المتتاليات متعدّدة الحدود

القسم 4.3 المتتاليات متعدّدة الحدود

الأهداف

بعد إتمام هذا القسم، ينبغي أن تتمكّن من فعل ما يلي.

1. تحدّد متتاليةً بأنّ لها صيغةً مغلقة متعدّدة الحدود انطلاقًا من متتالية فروقها، وتحدّد درجة متعدّد الحدود.
2. تُلائم متعدّد حدود مناسب الدرجة مع متتالية من الحدود الأوّلية.
3. تشرح كيف تتّ relatedArminal علاقات المتتاليات متعدّدة الحدود بصيغها المغلقة.

معاينة القسم

استكشف!

رقعة شطرنج معيارية بمقاس $8 \times 8$ تحتوي على 64 مربّعًا. وفي الحقيقة، هذا هو عدد المربّعات وحيدة الضلع فقط. فكم مربّعًا بكل الأحجام يوجد على رقعة الشطرنج؟ ابدأ بالرقع الأصغر: $1\times 1\text{,}$ $2 \times 2\text{,}$ $3\times 3\text{,}$ وهكذا. جد صيغةً لإجمالي عدد المربّعات في رقعة $n\times n$.

لقد رأينا أنّ المتتاليات الحسابية (arithmetic sequences) تنمو بمعدّل ثابت، ولذلك فإنّ صيغها المغلقة هي دوالّ خطّية. فماذا عن المتتاليات التي تنمو بمعدّل أسرع؟ وماذا لو كان معدّل تغيّرها (أي الفروق بين حدودها) ينمو هو الآخر بمعدّل ثابت؟

وقد ادّعينا في القسم 4.2 أنّ الأعداد المثلّثية (triangular numbers)، أي مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى $n$، لها صيغة مغلقة $$\begin{equation*} T_n = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\text{.} \end{equation*}$$فهذه المتتالية، التي متتالية فروقها حسابية، هي متعدّد حدود من الدرجة 2 (أي دالة تربيعية).

هدفنا في هذا القسم هو استكشاف هذه الظاهرة. سنتحقّق أنّ هذه هي فعلًا الصيغة المغلقة للأعداد المثلّثية، ثمّ نعمّمها على متتاليات أخرى ذات فروق حسابية، ثمّ نستكشف متتاليات تنمو بمعدّلات أسرع من ذلك بعد.

ورقة العمل: نشاط تمهيدي

1.

وفيما تجول في أروقة قسم الرياضيات، وجدت نفسك محدّقًا في العمل الفني الآسر المعروض أدناه.

(a)

كم عدد النقاط في الشكل؟

تشكّل النقاط مربّعًا × مربّعًا، بإجمالي نقاط.

(b)

يمكننا كذلك حساب إجمالي عدد النقاط بجمع كلّ منطقة «خطّاف» على حدة، من الأصغر إلى الأكبر:

• • • • • .

(c)

وهناك طريقة أخرى بعدُ لحساب إجمالي عدد النقاط، وهي تجميع حدود هذا المجموع في مجموعات.

$1+11 =$ ؛ $3+9 =$ ؛ $5+7 =$ .

وبما أنّ هناك ثلاثة أزواج من المجاميع، فإنّ الإجمالي هو $3 \cdot$ = .

(d)

لو عمّمنا الرسم بحيث يحتوي على $n$ خطّافات، فكم عدد النقاط في الخطّاف الأكبر؟

وكم عدد النقاط في الخطّاف الثاني من حيث الكبر؟

(e)

ما مجموع الخطّاف الأصغر والخطّاف الأكبر؟

وما مجموع الخطّاف الثاني من حيث الصغر والخطّاف الثاني من حيث الكبر؟

(f)

لو واصلنا جمع أزواج الخطّافات (الأصغر التالي مع الأكبر التالي)، فكم زوجًا سنحصل عليه؟

وبالضرب، يكون إجمالي عدد النقاط هو: .

تلميح. لنفترض أنّ $n$ زوجي. فإن لم يكن كذلك، لكان هناك خطّاف «أوسط» واحد لا يُضاف إلى شيء آخر، غير أنّ هذا يُعوَّض بأنّ $n/2$ يحسب نصف مجموع خطّاف.

