معدل النمو

القسم 4.2 معدل النمو (Rate of Growth)

الأهداف

بعد إكمال هذا القسم، ينبغي أن تكون قادرًا على ما يلي.

1. تحديد ما إذا كانت المتتالية حسابية (arithmetic) أم هندسية (geometric) بناءً على معدل نموها.
2. إعطاء تعريفات تعاودية (recursive definitions) وصيغ مغلقة (closed formulas) للمتتاليات الحسابية والهندسية.

معاينة القسم

استكشف!

لكل نمط من أنماط النقاط أدناه، ارسم النمط التالي في المتتالية. صِف معدل نمو عدد النقاط في الأنماط. ثم خمّن تعريفًا تعاوديًا وصيغة مغلقة لعدد النقاط في النمط ذي الرتبة $n$.

هدفنا هو إيجاد صيغ مغلقة للمتتاليات. وستكون استراتيجيتنا الأساسية أن نحدد أولًا كيف تتغير المتتالية من حد إلى آخر. وسيقودنا ذلك إلى علاقة تعاودية (recurrence relation) للمتتالية، ومنها سنجد صيغة مغلقة. نبدأ بنوعين من المتتاليات شائعين ومفيدين على نحو خاص: المتتاليات الحسابية والهندسية. وسنستكشف أثناء ذلك بعض تقنيات حل العلاقات التعاودية.

ورقة عمل: نشاط تمهيدي

1. نقاط.

تفعيل. استكشف متتالية النقاط الأولى من نشاط استقصِ!. سنجعل $a_n$ يمثل عدد النقاط في الشكل $n\text{.}$ تبدأ المتتالية بـ $1, 5, 9,\ldots$

(a)

كم نقطة تتوقع في الشكلين التاليين في المتتالية؟

عدد النقاط في الشكل $n = 3$: $a_3 =$ ____.

عدد النقاط في الشكل $n = 4$: $a_4 =$ ____.

(b)

كيف تنمو المتتالية؟ للحصول على الشكل التالي، خذ الشكل الحالي ثم

• أضف
• اضرب في

العدد الثابت ____ من النقاط.

(c)

ليكن $a_n$ عدد النقاط في الشكل $n\text{.}$ اكتب تعريفًا تعاوديًا لـ $a_n\text{.}$

$a_n =$ ____؛ مع $a_0 =$ ____.

(d)

خمّن صيغة مغلقة لعدد النقاط في الشكل ذي الرتبة $n$.

$a_n =$ ____.

2. مزيد من النقاط.

تفعيل. انظر الآن إلى متتالية النقاط الثانية من نشاط استقصِ!. سنجعل $a_n$ يمثل عدد النقاط في الشكل $n\text{.}$ تبدأ المتتالية بـ $2, 6, 18,\ldots$

(a)

كم نقطة تتوقع في الشكلين التاليين في المتتالية؟

عدد النقاط في الشكل $n = 3$: $a_3 =$ ____.

عدد النقاط في الشكل $n = 4$: $a_4 =$ ____.

(b)

كيف تنمو المتتالية؟ للحصول على الشكل التالي، خذ الشكل الحالي ثم

• أضف
• اضرب في

العدد الثابت ____.

(c)

ليكن $a_n$ عدد النقاط في الشكل $n\text{.}$ اكتب تعريفًا تعاوديًا لـ $a_n\text{.}$

$a_n =$ ____؛ مع $a_0 =$ ____.

(d)

خمّن صيغة مغلقة لعدد النقاط في الشكل ذي الرتبة $n$.

$a_n =$ ____.

3. مزيد آخر من النقاط.

تفعيل. انظر الآن إلى متتالية النقاط الثالثة من نشاط استقصِ!. سنجعل $a_n$ يمثل عدد النقاط في الشكل $n\text{.}$ تبدأ المتتالية بـ $1, 3, 6, 10,\ldots$

(a)

كم نقطة تتوقع في الشكلين التاليين في المتتالية؟

عدد النقاط في الشكل $n = 5$: $a_5 =$ ____.

