البراهين

القسم 1.4 البراهين

الأهداف

بعد إتمام هذا القسم، ينبغي أن تتمكّن من فعل ما يلي.

• أن تحدّد البنية المنطقية لِـالبراهين المباشرة، والبرهان بنقيض المضمون، والبرهان بالتناقض، وأن تميّز بينها.
• أن تحدّد أوجه القصور في برهانٍ خاطئ، وأن تحدّد ما إذا كانت في المنطق أم في المفاهيم الرياضية.
• أن توظّف التعريفات لإثبات العبارات بأساليب البرهان الأساسية.

معاينة القسم

استكشف!

لغز السودوكو المصغّر (mini sudoku) هو شبكة من $4\times 4$ مربعات، مقسّمة إلى أربعة صناديق $2\times 2$. والهدف هو ملء كل مربع برقمٍ من 1 إلى 4، بحيث لا يتكرّر أي رقم في أي صف أو عمود أو صندوق.

وإليك لغز سودوكو مصغّرًا بسيطًا يمكنك أن تحاول حلّه.

قد تلاحظ أنّ حلّ اللغز أعلاه يجعل أرقامه في الزوايا الأربع الخارجية مختلفةً جميعًا، وأنّ أرقامه في المربعات الوسطى الأربعة مختلفةً جميعًا.

والهدف من سؤال استكشف! هذا هو إثبات أنّ هذا ليس مجرّد مصادفة: افترض أنّ لغز سودوكو مصغّرًا أرقام زواياه الأربع (المعلَّمة بـ # أدناه) مختلفة جميعًا. اثبت أنّ المربعات الوسطى الأربعة (المعلَّمة بـ * أدناه) لا بدّ أن تحتوي أيضًا على أرقام مختلفة.

جرّب 1.4.1.

حاول وضع الأرقام في لغز سودوكو مصغّرٍ فارغ. وانظر إن كنت تستطيع كسر العبارة التي طُلب إلينا إثباتها في نشاط استكشف! فما الذي يوقفك؟ اشرح بإيجاز إن كنت ترى أنّ العبارة صادقة أم خاطئة، ولماذا.

من لا يؤمن بأنّ في الرياضيات إبداعًا لم يجرّب كتابة البراهين قط. فإيجاد طريقةٍ لإقناع العالم بأنّ عبارةً معيّنة بالضرورة صادقة عملٌ عظيم، وغالبًا ما يكون بالغ الصعوبة. ولا يوجد طريقٌ مضمون للنجاح في البحث عن البراهين. فمثلًا، في صيف عام 1742، تساءل عالم رياضياتٍ ألماني اسمه كريستيان غولدباخ (Christian Goldbach) هل يمكن كتابة كل عدد صحيح زوجي أكبر من 2 على صورة مجموع عددين أوليين. وبعد قرونٍ من ذلك، ما زلنا لا نملك برهانًا لهذه الحقيقة الظاهرية (لقد تحقّقت الحواسيب من أنّ حدس غولدباخ قائمٌ لكل الأعداد الأصغر من $4\times 10^{18}\text{,}$ لكن لم يُعثر على برهانٍ يُثبت أنّ العبارة تصحّ لكل الأعداد).

وكتابة البراهين نوعٌ من الفن. وكأي فنٍّ، فإنّ الإتقان الحقيقي له يتطلّب نوعًا من الإلهام، فضلًا عن تقنيةٍ أساسية. وكما يستطيع الموسيقيون تعلّم طريقة وضع الأصابع الصحيحة، ويستطيع الرسّامون تعلّم الطريقة الصحيحة للإمساك بالفرشاة، يمكننا أن ننظر في الطريقة الصحيحة لبناء الحجج.

ويمكننا النظر إلى البرهان عبر عدستين متميزتين لكنهما متقاطعتان. فأوّلًا، يمكننا التفكير في البنية المنطقية للبرهان. وسنناقش أدناه ثلاثة أساليب للبرهان يكمن اختلافها تحديدًا في بنيتها المنطقية. وثانيًا، يمكننا النظر في المحتوى الرياضي للبرهان. فكيف يبيّن البرهان فهمه للمفاهيم الرياضية؟ وهل يستعمل تعريفات الكائنات الرياضية على الوجه الصحيح؟ وكيف تتفاعل التعريفات فيما بينها؟

وتذكّر أنّنا في القسم 1.3 قلنا إنّ التوتولوجيا (tautology) عبارةٌ بالضرورة صادقة، وإنّها لا تخبرنا بشيء مثير للاهتمام. وكذلك، لو اعتمد برهانٌ بالكامل على الصيغة المنطقية للعبارة التي يثبتها، لما أخبرنا بشيء مثير عن الرياضيات. وعليه، لا بدّ أن تتضمّن كل البراهين التي سنناقشها مزيجًا من المفاهيم الرياضية إلى جانب بنيتها المنطقية.

وسنرى في هذا القسم أمثلة على كيفية تجسّد التفاعل بين البنية المنطقية والبنية الرياضية. وسنتعامل مع البنية المنطقية باعتبارها هيكل البرهان أو سقالته، وسننظر في الأشكال المختلفة التي يمكن أن يأخذها هذا الهيكل. وسنرى بعد ذلك كيف يملأ المحتوى الرياضي للبرهان تفاصيل الهيكل، وكيف يضيف لحمًا إلى العظام.

وغالبًا ما يكون الإقبال على الدقة في البراهين عسيرًا عندما تبدو العبارات التي نحاول إثباتها بديهيةً أو مألوفةً أكثر من اللازم. ولئن كنا سنرغب قطعًا في إثبات حقائق بسيطة عن الأعداد، مثل أنّ مجموع عددين زوجيّين زوجي، فإنّ ألفتنا بالأعداد قد تجعل من الصعب أن نأخذ هذه المهمة على محمل الجدّ. لذلك سنبدأ بدلًا من ذلك بإثبات بعض الحقائق في سياقٍ نأمل أن يكون مبتكرًا: ألغاز السودوكو المصغّرة.

ورقة العمل: نشاط تمهيدي

تأمّل العبارة التالية:

إذا كان $a b$ عددًا زوجيًا، فإنّ $a$ أو $b$ زوجي.

أيٌّ من البراهين التالية يبدو برهانًا صحيحًا لهذه العبارة؟ ملاحظة: يمكنك أن تفترض أنّ جميع عمليات الجبر أدناه صحيحة (لأنّها كذلك).

1.

افترض أنّ $a$ و$b$ فرديّان. أي إنّ $a=2k+1$ و$b=2m+1$ لبعض الأعداد الصحيحة $k$ و$m\text{.}$ عندئذٍ $$\begin{align*} ab \amp =(2k+1)(2m+1)\\ \amp =4km+2k+2m+1\\ \amp =2(2km+k+m)+1\text{.} \end{align*}$$

إذن $ab$ فردي.

2.

افترض أنّ $a$ أو $b$ زوجي -- لنقل إنّ $a$ (الحالة التي يكون فيها $b$ زوجيًا ستكون مماثلة). أي إنّ $a=2k$ لعدد صحيح $k\text{.}$ عندئذٍ $$\begin{align*} ab \amp =(2k)b\\ \amp =2(kb)\text{.} \end{align*}$$

إذن $ab$ زوجي.