قسم فرعي: جمع المتتاليات الحسابية: اعكس وأضِف

لنجد بعناية مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى $n$. لنسمّ هذا المجموع $T_n\text{,}$ ولنكتبه مرّتين، مرّة بالترتيب المعتاد ومرّة بالترتيب المعكوس. $$\begin{equation*} \begin{array}{lccccccccc} & T_n & = & 1 & + & 2 &+ & 3 & + \cdots + & n \\ + & T_n & =& n & + &(n-1)& + & (n-2)& + \cdots + &1 \\\hline & 2T_n & =& n+1 & + & n+1 & + & n+1 &+ \cdots + & n+1 \end{array} \end{equation*}$$

ثمّ جمعنا المعادلتين معًا. والطرف الأيسر هو $2T_n\text{.}$ وفي الجهة اليمنى يحدث شيء رائع: جميع حدود المجموع متساوية! فبدلًا من جمع مجموعة من الأعداد المختلفة، صرنا نجمع عددًا واحدًا مرارًا ومرارًا. وهذه مهمّة وُلدت من أجلها الضرب! يوجد في المجموع $n$ حدًّا، فنحصل على $$\begin{equation*} 2T_n = n(n+1)\text{.} \end{equation*}$$ وبحلّ المعادلة لإيجاد $T_n$ نحصل على، $$\begin{equation*} T_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{,} \end{equation*}$$ كما هو متوقّع.

وستعمل هذه التقنيّة مع أيّ مجموع حسابي.

المثال 4.3.1.

جد المجموع: $2 + 5 + 8 + 11 + 14 + \cdots + 470\text{.}$

الحل. الفكرة هي محاكاة الطريقة التي وجدنا بها صيغة الأعداد المثلّثية. فإذا جمعنا الحدّ الأول والحدّ الأخير، نحصل على 472. والحدّ الثاني مع ما قبل الأخير يجمع أيضًا إلى 472. ولمتابعة كلّ شيء، يمكننا التعبير عن ذلك كما يلي. لنسمّ المجموع $S\text{.}$ إذن،

$S =$	$2$	$+$	$5$	$+$	$8$	$+ \cdots +$	$467$	$+$	470
$+ \quad S =$	$470$	$+$	$467$	$+$	$464$	$+ \cdots +$	$5$	$+$	2
$2S =$	$472$	$+$	$472$	$+$	$472$	$+ \cdots +$	$472$	$+$	$472$

إذن، ولإيجاد $2S$، نضيف 472 إلى نفسه عددًا من المرّات. أيّ عدد؟ نحتاج إلى تحديد كم عدد الحدود (المsummands) في المجموع. وبما أنّ الحدود تشكّل متتالية حسابية، يمكن التعبير عن الحدّ رقم $n$ في المجموع (مع اعتبار $2$ هو الحدّ رقم 0) على الصورة $2 + 3n\text{.}$ فإذا كان $2 + 3n = 470$ فإنّ $n = 156\text{.}$ إذن يتراوح $n$ من 0 إلى 156، أي 157 حدًّا في المجموع. وهذا هو عدد مرّات ظهور 472 في مجموع $2S\text{.}$ وبذلك $$\begin{equation*} 2S = 157\cdot 472 = 74104\text{.} \end{equation*}$$

وبالإمكان الآن بسهولة إيجاد $S\text{:}$ $$\begin{equation*} S = 74104/2 = 37052\text{.} \end{equation*}$$

وستعمل هذه الطريقة مع مجموع أيّ متتالية حسابية. لنسمّ المجموع $S\text{.}$ اعكس وأضِف. يؤدّي هذا إلى إنتاج عدد واحد يُضاف إلى نفسه عدّة مرّات. جد عدد المرّات. اضرب. اقسم على 2. تمّ.

المثال 4.3.2.

جد صيغة مغلقة لـ$6 + 10 + 14 + \cdots + (4n - 2)\text{.}$

الحل. لدينا لدينا مرّة أخرى مجموع متتالية حسابية. كم عدد حدود هذه المتتالية؟ ومن الواضح أنّ كلّ حدّ في المتتالية على الصورة $4k -2$ (كما يدلّ عليه الحدّ الأخير). لكن لأيّ قيم من $k$؟ للحصول على 6، لدينا $k = 2\text{.}$ وللحصول على $4n-2$ خذ $k = n\text{.}$ إذن لإيجاد عدد الحدود، علينا عدّ الأعداد الصحيحة في المدى $2,3,\ldots, n\text{.}$ وهذا هو $n-1\text{.}$ (يوجد $n$ عددًا من 1 إلى $n\text{,}$ فواحد أقلّ إذا بدأنا من 2.)