عدد النقاط في الشكل $n = 6$: $a_6 =$ ____.

(b)

ليكن $a_n$ عدد النقاط في الشكل $n\text{.}$ اكتب تعريفًا تعاوديًا لـ $a_n\text{.}$

$a_n =$ ____؛ مع $a_1 =$ ____.

(c)

خمّن صيغة مغلقة لعدد النقاط في الشكل ذي الرتبة $n$.

$a_n =$ ____.

قسم فرعي: المتتاليات الحسابية

افترض أنك تبدأ مشروعًا لبيع مطبوعات من أعمال فنية رياضية. في الأسبوع صفر، تبيع مطبوعتين. وفي كل أسبوع بعد ذلك، تبيع أربع مطبوعات أكثر مما بعت في الأسبوع السابق. كم مطبوعة ستبيع في الأسبوع ذي الرتبة $n$؟

يمكننا بسهولة حساب الحدود الأولى من المتتالية: $2, 6, 10, 14,\ldots\text{.}$ كيف أعرف أن هذا صحيح؟ نرى من المسألة أنه للانتقال من حد إلى الحد التالي، علينا إضافة 4. ومن الواضح إذن أن العلاقة التعاودية للمتتالية هي

$$\begin{equation*} a_n = a_{n-1} + 4\text{.} \end{equation*}$$

معدل النمو للمتتالية هو الثابت $4$، لأن الفرق بين أي حدين هو 4 (لاحظ أننا نستطيع كتابة العلاقة التعاودية على الصورة $a_n - a_{n-1} = 4$).

نسمي المتتاليات ذات معدل التغير الثابت متتاليات حسابية.

لنجد الآن صيغة مغلقة لمتتاليتنا. الحد الأول هو $a_0 = 2\text{.}$ وللحصول على $a_1\text{,}$ نضيف $4\text{.}$ ويتطلب الحد التالي أن نضيف $4$ مجددًا، مما يعني أننا أضفنا $4$ إلى حدنا الابتدائي مرتين. ثم نضيف $4$ مرة أخرى، ليصبح مجموع مرات الإضافة ثلاثًا عند $a_3\text{.}$ في الواقع، للحصول على $a_n\text{,}$ نكون قد أضفنا $4$ إلى $a_0$ ما مجموعه $n$ مرات. لذلك تكون الصيغة المغلقة للمتتالية

$$\begin{equation*} a_n = 2 + 4n\text{.} \end{equation*}$$

ينطبق هذا على أي متتالية حسابية. أي إن أي متتالية ذات فرق ثابت ستكون لها صيغة مغلقة خطية (linear)، حيث يكون «ميل» الدالة الخطية هو الفرق المشترك (common difference).

المتتاليات الحسابية.

إذا اختلفت حدود متتالية بمقدار ثابت، نقول إن المتتالية حسابية. وإذا كان حدها الابتدائي ($a_0$) هو $a$، وكان الفرق المشترك هو $d\text{,}$ فلدينا:

التعريف التعاودي: $a_n = a_{n-1} + d$ مع $a_0 = a\text{.}$

الصيغة المغلقة: $a_n = a + dn\text{.}$

كما فعلنا في المثال أعلاه، نحتاج في التعريف التعاودي إلى تحديد $a_0\text{.}$ ثم نحتاج إلى التعبير عن $a_n$ بدلالة $a_{n-1}\text{.}$ فإذا سمّينا الحد الأول $a\text{,}$ كان $a_0 = a\text{.}$ وبحسب تعريف المتتالية الحسابية، يكون الفرق بين الحدود المتتالية ثابتًا ما، ولنسمّه $d\text{.}$ إذن $a_n - a_{n-1} = d\text{,}$ أو بعبارة أخرى:

$$\begin{equation*} a_0 = a \qquad a_n = a_{n-1} + d\text{.} \end{equation*}$$

لنوضح الآن لماذا الصيغة المغلقة صحيحة. إحدى الطرق لذلك هي استخدام تقنية تسمى أحيانًا الاختزال التلسكوبي (telescoping)، وهو اسم نأمل أن يتضح معناه بعد قليل.