3.

افترض أنّ $ab$ زوجي لكنّ $a$ و$b$ كلاهما فرديّان. أي إنّ $ab = 2n\text{,}$ و$a=2k+1$ و$b=2j+1$ لبعض الأعداد الصحيحة $n\text{,}$ و$k\text{,}$ و$j\text{.}$ عندئذٍ $$\begin{align*} 2n \amp =(2k+1)(2j+1)\\ 2n \amp =4kj+2k+2j+1\\ n \amp = 2kj+k+j+\frac{1}{2}\text{.} \end{align*}$$

لكنّ $2kj+k+j$ عددٌ صحيح، وهذا يعني أنّ العدد الصحيح $n$ يساوي عددًا غير صحيح، وهو مستحيل.

4.

دع $ab$ يكون عددًا زوجيًا، أي $ab=2n\text{,}$ وليكن $a$ عددًا فرديًا، أي $a=2k+1\text{.}$ $$\begin{align*} ab \amp =(2k+1)b\\ 2n \amp =2kb+b\\ 2n-2kb\amp =b\\ 2(n-kb)\amp =b\text{.} \end{align*}$$

إذن لا بدّ أن يكون $b$ زوجيًا.

5.

أيٌّ من البراهين أعلاه برهانٌ صحيح للعبارة؟

• البرهان 1.
• البرهان 2.
• هذا برهانٌ صحيح، لكنّه ليس برهانًا للعبارة المعطاة، فهو يثبت شيئًا آخر.
• البرهان 3.
• البرهان 4.

البرهان المباشر

أبسط أساليب البرهان هو البرهان المباشر. وغالبًا ما لا يتطلّب إثبات شيءٍ أكثر من شرحٍ منهجيّ لما يعنيه كل شيء. فتنظر إلى التعريفات، وتشرح معانيها وتفكّكها بعناية، حتى ترى أنّ النتيجة صحيحة.

ولإبراز أهمية التعريفات في البرهان، فلنقدّم بعض تعريفاتٍ دقيقة عن ألغاز السودوكو المصغّرة.

تعريف 1.4.2. تعريفات سودوكو المصغّرة.

لغز السودوكو المصغّر هو شبكة $4\times 4$ من المربعات مملوءة جزئيًا، مقسّمة إلى أربعة صناديق $2\times 2$. ويمكن أن يكون كل مربع فارغًا أو يحتوي على رقم من 1 إلى 4.

ونقول إنّ لغز السودوكو المصغّر صالح بشرط ألّا يظهر أي رقم من 1 إلى 4 أكثر من مرّة في أي صف أو عمود أو صندوق.

أمّا حلّ لغز السودوكو المصغّر فهو لغزٌ صالح خالٍ من المربعات الفارغة، والمربعات غير الفارغة فيه تبقى كما هي دون تغيير.

ونقول إنّ لغز السودوكو المصغّر قابل للحلّ إذا كان له حلٌّ وحيد بالضبط.

أوّلًا، فلنُثبت حقيقةً مفيدة و«بديهية» عن أي لغز سودوكو مصغّر صالح.

مقولة 1.4.3.

كلّ حلٍّ للّغز سودوكو مصغّرٍ سيجعل كل رقم من 1 إلى 4 يظهر مرّة واحدة بالضبط في كل صف، وفي كل عمود، وفي كل صندوق، أي بمجموع أربع مرّات.

ذلك بديهيّ، أنت تقول! أليس هذا تمامًا معنى أنّ اللغز صالح؟ حسنًا، اللغز المكتمل الصالح، وهو ما نعنيه بالحلّ، صحيح؟ حسنًا، ليس تمامًا، لأنّ الصالحة تعني أنّه لا يتكرّر أي رقم... أليس هذا الشيء نفسه؟

نعم! بالضبط! قول هذا يُعدّ برهانًا مباشرًا.

البرهان.

افترض أنّ لديك حلًّا لغز سودوكو مصغّر. أي إنّ لديك شبكة $4 \times 4$ مملوءة كل مربّع فيها برقم من 1 إلى 4، وهي صالحة. 4 تعريف الحل وبما أنّ اللغز صالح، فلا يتكرّر أي رقم في أي صف أو عمود أو صندوق 5 تعريف الصلاحية . وبما أنّ الصف يحتوي على أربعة أرقام لا تتكرّر، وهناك بالضبط أربعة أرقام ممكنة، فلا بدّ أن يظهر كل واحد من هذه الأرقام مرّة واحدة بالضبط. وهذا صحيح لكل صف، ولكل عمود، ولكل صندوق.

وبالنسبة لكل رقم، بما أنّه يظهر مرّة واحدة بالضبط في أربعة صفوف مختلفة، فإنّه يظهر أربع مرّات بالضبط. وهذا يُتمّ البرهان.

ملاحظة 1.4.4.

احتوى البرهان على فكرة رياضية رئيسية واحدة إلى جانب مجرد شرح التعريفات: إذا اختيرت أربعة أرقام متمايزة من مجموعة من أربعة أرقام، فإنّ الأرقام الأربعة جميعها قد اختيرت. وربما ترغب أيضًا في تفسير لماذا هذا صحيح، أو أن تكتفي بالقول إنّه مثال على مبدأ الحمّام (pigeonhole principle) (سوف نوضّح ما هو قريبًا). ومدى ما تشرحه يعتمد على الشخص الذي تكتب البرهان لأجله. وقليلٌ من التشكيك عند كتابة البراهين أمرٌ صحّي.

وفي الواقع، في معظم السياقات، لن نحتاج حتى إلى كتابة أيّ من البرهان أعلاه. يكفي على الأرجح القول: «واضح أنّ هذا يتبع من التعريفات». غير أنّنا نحاول حاليًا تعلّم كيفية كتابة البراهين، وقد يكون من المفيد أن نكون متشدّدين أكثر من اللازم حتى نركّز على بنية البرهان وأهمية توظيف التعريفات.

فلنُثبت شيئًا عن لغز سودوكو بعينه.

مثال 1.4.5.

اثبت أنّه لأي حلٍّ للّغز سودوكو المصغّر أدناه، إذا كان في الحلّ رقم 2 في المربع العلوي الأيسر (r1c1)، فإنّه سيحتوي على 2 في المربع السفلي الأيمن (r4c4).

الحل. لا نعرف ما إذا كان اللغز قابلًا للحلّ (وفي الحقيقة، ليس كذلك)، لكن لاحظ أنّه صالح في الوقت الحالي. وما نريد إثباته هو أنّه إذا وُجد 2 في المربع العلوي الأيسر في أي حلٍّ بعينه، فإنّ ذلك الحلّ يحتوي على 2 في المربع السفلي الأيمن.

البرهان.

دع $S$ يكون حلًّا للّغز، وافترض أنّ $S$ يحتوي على 2 في المربع العلوي الأيسر. وبما أنّ $S$ لغزٌ صالح، فلا يتكرّر أي رقم في أي صف أو عمود أو صندوق. انظر أوّلًا إلى الصف العلوي. وبما أنّ الصف يحتوي أصلًا على 1 و2 و3، فلا بدّ أن يكون المربع الفارغ المتبقي (r1c4) هو 4.

