$ خاطئة (المثلث ليس مستطيلاً). ولحسن الحظ فقد عرّفنا الاستلزامات بأنها صحيحة في هذه الحالة أيضاً.

وقد قدّمنا أشكالاً توضّح السطر 1 والسطر 3 والسطر 4 من جدول صدق الاستلزامات (الشكل 1.2.2). فما الشكل الذي يوضّح السطر 2؟ سيكون شكلاً كان مربعاً ولم يكن مستطيلاً.... وبالطبع لا يمكننا إيجاد مثل هذا الشكل، والسبب تحديداً هو أن العبارة صحيحة!

قسم فرعي: عبارات ذات صلة

الاستلزام طريقة للتعبير عن علاقة بين عبارتين. وكثيراً ما يكون من المثير للاهتمام أن نسأل: هل هناك علاقات أخرى بين هاتين العبارتين؟ وفيما يلي نقدّم بعض المصطلحات الشائعة لمعالجة هذا السؤال.

التعريف 1.2.6. العكس، وعكس المقابل، والمعاكس.

بفرض استلزام $P \imp Q\text{,}$ نقول إن:

• العكس هو العبارة $Q \imp P\text{.}$
• عكس المقابل هو العبارة $\neg Q \imp \neg P\text{.}$
• المعاكس هو العبارة $\neg P \imp \neg Q\text{.}$

المثال 1.2.7.

تأمّل الاستلزام: «إذا رتّبتغرفتك، فإنك تستطيع الذهاب إلى الحفلة.» اكتب عكسه وعكس مقابله ومعاكسه

الحل. العكس هو: «إذا استطعت الذهاب إلى الحفلة، فإنك رتّبتغرفتك.»

وعكس المقابل هو: «إذا لم تستطع الذهاب إلى الحفلة، فإنك لم ترتّب غرفتك.»

والمعاكس هو: «إذا لم ترتّب غرفتك، فإنك لا تستطيع الذهاب إلى الحفلة.»

رمزياً، كلٌّ من العكس وعكس المقابل يبادل ترتيب جزأَي العبارة (أو فكّر بدلاً من ذلك في قلب السهم ليشير إلى الاتجاه الآخر). أما عكس المقابل والمعاكس فيأخذان نفي كلٍّ من العبارتين. لاحظ أن أخذك للعكس (مبادلة الترتيب) ثم أخذك لعكس المقابل للعكس نفسه (إعادة الترتيب ونفي الجزأين) يعطيك المعاكس. إذن المعاكس ليس إلا عكس المقابل للعكس. أو عكس عكس المقابل، وهي حقيقة طريفة تُذكر في الحفلات.

وحين ننظر في عبارات تحتوي كمّات، فإننا نتجاهل الكمّات الخارجية عند تكوين العكس وعكس المقابل والمعاكس.

الكمّات والعكس وعكس المقابل والمعاكس.

للاستلزام المُكمَّم $\forall x (P(x) \imp Q(x))$ ما يلي: العكس

$\displaystyle \forall x (Q(x) \imp P(x))$

عكس المقابل

$\displaystyle \forall x (\neg Q(x) \imp \neg P(x))$

المعاكس

$\displaystyle \forall x (\neg P(x) \imp \neg Q(x))$

ملاحظة 1.2.8.

من المستبعد أن نصادف عبارة من الشكل $\exists x (P(x) \imp Q(x))\text{,}$ لأن هذه تكون صحيحة تلقائياً إذا وُجد أي $x$ يجعل $P(x)$ خاطئة. لكن إن صادفناها، فإن القواعد نفسها تنطبق على العكس وعكس المقابل والمعاكس كما سبق: فتجاهل الكمّ فقط عند مبادلة و/أو نفي جزأَي الاستلزام.

فعلى سبيل المثال، «لكل الأشكال، إذا كان الشكل مربعاً، فإنه مستطيل» (أي: كل مربع مستطيل) لها العكس: «لكل الأشكال، إذا كان الشكل مستطيلاً، فإنه مربع» (أي أن كل المستطيلات مربعات).