الآن اعكس وأضِف:

$S =$	$6$	$+$	$10$	$+ \cdots +$	$4n-6$	$+$	$4n-2$
$+ \quad S =$	$4n-2$	$+$	$4n-6$	$+ \cdots +$	$10$	$+$	6
$2S =$	$4n+4$	$+$	$4n+4$	$+ \cdots +$	$4n+4$	$+$	$4n+4$

وبما أنّ هناك $n-1$ حدًّا، نحصل على $$\begin{equation*} 2S = (n-1)(4n+4)\qquad \mbox{ so } \qquad S = \frac{(n-1)(4n+4)}{2}\text{.} \end{equation*}$$

وليس الأمر مقتصرًا على إيجاد المجاميع فقط؛ إذ يمكننا استعمال هذه التقنيّة لإيجاد صيغ مغلقة لمتتاليات نعرف أنّها متتاليات مجاميع جزئية.

المثال 4.3.3.

استعمل المجاميع الجزئية لإيجاد صيغة مغلقة لـ$(a_n)_{n\ge 0}$ التي تبدأ $2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots \ldots\text{.}$ افترض أنّ علاقة تكرارية للمتتالية هي $a_n = a_{n-1} + 3n-2\text{.}$

الحل. أوّلًا، إذا نظرت إلى الفروق بين الحدود، تحصل على متتالية فروق $(d_n)_{n \ge 1}\text{:}$ $1,4,7,10,13, \ldots\text{,}$ وهي متتالية حسابية. وفعلًا، نلاحظ أنّ $d_n = 3n-2\text{,}$ وهو ما يتّفق مع العلاقة التكرارية. وبصياغة أخرى: $$\begin{align*} a_0 \amp = 2\\ a_1 \amp = 2+1 = 2 + d_1\\ a_2 \amp = 2+1+4 = 2 + d_1 + d_2\\ a_3 \amp = 2+1+4+7 = 2 + d_1 + d_2 + d_3 \end{align*}$$ وهكذا. يمكننا كتابة الحدّ العام لـ$(a_n)$ بدلالة المتتالية الحسابية على الصورة التالية: $$\begin{equation*} a_n = 2 + 1 + 4 + 7 + 10 + \cdots + 3n-2\text{.} \end{equation*}$$

يمكننا أن نعكس ونضيف، لكنّ العدد 2 الأوّلي لا ينطبق على نمطنا. وهذا يعني ببساطة أنّ علينا إبقاء الـ2 خارج الجزء المعكوس:

$a_n =$	$2$	$+$	$1$	$+$	$4$	$+ \cdots +$	$3n-2$
$+ \quad a_n =$	$2$	$+$	$3n-2$	$+$	$3(n-1)-2$	$+ \cdots +$	$1$
$2a_n =$	$4$	$+$	$2+3n-3$	$+$	$2+3n-3$	$+ \cdots +$	$2+3n-3$

عدا الحدّ الأول (وهو 4) يوجد $n$ حدًّا من $2+3n-3 = 3n-1$، فتصبح الجهة اليمنى $4+(3n-1)n\text{.}$

وأخيرًا، بإيجاد $a_n$ نحصل على $$\begin{equation*} a_n = \d \frac{4+(3n-1)n}{2}\text{.} \end{equation*}$$ وللتأكّد فقط، نتحقّق من $a_0 = \frac{4}{2} = 2\text{,}$ و$a_1 = \frac{4+2}{2} = 3\text{,}$ وهكذا. لقد وجدنا الصيغة المغلقة صحيحة.

لاحظ أنّ الصيغة المغلقة لمتتالية معدّل تغيّرها حسابي (أي خطّي) هي دالة تربيعية. مثير للاهتمام....

