قواعد المنطق

القسم 1.3 قواعد المنطق

الأهداف

بعد إتمام هذا القسم، ينبغي أن تتمكّن من فعل ما يلي.

1. أن تستعمل قسم فرعي: جداول الصدق (truth tables) لتحديد ما إذا كانت عبارتان متكافئتين منطقيًّا (logically equivalent).
2. أن تستعمل قسم فرعي: جداول الصدق لتحديد ما إذا كانت قاعدة استنتاج (deduction rule) صالحة.
3. أن تستعمل قسم فرعي: التكافؤ المنطقي وقواعد الاستنتاج لتبسيط العبارات وإجراء قسم فرعي: الاستنتاجات.

معاينة القسم

استكشف!

يلبس هولمز (Holmes) دائمًا أحد السترتين اللتين يملكهما: واحدة من الصوف الموشَّح وأخرى خضراء نعناعية. وهو يلبس دائمًا إمّا السترة الخضراء وإمّا حذاءً أحمر. ومتىما لمَس قميصًا بنفسجيًّا وارتدى السترة الخضراء، اختار ألّا يلبس ربطة عنق. وهو لا يلبس السترة الخضراء قطّ ما لم يكن يلبس أيضًا إمّا قميصًا بنفسجيًّا وإمّا حذاءً أحمر. ومتىما لبس حذاءً أحمر، لمَس أيضًا قميصًا بنفسجيًّا. واليوم، لبس هولمز ربطة عنق. فما الذي لبسه أيضًا؟

جرّب 1.3.1.

اقضِ بضع دقائق في التفكير في مسألة استكشف! أعلاه. من بين العبارات الستّ في اللغز، واحدة فقط ذرّية. استعمل هذه العبارة الذرّية وأخرى من العبارات لتستنتج عبارة جديدة عمّا قد يكون هولمز يلبسه (أو قد لا يكون يلبسه). واشرح لماذا ترى أنّ عبارتك الجديدة صادقة.

تلميح. العبارة الذرّية هي: «لبس هولمز ربطة عنق». وإحدى العبارات الجزئية فقط يتضمّن هذه العبارة بوصفها إحدى ذرّاته.

يدرس المنطق (logic) الطرق التي تتفاعل بها العبارات فيما بينها. وعلى وجه الدقّة، ننظر في الطريقة التي تتفاعل بها الصيغ المنطقية للعبارات. ولا يهتمّ دراسة المنطق بمحتوى العبارات الذرّية (atomic statements) ولا بمعنى المُنشِّقات (predicates). فمثلًا، الدّعوتان «إذا كانت للعنكبوتات ستّة أرجل، فإنّ سام يمشي أعرج» و«إذا كان القمر مصنوعًا من الجبن، فإنّ جبن الشيدر نوعٌ من الجبن» متطابقتان من المنظور المنطقي. ولا يهتمّ المنطق بما إذا كان سام عنكبوتًا ولا بالتركيبة الطبخية للقمر. والعبارتان لهما الصيغة نفسها: إنّهما استلزامان، $P \imp Q\text{.}$

بالطبع، في الرياضيات نعرف في غالب الأحيان علاقةً ما بين عبارات ذرّية مختلفة. فمثلًا، نعرف علاقة بين «أن يكون العدد زوجيًّا» و«أن يكون من مضاعفات 10». وتتيح لنا تلك الصلة أن ندّعي أمثال: «إذا كان العدد الذي أفكّر فيه من مضاعفات 10، فهو زوجيّ». ولنفترض أنّني أخبرتك أيضًا بأنّني أفكّر الآن في عدد ليس زوجيًّا. عندئذٍ يمكننا أن نستنتج أنّني لا أفكّر في مضاعف لـ 10! والأمر الحاسم هنا: إن قبلنا صحّة العبارات الواردة، استطعنا إجراء هذا الاستنتاج دون التفكير في طبيعة الأعداد. ويمكن أن يكون فصل المحتوى عن الصيغة المنطقية للحجج مريحًا للغاية، وأن يوفّر الوضوح المطلوب بشدّة عند محاولة فهم استدلالاتٍ معقّدة.

وهدفنا في هذا القسم هو وضع بعض الإجراءات لتحليل كيفية تفاعل صدق العبارات أو بطلانها، انطلاقًا من صيغها المنطقية. وسنرى أنّ بعض العبارات الجزئية (molecular statements) لا بدّ أن تكون صادقة سواء كانت أجزاءها الذرّية صادقة أو خاطئة، في حين أنّ بعض العبارات لا بدّ أن تكون خاطئة دائمًا. وأما عبارة أخرى، فيمكن أن تكون عبارتان صادقتَين أو خاطئتَين معًا دائمًا، أو أن كلّما كانت عبارة صادقة وجب أن تكون عبارة أخرى صادقة أيضًا.

وسيكون الأسلوب الرئيس لإثبات هذه العلاقات هو قسم فرعي: جداول الصدق. فهناك إجراء واضح جدًا لبناء قسم فرعي: جداول الصدق وتحليلها، لكنّه في الحجج المعقّدة التي تحتوي على عبارات ذرّية كثيرة تصبح قسم فرعي: جداول الصدق كبيرة جدًّا وثقيلة الاستعمال. سنستعمل إذًا قسم فرعي: جداول الصدق لفهم بعض التكافئات وقسم فرعي: الاستنتاجات الأساسية التي يمكن تطبيقها بالتتابع في نسقٍ من الاستدلال لبناء حجج أكبر.

