المتتاليات الأسية

القسم 4.4 المتتاليات الأسية (Exponential Sequences)

الأهداف

بعد إكمال هذا القسم، ينبغي أن تكون قادرًا على ما يلي.

1. تحديد ما إذا كانت متتالية ما أسية بناءً على علاقتها التعاودية (recurrence relation).
2. تطبيق تقنية الجذور المميزة (characteristic root technique) لحل العلاقات التعاودية المناسبة.

معاينة القسم

استكشف!

لديك مجموعة كبيرة من المربعات $1\times 1$ وقطع الدومينو $1\times 2$. وتريد ترتيبها لتشكيل شريط $1 \times 15$. بكم طريقة يمكنك فعل ذلك؟

ماذا لو كانت المربعات متاحة بثلاثة ألوان مختلفة، وقطع الدومينو بأربعة ألوان مختلفة؟ ولماذا هذا السؤال الثاني أسهل من الأول؟

تلميح. ابدأ بإنشاء علاقة تعاودية. كيف ترتبط الأشرطة المختلفة $1\times 3$ و$1 \times 4$ بالأشرطة $1 \times 5$؟

رأينا في القسم 4.3 أنه إذا كانت لمتتالية ما متتالية فروق ثابتة عند مستوى ما، فإن للمتتالية صيغة مغلقة (closed formula) كثيرة الحدود (polynomial). هل توجد متتاليات لا تصبح فروقها ثابتة أبدًا؟ وكيف ستكون صيغها المغلقة؟

تأمل متتالية فيبوناتشي (Fibonacci sequence):

$$\begin{equation*} 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \ldots\text{.} \end{equation*}$$

إذا نظرنا إلى الفروق الأولى، نحصل على المتتالية الآتية:

$$\begin{equation*} 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots\text{,} \end{equation*}$$

وهي متتالية فيبوناتشي نفسها. وليس هذا مفاجئًا، لأن متتالية فيبوناتشي معرّفة بالعلاقة التعاودية $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\text{.}$ وهذا يعني بالضبط أننا للحصول على الحد التالي في المتتالية، نأخذ الحد الحالي ونضيف... حدًا من المتتالية!

بالطبع، إذا أخذنا فروقًا مرة أخرى، فسنحصل على المتتالية نفسها مجددًا، وهكذا مرارًا وتكرارًا، لذا لن تكون الفروق من الرتبة $n$ ثابتة.

متتالية أخرى لها هذا السلوك هي قوى العدد 2:

$$\begin{equation*} 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, \ldots \end{equation*}$$

وفروقها هي

$$\begin{equation*} 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, \ldots\text{.} \end{equation*}$$

يمكننا أيضًا رؤية ذلك من العلاقة التعاودية، لأن

$$\begin{equation*} a_n = 2a_{n-1} = a_{n-1} + a_{n-1}\text{.} \end{equation*}$$

معدل النمو (rate of growth) لهذه المتتالية، بل لأي متتالية هندسية (geometric sequence)، هو المتتالية نفسها.

إذا درست التفاضل والتكامل، فقد تتذكر أن الدوال التي يكون معدل تغيرها هو الدالة نفسها (أو قريبًا منها)، أي مشتقتها (derivative) في سياق التفاضل والتكامل، هي بالضبط الدوال الأسية. وهنا أيضًا، يكون معدل تغير المتتاليات الهندسية، التي لها صيغ مغلقة أسية، هو المتتاليات نفسها.

سنستكشف في هذا القسم متتاليات تتغير بمعدل يتناسب مع المتتالية نفسها، ونرى كيف تكون لها جميعًا صيغة مغلقة أسية، أو صورة معدّلة منها.

ورقة عمل: نشاط تمهيدي

1.