قسم فرعي: متعدّدات الحدود من الدرجات الأعلى

بمعرفتنا كيفية حساب مجموع الحدود الأولى $n$ من المتتاليات الحسابية، يمكننا حساب الصيغ المغلقة للمتتاليات التي الفروق بين حدودها تشكّل متتالية حسابية. لكن ماذا لو نظرنا في متتالية هي مجموع الحدود الأولى $n$ من متتالية هي بدورها مجموع متتالية حسابية؟

كم مربّعًا (بكل أحجامه) يوجد على رقعة الشطرنج؟ تتألف رقعة الشطرنج من $64$ مربّعًا، لكننا نريد أيضًا أن نأخذ في الحسبان مربّعات ذات ضلع أطول. فرغم أننا نلاحظ رقعة $8 \times 8$ فحسب، فهناك الكثير ما يجب عدّه. إذن، لنبنِ متتالية بدلًا من ذلك: الحدّ الأول سيكون عدد المربّعات على رقعة $1 \times 1$، والحدّ الثاني سيكون عدد المربّعات على رقعة $2 \times 2$، وهكذا. وبعد تفكير قصير، نصل إلى المتتالية $$\begin{equation*} 1,5,14,30, 55,\ldots\text{.} \end{equation*}$$

هذه المتتالية ليست حسابية (ولا هندسية على نحو أعمّ)، لكنّ متتالية فروقها قد تكون كذلك. أمّا الفروق فنحصل على $$\begin{equation*} 4, 9, 16, 25, \ldots\text{.} \end{equation*}$$

وليس هذا مفاجأة كبيرة: إحدى طرق عدّ عدد المربّعات في رقعة شطرنج $4 \times 4$ هي ملاحظة أنّ هناك $16$ مربّعًا ضلعه 1، و9 مربّعات ضلعها 2، و4 مربّعات ضلعها 3، ومربّعًا واحدًا ضلعه 4. إذن المتتالية الأصلية هي مجرّد مجموع المربّعات. والآن، متتالية الفروق هذه ليست حسابية لأنّ متتالية فروقها (فروق فروق المتتالية الأصلية) ليست ثابتة. وفعلًا، متتالية الفروق الثانية هذه هي $$\begin{equation*} 5, 7, 9, \ldots\text{,} \end{equation*}$$ وهي في الواقع متتالية حسابية (بفارق ثابت قدره 2). ولاحظ أنّ متتاليتنا الأصلية كانت فروقها الثالثة (أي فروق فروق فروق المتتالية الأصلية) ثابتة. وسنسمي كلّ متتالية من هذا النوع $\Delta^3$-ثابتة. أمّا المتتالية $1, 4, 9, 16, \ldots$ ففروقها الثانية ثابتة، فهي إذن متتالية $\Delta^2$-ثابتة. وبوجه عام، نقول إنّ متتالية هي متتالية $\Delta^k$-ثابتة إذا كانت الفروق رقم $k$ فيها ثابتة.

المثال 4.3.4.

أيٌّ ممّا يلي من المتتاليات $\Delta^k$-ثابتة بالنسبة إلى قيمة ما لـ$k\text{?}$

1. $2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots\text{.}$
2. $1, 8, 27, 64, 125, 216, \ldots\text{.}$
3. $1,2,4,8,16,32,64,\ldots\text{.}$

الحل.

1. هذه هي المتتالية الواردة في المثال 4.3.3، والتي وجدنا فيها صيغة مغلقة بالتعرّف على المتتالية على أنّها متتالية مجاميع جزئية لمتتالية حسابية. وفعلًا، متتالية الفروق الأولى هي $1,4,7, 10, 13,\ldots\text{,}$|fr وfrOwn frوقها هي $3,3,3,3,\ldots\text{.}$ إذن $2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots$ هي متتالية $\Delta^2$-ثابتة.
2. هذه هي المكعّبات التامّة. متتالية الفروق الأولى هي $7, 19, 37, 61, 91, \ldots\text{;}$ ومتتالية الفروق الثانية هي $12, 18, 24, 30,\ldots\text{;}$ ومتتالية الفروق الثالثة ثابتة: $6,6,6,\ldots\text{.}$ إذن المكعّبات التامّة هي متتالية $\Delta^3$-ثابتة.
3. إذا أخذنا الفروق الأولى، نحصل على $1,2,4,8,16,\ldots\text{.}$ وماذا؟ هذه هي المتتالية التي بدأنا بها. إذن أخذ الفروق الثانية سيعطينا المتتالية نفسها مرّة أخرى. مهما كرّرنا هذا، سنحصل دومًا على المتتالية نفسها، وهذا يعني بعينه أنّه لا يوجد عدد منتهٍ من الفروق يكون ثابتًا. إذن هذه المتتالية ليست $\Delta^k$-ثابتة لأيّ $k\text{.}$