حسناً، هذا ليس صحيحاً! فهناك أشكال مستطيلات وليست مربعات. وفي الحقيقة فهذه مثال على عبارة صحيحة يكون عكسها خاطئاً. وهناك أمثلة كثيرة من هذا النوع في الرياضيات كلها. وهناك أيضاً أمثلة على استلزامات صحيحة يكون عكسها صحيحاً. ولا يمكنك أن تعرف ذلك من المنطق وحده. 2 وتبيّن أن نظرية فيثاغورس إحدى هذه العبارات. فمن الصحيح أيضاً أن إذا $a^2 + b^2 = c^2\text{,}$ فإن هناك مثلثاً قائم الزاوية ضلعاه طولاهما $a$ و$b$ ووتره طوله $c\text{.}$ ولهذا كان بإمكاننا أيضاً كتابة النظرية في صورة شرط مزدوج (biconditional): «$a$ و$b$ هما طولَا ضلعي مثلث قائم الزاوية ووتره طوله $c$ إذا وفقط إذا $a^2 + b^2 = c^2\text{.}$»

وعكس مقابل «لكل الأشكال، إذا كان مربعاً، فإنه مستطيل» هو «لكل الأشكال، إذا لم يكن الشكل مستطيلاً، فإنه ليس مربعاً.» وهذه عبارة صحيحة. وفي الواقع، عكس مقابل العبارة الصحيحة يكون صحيحاً دائماً!

ولما كان عكس مقابل الاستلزام له دائماً قيمة صدق الاستلزام الأصلي نفسها، فإنه غالباً ما يكون مفيداً تحليل عكس المقابل لتحديد ما إذا كان الاستلزام صحيحاً.

المثال 1.2.9.

صواب أم خطأ: إذا سحبت أي تسع ورقات من مجموعة لعب اعتيادية، فإن لديك ثلاث ورقات على الأقل من النوع نفسه. فهل العكس صحيح؟

الحل. صحيح. يصعب بعض الشيء تحليل الاستلزام الأصلي لأن هناك عدداً كبيراً جداً من تركيبات التسع ورقات. لكن تأمّل عكس المقابل: إذا لم يكن لديك ثلاث ورقات على الأقل من النوع نفسه، فإنك لا تملك تسع ورقات. ومن السهل أن نرى لماذا هذه صحيحة. فإذا لم يكن لديك ثلاث ورقات على الأقل من نوع واحد، فيمكنك أن تملك بطاقتين كحد أقصى من كلٍّ من الأنواع الأربعة، أي بحد أقصى ثماني ورقات إجمالاً.

أما العكس: إذا كان لديك ثلاث ورقات على الأقل من النوع نفسه، فإن لديك تسع ورقات. وهذا خاطئ. إذ يمكنك أن تكون قد سحبت ثلاث ورقات من السباديـز (spades) ولا شيء غيرها. ولاحظ أن لإثبات أن العكس (وهو استلزام) خاطئ، فقد قدّمنا مثالاً تكون فيه الفرضية صحيحة (فإن لديك فعلاً ثلاث ورقات من النوع نفسه)، وتكون فيه النتيجة خاطئة (فإنك لا تملك تسع ورقات). بمعنى آخر، نجد مثالاً يضعنا في السطر 2 من جدول صدق الاستلزام.

وفهم العكس وعكس المقابل يمكن أن يساعد على فهم الاستلزامات وقيم صدقها:

المثال 1.2.10.

لنفترض أنني أخبرت سوي أنه إذا حصلت على 93% في اختبارها النهائي، فإنها ستحصل على تقدير A في المساق. وبافتراض أن ما قلته صحيح، فما الذي تستطيع استنتاجه في الحالات التالية:

1. سوي تحصل على 93% في اختبارها النهائي.
2. سوي تحصل على تقدير A في المساق.
3. سوي لا تحصل على 93% في اختبارها النهائي.
4. سوي لا تحصل على تقدير A في المساق.

الحل. لاحظ أولاً أن كلما كانت $P \imp Q$ و$P$ عبارتين صحيحتين معاً، وجب أن تكون $Q$ صحيحة أيضاً. في هذه المسألة، خُذ $P$ لتعني «سوي تحصل على 93% في اختبارها النهائي»، و$Q$ لتعني «ستحصل سوي على تقدير A في المساق».