نكتب العلاقة التعاودية في صورة الفرق، $a_n - a_{n-1} = d$، لجميع الحدود بدءًا من $a_1$ وصولًا إلى $a_n\text{.}$ فنحصل على ما يلي:

$$\begin{align*} a_1 - a_0 = \amp d\\ a_2 - a_1 = \amp d\\ a_3 - a_2 = \amp d\\ \vdots \amp \\ a_{n-1} - a_{n-2} = \amp d\\ a_n - a_{n-1} = \amp d\text{.} \end{align*}$$

نجمع الآن المعادلات الـ $n$ جميعها.

في الطرف الأيمن، أضفنا $d$ إلى نفسه $n$ مرات، فيكون المجموع $d\cdot n\text{.}$

وفي الطرف الأيسر، نحصل على المجموع:

$$\begin{equation*} (a_1 - a_0) + (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \cdots + (a_{n-1} - a_{n-2}) + (a_n - a_{n-1})\text{.} \end{equation*}$$

لكن انظر إلى ما يحدث عندما نعيد التجميع ونلغي الحدود المتشابهة:

$$\begin{equation*} \cancel{a_1} - a_0 + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_3} - \cancel{a_2} + \cdots + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + a_n - \cancel{a_{n-1}} = a_n - a_0\text{.} \end{equation*}$$

ينكمش المجموع تلسكوبيًا إلى صورة لطيفة ومضغوطة يسهل تخزينها.

بوضع الطرفين معًا نحصل على

$$\begin{equation*} a_n - a_0 = d \cdot n \end{equation*}$$

والتي تصبح

$$\begin{equation*} a_n = a_0 + d \cdot n \end{equation*}$$

كما قلنا.

الاختزال التلسكوبي الذي أجريناه أعلاه مفيد في سياقات أخرى (انظر التمرين 6)، لكن بعد أن أثبتنا صورة عامة للصيغة المغلقة، يمكننا تطبيقها على أي متتالية حسابية.

مثال 4.2.1.

أوجد تعريفات تعاودية وصيغًا مغلقة للمتتاليات الحسابية أدناه. افترض أن أول حد مدرج هو $a_0\text{.}$

1. $2, 5, 8, 11, 14, \ldots\text{.}$
2. $50, 43, 36, 29, \ldots\text{.}$

الحل. ينبغي أولًا أن نتحقق من أن هذه المتتاليات حسابية بالفعل بأخذ فروق الحدود المتتالية. وسيكشف ذلك عن الفرق المشترك $d\text{.}$

1. $5-2 = 3\text{,}$ و$8-5 = 3\text{,}$ وهكذا. للانتقال من كل حد إلى التالي نضيف ثلاثة، إذن $d = 3\text{.}$ لذلك يكون التعريف التعاودي $a_n = a_{n-1} + 3$ مع $a_0 = 2\text{.}$ والصيغة المغلقة هي $a_n = 2 + 3n\text{.}$
2. الفرق المشترك هنا هو $-7\text{,}$ لأننا نضيف $-7$ إلى 50 لنحصل على 43، وهكذا. ومن ثم لدينا التعريف التعاودي $a_n = a_{n-1} - 7$ مع $a_0 = 50\text{.}$ والصيغة المغلقة هي $a_n = 50 - 7n\text{.}$

قسم فرعي: المتتاليات الهندسية

ماذا عن متتاليات مثل $3, 6, 12, 24, 48, \ldots\text{?}$ هذه ليست حسابية لأن الفرق بين الحدود ليس ثابتًا. لكن النسبة بين الحدود المتتالية ثابتة: $\frac{6}{3} = \frac{12}{6} = \frac{24}{12} = \cdots = 2$. نسمي هذه المتتاليات هندسية.