المتتاليات $\Delta^0$-الثابتة ثابتة بذاتها، لذا يسهل حساب صيغة مغلقة لها (إنّها مجرّد الثابت). والمتتاليات $\Delta^1$-الثابتة حسابية، ولدينا طريقة لإيجاد صيغها المغلقة أيضًا. وكلّ متتالية $\Delta^2$-ثابتة هي مجموع متتالية حسابية، لذا يمكننا إيجاد صيغ لها أيضًا. لكن لاحظ أنّ صيغة المتتالية $\Delta^2$-الثابتة تكون دائمًا تربيعية الشكل. مثلًا، الأعداد المربّعة $\Delta^2$-ثابتة وصيغتها المغلقة $a_n= n^2\text{.}$ والأعداد المثلّثية (وهي كذلك $\Delta^2$-ثابتة) صيغتها المغلقة $a_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{,}$ وهي عند ضربها تخرج لك حدًّا من نوع $n^2$ أيضًا. ويبدو أنّنا كلّما زدنا تعقيد المتتالية، أي زدنا عدد الفروق قبل أن نحصل على ثوابت، زدنا أيضًا درجة متعدّد الحدود المستعمل في الصيغة المغلقة. ننتقل من الثابت إلى الخطّي إلى التربيعي. ومتتالية الفروق بين الحدود تخبرنا بشيءٍ عن معدّل نمو المتتالية. إذا كانت متتالية تنمو بمعدّل ثابت، فإنّ صيغتها ستكون خطّية. وإذا كانت المتتالية تنمو بمعدّل ينمو هو الآخر بمعدّل ثابت، فإنّ الصيغة تربيعية. ولعلّك رأيت هذا في مكان آخر: إذا كانت لدالّة مشتقّة ثانية ثابتة (معدّل تغيّر)، فإنّ الدالّة يجب أن تكون تربيعية.

وهذا يعمل على وجه العموم:

مبرهنة 4.3.5. الملاءمة متعدّدة الحدود.

الصيغة المغلقة لمتتالية ستكون متعدّد حدود من الدرجة $k$ إذا كان بين المتتالية أنّها $\Delta^k$-ثابتة (أي أنّ متتالية الفروق رقم $k$ فيها ثابتة) والعكس.

وهذا يخبرنا أنّ متتالية أعداد المربّعات على رقعة الشطرنج $1, 5, 14, 30, 55, \ldots\text{,}$ التي رأينا أنّها $\Delta^3$-ثابتة، سيكون لها صيغة مغلقة من الدرجة الثالثة (متعدّد حدود من الدرجة 3).

والآن بعد أن نعرف ما شكل الصيغة المغلقة لأيّ متتالية، أصبح إيجاد تلك الصيغة أسهل بكثير. وفي الحالة التي تكون فيها الصيغة المغلقة متعدّد حدود من الدرجة $k$، لا نحتاج سوى $k+1$ نقطة بيانات لـ«ملاءمة» متعدّد الحدود مع البيانات.

المثال 4.3.6.

جد صيغةً للمتتالية $3, 7, 14, 24,\ldots\text{.}$ بافتراض $a_1 = 3\text{.}$

الحل. أوّلًا، تحقّق ممّا إذا كانت الصيغة لها فروق ثابتة عند مستوى ما. متتالية الفروق الأولى هي $4, 7, 10, \ldots$ وهي حسابية، إذن متتالية الفروق الثانية ثابتة. والمتتالية $\Delta^2$-ثابتة، لذا ستكون صيغة $a_n$ متعدّد حدود من الدرجة 2. أي أنّنا نعرف أنّه بالنسبة إلى ثوابت ما $a\text{,}$ $b\text{,}$ و$c\text{,}$ $$\begin{equation*} a_n = an^2 + bn + c\text{.} \end{equation*}$$