ورقة العمل: نشاط تمهيدي

1.

تأمّل العبارة: «متىما لمَس هولمز قميصًا بنفسجيًّا وارتدى السترة الخضراء، اختار ألّا يلبس ربطة عنق». ليكن $P$ هي العبارة «هولمز يلبس قميصًا بنفسجيًّا»، و$G$ هي العبارة «هولمز يلبس السترة الخضراء»، و$B$ هي العبارة «هولمز يلبس ربطة عنق». فما أفضل ترجمة للعبارة إلى المنطق العباري (propositional logic)؟

• $(P \wedge G) \imp \neg B$
• $(P \wedge G) \imp B$
• $(P \vee G) \imp \neg B$
• $P \wedge (G \imp B)$

2.

تأمّل العبارة: «لا يلبس هولمز السترة الخضراء قطّ ما لم يكن يلبس أيضًا إمّا قميصًا بنفسجيًّا وإمّا حذاءً أحمر». ومع $P$ و$G$ كما في السؤال السابق، و$R$ هي العبارة «هولمز يلبس حذاءً أحمر»، فما أفضل ترجمة للعبارة إلى المنطق العباري؟

• $G \imp (P \vee R)$
• $\neg G \imp (P \vee R)$
• تأمّل الحالة التي يلبس فيها هولمز سترة خضراء دون أن يلبس قميصًا بنفسجيًّا ولا حذاءً أحمر. فذلك يجعل $\neg G$ خاطئة و$P \vee R$ صادقة، فيكون الاستلزام صادقًا. لكن في هذه الحالة تكون العبارة الأصلية خاطئة.
• $(P \vee R) \imp G$
• تأمّل الحالة التي لا يلبس فيها هولمز قميصًا بنفسجيًّا ولا حذاءً أحمر، بينما يلبس السترة الخضراء. فذلك يجعل $P \vee R$ خاطئة و$G$ صادقة، فيكون الاستلزام صادقًا. لكن في هذه الحالة تكون العبارة الأصلية خاطئة.
• $(P \vee R) \imp \neg G$
• تأمّل الحالة التي لا يلبس فيها هولمز قميصًا بنفسجيًّا ولا حذاءً أحمر، بينما يلبس السترة الخضراء. فذلك يجعل $P \vee R$ خاطئة و$\neg G$ خاطئة، فيكون الاستلزام صادقًا. لكن في هذه الحالة تكون العبارة الأصلية خاطئة.

3.

تأمّل العبارة: «إذا تخصّصت في الرياضيات، فإنّك ستحصل على وظيفة مرتفعة الأجر»، والعبارة: «إمّا ألّا تتخصّص في الرياضيات، وإمّا ستحصل على وظيفة مرتفعة الأجر». في أيّ من الحالات التالية تكون كلتا العباراتين صادقتَين؟ اختر كلّ ما ينطبق.

• تتخصّص في الرياضيات وتحصل على وظيفة مرتفعة الأجر.
• تتخصّص في الرياضيات ولا تحصل على وظيفة مرتفعة الأجر.
• في الواقع، في هذه الحالة، كلتا العبارتان خاطئتان.
• لا تتخصّص في الرياضيات وتحصل على وظيفة مرتفعة الأجر.
• هذا يجعل الاستلزام صادقًا لأنّ جزء «إذا» خاطئ. ويجعل الشرط «أو» صادقًا لأنّ الجزء الأول صادق.
• لا تتخصّص في الرياضيات ولا تحصل على وظيفة مرتفعة الأجر.

قسم فرعي: جداول الصدق

وهنا سؤال عن لعب مونوبولي (Monopoly):

إذا رميت أزواجًا أكثر من أيّ لاعب آخر، فإنّك ستخسر، أو إذا خسرت، فإنّك لا بدّ أن تكون قد اشتريت أكبر عدد من العقارات.

صادقة أم خاطئة؟ سنُجيب عن هذا السؤال ولن نحتاج إلى معرفة أيّ شيء عن مونوبولي. بل سننظر في الصيغة المنطقية للعبارة.

علينا أن نقرّر متى تكون العبارة $(P \imp Q) \vee (Q \imp R)$ صادقة. وباستعمال تعريفات الروابط في التعريف 1.1.8، نرى أنّه يلزم لأن تكون صادقة إمّا أن تكون $P \imp Q$ صادقة أو أن تكون $Q \imp R$ صادقة (أو كليهما). وتكون هاتان صادقتَين إذا كانت $P$ خاطئة أو كانت $Q$ صادقة (في الحالة الأولى)، وإذا كانت $Q$ خاطئة أو كانت $R$ صادقة (في الحالة الثانية). إذًا—نعم، يصير الأمر فوضويًّا بعض الشيء. لكن لحسن الحظّ يمكننا إنشاء رسم بياني لتتبّع جميع الاحتمالات بواسطة جدول صدق.

والفكرة هي هذه: في كلّ صفّ نُدرج تركيبة محتملة من حروف T و F (الصحائح والخاطئة) لكلّ متغيّر من متغيّرات العبارات، ثم نُدوّن ما إذا كانت العبارة (الجزئية) محلّ النظر صادقة أم خاطئة في تلك الحالة. ونفعل ذلك لكلّ تركيبة محتملة من حروف T و F. عندئذٍ يمكننا أن نرى بوضوح الحالات التي تكون فيها العبارة صادقة أو خاطئة. وأما العبارات المعقّدة، فنملأ أوّلًا القيم لكلّ جزء من أجزاء العبارة، وذلك وسيلة لتقسيم مهمّتنا إلى قطع أصغر وأكثر قابلية للإدارة.