1. لدينا $P \imp Q$ و$P\text{,}$ إذن تترتب $Q$. أي أن سوي تحصل على تقدير A.
2. لا يمكنك استنتاج أي شيء. فربما حصلت سوي على تقدير A مثلاً لأنها أنجزت واجبات إضافية (extra credit). ولاحظ أننا لا نعرف أن سوي تحصل على $A\text{,}$ فإنها تحصل على 93% في اختبارها النهائي. فهذه هي العبارة العكسية للاستلزام الأصلي، لذا قد تكون صحيحة وقد لا تكون.
3. عكس مقابل عكس $P \imp Q$ هو $\neg P \imp \neg Q\text{,}$ أي أنه يقول: إذا لم تحصل سوي على 93% في الاختبار النهائي، فلن تحصل على تقدير A في المساق. لكن هذا لا يترتب على الاستلزام الأصلي. ومرة أخرى، لا يمكننا استنتاج شيء. فربما أنجزت سوي واجبات إضافية.
4. وماذا لو لم تحصل سوي على تقدير A مع أنها حصلت على 93% في الاختبار النهائي؟ عندئذ تكون $P$ صحيحة، وتكون $Q$ خاطئة. وهذا يجعل الاستلزام $P \imp Q$ خاطئاً! لا بد أن تكون سوي لم تحصل على 93% في الاختبار النهائي. ولاحظ أننا لدينا الآن الاستلزام $\neg Q \imp \neg P$ وهو عكس المقابل لـ $P \imp Q\text{.}$ وبما أننا نفترض أن $P \imp Q$ صحيح، فإننا نعرف أن $\neg Q \imp \neg P$ صحيح أيضاً.

كما قلنا أعلاه، الاستلزام لا يكافئ منطقياً عكسه، غير أنه قد يكون صحيحاً هو الآخر وعكسه معاً. وفي هذه الحالة، عندما تكون كلٌّ من $P \imp Q$ و$Q \imp P$ صحيحة، نقول إن $P$ و$Q$ متكافئتان ونكتب $P \iff Q\text{.}$ وهذا هو الشرط المزدوج (biconditional) الذي ذكرناه في القسم 1.1.

ويمكنك أن تنظر إلى عبارات «إذا وفقط إذا» على أنها تتألف من جزأين: استلزام وعكسه. فقد نقول إن أحدهما هو جزء «إذا»، والآخر هو جزء «فقط إذا». ونقول أحياناً أيضاً إن عبارات «إذا وفقط إذا» لها اتجاهان: اتجاه أمامي $(P \imp Q)$ واتجاه خلفي ($P \leftarrow Q\text{,}$ وهو في الحقيقة مجرد تدوين متسرّع لـ $Q \imp P$).

ولنفكّر قليلاً في أيّ الجزأين هو الآخر. فهل $P \imp Q$ هو جزء «إذا» أم جزء «فقط إذا»؟ تأمّل مثالاً.

المثال 1.2.11.

لنفترض أن عبارة «أنا أغنّي إذا وفقط إذا كنت في الدش» صحيحة. ونعرف أن هذا يعني كلٌّ من: «إذا أغنيتُ فإني في الدش»، وكذلك العكس: «إذا كنت في الدش فإني أغنّي». لنجعل $P$ هي العبارة «أنا أغنّي»، و$Q$ هي «أنا في الدش». إذن $P \imp Q$ هي العبارة «إذا أغنيتُ فإني في الدش». فأيّ جزء من عبارة «إذا وفقط إذا» هذه؟

إن ما نسأل عنه حقاً هو معنى «أنا أغنّي إذا كنت في الدش» و«أنا أغنّي فقط إذا كنت في الدش». متى تكون الأولى (أي جزء «إذا») خاطئة؟ عندما أكون في الدش وأنا لا أغنّي. وهذا هو الشرط نفسه الذي يجعل العبارة «إذا كنت في الدش فإني أغنّي» خاطئة. إذن جزء «إذا» هو $Q \imp P\text{.}$ ومن جهة أخرى، فإن قولك «أنا أغنّي فقط إذا كنت في الدش» يكافئ قولك «إذا أغنيتُ فإني في الدش»، إذن جزء «فقط إذا» هو $P \imp Q\text{.}$

ولا يهمّ كثيراً أن تعرف أيّ الجزء هو جزء «إذا» وأيّهما هو جزء «فقط إذا»، غير أن هذا يوضح شيئاً بالغ الأهمية: هناك طرائق كثيرة لقول الاستلزام!

المثال 1.2.12.

أعِد صياغة الاستلزام «إذا كنت أحلم، فإني نائم» بأكبر عدد ممكن من الطرق. ثم افعل الشيء نفسه مع العكس.