والآن لإيجاد $a\text{,}$ $b\text{,}$ و$c\text{.}$ أوّلًا، سيكون من جيّد أن نعرف ما هو $a_0$، لأنّ وضع $n = 0$ في الصيغة أعلاه يبسّطها كثيرًا. وفي هذه الحالة، $a_0 = 2$ (نعمل للخلف انطلاقًا من متتالية الفروق الثابتة). إذن $$\begin{equation*} a_0 = 2 = a\cdot 0^2 + b \cdot 0 + c\text{,} \end{equation*}$$ ومنه $c = 2\text{.}$ الآن ضع $n =1$ و$n = 2\text{.}$ نحصل على $$\begin{equation*} a_1 = 3 = a + b + 2 \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} a_2 = 7 = a_4 + b_2 + 2\text{.} \end{equation*}$$

وفي هذه المرحلة، لدينا معادلتان (خطّيتان) ومجهولان، لذا يمكننا حلّ الجملة لإيجاد $a$ و$b$ (باستعمال التعويض أو الحذف أو حتى المصفوفات). نجد $a = \frac{3}{2}$ و$b = \frac{-1}{2}\text{,}$ إذن $a_n = \frac{3}{2} n^2 - \frac{1}{2}n + 2\text{.}$

المثال 4.3.7.

جد صيغة مغلقة لعدد المربّعات على رقعة شطرنج $n \times n$.

الحل. رأينا أنّ المتتالية $1, 5, 14, 30, 55, \ldots$ هي $\Delta^3$-ثابتة، لذا نبحث عن متعدّد حدود من الدرجة 3. أي، $$\begin{equation*} a_n = an^3 + bn^2 + cn + d\text{.} \end{equation*}$$

يمكننا إيجاد $d$ إذا عرفنا ما هو $a_0$. وبالعمل للخلف انطلاقًا من الفروق الثالثة، نجد $a_0 = 0$ (وهو غير مفاجئ، إذ لا توجد مربّعات على رقعة $0\times 0$). إذن $d = 0\text{.}$ الآن ضع $n = 1\text{,}$ $n =2\text{,}$ و$n =3\text{:}$ $$\begin{align*} 1 = \amp a + b + c\\ 5 = \amp 8a + 4b + 2c\\ 14 = \amp 27a + 9b + 3c\text{.} \end{align*}$$

إذا حللنا جملة المعادلات هذه، نحصل على $a = \frac{1}{3}\text{,}$ $b = \frac{1}{2}$ و$c = \frac{1}{6}\text{.}$ إذن عدد المربّعات على رقعة شطرنج $n \times n$ هو $a_n = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\text{.}$

ملاحظة: مسألة «المربّعات على رقعة الشطرنج» هي في الحقيقة طلب لمجموع المربّعات، Portugم لدينا الآن صيغة جميلة لـ$\d\sum_{k=1}^n k^2\text{.}$

المثال 4.3.8.

جد صيغة مغلقة لـ$(a_n)_{n \ge 0}$ التي تبدأ $2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots\text{.}$ افترض أنّ علاقة تكرارية للمتتالية هي $a_n = a_{n-1} + 3n-2$

الحل. لاحظ أنّنا سبق أن فعلنا هذا في المثال 4.3.3، لكنّنا الآن نستطيع حلّه باستعمال الملاءمة متعدّدة الحدود.

متتالية (الفروق الأولى) هي $1, 4, 7, 10, 13,\ldots$ (وهو ما يتّفق مع المذكور في العلاقة التكرارية). ومتتالية الفروق الثانية هي $3, 3, 3, 3, \ldots$ ثابتة! لذا نتوقّع أن تكون الصيغة المغلقة لـ$a_n$ متعدّد حدود من الدرجة 2. أي، نخمّن $$\begin{equation*} a_n = an^2 + bn + c\text{.} \end{equation*}$$

وبما أنّ $a_0 = 2\text{,}$ فنحن نعرف أنّ $c = 2$ (بما أنّ $a\cdot 0^2 + b\cdot 0^2 + c = 2$). ثمّ يمكننا أن نرى ما يحدث مع $n = 1$ و$n = 2\text{:}$ $$\begin{align*} a_1 = 3 = \amp a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + 2\\ a_2 = 7 = \amp a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + 2\text{.} \end{align*}$$ وبتبسيط هذا، علينا إيجاد $a$ و$b$ اللذين يحقّقان المعادلتين $$\begin{align*} 1 =\amp a +b\\ 5 = \amp 4a + 2b\text{.} \end{align*}$$ باستعمال نظام جبر حاسوبي أو التعويض أو الحذف، نجد أنّ $a = \frac{3}{2}$ و$b = -\frac{1}{2}\text{.}$ إذن الصيغة المغلقة هي، $$\begin{equation*} a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 2\text{.} \end{equation*}$$ وهذا هو نفسه ما وجدناه في المثال 4.3.3، بمجرّد ضرب حلّك هناك.