وبما أنّ قيمة صدق العبارة تحدَّد كليًّا بقيم صدق أجزاءها وبطريقة ربطها، فكلّ ما تحتاج إليه هو معرفة قسم فرعي: جداول الصدق لكلّ من الروابط المنطقية، وقد رأيناها من قبل في الشكل 1.1.9

وكلّ قسم فرعي: جداول الصدق التي نتناولها هنا مبنيّة على الجداول الأساسية، بتطبيق القواعد الأساسية عدّة مرّات.

المثال 1.3.2.

أنشئ جدول صدق للعبارة $\neg P \vee Q\text{.}$

الحل. لاحظ أنّ هذه العبارة ليست $\neg(P \vee Q)\text{;}$ فالنفي خاصّ بـ $P$ وحدها. والرابط الرئيس هنا هو $\vee\text{,}$ الذي يعني أننا سنستعمل جدول الصدق الخاصّ به آخرَ. فنطبّق أوّلًا جدول الصدق لـ $\neg\text{,}$ ثم نطبّق جدول الصدق لـ $\vee$ باستخدام «مدخلات» من $\neg P$ و$Q\text{.}$

وبما أنّ متغيّرَين، فإنّ هناك أربع تركيبات محتملة من حروف T و F. وجمع كلّ هذا معًا ينتج جدول الصدق التالي.

$P$	$Q$	$\neg P$	$\neg P \vee Q$
T	T	F	T
T	F	F	F
F	T	T	T
F	F	T	T

أضفنا عمودًا لـ $\neg P$ ليسهل ملء العمود الأخير. وكانت مداخل عمود $\neg P$ محدَّدةً بمداخل عمود $P$. ثم لملء العمود الأخير، انظر إلى عمود $Q$ وعمود $\neg P$ فقط واستعمل قاعدة $\vee\text{.}$

والآن لنُجيب عن سؤالنا حول مونوبولي.

المثال 1.3.3.

حلّل العبارة: «إذا رميت أزواجًا أكثر من أيّ لاعب آخر، فإنّك ستخسر، أو إذا خسرت، فإنّك لا بدّ أن تكون قد اشتريت أكبر عدد من العقارات»، باستعمال قسم فرعي: جداول الصدق.

الحل. عبّر عن العبارة رمزيًّا في صورة $(P \imp Q) \vee (Q \imp R)\text{,}$ حيث $P$ هي العبارة «رميت أزواجًا أكثر من أيّ لاعب آخر»، و$Q$ هي العبارة «ستخسر»، و$R$ هي العبارة «لا بدّ أن تكون قد اشتريت أكبر عدد من العقارات». والآن أنشئ جدول صدق.

ويجب أن يحتوي جدول الصدق على 8 صفوف لتغطية كلّ تركيبة محتملة من الصدق والبطلان بين العبارات الثلاث. وهذا هو جدول الصدق كاملًا:

$P$	$Q$	$R$	$P \imp Q$	$Q \imp R$	$(P \imp Q) \vee (Q \imp R)$
T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	F	T
T	F	T	F	T	T
T	F	F	F	T	T
F	T	T	T	T	T
F	T	F	T	F	T
F	F	T	T	T	T
F	F	F	T	T	T

العمودان الأوّلان ليسا سوى إدراجٍ منتظم لكلّ التركيبات المحتملة من T و F للعبارات الثلاث (أترى كيف ستُدرج التركيبات الستّ عشرة الممكنة لأربع عبارات؟). والعمودان التاليان محدَّدان بقيم $P\text{,}$ $Q\text{,}$ و$R$ وبتعريف الاستلزام. ثمّ إنّ العمود الأخير محدَّد بالقيم في العمودين السابقين وبتعريف $\vee\text{.}$ وهو هذا العمود الأخير الذي يهمّنا.

ولاحظ أنّ العبارة محلّ النظر صادقة في كلّ واحدة من الحالات الثماني المحتملة. إذًا فعبارتنا حول مونوبولي صادقة (بغضّ النظر عن عدد العقارات التي تملكها، أو عدد الأزواج التي ترميها، أو هل تفوز أم تخسر).

والعبارة حول مونوبولي مثال على التوتولوجيا (tautology)، أي عبارة تكون صادقة بالضرورة بناءً على صيغتها المنطقية وحدها. والتوتولوجيا صادقة دائمًا، لكنها لا تخبرنا بكثير عن العالم. فلم نُحتج إلى أيّ معرفة عن مونوبولي لتحديد أنّ العبارة صادقة، وبالتالي فإنّ معرفتنا بأنّ العبارة صادقة لا تخبرنا بشيء عن مونوبولي. والصواب كذلك أنّ: «إذا كان القمر مصنوعًا من الجبن، فإنّ إلفيس ما زال حيًّا، أو إذا كان إلفيس ما زال حيًّا، فإنّ وحيد القرن له 5 أرجل».

قسم فرعي: التكافؤ المنطقي

ربما لاحظت في المثال 1.3.2 أنّ العمود الأخير في جدول الصدق لـ $\neg P \vee Q$ مطابق تمامًا للعمود الأخير في جدول صدق $P \imp Q\text{:}$

$P$	$Q$	$P \imp Q$	$\neg P \vee Q$
T	T	T	T
T	F	F	F
F	T	T	T
F	F	T	T

وهذا يعني أنّ مهما كانت $P$ و$Q$، فإنّ العبارتين $\neg P \vee Q$ و$P \imp Q$ إمّا أن تكونا صادقتَين معًا أو خاطئتَين معًا. ولذلك نقول إنّ هاتين العبارتين متكافئتان منطقيًّا.