الحل. كل العبارات التالية مكافئة للاستلزام الأصلي:

1. أنا نائم إذا كنت أحلم.
2. أنا أحلم فقط إذا كنت نائماً.
3. من أجل أن أحلم، يجب أن أكون نائماً.
4. ولكي أحلم، من الضروري أن أكون نائماً.
5. ولكي أكون نائماً، يكفي أن أحلم.
6. لا أحلم إلا إذا كنت نائماً.

العبارات التالية مكافئة للعبارة العكسية (إذا كنت نائماً، فإني أحلم):

1. أنا أحلم إذا كنت نائماً.
2. أنا نائم فقط إذا كنت أحلم.
3. من الضروري أن أحلم كي أكون نائماً.
4. يكفي أن أكون نائماً كي أحلم.
5. إذا لم أحلم، فإني لست نائماً.

أرجو أن توافق على المثال أعلاه. وقد أدرجنا صيغ «الضروري والكافي» لأنها شائعة عند مناقشة الرياضيات. فلنتفق مرة واحدة وإلى الأبد على ما تعنيه.

التعريف 1.2.13. الضروري والكافي.

• «$P$ ضروري لـ $Q$» تعني $Q \imp P\text{.}$
• «$P$ كافٍ لـ $Q$» تعني $P \imp Q\text{.}$
• إذا كان $P$ ضرورياً وكافياً لـ $Q\text{,}$ فإن $P \iff Q\text{.}$

بصراحة، أعاني كثيراً مع هذه الصيغ إن لم أكن دقيقاً إلى حد كبير. وأجد أن من المفيد الاحتفاظ بمثال معياري للاستئناس به.

المثال 1.2.14.

في مجموعة ورق لعب اعتيادية، تكون الألوان الحمراء هي القلوب (hearts) والمعينات (diamonds)، وتكون الألوان السوداء هي الأندية (clubs) والسباديـز (spades). ومن ثمّ صحيح أنه بعد سحب ورقة، إذا كانت ورقتي من السباديـز، فإن ورقتي سوداء.

أعد صياغة هذه الحقيقة بصيغة «الضروري والكافي».

الحل. لكي تكون ورقتي من السباديـز، من الضروري أن تكون سوداء. غير أن كونها سوداء ليس كافياً للقول إنني أحمل سباديـز (فقد أحمل ورقة من الأندية (clubs)).

ويمكنني أيضاً أن أقول إن للحصول على ورقة سوداء يكفي أن تكون من السباديـز. وليس ضرورياً أن تكون عندي سباديـز.

ومن المفيد التفكير في مقدار البرهان الذي تحتاجه. فهل معرفتك بأن الورقة سباديـز ترقى إلى برهان كافٍ لاستنتاج أنها سوداء؟ نعم، هذا كافٍ! فكون الورقة سباديـز شرط كافٍ لأن تكون الورقة سوداء.

كما أن التفكير في ضرورة الشروط وكفايتها قد يساعد أيضاً عند كتابة البراهين وتبرير النتائج. فإذا أردت إثبات حقيقة رياضية، من المفيد أن تفكر فيما هي الحقائق الأخرى التي تكفي (تكون كافية) لإثبات حقيقتك. وإذا كان لديك افتراض، ففكّر فيما يجب أن يكون ضرورياً أيضاً إن كانت تلك الفرضية صحيحة.

أسئلة القراءة

1.

يحدث أن كل الثدييات (mammals) لها فرو. فأيّ ممّا يلي صحيح أيضاً؟

• امتلاك الفرو شرط ضروري كي يكون الحيوان ثدياً.
• امتلاك الفرو شرط كافٍ كي يكون الحيوان ثدياً.
• وهذا يعني أن مجرد امتلاك شيء ما للفرو يجعله ثدياً. لكن... العناكب الرتلياء (tarantulas)!
• إذا لم يكن لدى حيوان فرو، فإنه ليس ثدياً.
• وهذه هي عكس مقابل العبارة الأصلية.
• الحيوان ثديّ فقط إذا كان له فرو.
• وهذا يعني الشيء ذاته، أي: إذا كان الحيوان ثدياً، فله فرو.

2.

اذكر مثالاً لاستلزام صحيح (مكتوب بالكلمات) يكون عكسه خاطئاً. واشرح لماذا استلزامك صحيح ولماذا العكس خاطئ.

3.

ما الأسئلة التي تدور في ذهنك بعد قراءة هذا القسم؟ اكتب سؤالاً واحداً على الأقل عن محتوى هذا القسم يثير فضولك.