تفعيل. تأمل العلاقة التعاودية

$$\begin{equation*} a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} \text{.} \end{equation*}$$

بما أن الحد ذا الرتبة $n$ يُعطى بوصفه تركيبًا من الحدين السابقين، فسنحتاج إلى حدين ابتدائيين لتحديد المتتالية. وستعطي الحدود الابتدائية المختلفة متتاليات مختلفة.

(a)

ما المتتالية التي تحصل عليها إذا كانت الشروط الابتدائية (initial conditions) هي $a_0 = 1\text{,}$ و$a_1 = 2\text{?}$ أعطِ الحدود الخمسة الأولى (بما فيها 1 و2).

(b)

بناءً على الحدود الأولى، ما الصيغة المغلقة لهذه المتتالية؟

$a_n =$ ____

(c)

ما المتتالية التي تحصل عليها إذا كانت الشروط الابتدائية هي $a_0 = 1\text{,}$ و$a_1 = 3\text{?}$ أعطِ الحدود الخمسة الأولى.

(d)

بناءً على الحدود الأولى، ما الصيغة المغلقة لهذه المتتالية؟

$a_n =$ ____

(e)

ما المتتالية التي تحصل عليها إذا كانت الشروط الابتدائية هي $a_0 = 2\text{,}$ و$a_1 = 5\text{?}$ أعطِ الحدود الخمسة الأولى.

(f)

بناءً على الحدود الأولى، ما الصيغة المغلقة لهذه المتتالية؟

$a_n =$ ____

تلميح. كيف ترتبط حدود هذه المتتالية بحدود المتتاليتين السابقتين؟

قسم فرعي: جمع المتتاليات الهندسية: الضرب والإزاحة والطرح

افترض أن آلة حلوى توزّع الحلوى وفق متتالية هندسية، فتُعطي أولًا حبة واحدة، ثم حبتين، ثم 4، ثم 8، وهكذا. كم حبة حلوى ستكون قد حصلت عليها إجمالًا بعد تشغيل الآلة 10 مرات؟

يمكننا إنشاء متتالية المجاميع الجزئية (partial sums) على الصورة $1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, \ldots$، فنحصل على

$$\begin{equation*} 1, 3, 7, 15, 31, 63, \ldots \end{equation*}$$

هذه ليست متتالية هندسية، لكنها تكاد تكون كذلك. في الواقع، إذا أضفنا 1 إلى كل حد، نحصل على ما يبدو بوضوح أنه المتتالية الهندسية $2, 4, 8, 16, 32, 64,\ldots\text{,}$ لذا قد نخمّن أن الصيغة المغلقة لمتتالية المجاميع هي $2^{n+1} - 1\text{.}$ إذا كان هذا صحيحًا، فإن إجابة سؤال الحلوى ستكون $2^{11} - 1 = 2047\text{.}$

لكن الأكثر إثارة للاهتمام هو ملاحظة أن متتالية المجاميع الجزئية لمتتالية هندسية تكون بدورها شبه هندسية. لنفكر في كيفية إيجاد مجموع متتالية هندسية عمومًا.

لا يمكننا الاكتفاء بعكس الترتيب والجمع كما فعلنا مع مجموع متتالية حسابية (arithmetic sequence). هل ترى السبب؟ إن سبب حصولنا على الحد نفسه مضافًا إلى نفسه مرات عديدة هو وجود فرق ثابت. فحين أضفنا ذلك الفرق في اتجاه، طرحناه في الاتجاه الآخر، فبقي مجموع ثابت. أما للمجاميع الهندسية فلدينا تقنية مختلفة.

مثال 4.4.1.

ما قيمة $3 + 6 + 12 + 24 + \cdots + 12288\text{?}$

الحل. اضرب كل حد في 2، وهو النسبة المشتركة (common ratio). نحصل على $2S = 6 + 12 + 24 + \cdots + 24576\text{.}$ اطرح الآن: $2S - S = -3 + 24576 = 24573\text{.}$ وبما أن $2S - S = S\text{,}$ فقد حصلنا على الإجابة.