إدراك أن المتتالية هندسية يتيح لنا كتابة تعريف تعاودي بسهولة: $a_n = 2 a_{n-1}\text{,}$ مع $a_0 = 3\text{.}$

ليس من الصعب أيضًا استنتاج صيغة مغلقة. كيف نحصل على الحد $a_3$ مثلًا؟ نبدأ بـ $3\text{,}$ ثم نضرب في 2 للحصول على $a_1\text{,}$ ونضرب في $2$ مرة أخرى للحصول على $a_2\text{,}$ ونضرب في $2$ مرة ثالثة للحصول على $a_3\text{.}$ إذن ضربنا $3$ في $2$ ما مجموعه ثلاث مرات، أي $a_3 = 3\cdot 2^3\text{.}$ يبدو أن $a_n = 3\cdot 2^n\text{.}$

عمومًا، سيكون التعريف التعاودي للمتتالية الهندسية ذات الحد الابتدائي $a$ والنسبة المشتركة (common ratio) $r$ هو

$$\begin{equation*} a_n = a_{n-1}\cdot r; a_0 = a\text{.} \end{equation*}$$

للحصول على الحد التالي، نضرب الحد السابق في $r\text{.}$

لإيجاد الصيغة المغلقة العامة، يمكننا تجربة شيء يشبه الاختزال التلسكوبي مرة أخرى، لكننا سنحتاج إلى اختزال كسور. بدلًا من ذلك، لنوضح تقنية أخرى لحل العلاقات التعاودية تسمى التكرار (iteration). الفكرة هنا هي أن نتدرج وصولًا إلى $a_n$ ونلاحظ النمط. نكتب

$$\begin{align*} a_0 \amp = a\\ a_1 \amp = a_0\cdot r\\ a_2 \amp = a_1 \cdot r = a_0\cdot r\cdot r = a_0\cdot r^2\\ a_3 \amp = a_2 \cdot r = a_0 \cdot r^2 \cdot r = a_0 \cdot r^3\\ \amp \vdots\\ a_n \amp = a_{n-1} \cdot r = a_0 \cdot r^{n-1}\cdot r = a_0 r^n\text{.} \end{align*}$$

علينا أن نضرب الحد الأول $a$ في $r$ عددًا من المرات، وتحديدًا $n$ مرات. نحصل على $a_n = a\cdot r^{n}\text{.}$

المتتاليات الهندسية.

تسمى المتتالية هندسية إذا كانت النسبة بين الحدود المتتالية ثابتة. افترض أن الحد الابتدائي $a_0$ هو $a$، وأن النسبة المشتركة هي $r\text{.}$ عندئذ لدينا:

التعريف التعاودي: $a_n = ra_{n-1}$ مع $a_0 = a\text{.}$

الصيغة المغلقة: $a_n = a\cdot r^{n}\text{.}$

مثال 4.2.2.

أوجد الصيغة التعاودية والصيغة المغلقة للمتتاليات الهندسية أدناه. مرة أخرى، أول حد مدرج هو $a_0\text{.}$

1. $\displaystyle 3, 6, 12, 24, 48, \ldots$
2. $\displaystyle 27, 9, 3, 1, 1/3, \ldots$

الحل. ابدأ بالتحقق من أن هذه المتتاليات هندسية بالفعل بقسمة كل حد على الحد السابق له. إذا كانت هذه النسبة ثابتة بالفعل، نكون قد وجدنا $r\text{.}$