ليست كلّ المتتاليات لها متعدّدات حدود بوصفها صيغها المغلقة. يمكننا استعمال نظريّة الفروق المنتهية للتعرّف على تلك المتتاليات.

المثال 4.3.9.

حدّد ما إذا كان يمكن وصف المتتاليات التالية بمتعدّد حدود، وإن كان كذلك، فبأيّ درجة.

1. $\displaystyle 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$
2. $\displaystyle 0, 7, 50, 183, 484, 1055, \ldots$
3. $\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,\ldots$

الحل.

1. كما رأينا في المثال 4.3.4، هذه المتتالية ليست $\Delta^k$-ثابتة لأيّ $k\text{.}$ إذن الصيغة المغلقة للمتتالية ليست متعدّد حدود. وفعلًا، نعرف أنّ الصيغة المغلقة هي $a_n = 2^n\text{,}$ وهي تنمو أسرع من أيّ متعدّد حدود (فليست متعدّد حدود إذن).
2. متتالية الفروق الأولى هي $7, 43, 133, 301, 571,\ldots\text{.}$ أمّا الفروق الثانية فهي: $36, 90, 168, 270,\ldots\text{.}$ والفروق الثالثة: $54, 78, 102,\ldots\text{.}$ والفروق الرابعة: $24, 24, \ldots\text{.}$ بقدر ما نستطيع أن نرصد، متتالية الفروق هذه ثابتة، إذن المتتالية $\Delta^4$-ثابتة، وبالتبعية تكون صيغتها المغلقة متعدّد حدود من الدرجة 4.
3. هذه هي متتالية فيبوناتشي. متتالية الفروق الأولى هي $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots\text{,}$ والفروق الثانية هي $1, 0, 1, 1, 2, 3, 5\ldots\text{.}$ ونلاحظ أنّنا بعد الحدود الأولى القليلة نحصل على المتتالية الأصلية مرّة أخرى. إذن لن تكون هناك فروق ثابتة أبدًا، لذا ليست الصيغة المغلقة لمتتالية فيبوناتشي متعدّد حدود.

تحذير 4.3.10.

متعدّد حدود من الدرجة $n$ يتحدّد تمامًا بمعاملاته الـ$n+1$ (والـ$+1$ بسبب الحدّ الثابت). لذا يمكننا دائمًا إيجاد متعدّد حدود من الدرجة $n$ إذا أُعطينا $n+1$ حدًّا من متتالية.

إذا أخذنا الحدود الـ$n+1$، يمكننا أن نأخذ فروق الفروق الفروق الفروق... حتى (بعد $n$ خطوة) لا يبقى سوى عدد واحد. بقدر ما نستطيع أن نرصد، الفرق رقم $n$ ثابت. وهذا لا يعني أنّنا وجدنا الصيغة المغلقة للمتتالية الصحيحة. ولهذا فإنّ العمل مع متتاليات ضمن سياقٍ محدّد مسألة بالغة الأهمية.

قسم فرعي: حلّ جمل المعادلات بالأدوات الحاسوبية

الفكرة من الملاءمة متعدّدة الحدود هي أنّنا إذا تمكّنّا من التأكّد من أنّ متتالية لها متعدّد حدود بوصفه صيغتها المغلقة، فسنتمكّن من إيجاد تلك الصيغة. وبمعرفتنا درجة متعدّد الحدود، لا نحتاج سوى إيجاد معاملاته، ومن خلال عدد كافٍ من حدود المتتالية يمكننا تكوين جملة من عدد كافٍ من المعادلات الخطّية يكون حلّها هو تلك المعاملات. لكنّ هذا يتطلّب حلّ جملة معادلات خطّية.