لنرى ما حدث في المثال السابق بصورة أوضح، يمكننا كتابته بهذه الطريقة:

$S=$	$3 \, +$	$6 + 12 + 24 + \cdots + 12288$
$- \qquad 2S=$		$6 + 12 + 24 + \cdots + 12288$	$+ 24576$
$-S =$	$3 \, +$	$0 + 0 + 0 + \cdots + 0$	$-24576$

ثم نقسم الطرفين على $-1$، فنحصل على النتيجة نفسها لـ $S\text{.}$ الفكرة هي أنه بضرب المجموع في النسبة المشتركة، يصبح كل حد هو الحد التالي. نُزيح المجموع بحيث يؤدي الطرح إلى إلغاء معظم الحدود، فلا يبقى سوى الحد الأول والحد الأخير الجديد.

مثال 4.4.2.

أوجد صيغة مغلقة لـ $S(n) = 2 + 10 + 50 + \cdots + 2\cdot 5^n\text{.}$

الحل. النسبة المشتركة هي 5. لذلك لدينا

$S$	$= 2 + 10 + 50 + \cdots + 2\cdot 5^n$
$- \qquad 5S$	$= ~~~~~~10 + 50 + \cdots + 2\cdot 5^n + 2\cdot5^{n+1}$
$-4S$	$= 2 - 2\cdot5^{n+1}$

ومن ثم $S = \dfrac{2-2\cdot 5^{n+1}}{-4}$

مع أن هذه قد تبدو تقنية جديدة، فمن المرجح أنك استخدمتها من قبل.

مثال 4.4.3.

عبّر عن $0.464646\ldots$ في صورة كسر.

الحل. ليكن $N = 0.46464646\ldots\text{.}$ تأمل $0.01N\text{.}$ نحصل على:

$N =$	$0.4646464\ldots$
$- \qquad 0.01N =$	$0.00464646\ldots$
$0.99N =$	$0.46$

إذن $N = \frac{46}{99}\text{.}$ ماذا فعلنا؟ نظرنا إلى العدد العشري الدوري (repeating decimal) $0.464646\ldots$ على أنه مجموع المتتالية الهندسية $0.46, 0.0046, 0.000046, \ldots$. النسبة المشتركة هي $0.01\text{.}$ والفرق الحقيقي الوحيد هو أننا نحسب الآن مجموعًا هندسيًا لا نهائيًا، وليس لدينا حد «أخير» إضافي نأخذه في الحسبان. وهذا في الواقع نتيجة أخذ نهاية (limit)، كما نفعل في التفاضل والتكامل حين نحسب المجاميع الهندسية اللا نهائية.

خلاصة القول، نستطيع الآن إيجاد صيغة مغلقة لمتتالية $a_n$ يكون معدل نموها دالة أسية: $a_n - a_{n-1} = b_n\text{,}$ حيث $b_n$ متتالية هندسية (أي دالة أسية). ما نوع الصيغة المغلقة التي نحصل عليها هنا؟ إنها دالة أسية أخرى!

قسم فرعي: تقنية الجذور المميزة

افترض أننا نريد حل علاقة تعاودية يُعبّر عنها بتركيب من الحدين السابقين، مثل $a_n = a_{n-1} + 6a_{n-2}\text{.}$ بعبارة أخرى، نريد إيجاد دالة في $n$ تحقق $a_n - a_{n-1} - 6a_{n-2} = 0\text{.}$ فكّر في كيفية بناء هذه المتتالية بالتكرار:

$$\begin{align*} a_2 \amp = a_1 + 6a_0 \\ a_3 \amp = a_2 + 6a_1 = a_1 + 6a_0 + 6a_1\\ a_4 \amp = a_3 + 6a_2 = a_1 + 6a_0 + 6a_1 + 6^2a_0 +6a_1 \end{align*}$$