التعريف 1.3.4. التكافؤ المنطقي.

عبارتان (جزئيتان) $P$ و$Q$ تكونان متكافئتين منطقيًّا متى كانت $P$ صادقة بدقّة متى كانت $Q$ صادقة. أي إنّ $P$ و$Q$ لهما قيمة الصدق نفسها تحت أيّ إسناد لقيم الصدق إلى أجزائهما الذرّية.

ونكتب هذا في صورة $P \equiv Q\text{.}$

وللتحقّق من أنّ عبارتين متكافئتان منطقيًّا، يمكنك إنشاء جدول صدق لكلٍّ منهما ثمّ التحقّق ممّا إذا كان عمودا العبارتين متطابقَين.

وقد ادّعينا في القسم 1.2 أنّ كلّما كان الاستلزام صادقًا فإنّ عكس مقابله صادق أيضًا. ويمكننا الآن أن نطرح هذا الادّعاء في صورة المبرهن التالي.

مبرهنة 1.3.5.

الاستلزام متكافئ منطقيًّا مع عكس مقابله. أي أنّ $$\begin{equation*} P \imp Q \equiv \neg Q \imp \neg P\text{.} \end{equation*}$$

البرهان.

نكتفي بمعاينة قسم فرعي: جداول الصدق.

$P$	$Q$	$P \imp Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

$P$	$Q$	$\neg Q$	$\neg P$	$\neg Q \imp \neg P$
T	T	F	F	T
T	F	T	F	F
F	T	F	T	T
F	F	T	T	T

(لاحظ أنّ تركيبات قيم الصدق مرتّبة بالنفس في الجدولين، فيمكننا بسهولة أن نرى أنّ العمودين الأخيرين متطابقان.)

وتعرّفك على أنّ عبارتين متكافئتان منطقيًّا قد يكون نافعًا إلى حدّ بعيد. فإعادة صياغة عبارة رياضية قد تمنحك فائدةً في فهم ما تقوله، أو في كيفية إثباتها أو دحضها. وباستعمال قسم فرعي: جداول الصدق يمكننا التحقّق بطرائق منتظمة من أنّ عبارتين متكافئتان منطقيًّا بالفعل.

المثال 1.3.6.

هل العبارتان «لن تمطر أو تثلج» و«لن تمطر ولن تثلج» متكافئتان منطقيًّا؟

الحل. نريد أن نعرف ما إذا كان $\neg(P \vee Q)$ متكافئًا منطقيًّا مع $\neg P \wedge \neg Q\text{.}$ لننشئ جدول صدق يتضمّن العبارتين:

$P$	$Q$	$\neg(P \vee Q)$	$\neg P \wedge \neg Q$
T	T	F	F
T	F	F	F
F	T	F	F
F	F	T	T

بما أنّ قيم الصدق للعبارتَين متساوية في كلّ صفّ، فإنّ العبارتين متكافئتان منطقيًّا.

ولاحظ أنّ هذا المثال يتيح لنا طريقةً لـ«توزيع» النفي على فصل (أي «أو»). ولدينا قاعدةٌ مماثلة للتوزيع على عطف (أي «و»):

مبرهنة 1.3.7. قانونا دي مورغان.

نفي الفصل أو العطف متكافئ منطقيًّا مع عطف النفي أو فصل النفي، على الترتيب. أي، $$\begin{equation*} \neg(P \wedge Q) \equiv \neg P \vee \neg Q \end{equation*}$$ و، $$\begin{equation*} \neg(P \vee Q) \equiv \neg P \wedge \neg Q\text{.} \end{equation*}$$

وهذا يوحي بأنّه ربما كان ثمّة نوعٌ من «الجبر» يمكنك تطبيقه على العبارات (حسنًا، هناك بالفعل: ويسمّى جبر بول (Boolean algebra)) لتحويل عبارةٍ ما إلى أخرى. يمكننا أن نبدأ في جمع أمثلة مفيدة من قسم فرعي: التكافؤ المنطقي ونطبّقها بالتتابع على عبارة، بدلًا من كتابة جدول صدقٍ معقّد.

ولا يساعدنا قانونا دي مورغان مباشرةً في الاستلزامات، لكنّنا كما رأينا أعلاه، يمكن كتابة كلّ استلزام في صورة فصل:

الاستلزامات تجزئات.

$$\begin{equation*} P \imp Q \equiv \neg P \vee Q\text{.} \end{equation*}$$

مثال: «إذا كان العدد من مضاعفات 4، فهو زوجيّ» متكافئ مع «العدد ليس من مضاعفات 4، أو (وإلّا) فهو زوجيّ».

بهذه القاعدة وبقانونَي دي مورغان، يمكنك أن تأخذ أيّ عبارة وتبسّطها حتى تصير النفات منطبَّقة على العبارات الذرّية وحدها. حسنًا، إلّا أنّه قد تتكدّس عدّة نفيات فوق بعضها. لكنّ هذا يمكن التخلّص منه بسهولة:

النفي المزدوج.

$$\begin{equation*} \neg \neg P \equiv P\text{.} \end{equation*}$$

مثال: «ليس الأمر أنّ $c$ ليس فرديًّا» تعني «$c$ فرديّ».

ولنرَ كيف يمكننا تطبيق التكافؤات التي التقيناها.

المثال 1.3.8.