1. $6/3 = 2\text{,}$ و$12/6 = 2\text{,}$ و$24/12 = 2\text{,}$ وهكذا. نعم، للانتقال من أي حد إلى التالي، نضرب في $r = 2\text{.}$ إذن التعريف التعاودي هو $a_n = 2a_{n-1}$ مع $a_0 = 3\text{.}$ والصيغة المغلقة هي $a_n = 3\cdot 2^{n}\text{.}$
2. النسبة المشتركة هي $r = 1/3\text{.}$ لذلك يكون للمتتالية التعريف التعاودي $a_n = \frac{1}{3}a_{n-1}$ مع $a_0 = 27$، والصيغة المغلقة $a_n = 27\cdot \frac{1}{3}^{n}\text{.}$

المتتاليات الهندسية هي التي يكون معدل نموها متناسبًا مع المتتالية نفسها. وكما ربما رأيت في التفاضل والتكامل، فإن الدوال الأسية (exponential functions) هي بالضبط الدوال التي تتمتع بهذه الخاصية.

في الأمثلة والصيغ أعلاه، افترضنا أن الحد الابتدائي هو $a_0\text{.}$ إذا بدأت متتاليتك بـ $a_1\text{,}$ فيمكنك بسهولة إيجاد الحد الذي كان سيشكل $a_0$ واستخدامه في الصيغة. مثلًا، إذا أردنا صيغة للمتتالية $2, 5, 8,\ldots$ وأصررنا على أن $2= a_1\text{,}$ فيمكننا إيجاد $a_0 = -1$ (بما أن المتتالية حسابية وفرقها المشترك 3، فإن $a_0 + 3 = a_1$). عندئذ تكون الصيغة المغلقة $a_n = -1 + 3n\text{.}$

ملاحظة 4.2.3.

إذا نظرت في مصادر أخرى، فقد تجد أن صيغها المغلقة للمتتاليات الحسابية والهندسية تختلف عن صيغنا. تحديدًا، قد تجد الصيغتين $a_n = a +(n-1)d$ (للحسابية) و$a_n = a\cdot r^{n-1}$ (للهندسية). أيهما صحيح؟ كلاهما! في حالتنا، نأخذ $a$ ليكون $a_0\text{.}$ أما لو جعلنا $a_1$ حدنا الابتدائي، لحصلنا على الصيغ التي تجدها في المصادر الأخرى، وهي أعقد قليلًا.

قسم فرعي: ما وراء المتتاليات الحسابية والهندسية

انظر إلى المتتالية $(T_n)_{n\ge 1}$ التي تبدأ بـ $1, 3, 6, 10, 15,\ldots\text{.}$ تسمى هذه الأعداد الأعداد المثلثية (triangular numbers)، لأنها تمثل عدد النقاط في مثلث متساوي الأضلاع (فكّر في ترتيب 10 قوارير بولينغ: صف من 4، بالإضافة إلى صف من 3، وصف من 2، وصف من 1).

هل هذه المتتالية حسابية؟ لا، لأن $3-1 = 2$ و$6-3 = 3 \ne 2\text{,}$ فلا يوجد فرق مشترك. هل المتتالية هندسية؟ لا. $3/1 = 3$، لكن $6/3 = 2\text{,}$ فلا توجد نسبة مشتركة. ماذا نفعل؟

لاحظ أن الفروق بين الحدود تشكل بالفعل متتالية حسابية: $2, 3, 4, 5, 6,\ldots\text{.}$ بعبارة أخرى، معدل تغير هذه المتتالية حسابي: $T_n - T_{n-1} = n\text{,}$ وهذا يعطينا مباشرة العلاقة التعاودية $T_n = T_{n-1} + n\text{.}$

طريقة أخرى للتفكير في ذلك هي أن الحد ذا الرتبة $n$ من المتتالية $(T_n)$ هو مجموع الحدود الـ $n$ الأولى من المتتالية $1,2,3,4,5,\ldots\text{.}$ إذن $(T_n)$ هي متتالية المجاميع الجزئية (partial sums) للمتتالية $1,2,3,\ldots$ (مجاميع جزئية لأننا لا نجمع جميع الحدود، وعددها لا نهائي).