لنتوقف هنا ونتفق على أن الأمر يزداد تعقيدًا كثيرًا. لكننا نلاحظ أنه في كل خطوة، نضرب، من بين أمور أخرى، تعبيرًا من تكرار سابق في 6. لذا ستتضمن صيغتنا المغلقة $6$ مضروبًا في نفسه عددًا من المرات. ومن المعقول إذن أن نخمن أن الحل سيحتوي على أجزاء تبدو هندسية. ربما يأخذ الحل الصورة $r^n$ لثابت ما $r\text{.}$

الجميل أننا نعرف كيف نتحقق مما إذا كانت صيغة ما حلًا بالفعل لعلاقة تعاودية: نعوّض بها. ماذا يحدث إذا عوّضنا بـ $r^n$ في العلاقة التعاودية أعلاه؟ نحصل على

$$\begin{equation*} r^n - r^{n-1} - 6r^{n-2} = 0\text{.} \end{equation*}$$

حل الآن لإيجاد $r\text{:}$

$$\begin{equation*} r^{n-2}(r^2 - r - 6) = 0\text{,} \end{equation*}$$

وبالتحليل إلى عوامل، نجد $r = -2$ أو $r = 3$ (أو $r = 0\text{,}$ وإن كان ذلك لا يساعدنا). يخبرنا هذا أن $a_n = (-2)^n$ حل للعلاقة التعاودية، وكذلك $a_n = 3^n\text{.}$ أيهما الصحيح؟ كلاهما، ما لم نحدد شروطًا ابتدائية. لاحظ أنه يمكننا أيضًا أن نأخذ $a_n = (-2)^n + 3^n\text{.}$ أو $a_n = 7(-2)^n + 4\cdot 3^n\text{.}$ في الواقع، لأي $a$ و$b\text{,}$ يكون $a_n = a(-2)^n + b 3^n$ حلًا (جرّب التعويض بذلك في العلاقة التعاودية). ولإيجاد قيمتي $a$ و$b\text{,}$ استخدم الشروط الابتدائية.

يوجهنا هذا نحو تقنية أعم لحل العلاقات التعاودية. لاحظ أننا سنستطيع دائمًا إخراج $r^{n-2}$ عاملًا مشتركًا كما فعلنا أعلاه. لذا فإن ما يهمنا حقًا هو الجزء الآخر فقط. نسمي هذا الجزء الآخر المعادلة المميزة (characteristic equation) للعلاقة التعاودية. ونريد إيجاد جذور المعادلة المميزة، التي تسمى (يا للمفاجأة) الجذور المميزة (characteristic roots).

الجذور المميزة.

إذا كانت لدينا العلاقة التعاودية $a_n + \alpha a_{n-1} + \beta a_{n-2} = 0\text{,}$ فإن كثيرة الحدود المميزة (characteristic polynomial) هي

$$\begin{equation*} x^2 + \alpha x + \beta \end{equation*}$$

وهذا يعطينا المعادلة المميزة:

$$\begin{equation*} x^2 + \alpha x + \beta = 0\text{.} \end{equation*}$$

إذا كان $r_1$ و$r_2$ جذرين مختلفين لكثيرة الحدود المميزة (أي حلين للمعادلة المميزة)، فإن حل العلاقة التعاودية هو

$$\begin{equation*} a_n = ar_1^n + br_2^n\text{,} \end{equation*}$$

حيث $a$ و$b$ ثابتان تحددهما الشروط الابتدائية.

مثال 4.4.4.