اثبت أنّ العبارتين $\neg(P \imp Q)$ و$P\wedge \neg Q$ متكافئتان منطقيًّا من غير استعمال قسم فرعي: جداول الصدق.

الحل. نريد أن نبدأ بإحدى العبارتين ونحوّلها إلى الأخرى عبر سلسلة من العبارات المتكافئة منطقيًّا. لنبدأ بـ $\neg(P \imp Q)\text{.}$ يمكننا إعادة كتابة الاستلزام في صورة فصل، فهذا متكافئ منطقيًّا مع $$\begin{equation*} \neg(\neg P \vee Q)\text{.} \end{equation*}$$ والآن طبّق قانون دي مورغان لتحصل على $$\begin{equation*} \neg\neg P \wedge \neg Q\text{.} \end{equation*}$$ وأخيرًا، نستعمل النفي المزدوج لنصل إلى $P \wedge \neg Q$

ولاحظ أنّ المثال أعلاه يوضّح أنّ نفي الاستلزام ليس استلزامًا: إنّه عطف! وقد رأينا هذا من قبل في القسم 1.1، لكنّه مهمٌّ ومفيد إلى حدّ يستوجب أن يُصاغ في صورة مبرهن.

مبرهنة 1.3.9. نفي الاستلزام.

نفي الاستلزام عطف: $$\begin{equation*} \neg(P \imp Q) \equiv P \wedge \neg Q\text{.} \end{equation*}$$ أي أنّ الطريقة الوحيدة لأن يكون الاستلزام خاطئًا هي أن تكون الفرضية صادقة وأن تكون الخاتمة خاطئة.

وللتحقّق من أنّ عبارتين متكافئتان منطقيًّا، يمكنك استعمال قسم فرعي: جداول الصدق أو سلسلة من الاستبدالات المتكافئة منطقيًّا. وطريقة جدول الصدق، وإن كانت مرهقة، فلها ميزة أنّها تستطيع التحقّق من أنّ عبارتين ليستا متكافئتين منطقيًّا.

المثال 1.3.10.

هل العبارتان $(P \vee Q) \imp R$ و$(P \imp R) \vee (Q \imp R)$ متكافئتان منطقيًّا؟

الحل. لاحظ أنّنا صحيحًا يمكننا أن نبدأ بإعادة كتابة هاتين العبارتين باستبدالات متكافئة منطقيًّا أملًا في تحويل إحداهما إلى الأخرى، لكنّنا لن نتيقّن أبدًا ممّا إذا كان فشلنا راجعًا إلى افتقارهما إلى قسم فرعي: التكافؤ المنطقي أم إلى افتقار خيالنا. فبدلًا من ذلك، لننشئ جدول صدق:

$P$	$Q$	$R$	$(P\vee Q) \imp R$	$(P\imp R) \vee (Q \imp R)$
T	T	T	T	T
T	T	F	F	F
T	F	T	T	T
T	F	F	F	T
F	T	T	T	T
F	T	F	F	T
F	F	T	T	T
F	F	F	T	T

انظر إلى الصفّ الرابع (أو السادس). في هذه الحالة، تكون $(P \imp R) \vee (Q \imp R)$ صادقة، في حين تكون $(P \vee Q) \imp R$ خاطئة. إذًا فالعبارتان ليستا متكافئتين منطقيًّا.

وإن كنّا لا نملك قسم فرعي: التكافؤ المنطقي، فإنّ الأمر هو أنّ كلّما كانت $(P \vee Q) \imp R$ صادقة، تكن $(P \imp R) \vee (Q \imp R)\text{.}$ وهذا يخبرنا بأنّنا يمكننا أن نستنتج $(P \imp R) \vee (Q \imp R)$ من $(P \vee Q) \imp R\text{,}$ لكنّنا لا نستطيع ذلك في الاتجاه المعاكس.

قسم فرعي: التكافؤ في العبارات المُكمَّمة

كلّ الأمثلة التي نظرناها حتى الآن اقتصرت على المنطق العباري (propositional logic)، حيث إنّ الوحدات الأساسية للمنطق هي عباراتٌ إمّا صادقة وإمّا خاطئة. ومن الممكن أيضًا القول إنّ عبارتين تتضمّان مُكمِّمين ومنشِّقَين متكافئتان منطقيًّا.

وأحيانًا لا يكون للمُكمِّمين أيّ علاقةٍ بالتكافؤ. فمثلًا، $$\begin{equation*} \forall x (P(x) \imp Q(x)) \equiv \forall x (\neg P(x) \vee Q(x))\text{.} \end{equation*}$$ فمجرّد أن نستبدل $x$ بثابت، يبقى لدينا عبارتان متكافئتان منطقيًّا بناءً على صيغتهما العبارية.

وأحيانًا أخرى، وهي الحالات الأكثر إثارةً للاهتمام، فإنّ منطق المُكمِّمات تحديدًا هو ما يجعل العبارتين متكافئتين منطقيًّا. والأمر اللافت للنظر هنا هو أنّنا لا يمكننا استعمال قسم فرعي: جداول الصدق للتحقّق من هذه التكافؤات!

بل علينا بدلًا من ذلك أن نُفكّر في مجال الخطاب (domain of discourse) بوصفه مجموعةً. فمثلًا، لننظر في كيفية تفاعل النفي مع المُكمِّمات.