الآن انظر إلى العمود 4 (العمود الأقصى يمينًا). وبما أنّنا نعرف الآن أنّ المربع العلوي الأيمن هو 4، فإنّ هذا العمود يحتوي أصلًا على 1 و3 و4. إذن لا بدّ أن يكون آخر مربع فارغ (r4c4) هو 2.

إذن يحتوي $S$ على 2 في المربع السفلي الأيمن، وهو ما كنّا بحاجة إلى إثباته.

لاحظ الصيغة العامة للحجّة أعلاه. كنا نحاول إثبات تضمينٍ (implication) $P \imp Q\text{:}$ إذا كان هناك 2 في r1c1، إذن هناك 2 في r4c4. بدأنا بافتراض أنّ $P$ صادقة. ومن ذلك استنتجنا شيئًا، ومن ذلك الشيء استنتجنا $Q\text{.}$ وهذا بالضبط ما يبدو عليه البرهان المباشر لـ $P \imp Q$ (كان يمكننا أيضًا أن تكون بين $P$ و$Q$ خطواتٌ أكثر).

افترض $P\text{.}$ اشرح، اشرح، …، اشرح. إذن $Q\text{.}$

الاعتبار الإضافي الوحيد الذي يجب أن نُخذه في الحسبان هو أنّنا كثيرًا ما نبرهن على عبارةٍ عامة، أي عبارةٍ من الشكل $\forall x (P(x) \imp Q(x))\text{.}$ ولمعالجة الكمّاس، نُثبّت قيمة اعتباطية (arbitrary) لـ $x\text{.}$ لقد قلنا أعلاه: «دع $S$ يكون حلًّا للّغز». وبما أنّنا لم نُجرِ أي افتراضات إضافية على $S$ سوى أنّ $P$ كانت صادقة عنه، نقول إنّ $S$ كان حلًّا اعتباطيًا.

ولو أردنا إثبات أنّ كل المربعات مستطيلات، لاحظنا أوّلًا أنّ هذا هو نفسه قولنا: «لكل شكل، إذا كان الشكل مربّعًا، فإنّه مستطيل». ورمزًا لذلك: $\forall x (S(x) \imp R(x))\text{.}$ وسنرغب في افتراض أنّ $P(x)$ صادقة واستنتاج $Q(x)\text{.}$ وأيّ $x$ نستعمل؟ قيمةً اعتباطية، بحيث يمكن تطبيق برهاننا على كل القيم الممكنة لـ $x\text{.}$

مثال 1.4.6.

اثبت أنّ أي لغز سودوكو مصغّرٍ فيه ثلاثة مربعات فارغة، إذا كان له حلّ، فإنّ اللغز قابل للحلّ.

الحل. هل هذا بديهيّ؟ إذا كان للّغز حلّ، فهو قابل للحلّ، صحيح؟ على الإطلاق! انظر مجددًا إلى تعريفات سودوكو المصغّرة: مجرّد أنّ للّغز حلًّا لا يعني أنّ له حلًّا وحيدًا بالضبط (أي أنّه قابل للحلّ). لكن حتى لو لم نرَ أنّ هذا يحتاج إلى برهان، فلنتكن حذرين من جديد ونستغل هذا ذريعةً للتركيز على البنية المنطقية للبرهان.

لاحظ أنّنا نبرهن على أنّ الدعوى صحيحة مهما كان لغز السودوكو المصغّر الذي نبدأ به. وقد نبدأ بهذا اللغز:

وبوضوح، لا توجد سوى طريقة واحدة لإكمال اللغز: فالصف العلوي فيه مربع فارغ واحد فقط، فلا يمكن أن نضع فيه إلّا رقمًا واحدًا، ثمّ لا يبقى في العمودين 2 و3 سوى مربع فارغ واحد لكلٍّ منهما، فيمكن ملؤهما على نحوٍ فريد.

وقد يفيد النظر في مثال واحد كثيرًا عند بناء برهان، لكنّ إثبات عبارةٍ عامة بمثالٍ ليس برهانًا صحيحًا بالتأكيد.

ولئن كان عدد ألغاز السودوكو المصغّرة لا يتجاوز نحو 152.58 مليارًا (معظمها غير صالح، وأقلّ منها له حلول، وأقلّ بكثير منها له مربع فارغ واحد بالضبط)، فإنّنا لا نريد حقًّا فحص كل اللغوز الممكنة. لذلك بدلًا من ذلك نُثبّت لغز سودوكو مصغّرًا صالحًا اعتباطيًا. ونفترض أنّ له حلًّا وأنّه يحتوي بالضبط على ثلاثة مربعات فارغة. ومن هذا نبرهن على أنّه لا يوجد إلّا حلٌّ واحد ممكن.

البرهان.

دع $P$ يكون لغز سودوكو مصغّرًا اعتباطيًا. افترض أنّ $P$ فيه بالضبط ثلاثة مربعات فارغة وأنّ $S$ حلٌّ له.

وبما أنّ $P$ اعتباطي، فإنّنا لا نعرف كيف ترتّب المربعات الثلاثة الفارغة. فقد تكون جميعها في صفوف مختلفة، أو اثنان منها في الصف نفسه، أو الثلاثة في الصف نفسه.

وإذا كانت جميع المربعات الفارغة في صفوف مختلفة، فإنّ في كل صف يوجد مربع فارغ واحد بالضبط. والمربعات الثلاثة الأخرى مملوءة بثلاثة أرقام متمايزة (لأنّ اللغز صالح)، فلا يوجد إلّا خيار واحد لملء المربع الفارغ. ويجب أن يكون هذا الرقم هو الرقم المستعمل في الحلّ $S\text{.}$

والآن تأمّل الحالة التي يقع فيها مربعان فارغان في الصف نفسه، وتقع المربع الثالث في صف مختلف. يحتوي صف المربع الفارغ الثالث على ثلاثة أرقام متمايزة، فلا يوجد إلّا خيار واحد للمربع الأخير، ويجب أن يتّفق مع $S\text{.}$ ومتى ما مُلئ هذا، وجب أن يقع المربعان الفارغان الآخران في عمودين مختلفين، لكلٍّ منهما ثلاثة أرقام مملوءة. وفي كلٍّ من هذين العمودين، تكون الأرقام الثلاثة المملوءة متمايزة، فلا يوجد إلّا خيار واحد للمربع الفارغ. إذن مرةً أخرى، يجب أن يكون أي حلٍّ هو $S\text{.}$ بالضبط.

وأخيرًا، إذا وقعت المربعات الثلاثة الفارغة كلها في الصف نفسه، فإنّها تقع جميعها في أعمدة مختلفة. إذن، باستعمال الحجّة نفسها التي استعملناها عندما كانت المربعات الفارغة في صفوف مختلفة، لكن بالأعمدة بدل الصفوف، نرى أنّ $S$ هو الحلّ الوحيد.

لقد راعينا كل الحالات الممكنة، وفي كل حالةٍ يكون $S$ هو الحلّ الوحيد، إذن $P$ قابل للحلّ.

وّاقع الأمر أنّ البرهان المباشر يمكن، بالطبع، أن يُستعمل لإثبات عبارات في الرياضيات أيضًا.

مثال 1.4.7.

اثبت: لكل الأعداد الصحيحة $n\text{,}$ إذا كان $n$ زوجيًا، فإنّ $n^2$ زوجي.