ينبغي أن يصبح هذا أوضح إذا وسّعنا العلاقة التعاودية لكتابة الأعداد المثلثية على النحو الآتي:

$$\begin{align*} T_1 = 1 \amp = 1\\ T_2 = 3 \amp = 1+2\\ T_3 = 6 \amp = 1 + 2 + 3\\ T_4 = 10 \amp = 1+ 2 + 3+ 4\\ \vdots \amp \qquad \vdots\\ T_n \amp = 1 + 2 + 3 + \cdots + n\text{.} \end{align*}$$

نحن نستخدم التكرار هنا في الواقع. وكان بإمكاننا أيضًا رؤية ذلك باستخدام الاختزال التلسكوبي، مع أخذ $T_0 = 0\text{:}$

$$\begin{align*} T_1-T_0 = \amp 1\\ T_2 - T_1 = \amp 2\\ T_3 - T_2 = \amp 3\\ \vdots \amp \\ T_n - T_{n-1} = \amp n\text{.} \end{align*}$$

بجمع هذه المعادلات، يصبح الطرف الأيمن $1+2+3+\cdots + n\text{;}$ وتُلغى حدود الطرف الأيسر ليبقى فقط $T_n - T_0 = T_n\text{.}$

إذا عرفنا كيف نجمع حدود متتالية حسابية، فيمكننا إيجاد صيغة مغلقة لمتتالية تكون فروقها هي حدود تلك المتتالية الحسابية. فكّر في كيفية إيجاد مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة المئة الأولى (أي $T_{100}$). بدلًا من جمعها بالترتيب، نعيد تجميعها ونجمع $1+100 = 101\text{.}$ والزوج التالي الذي نجمعه هو $2+99 = 101\text{.}$ ثم $3+98 = 101\text{.}$ تابع هكذا. يعطينا ذلك 50 زوجًا، مجموع كل منها $101\text{,}$ ولذلك $T_{100} = 101\cdot 50 = 5050\text{.}$^[1]

عمومًا، باستخدام النوع نفسه من إعادة التجميع، نجد أن $T_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{.}$ وبالمناسبة، هذا يساوي بالضبط ${n+1 \choose 2}\text{,}$ وهو أمر منطقي إذا فكرت في الأعداد المثلثية على أنها تعدّ المصافحات التي تحدث في حفلة يحضرها $n+1$ شخصًا: يصافح الشخص الأول $n$ أشخاص، ويضيف التالي $n-1$ مصافحة، وهكذا.

خلاصة كل هذا أن بعض المتتاليات، وإن لم تكن حسابية أو هندسية، يمكن تفسيرها على أنها متتاليات المجاميع الجزئية لمتتاليات حسابية وهندسية. ولحسن الحظ، توجد طرق يمكننا استخدامها لحساب هذه المجاميع بسرعة، وسنستكشفها في القسمين التاليين.

أسئلة القراءة

1.

طابق كل صيغة على اليسار مع نوع الصيغة الموصوف على اليمين.

• $a_n = 2n+3$
• حسابية؛ مغلقة
• $a_n = a_{n-1} + 3$
• حسابية؛ تعاودية
• $a_n = 3\cdot 2^n$
• هندسية؛ مغلقة
• $a_n = 3a_{n-1}$
• هندسية؛ تعاودية

2.

كيف يمكنك أن تقرر ما إذا كانت متتالية ما هي متتالية المجاميع الجزئية لمتتالية حسابية أو هندسية؟ صِف ما ستفعله للتحقق، مستخدمًا مثالًا.

3.

ما الأسئلة التي لديك؟ اكتب سؤالًا واحدًا على الأقل عن محتوى هذا القسم قد يثير فضولك أو فضول أحد زملائك بعد قراءة القسم.