لنأخذ الادّعاء بأنّ «كلّ الأعداد الفردية أوليّة». ويمكن أن نعبّر عنه رمزيًّا في صورة $\forall x (O(x) \imp P(x))\text{.}$ والعبارة ليست صادقة قطعًا، فما صحيح هو أنّ «ليست كلّ الأعداد الفردية أوليّة» (أي، $\neg\forall x(O(x) \imp P(x))$). وكيف نعرف ذلك؟ بسهولة: 9. نعم، 9 فرديّ وليس أوّليًّا. لكن هل يكفي أن يوجد عددٌ فرديٌّ واحد ليس أوّليًّا؟

ولم تردّ ادّعاءً عامًّا، لا يكفي إلّا مثالٌ مضاد واحد. لا يلزمك إلّا أن تُظهر وجود عددٍ تكون عبارة الادّعاء خاطئةً بالنسبة إليه. وفي حالتنا لدينا التكافؤ، $$\begin{equation*} \neg\forall x (O(x) \imp P(x)) \equiv \exists x (O(x) \wedge \neg P(x))\text{.} \end{equation*}$$ وإن تجاهلنا المُكمِّمين للحظة، يبقى لدينا $$\begin{equation*} \neg(O \imp P) \equiv O \wedge \neg P \end{equation*}$$ وهو بالضبط مثالٌ على مبرهن 1.3.9. والجديد المثير للاهتمام هو أنّنا حين نفينا المُكمِّم العام، حصلنا على مُكمِّم وجوديّ.

ونفي المُكمِّم الوجودي يؤدّي إلى مُكمِّم عام. وهذا منطقيّ. فإذا لم يوجد شيءٌ ذو صفةٍ ما، فإنّ كلّ شيءٍ يفتقر إلى تلك الصفة.

المُكمِّمات والنفي.

$\neg \forall x P(x)$ متكافئ مع $\exists x \neg P(x)\text{.}$ $\neg \exists x P(x)$ متكافئ مع $\forall x \neg P(x) \text{.}$

رمزيًّا، يمكننا أن نمرّر رمز النفي فوق المُكمِّم، لكنّ ذلك يُبدّل نوع المُكمِّم.

وهناك طريقة أخرى لفهم سبب معقولية ذلك: فالمُكمِّمات الكونية تشبه العطف (المحتمل اللانهائي)، إذ إنّها تُعلن أنّ الخاصية تصدق على هذا الشيء، وذاك الشيء، والشيء الآخر،... وكلّ الأشياء. أمّا المُكمِّمات الوجودية فتشبه الفصل (المحتمل اللانهائي): فالخاصية تصدق على شيءٍ واحدٍ على الأقل، ربّما هذا، أو ذاك، أو الآخر، أو... وتخبرنا قوانين دي مورغان بأنّنا حين نفي عطفًا نحصل على فصل، وحين نفي فصلًا نحصل على عطف. أليس رائعًا حين يتحقّق كلّ شيءٍ كما ينبغي؟

المثال 1.3.11.

لنفترض أنّنا ندّعي أنّه لا يوجد أصغر عدد. يمكننا ترجمة ذلك إلى الرموز في صورة $$\begin{equation*} \neg \exists x \forall y (x \le y)\text{.} \end{equation*}$$ («ليس صحيحًا أنّ هناك عددًا $x$ بحيث إنّ كلّ الأعداد $y\text{,}$ يكون $x$ أصغر منها أو مساويًا لها $y\text{.}$»)

لكنّنا نعرف كيفية تفاعل النفي مع المُكمِّمات: يمكننا تمرير نفيٍ فوق مُكمِّم بتبديل نوع المُكمِّم (بين الكوني والوجودي). إذًا ينبغي للعبارة أعلاه أن تكون متكافئة منطقيًّا مع $$\begin{equation*} \forall x \exists y (y \lt x)\text{.} \end{equation*}$$ ولاحظ أنّ $y \lt x$ هو نفي $x \le y\text{.}$ وتُقرأ هكذا: «لكلّ عددٍ $x$ يوجد عددٌ $y$ أصغر من $x\text{.}$» ونرى أنّ هذه طريقة أخرى لصياغة ادّعائنا الأصلي.

ومن المهمّ التأكيد على أنّ المنطق المُنبِّه (predicate logic) يوسّع المنطق العباري (تمامًا كما توسّع ميكانيكا الكمّ الميكانيكا الكلاسيكية). فكلّ ما تعلّمناه عن قسم فرعي: التكافؤ المنطقي والاستنتاج ما زال منطبقًا. لكنّ المنطق المُنبِّه يتيح لنا تحليل العبارات بدقةٍ أعلى، بالنزول إلى العبارات المنفردة $P\text{,}$ $Q\text{,}$ وغيرها.

ولهذا نحتاج أن نفهم كيفية تفاعل المُكمِّمات والروابط. وقد رأينا شيئًا عن النفي والمُكمِّمات. فماذا عن الروابط الأخرى؟ فلننظر إلى مثالٍ يستكشف كيفية عمل المُكمِّم الكوني مع الفصول أو تعذّره.

المثال 1.3.12.

لنأخذ العبارتين، $$\begin{equation*} \forall x (P(x) \vee Q(x)) \qquad \qquad \forall x P(x) \vee \forall x Q(x)\text{.} \end{equation*}$$ هل هاتان متكافئتان منطقيًّا؟

الحل. هاتان العبارتان ليستا متكافئتين منطقيًّا. فمن البديهيّة أنّ العبارة على اليسار تدّعي أنّ كلّ شيءٍ هو إمّا شيءٌ $P$ أو شيءٌ $Q$. والعبارة على اليمين تدّعي أنّ إمّا كلّ شيءٍ هو شيءٌ $P$ أو أنّ كلّ شيءٍ هو شيءٌ $Q$. وهاتان تشبهان مختلفَين.