الحل. ستكون صيغة البرهان كما يلي: دع $n$ يكون عددًا صحيحًا اعتباطيًا. افترض أنّ $n$ زوجي. اشرح اشرح اشرح. إذن $n^2$ زوجي.

ولملء التفاصيل، نشرح ما معنى أن يكون $n$ زوجيًا، ثمّ نرى ما الذي يعنيه ذلك لـ $n^2\text{.}$ والتعريفذو الصلة هنا هو: «عددٌ صحيح $n$ يكون زوجيًا إذا وُجد عدد صحيح $k$ بحيث $n = 2k\text{.}$» وهذا برهانٌ كامل.

البرهان.

دع $n$ يكون عددًا صحيحًا اعتباطيًا. افترض أنّ $n$ زوجي. عندئذٍ $n = 2k$ لعدد صحيح $k\text{.}$ الآن $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\text{.}$ وبما أنّ $2k^2$ عددٌ صحيح، فإنّ $n^2$ زوجي.

مثال 1.4.8.

اثبت: لكل الأعداد الصحيحة $a\text{,}$ و$b\text{,}$ و$c\text{,}$ إذا كان $b$ مضاعفًا (multiple) لـ $a\text{,}$ وكان $c$ مضاعفًا لـ $b\text{,}$ فإنّ $c$ مضاعف لـ $a\text{.}$

الحل. حتى لو لم نتذكّر تمامًا معنى «كون عددٍ مضاعفًا لـ»، يمكننا إعداد برهان مباشر لهذه العبارة. وسيجري شيءٌ من هذا القبيل: دع $a\text{,}$ و$b\text{,}$ و$c$ أعدادًا صحيحة اعتباطية. افترض أنّ $b$ مضاعف لـ $a$ وأنّ $c$ مضاعف لـ $b\text{.}$ نقط نقط نقط. إذن $c$ مضاعف لـ $a\text{.}$

وكيف نصل بين النقط؟ نشرح ما تعنيه فرضيتنا حقًّا ولماذا يُفضي هذا إلينا إلى ما تعنيه النتيجة حقًّا. وهنا نحتاج إلى تعريف «كون $b$ مضاعفًا لـ $a$»: أي أنّ $b = ka$ لبعض الأعداد الصحيحة $k\text{.}$ فما الذي نستهدفه؟ أن يكون $c = la\text{,}$ لعدد صحيح $l\text{.}$ وهذا هو البرهان الكامل.

البرهان.

دع $a\text{,}$ و$b\text{,}$ و$c$ أعدادًا صحيحة. افترض أنّ $b$ مضاعف لـ $a$ وأنّ $c$ مضاعف لـ $b\text{.}$ إذن هناك عددان صحيحان $k$ و$j$ بحيث $b = ka$ و$c = jb\text{.}$ وبدمج هاتين المتساويتَين (عبر التعويض) نحصل على $$\begin{equation*} c = j(ka) = (jk)a\text{.} \end{equation*}$$ لكنّ $jk$ عددٌ صحيح، وهذا يعني أنّ $c$ مضاعف لـ $a\text{.}$

البرهان بنقيض المضمون

تذكّر أنّ التضمين $P \imp Q$ مكافئٌ منطقيًا لنقيض مضمونه (contrapositive) $\neg Q \imp \neg P\text{.}$ وهناك أمثلة كثيرة على عباراتٍ يصعب إثباتها مباشرة، في حين يسهل إثبات نقيض مضمونها ببرهانٍ مباشر. وهذا كلّ ما يفعله البرهان بنقيض المضمون. فهو يُعطي برهانًا مباشرًا لنقيض مضمون التضمين. وهذا كافٍ لأنّ نقيض المضمون مكافئٌ منطقيًا للتضمين الأصلي.

وسيبدو الهيكل الكلّي لبرهان $P \imp Q$ بنقيض المضمون دائمًا على نحوٍ تقريبي كما يلي:

افترض $\neg Q\text{.}$ اشرح، اشرح، … اشرح. إذن $\neg P\text{.}$

وكما من قبل، إذا كان في المسألة متغيّرات وكمّاسات، نُثبّتها على هيئة عناصر اعتباطية في مجالنا.

مثال 1.4.9.

اثبت أنّه إذا كان لغز سودوكو مصغّر قابلًا للحلّ، فإنّه صالح.

الحل. تذكّر أنّ اللغز صالح بشرط ألّا يحتوي أي صف أو عمود أو صندوق على رقمٍ متكرّر. واللغز قابل للحلّ إذا كان له حلٌّ وحيد بالضبط، حيث الحلّ هو لغزٌ صالح خالٍ من المربعات الفارغة (ولا يغيّر أي مربع سبق ملؤه).

وإذا حاولنا برهانًا مباشرًا، لبدأنا بلغزٍ اعتباطي وافترضنا أنّه قابل للحلّ. يمكننا عندئذٍ «الحصول على» الحلّ، لكنّنا سنحتاج إلى الرجوع في التفكير إلى اللحظة التي بدأ فيها اللغز. ويبدو هذا صعبًا. وغالبًا ما يكون أسهل تجربة نقيض المضمون عندما يبدو أنّ البرهان يتطلّب تفكيك الأمور. وهذا ما سنفعله.

البرهان.

دع $P$ يكون لغز سودوكو مصغّرًا اعتباطيًا، وافترض أنّه غير صالح. أي إنّ في صفٍ واحد على الأقل، أو عمودٍ واحد على الأقل، أو صندوقٍ واحد على الأقل، يظهر رقمٌ ما أكثر من مرّة.

والآن نفترض أنّنا ملأنا المربعات الفارغة دون تغيير أي مربع سبق ملؤه. فصفُ أو عمودُ أو صندوقُ الذي كان يحتوي على رقمٍ مكرّر سيظلّ يحمل هذا التكرار، بحيث لا يكون اللغز المكتمل الناتج صالحًا. إذن لا يوجد أي حلٍّ لـ $P$، وبالتالي $P$ غير قابل للحلّ.

لقد برهنّا على أنّه إذا كان لغز السودوكو المصغّر غير صالح، فإنّه غير قابل للحلّ، وهذا هو نقيض المضمون للعبارة التي أردنا إثباتها، ومن ثمّ فإنّه يقوم مقام برهانٍ للعبارة الأصلية.

وهذه مثالان رياضيّان آخران.

مثال 1.4.10.

هل العبارة «لكل الأعداد الصحيحة $n\text{,}$ إذا كان $n^2$ زوجيًا، فإنّ $n$ زوجي» صادقة؟

الحل. هذه هي عكس (converse) العبارة التي برهنّا عليها في مثال 1.4.7 أعلاه باستخدام برهانٍ مباشر. ومن خلال تجربة بضع أمثلة، تبدو هذه العبارة صادقة. فلنبرهن عليها إذن.

وسيتطلّب البرهان المباشر لهذه العبارة تثبيت $n$ اعتباطيًا وافتراض أنّ $n^2$ زوجي. لكنّه ليس واضحًا البتّة كيف يمكّننا هذا من استنتاج أيّ شيء عن $n\text{.}$ فبمجرد أنّ $n^2 = 2k$ لا يقترح بحدّ ذاته كيف يمكننا كتابة $n$ على صورة مضاعفٍ للعدد 2.