ولمتعدّد حدود من الدرجة 2، نحتاج إلى إيجاد ثلاثة معاملات (الحدّ الثابت، ومعامل $n\text{,}$ ومعامل $n^2$). جملة من ثلاث معادلات خطّية تكفي لإيجاد هذه المجاهيل الثلاثة. وفعلًا، بما أنّ $a_0$ سيكون الحدّ الثابت، يمكننا الاكتفاء بمعادلتين ومجهولين، وليست هذه صعبة الحلّ باليد.

أمّا متعدّدات الحدود من الدرجات الأعلى، فعدد المعادلات فيها أكبر، والحلّ باليد قد يكون مملًّا. لحسن الحظّ، من السهل على الحاسوب أن يحلّ هذه المعادلات. وسنعرض أدناه كيف نستعمل نظام الجبر الحاسوبي المجاني SageMath، وكذلك python، لحلّ جمل المعادلات هذه. وإلى جانب هذين الخيارين، فبمنظور ما، يستطيع أيّ نظام جبر حاسوبي (بما في ذلك Wolfram Alpha) أن يحلّ جمل المعادلات هذه.

لنفترض لدينا جملة المعادلات التالية من ثلاث معادلات وثلاثة مجاهيل، كما في مثال رقعة الشطرنج أعلاه: $$\begin{align*} 1 = \amp a + b + c\\ 5 = \amp 8a + 4b + 2c\\ 14 = \amp 27a + 9b + 3c \end{align*}$$

في SageMath، يمكننا استعمال الطريقة solve لحلّ جملة المعادلات. إليك الشيفرة:

var('a b c')
solve([a+b+c==1, 8*a+4*b+2*c==5, 27*a+9*b+3*c==14], a,b,c)

وهذا أسهل منها في python، لكنّ python قد يكون متاحًا على نحو أسهل. وإحدى طرقك لحلّ الجملة في python هي استعمال مكتبة numpy. وفي هذه الحالة، تنشئ مصفوفة معاملات ومتجّهًا من الثوابت، ثمّ تستعمل طريقة solve. إليك الشيفرة:

import numpy as np
A = np.array([[1,1,1],[8,4,2],[27,9,3]])
b = np.array([1,5,14])
x = np.linalg.solve(A,b)
print(x)

وهذا تفسير لما يجري هنا: ننشئ مصفوفة A من معاملات جملة المعادلات (لا معاملات الصيغة المغلقة التي نبحث عنها)، $$\begin{equation*} A = \begin{bmatrix} 1 \amp 1 \amp 1 \\ 8 \amp 4 \amp 2 \\ 27 \amp 9 \amp 3 \end{bmatrix} \end{equation*}$$ ومتجّهًا b للثوابت، $$\begin{equation*} b = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 14 \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}$$ ما يفعله numpy هو حلّ المعادلة المصفوفية $$\begin{equation*} Ax = b\text{.} \end{equation*}$$ والمتجّه $x$ الذي يحقّق هذه المعادلة المصفوفية سيكون قيم المجاهيل في الجملة (أي المتجّه $[a,b,c]$).

وبطبيعة الحال، بمجرّد أن تجد معاملات متعدّد الحدود، ينبغي أن تكتب الصيغة المغلقة مستعملة تلك المعاملات. ومن المفيد دائمًا أن تتحقّق من أنّ الصيغة تبدو ويعمل بشكل صحيح باستعمال قيمة $n$ لم تستعملها للحصول على جملة معادلاتك.

أسئلة القراءة

1.

• $3,7,11,15,19,\ldots$
• صيغة خطّية
• $3,5,8,12,17,\ldots$
• صيغة تربيعية
• $3,4,7,13,23,\ldots$
• صيغة تكعيبية
• $3,4,7,11,18,29,\ldots$
• أُسّية (ليست متعدّدة حدود)

2.

افترض أنّ $(a_n)$ متتاليةٌ متتالية فروقها لها صيغة مغلقة من متعدّد حدود من الدرجة 2. فما الذي يمكنك قوله عن متتالية مجاميعها الجزئية لـ$(a_n)\text{?}$ اشرح.

3.

ما الأسئلة التي تدور في ذهنك؟ اكتب سؤالًا واحدًا على الأقلّ عن محتوى هذا القسم قد يثير اهتمامك أو اهتمام زميل لك بعد قراءة هذا القسم.