وللتأكّد، نودّ أن نفكّر في منشِّقَين $P(x)$ و$Q(x)$ وفي مجال خطابٍ ما بحيث تكون إحدى العبارتين صادقة والأخرى خاطئة. فماذا لو جعلنا $P(x)$ هي «$x$ زوجيّ» و$Q(x)$ هي «$x$ فرديّ». وسيكون مجال الخطاب لدينا جميع الأعداد الصحيحة (لأنّها هي مجموعة الأعداد التي يكون فيها الزوجيّ والفرديّ لهما معنى).

والعبارة على اليسار صادقة! فكلّ عددٍ إمّا زوجيّ وإمّا فرديّ. لكن هل كلّ الأعداد زوجيّة؟ لا. هل كلّ الأعداد فردية؟ لا. إذًا فالعبارة على اليمين خاطئة (إنّها خاطئة أو خاطئة).

ومن المثير للاهتمام أنّ العبارة على اليمين تستلزم العبارة على اليسار. أي أنّ $$\begin{equation*} (\forall x P(x) \vee \forall x E(x)) \imp \forall x (P(x) \vee Q(x)) \end{equation*}$$ صادقة دائمًا.

وهذا يشبه التوتولوجيا، وإنّما نحتفظ بهذا اللفظ للحقائق الضرورية في المنطق العباري. والعبارة في المنطق المُنبِّه التي تكون صادقة بالضرورة تنال تسميةً أرقي، وهي قانونٌ منطقي (أو أحيانًا صالحة منطقيًّا، لكنّ ذلك أقلّ متعة).

ويمكننا أيضًا أن ندرس كيفية تفاعل المُكمِّمات فيما بينها.

المثال 1.3.13.

هل يمكنك تبديل ترتيب المُكمِّمات؟ فمثلًا، لنأخذ العبارتين: $$\begin{equation*} \forall x \exists y P(x,y) \qquad \text{ and } \qquad \exists y \forall x P(x,y)\text{.} \end{equation*}$$ هل هاتان متكافئتان منطقيًّا؟

الحل. هاتان العبارتان ليستا متكافئتين منطقيًّا. ولرؤية ذلك، ينبغي أن نقدّم تأويلًا للمنشِّق $P(x,y)$ يجعل إحدى العبارتين صادقة والأخرى خاطئة.

فليكن $P(x,y)$ هو المنشِّق $x \lt y\text{.}$ ومن الصادق، في الأعداد الطبيعية، أنّه لكلّ $x$ يوجد $y$ أكبر من ذلك $x$ (لأنّ هناك عددًا لا نهائيًّا من الأعداد). لكنّه لا يوجد عددٌ طبيعيّ $y$ أكبر من كلّ عددٍ $x\text{.}$ إذًا من الممكن أن تكون $\forall x \exists y P(x,y)$ صادقة بينما $\exists y \forall x P(x,y)$ خاطئة.

لكنّنا لا نستطيع فعل العكس. فإذا كان هناك $y$ بحيث يصحّ لكلّ $x$ ما يلي $P(x,y)\text{,}$ فإنّه من المؤكّد أنّه لكلّ $x$ يوجد $y$ بحيث يصحّ $P(x,y)\text{.}$ والعبارة الأولى تقول إنّنا يمكننا أن نجد $y$ واحدًا يصلح لكلّ $x\text{.}$ والعبارة الثانية تسمح بأن تصلح $y$ مختلفة لـ $x$ مختلفة، لكنّ لا شيء يمنعنا من استعمال نفس $y$ التي تصلح لكلّ $x\text{.}$ بمعنى آخر، وإن كنّا لا نملك تكافؤًا منطقيًّا بين العبارتين، فإنّنا نملك قاعدة استنتاج صالحة:

	$\exists y \forall x P(x,y)$
$\therefore$	$\forall x \exists y P(x,y)$

بعبارة أخرى تمامًا، هذا يعني أنّ العبارة المفردة $$\begin{equation*} \exists y \forall x P(x,y) \imp \forall x \exists y P(x,y) \end{equation*}$$ صادقة دائمًا؛ إنّه قانونٌ منطقي.

قسم فرعي: الاستنتاجات

ذكرنا سابقًا أنّ ما يلي حجّةٌ صالحة:

إذا كانت إديث تأكل خضارها، جاز لها أن تتناول بسكويتة. وقد أكلت إديث خضارها. إذًا تحصل إديث على بسكويتة.

كيف نعرف أنّ هذه صالحة؟ لننظر في صيغة العبارتين. فليكن $P$ تدلّ على «إديث تأكل خضارها» و$Q$ تدلّ على «إديث تحوز بسكويتة». إذًا تكون الصيغة المنطقية للحجّة:

	$P \imp Q$
	$P$
$\therefore$	$Q$

هذا مثالٌ على قاعدة استنتاج، أي صيغة حجّةٍ صالحة دائمًا. وهذه قاعدةٌ شهيرةٌ بشكل خاص اسمها الوضع الأمامي (modus ponens). هل اقتنعتَ بأنّها قاعدة استنتاج صالحة؟ وإن لم تكن، فلتنظر في جدول الصدق التالي:

$P$	$Q$	$P\imp Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

هذا هو جدول الصدق لـ $P \imp Q\text{,}$ لكنّ المهمّ هنا هو أنّ جميع سطور قاعدة الاستنتاج لها عمودٌ خاصّ بها في جدول الصدق. وتذكّر أنّ الحجّة تكون صالحة متى كانت الخاتمة يجب أن تكون صادقة إذا كانت المقدمات صادقة. والمقدمات في هذه الحالة هي $P \imp Q$ و$P\text{.}$ فما الصفوف التي يقابل كلاهما صحيحًا في جدول الصدق؟ إنّ $P$ صادقة في الصفّين الأوّلَين، ومن بينهما لا يملك الصفّ الأوّل $P \imp Q$ صادقة فحسب. وانظر كيف تكون $Q$ صادقة أيضًا في هذه الحالة الواحدة. إذًا إذا كانت $P\imp Q$ و$P$ كلتاهما صادقتَين، نرى أنّ $Q$ يجب أن تكون صادقة أيضًا.