جرّب شيئًا آخر: اكتب نقيض مضمون العبارة. فنحصل على: لكل الأعداد الصحيحة $n\text{,}$ إذا كان $n$ فرديًا، فإنّ $n^2$ فردي. وهذا يبدو أكثر جدّية بكثير.

ونحتاج إلى تعريف لكون العدد فرديًا. فيكون العدد الصحيح $n$ فرديًا إذا $n = 2k+1$ لعدد صحيح $k\text{.}$ وسيبدو برهاننا على نحوٍ ما كما يلي: دع $n$ يكون عددًا صحيحًا اعتباطيًا. افترض أنّ $n$ ليس زوجيًا. أي إنّ … بمعنى آخر … لكنّ هذا هو نفسه قول … إذن $n^2$ ليس زوجيًا. والآن نملأ التفاصيل.

البرهان.

سنبرهن على نقيض المضمون. دع $n$ يكون عددًا صحيحًا اعتباطيًا. افترض أنّ $n$ ليس زوجيًا، وبالتالي فهو فردي. عندئذٍ $n= 2k+1$ لعدد صحيح $k\text{.}$ الآن $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\text{.}$ وبما أنّ $2k^2 + 2k$ عددٌ صحيح، فإنّ $n^2$ فردي، وبالتالي ليس زوجيًا.

مثال 1.4.11.

اثبت أنّه لكل الأعداد الصحيحة $a$ و$b\text{,}$ إذا كان $a + b$ فرديًا، فإنّ $a$ فردي أو $b$ فردي.

الحل. المشكلة في محاولة البرهان المباشر هي أنّه يصعب فصل $a$ و$b$ عمّا نعرفه عن $a+b\text{.}$ ومن ناحية أخرى، إن عرفنا شيئًا عن $a$ و$b$ كلٍّ على حدة، فإنّ جمعهما قد يعطينا معلومات عن $a+b\text{.}$ ونقيض المضمون للعبارة التي نحاول إثباتها هو: لكل الأعداد الصحيحة $a$ و$b\text{,}$ إذا كان $a$ و$b$ زوجيَّين، فإنّ $a+b$ زوجي. إذن سيأخذ برهاننا الصيغة التالية:

دع $a$ و$b$ عددين صحيحين. افترض أنّ $a$ و$b$ كلاهما زوجي. لا لا لا. إذن $a+b$ زوجي.

وهذا برهانٌ كامل.

البرهان.

دع $a$ و$b$ عددين صحيحين. افترض أنّ $a$ و$b$ زوجيَّين. عندئذٍ $a = 2k$ و$b = 2l$ لبعض الأعداد الصحيحة $k$ و$l\text{.}$ الآن $a + b = 2k + 2l = 2(k+l)\text{.}$ وبما أنّ $k + l$ عددٌ صحيح، فإنّ $a + b$ زوجي، وهذا يُتمّ البرهان.

لاحظ أنّ افتراضنا أنّ $a$ و$b$ زوجيَّين هو نفي العبارة «$a$ أو $b$ فردي». لقد استعملنا هنا قانون دو مورغان (De Morgan's law).

يمكن استعمال البراهين المباشرة والبراهين بنقيض المضمون عند إثبات التضمينات. وتذكّر أنّ بعض العبارات التي لا تُكتب صراحةً على شكل تضمين يمكن إعادة صياغتها كذلك.

مثال 1.4.12.

تأمّل العبارة: «لكل عددٍ أولي $p\text{,}$ إمّا $p = 2\text{,}$ وإمّا $p$ فردي». يمكننا إعادة صياغتها هكذا: «لكل عددٍ أولي $p\text{,}$ إذا كان $p \ne 2\text{,}$ فإنّ $p$ فردي». والآن حاول إثباتها.

استعمل ما يلي تعريفًا للعدد الأولي: العدد الصحيح $p \gt 1$ يكون أوليًا بشرط أن يكون له عاملان بالضبط، وهما $1$ و$p\text{.}$

الحل.

البرهان.

دع $p$ يكون عددًا أوليًّا اعتباطيًا. افترض أنّ $p$ ليس فرديًا. إذن $p$ يقبل القسمة على 2. وبما أنّ $p$ أولي، فلا بدّ أن يكون له قاسمان بالضبط، وله 2 قاسمًا، إذن لا بدّ أن يكون $p$ قابلًا للقسمة على 1 و2 وحدهما. إذن $p = 2\text{.}$ وهذا يُتمّ البرهان (بنقيض المضمون).

البرهان بالتناقض

تراجع خطوةً وتأمّل ما الذي سيعنيه لو كان ناتج الحجّة خاطئًا. وهناك سببان لحدوث ذلك. إمّا أنّ المنطق في الحجّة معطوب، أو أنّ واحدًا على الأقل من الافتراضات خاطئ. ويستغل البرهان بالتناقض الإمكان الثاني هذا. فنبدأ بافتراضٍ واحد ونبني برهانًا صحيحًا يقود إلى ناتجٍ خاطئ؛ والاحتمال الوحيد هو أنّ هذا الافتراض الواحد كان خاطئًا. والناتج الخاطئ هو «التناقض»، وهو مجرّد عبارةٍ بالضرورة خاطئة (وبالتقنيّ عبارةٌ من الشكل $P \wedge \neg P$).

والصيغة العامة للبرهان بالتناقض لإثبات عبارة $P$ هي،

افترض $\neg P$ (أي أنّ $P$ ليست صادقة). هذا يعني أنّ...، وهذا يخبرنا بأنّ...، فيمكننا القول إنّ... لكنّ ذلك تناقض، إذن لا بدّ أن تكون $P$ صادقة في الواقع.

لاحظ أنّه إذا نظرنا إلى هذا النمط من الحجج باعتباره برهانًا مباشرًا لشيء ما، فهو برهانٌ مباشر لـ $$\begin{equation*} \neg P \imp \text{ contradiction}\text{.} \end{equation*}$$ إذن لدينا برهان صحيح لهذا التضمين. وكيف يمكن لتضمينٍ صادق أن يكون ناتجه خاطئًا؟ تذكّر جدول الصدق الخاص بالتضمين (الشكل 1.2.2). الصفّ الوحيد الذي يكون فيه التضمين صادقًا مع خُروج ناتجه خاطئًا هو الصفّ 4، وهناك تكون الفرضية خاطئة أيضًا. إذن $\neg P$ خاطئة، أي إنّ $P$ صادقة.

وفور أن تبدأ كتابة البراهين بالتناقض، يصبح الأمر طبيعيًا جدًّا. فلنرَ كيف ذلك مع برهانٍ على سودوكو.

مثال 1.4.13.

اثبت أنّ كل حلٍّ للّغز سودوكو المصغّر أدناه لا بدّ أن يحتوي على 3 في الزاوية العلوية اليمنى (r1c4).

الحل. هناك طرقٌ متعدّدة يمكننا بها إثبات هذا، وهو أمرٌ شائع في البراهين بالتناقض. فبينما سنبدأ دائمًا بالافتراض الأول نفسه (نقيض ما نريد إثباته)، فإنّ موضع العثور على التناقض قد يختلف.

البرهان.

دع $S$ يكون حلًّا للّغز، لكن افترض أنّ $S$ لا يحتوي على 3 في الزاوية العلوية اليمنى. عندئذٍ لا بدّ أن يحتوي الصف العلوي على 3 في مكان آخر. ولا يمكن أن يكون في العمود 1، لأنّ فيه 3 أصلًا. ولا يمكن أن يكون في العمود 2، لأنّ ذلك المربع مملوء أصلًا (بالرقم 2). ولا يمكن أن يكون في العمود 3 أيضًا، لأنّ لو كان كذلك لما وُجد مكانٌ لوضع 3 في الصف السفلي. إذن لا يوجد 3 في الصف العلوي، وهذا يناقض كون $S$ حلًّا. إذن لا بدّ أن يحتوي $S$ على 3 في الزاوية العلوية اليمنى.

مثال 1.4.14.

اثبت أنّه لا يوجد حلٌّ للّغز سودوكو أدناه.

الحل. انظر إلى الصيغة المنطقية لهذه العبارة: $$\begin{equation*} \neg \exists S (S \text{ حلٌّ للّغز })\text{.} \end{equation*}$$ وباستعمال قواعد نفي الكمّاسات، فإنّها على النحو التالي: $$\begin{equation*} \forall S (S \text{ ليس حلًّا للّغز})\text{.} \end{equation*}$$ ولو أردنا إثبات ذلك مباشرة، لكنّا بحاجة إلى تأمّل جميع الحلول الممكنة وإثبات أنّها غير صالحة. ويبدو ذلك صعبًا جدًّا.

ومن ناحية أخرى، إن حاولنا برهانًا بالتناقض، نُفترض نفي العبارة التي طُلب إلينا إثباتها. أي يمكننا أن نفترض أنّه يوجد حلّ. وهذا حلٌّ واحد يمكننا التفكير فيه. وهذا أكثر قابلية للإدارة بكثير.

البرهان.

افترض، طلبًا للتناقض، أنّه يوجد فعلًا حلٌّ للّغز. ولا بدّ أن يحتوي هذا الحلّ على 4 في الصندوق السفلي الأيسر. لكنّ المربعات الوحيدة التي يمكن أن تستوعب 4 إنّما تقع إمّا في الصف 4 أو في العمود 1 (أو كليهما). وفي كلتا الحالتين، فإنّ هذا يناقض وجود 4 أصلًا في العمود 1 وفي الصف 4.

وهذه ثلاثة أمثلة على براهين بالتناقض تتعلّق بالأعداد:

مثال 1.4.15.

اثبت أنّ $\sqrt{2}$ غير ناطق (irrational).

الحل.

البرهان.

افترض العكس. عندئذٍ $\sqrt 2$ يساوي كسرًا $\frac{a}{b}\text{.}$ ودون حدٍّ من التعميم (without loss of generality)، افترض أنّ $\frac{a}{b}$ في أبسط صورة (وإلا فاختصر الكسر). إذن، $$\begin{equation*} 2 = \frac{a^2}{b^2} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} 2b^2 = a^2\text{.} \end{equation*}$$

إذن $a^2$ زوجي، وبالتالي فإنّ $a$ زوجي. إذن $a = 2k$ لعدد صحيح $k\text{,}$ و$a^2 = 4k^2\text{.}$ عندئذٍ لدينا، $$\begin{equation*} 2b^2 = 4k^2 \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} b^2 = 2k^2\text{.} \end{equation*}$$

إذن $b^2$ زوجي، وبالتالي فإنّ $b$ زوجي. وبما أنّ $a$ زوجي أيضًا، فإنّنا نرى أنّ $\frac{a}{b}$ ليس في أبسط صورة، وهذا تناقض. إذن $\sqrt 2$ غير ناطق.

مثال 1.4.16.

اثبت: لا توجد أعداد صحيحة $x$ و$y$ بحيث $x^2 = 4y + 2\text{.}$

الحل.

البرهان.

سنتقدّم بالتناقض. إذن نفترض أنّه هناك أعداد صحيحة $x$ و$y$ بحيث $x^2 = 4y + 2 = 2(2y + 1)\text{.}$ إذن $x^2$ زوجي. وقد رأينا أنّ هذا يعني أنّ $x$ زوجي. إذن $x = 2k$ لعدد صحيح $k\text{.}$ عندئذٍ $x^2 = 4k^2\text{.}$ وهذا بدوره يُعطي $2k^2 = (2y + 1)\text{.}$ لكنّ $2k^2$ زوجي، و$2y + 1$ فردي، فلا يمكن أن يكونا متساويين. إذن لدينا تناقض، ولذلك لا بدّ ألّا توجد أي أعداد صحيحة $x$ و$y$ بحيث $x^2 = 4y + 2\text{.}$

مثال 1.4.17.

مبدأ الحمّام: إذا طار أكثر من $n$ حمامةً إلى $n$ جُحورًا، فإنّ أحد الجُحور سيحتوي على حمامتين على الأقل. اثبت ذلك!

الحل.

البرهان.

افترض، خلافًا للمُقرَّر، أنّ كل جُحرٍ يحتوي على حمامة واحدة على الأكثر. عندئذٍ لن يكون هناك أكثر من $n$ حمامة. لكنّنا افترضنا أنّ هناك أكثر من $n$ حمامة، وهذا مستحيل. إذن لا بدّ من وجود جُحرٍ فيه أكثر من حمامة واحدة.

ولئن صُغنا هذا البرهان على صورة برهانٍ بالتناقض، كان بإمكاننا أيضًا استعمال البرهان بنقيض المضمون، لأنّ تناقضنا لم يكن سوى نفي الفرضية. أحيانًا ما يحدث هذا، وعندئذٍ يمكنك استعمال أيّ من أسلوبي البرهان. غير أنّ هناك أمثلةٍ يكون فيها التناقض واقعًا «بعيدًا» عن العبارة الأصلية.

خلاصة أساليب البرهان

لقد ناقشنا ثلاثة أساليب للبرهان: البرهان المباشر، والبرهان بنقيض المضمون، والبرهان بالتناقض. وقد يكون من الصعب تحديد أسلوب البرهان المناسب لم مسألةٍ بعينها، ولا توجد قاعدة تخبرنا دائمًا بما يجب فعله. وغالبًا ما توجد طرائق متعدّدة يمكنك بها المضي في برهان، وهذا أحد أسباب كون الرياضيات مثيرة إلى هذا الحدّ.

ونقطة انطلاق جيّدة عند كتابة البراهين هي أن تنظر في كيفية الافتراض الأول في كل أسلوب، وفيما هو الناتج الذي تسعى إليه. والبرهان أشبه قليلًا بمتاهة قائمة طعام الأطفال. فهناك بداية ونهاية، وهدفك هو إيجاد طريقك من واحدة إلى الأخرى. وأحيانًا يفيد أن تتقدّم من الجانبين في آنٍ واحد، آملين أن تلتقي في المنتصف.

بدايات البراهين ونهاياتها.

لإثبات تضمينٍ $P \imp Q\text{:}$ مباشر

البداية: افترض $P\text{.}$

النهاية: إذن $Q\text{.}$

بنقيض المضمون

البداية: افترض $\neg Q\text{.}$

النهاية: إذن $\neg P\text{.}$

بالتناقض

البداية: افترض $\neg (P \imp Q)\text{.}$

النهاية: ...وهو تناقض.