وتخيّل قواعد الاستنتاج على أنها صورةٌ أحادية الاتجاه من قسم فرعي: التكافؤ المنطقي. فعبارتان تكونان متكافئتين منطقيًّا متى كان في كلّ صفٍّ من صفوف جدول الصدق الذي تكون فيه العبارة الأولى صادقة تكون الثانية صادقة أيضًا، وفي كلّ صفٍّ تكون فيه العبارة الثانية صادقة تكون الأولى صادقة أيضًا. والاستنتاج لا يتطلّب إلّا الجزء الأوّل من هذين.

وهذه بضعة أمثلة أخرى.

المثال 1.3.14.

بيّن أنّ ما يلي قاعدة استنتاج صالحة.

	$P \imp Q$
	$\neg P \imp Q$
$\therefore$	$Q$

الحل. ننشئ جدول صدق يتضمّن جميع سطور صيغة الحجّة:

$P$	$Q$	$P\imp Q$	$\neg P$	$\neg P \imp Q$
T	T	T	F	T
T	F	F	F	T
F	T	T	T	T
F	F	T	T	F

(نُدرج عمودًا لـ $\neg P$ بوصفه خطوةً مساعدةً للحصول على عمود $\neg P \imp Q$).

والآن انظر إلى جميع الصفوف التي تكون فيها $P \imp Q$ و$\neg P \imp Q$ صادقتَين معًا. إنّ هذا لا يحدث إلّا في الصفّين 1 و3. يا إلهي! في هذين الصفّين تكون $Q$ صادقة أيضًا، فصيغة الحجّة صالحة (إنّها قاعدة استنتاج صالحة).

المثال 1.3.15.

قرّر ما إذا كانت ما يلي قاعدة استنتاج صالحة.

	$P \imp R$
	$Q \imp R$
	$R$
$\therefore$	$P \vee Q$

الحل. لننشئ جدول صدق يتضمّن جميع العبارات الأربع.

$P$	$Q$	$R$	$P \imp R$	$Q \imp R$	$P \vee Q$
T	T	T	T	T	T
T	T	F	F	F	T
T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	T
F	T	T	T	T	T
F	T	F	T	F	T
F	F	T	T	T	F
F	F	F	T	T	F

انظر إلى الصفّ الذي قبل الأخير. هنا تكون مقدّمات الحجّة الثلاث كلّها صادقة، لكنّ الخاتمة خاطئة. إذًا فهذه ليست قاعدة استنتاج صالحة.

ولأنّ جدول الصدق أمامنا، فلتنظر إلى الصفوف 1 و3 و5. إنّها الصفوف الوحيدة التي تكون فيها جميع العبارات $P \imp R\text{,}$ و$Q \imp R\text{,}$ و$P\vee Q$ صادقة. ويحدث أيضًا أن تكون $R$ صادقة في هذه الصفوف بدورها. إذًا فقد اكتشفنا قاعدة استنتاج جديدة نعرف أنّها صالحة:

	$P \imp R$
	$Q \imp R$
	$P \vee Q$
$\therefore$	$R$

استنتاجات المُكمِّمات.

وهناك أيضًا قواعد استنتاج يمكننا كتابتها للمُكمِّمات. فمثلًا، قد تكون إحدى هذه القواعد:

	$\forall x P(x)$
$\therefore$	$\exists x P(x)$

إذا كان كلّ شيءٍ شيئًا $P$، فلا بدّ من وجود شيءٍ هو شيءٌ $P$. 3 ولاحظ أنّ هذا يفترض ضمنًا أنّ مجال الخطاب لديك غير فارغ. ولا يمكن التحقّق من هذه القواعد بجدول صدق، والمعالجة الكاملة لهذا النوع من المنطق المُنبِّه تتجاوز نطاق هذا الكتاب.

أسئلة القراءة

1.

للتحقّق ممّا إذا كانت عبارتان متكافئتين منطقيًّا، يمكنك استعمال جدول صدق. اشرح ما الذي ستبحث عنه في جدول الصدق لتستنتج أنّ العبارتين متكافئتان منطقيًّا. وما الذي يخبرك بأنّهما ليسا متكافئتين منطقيًّا؟

2.

للتحقّق ممّا إذا كانت قاعدة استنتاج صالحة، يمكنك استعمال جدول صدق. اشرح ما الذي ستبحث عنه في جدول الصدق المكتمل لتقول إنّ قاعدة الاستنتاج صالحة، وما الذي يخبرك بأنّ قاعدة الاستنتاج ليست صالحة.

3.

ما الأسئلة التي خطرت ببالك بعد قراءة هذا القسم؟ اكتب سؤالًا واحدًا على الأقلّ عن محتوى هذا القسم يثير فضولك.