ويمكنك استعمال البرهان بالتناقض حتى وإن لم تكن تحاول إثبات تضمين، لكن إذا كانت العبارة تضمينًا، فإنّ افتراض $\neg (P \imp Q)$ قويٌّ حقًّا. وتذكّر، أنّ الطريقة الوحيدة لأن يكون التضمين خاطئًا هي أن تكون $P$ صادقة و$Q$ خاطئة. إذن نحن نفترض في الواقع $P \wedge \neg Q\text{.}$ آه! $P$ هو ما نفترضه في البرهان المباشر. و$\neg Q$ هو ما نفترضه في البرهان بنقيض المضمون. إذن البرهان بالتناقض يشبه إجراء البرهانين الآخرين في آنٍ واحد، ثمّ اللقاء في المنتصف!

ولتوضيح ذلك، فلنُثبت الحقيقة الواردة في نشاط استكشف!. سنبرهن على أنّه إذا كانت أرقام زوايا لغز سودوكو مصغّر مختلفة جميعًا (وهي المعلَّمة بـ $a$ إلى $d$ أدناه)، فإنّ المربعات الوسطى الأربعة (المعلَّمة بـ * أدناه) لا بدّ أن تحتوي أيضًا على أرقام مختلفة (في أي حلٍّ).

وسنعطي ثلاثة براهين: أوّلًا برهانٌ مباشر، ثمّ برهانٌ بنقيض المضمون، وأخيرًا برهانٌ بالتناقض.

البرهان.

دع $P$ يكون لغز سودوكو مصغّرًا أرقام زواياه مختلفة: $a$ في الزاوية العلوية اليسرى، و$b$ في العلوية اليمنى، و$c$ في السفلية اليسرى، و$d$ في السفلية اليمنى. وليكن $S$ أي حلٍّ للّغز.

في $S\text{,}$ وأيًّا كان الرقم $a$، فلا بدّ أن يظهر في الصف 2. وبما أنّ $a$ موجود بالفعل في الصندوق العلوي الأيسر، فلا يمكن أن يظهر في العمودين 1 أو 2، إذن لا بدّ أن يظهر في العمودين 3 أو 4. وإذا كان في العمود 3، فإنّ $a$ يظهر في أحد المربعات الوسطى. وإن لم يكن كذلك، فإنّه في العمود 4. وفي هذه الحالة الأخيرة، نسأل أين يظهر $a$ في الصف 3: لا يمكن أن يكون في العمود 1 أو 4، إذن لا بدّ أن يكون في العمود 2 أو 3، وبالتالي في أحد المربعات الوسطى.

والآن يمكن تطبيق الحجّة نفسها على كلٍّ من المربعات الخارجية الثلاثة الأخرى. إذن، في أي حلٍّ للّغز، لا بدّ أن تحتوي المربعات الوسطى الأربعة على الأرقام $a$ إلى $d\text{,}$ مختلفةً جميعًا.

والآن سنبرهن على العبارة نفسها بنقيض المضمون.

البرهان.

دع $P$ يكون لغز سودوكو مصغّرًا بأرقام في زواياه. وليكن $S$ أي حلٍّ للّغز. افترض أنّ المربعات الوسطى الأربعة لا تحتوي على أرقام مختلفة جميعًا في $S\text{.}$ عندئذٍ لا بدّ من وجود رقمٍ مشترك، ولنقل $n\text{,}$ في مربعين من المربعات الوسطى.

وبما أنّ $n$ لا يمكن أن يظهر مرّتين في صفٍ واحد، فلا بدّ أن يكون $n$ في مربعين مركزيين يتباعدان على قطر، أي في r2c2 وr3c3، أو في r2c3 وr3c2. وفي كلتا الحالتين، أين يمكن أن يكون $n$ في الصفَّين 1 و4؟ لا يمكن أن يكون في العمودين 2 أو 3، إذن لا بدّ أن يكون في العمودين 1 و4. وهذا يعني أنّ $n$ سيكون في زاويتين خارجيتين متقابلتين، أي إنّ الأرقام في الزوايا الأربع ليست مختلفةً جميعًا.

وأخيرًا، سنبرهن على العبارة نفسها بالتناقض.

البرهان.

دع $P$ يكون لغز سودوكو مصغّرًا، وافترض أنّ الزوايا الخارجية الأربع مختلفة جميعًا، لكن في حلٍّ ما $S\text{,}$ لا تكون المربعات الوسطى الأربعة مختلفةً جميعًا.

وافترض أنّ $a\text{,}$ وهو الرقم في الزاوية العلوية اليسرى، يظهر مرّتين في المربعات الوسطى الأربعة. والطريقة الوحيدة التي يمكن أن يحدث بها ذلك هي أن يظهر $a$ في r3c2 وr2c3، كما هو مبيّن أدناه.

لكن أين يمكن للـ $a$ الرابعة أن تذهب في الحلّ؟ لا بدّ أن تكون في r4c4، وهذا يناقض أنّ الزوايا الأربع مختلفة جميعًا. وتُفضي الحجّة المماثلة إلى تناقض مع كل رقمٍ ممكنٍ آخر من أرقام الزوايا الخارجية إذا تكرّر في الوسط. إذن لا بدّ أن تحتوي المربعات الوسطى الأربعة على أرقام مختلفة جميعًا.

أسئلة القراءة

1.

أيٌّ ممّا يلي يكون أفضل سطرٍ أوّل في برهانٍ مباشر إذا أردت إثبات العبارة: «لكل مجموعة $A$ من الأعداد ذات الخانة الواحدة، إذا كان $|A| = 6\text{,}$ فإنّ $A$ تحتوي على عددٍ زوجي».

• افترض أنّ هناك مجموعة $A$ من الأعداد ذات الخانة الواحدة بحيث $|A| = 6$ لكنّها تحتوي على أرقام فردية فقط.
• غير صحيح. البرهان المباشر يبدأ بافتراض فرضية التضمين الذي تريد إثباته. حاول مجدّدًا.
• ثبّت مجموعةً اعتباطية $A$ من الأعداد ذات الخانة الواحدة، وافترض أنّ $|A| = 6\text{.}$
• صحيح! البرهان المباشر يبدأ بافتراض فرضية التضمين الذي تريد إثباته.
• افترض أنّ $A$ مجموعة من الأعداد ذات الخانة الواحدة بحيث $|A| \ne 6\text{.}$
• غير صحيح. ما الجزء الخاص بـ«إذا» في العبارة التي تحاول إثباتها؟ حاول مجدّدًا.
• دع $A$ تكون مجموعةً من الأعداد ذات الخانة الواحدة تحتوي على عددٍ زوجي.
• غير صحيح. حاول مجدّدًا.
• دع $A$ تكون مجموعةً من الأعداد ذات الخانة الواحدة، وافترض أنّ $A$ لا تحتوي على أي أعداد زوجية.
• غير صحيح. حاول مجدّدًا.

2.

أيٌّ ممّا يلي يكون أفضل سطرٍ أوّل في برهانٍ بنقيض المضمون إذا أردت إثبات العبارة: «لكل مجموعة $A$ من الأعداد ذات الخانة الواحدة، إذا كان $|A| = 6\text{,}$ فإنّ $A$ تحتوي على عددٍ زوجي».

• افترض أنّ هناك مجموعة $A$ من الأعداد ذات الخانة الواحدة بحيث $|A| = 6$ لكنّها تحتوي على أرقام فردية فقط.
• غير صحيح. ما نقيض المضمون للعبارة التي نحاول إثباتها؟ حاول مجدّدًا.
• ثبّت مجموعةً اعتباطية $A$ من الأعداد ذات الخانة الواحدة، وافترض أنّ $|A| = 6\text{.}$
• غير صحيح. نحن نحاول إثبات نقيض المضمون، إذن افترض الجزء الخاص بـ«إذا» في نقيض المضمون. حاول مجدّدًا.
• افترض أنّ $A$ مجموعة من الأعداد ذات الخانة الواحدة بحيث $|A| \ne 6\text{.}$
• غير صحيح. نقيض المضمون لـ $P \imp Q$ هو $\neg Q \imp \neg P\text{.}$ ويجب أن تبدأ البراهين بنقيض المضمون بافتراض $\neg Q\text{.}$ حاول مجدّدًا.
• دع $A$ تكون مجموعةً من الأعداد ذات الخانة الواحدة تحتوي على عددٍ زوجي.
• غير صحيح. نقيض المضمون لـ $P \imp Q$ هو $\neg Q \imp \neg P\text{.}$ ويجب أن تبدأ البراهين بنقيض المضمون بافتراض $\neg Q\text{.}$ حاول مجدّدًا.
• دع $A$ تكون مجموعةً من الأعداد ذات الخانة الواحدة، وافترض أنّ $A$ لا تحتوي على أي أعداد زوجية.
• صحيح!

3.

أيٌّ ممّا يلي يكون أفضل سطرٍ أوّل في برهانٍ بالتناقض إذا أردت إثبات العبارة: «لكل مجموعة $A$ من الأعداد ذات الخانة الواحدة، إذا كان $|A| = 6\text{,}$ فإنّ $A$ تحتوي على عددٍ زوجي».

• افترض أنّ هناك مجموعة $A$ من الأعداد ذات الخانة الواحدة بحيث $|A| = 6$ لكنّها تحتوي على أرقام فردية فقط.
• صحيح! هذا هو نفي العبارة التي نحاول إثباتها.
• ثبّت مجموعةً اعتباطية $A$ من الأعداد ذات الخانة الواحدة، وافترض أنّ $|A| = 6\text{.}$
• غير صحيح. ينبغي أن يبدأ البرهان بالتناقض بافتراض نفي ما نحاول إثباته. حاول مجدّدًا.
• افترض أنّ $A$ مجموعة من الأعداد ذات الخانة الواحدة بحيث $|A| \ne 6\text{.}$
• غير صحيح. ينبغي أن يبدأ البرهان بالتناقض بافتراض نفي ما نحاول إثباته. حاول مجدّدًا.
• دع $A$ تكون مجموعةً من الأعداد ذات الخانة الواحدة تحتوي على عددٍ زوجي.
• غير صحيح. ينبغي أن يبدأ البرهان بالتناقض بافتراض نفي ما نحاول إثباته. حاول مجدّدًا.
• دع $A$ تكون مجموعةً من الأعداد ذات الخانة الواحدة، وافترض أنّ $A$ لا تحتوي على أي أعداد زوجية.
• غير صحيح. ينبغي أن يبدأ البرهان بالتناقض بافتراض نفي ما نحاول إثباته. حاول مجدّدًا.

4.

ما الأسئلة التي تدور في ذهنك بعد قراءة هذا القسم؟ اكتب سؤالًا واحدًا على الأقلّ عن محتوى هذا القسم يثير فضولك.

لتكن \(n\) عددًا صحيحًا اعتباطيًّا، ونفترض أنّ \(n\) زوجي.
---
وبما أنّ جداء أيّ عدد في عدد زوجي يكون زوجيًّا،
---
يجب أن يكون \(7n\) زوجيًّا.
---
لتكن \(n\) عددًا صحيحًا اعتباطيًّا، ونفترض أنّ \(7n\) زوجي.
---
لتكن \(n\) عددًا صحيحًا اعتباطيًّا، ونفترض أنّ \(7n\) فردي.
---
وبما أنّ \(7\) فردي، وأنّ جداء عددين فرديين يكون فرديًّا،
---
وبما أنّ قسمة عدد زوجي على \(7\) يجب أن تكون فردية،
---
يجب أن يكون \(n\) زوجيًّا.
---
يجب أن يكون \(7n\) فردي.

لتكن \(n\) عددًا صحيحًا اعتباطيًّا، ونفترض أنّ \(n\) زوجي.
---
وبما أنّ \(7\) فردي، وأنّ جداء عدد فردي في عدد زوجي زوجي،
---
يجب أن يكون \(7n\) زوجيًّا.
---
لتكن \(n\) عددًا صحيحًا اعتباطيًّا، ونفترض أنّ \(7n\) زوجي.
---
لتكن \(n\) عددًا صحيحًا اعتباطيًّا، ونفترض أنّ \(n\) فردي.
---
وبما أنّ \(7\) فردي، وأنّ جداء عددين فرديين يكون فرديًّا،
---
وبما أنّ قسمة عدد زوجي على \(7\) يجب أن تكون زوجية،
---
يجب أن يكون \(n\) زوجيًّا.
---
يجب أن يكون \(7n\) فردي.

ليكن \(a\) و\(b\) عددين صحيحين، ونفترض أنّ \(a+b\) فردي.
---
ليكن \(a\) و\(b\) عددين صحيحين، ونفترض أنّه إذا كان \(a+b\) فرديًّا فإنّ أحدهما \(a\) أو \(b\) فردي.
---
ليكن \(a\) و\(b\) عددين صحيحين، ونفترض أنّهما كلاهما زوجي.
---
مجموع عددين صحيحين زوجيين يجب أن يكون زوجيًّا أيضًا.
---
إذن \(a+b\) زوجي.
---
ليكن \(a\) و\(b\) عددين صحيحين، ونفترض أنّ \(a+b\) فردي بينما \(a\) و\(b\) كلاهما زوجي.
---
مجموع عددين صحيحين فرديين يجب أن يكون زوجيًّا.
---
لكن عندئذٍ يكون \(a+b\) زوجيًّا وفرديًّا معًا، وهو تناقض.

ليكن \(a\) و\(b\) عددين صحيحين، ونفترض أنّ \(a+b\) فردي.
---
ليكن \(a\) و\(b\) عددين صحيحين، ونفترض أنّه إذا كان \(a+b\) فرديًّا فإنّ أحدهما \(a\) أو \(b\) فردي.
---
ليكن \(a\) و\(b\) عددين صحيحين، ونفترض أنّهما كلاهما زوجي.
---
ليكن \(a\) و\(b\) عددين صحيحين، ونفترض أنّ \(a+b\) فردي بينما \(a\) و\(b\) كلاهما زوجي.
---
إذن \(a+b\) زوجي.
---
مجموع عددين صحيحين زوجيين يجب أن يكون زوجيًّا أيضًا.
---
مجموع عددين صحيحين فرديين يجب أن يكون زوجيًّا.
---
لكن عندئذٍ يكون \(a+b\) زوجيًّا وفرديًّا معًا، وهو تناقض.