حل العلاقة التعاودية $a_n = 7a_{n-1} - 10 a_{n-2}$ مع $a_0 = 2$ و$a_1 = 3\text{.}$

الحل. أعد كتابة العلاقة التعاودية على الصورة $a_n - 7a_{n-1} + 10a_{n-2} = 0\text{.}$ كوّن الآن المعادلة المميزة:

$$\begin{equation*} x^2 - 7x + 10 = 0 \end{equation*}$$

وحل لإيجاد $x\text{:}$

$$\begin{equation*} (x - 2) (x - 5) = 0\text{,} \end{equation*}$$

إذن $x = 2$ و$x = 5$ هما الجذران المميزان. ونعرف بالتالي أن حل العلاقة التعاودية سيأخذ الصورة

$$\begin{equation*} a_n = a 2^n + b 5^n\text{.} \end{equation*}$$

لإيجاد $a$ و$b\text{,}$ عوّض بـ $n =0$ و$n = 1$ للحصول على نظام من معادلتين بمجهولين:

$$\begin{align*} 2 \amp = a 2^0 + b 5^0 = a + b\\ 3 \amp = a 2^1 + b 5^1 = 2a + 5b\text{.} \end{align*}$$

بحل هذا النظام نحصل على $a = \frac{7}{3}$ و$b = -\frac{1}{3}\text{,}$ لذا يكون حل العلاقة التعاودية

$$\begin{equation*} a_n = \frac{7}{3}2^n - \frac{1}{3} 5^n\text{.} \end{equation*}$$

لعل أشهر علاقة تعاودية هي $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\text{,}$ وهي، مع الشرطين الابتدائيين $F_0 = 0$ و$F_1= 1$، تعرّف متتالية فيبوناتشي. لكن لاحظ أن هذه بالضبط من نوع العلاقات التعاودية التي يمكننا استخدام تقنية الجذور المميزة معها. وحين نفعل ذلك، لا يتغير سوى أن المعادلة المميزة لا تتحلل إلى عوامل، لذا علينا استخدام الصيغة العامة للمعادلة التربيعية (quadratic formula) لإيجاد الجذور المميزة. وفي الواقع، يعطينا ذلك ثالث أشهر عدد غير نسبي، $\varphi\text{,}$ وهو النسبة الذهبية (golden ratio).

قبل أن نترك تقنية الجذور المميزة، ينبغي أن نفكر فيما قد يحدث عند حل المعادلة المميزة. لدينا أعلاه مثال تكون فيه لكثيرة الحدود المميزة جذور مختلفة عددها اثنان. وقد تكون هذه الجذور أعدادًا صحيحة، أو ربما أعدادًا غير نسبية (يتطلب إيجادها الصيغة العامة للمعادلة التربيعية). وفي هذه الحالات، نعرف صورة حل العلاقة التعاودية.

لكن من الممكن أن يكون لكثيرة الحدود المميزة جذر واحد فقط. قد يحدث هذا إذا تحللت كثيرة الحدود المميزة إلى $(x - r)^2\text{.}$ ويظل $r^n$ حلًا للعلاقة التعاودية، لكننا لن نستطيع إيجاد حلول لجميع الشروط الابتدائية باستخدام الصورة العامة $a_n = ar_1^n + br_2^n\text{,}$ لأننا لا نستطيع التمييز بين $r_1^n$ و$r_2^n\text{.}$ لكن الحظ يحالفنا:

تقنية الجذور المميزة للجذور المكررة (Repeated Roots).

افترض أن العلاقة التعاودية $a_n = \alpha a_{n-1} + \beta a_{n-2}$ لها كثيرة حدود مميزة ذات جذر واحد فقط $r\text{.}$ عندئذ يكون حل العلاقة التعاودية

$$\begin{equation*} a_n = ar^n + bnr^n \end{equation*}$$

حيث $a$ و$b$ ثابتان تحددهما الشروط الابتدائية.

لاحظ $n$ الإضافية في $bnr^n\text{.}$ يتيح لنا هذا إيجاد الثابتين $a$ و$b$ من الشروط الابتدائية.

مثال 4.4.5.

حل العلاقة التعاودية $a_n = 6a_{n-1} - 9a_{n-2}$ مع الشرطين الابتدائيين $a_0 = 1$ و$a_1 = 4\text{.}$

الحل. كثيرة الحدود المميزة هي $x^2 - 6x + 9\text{.}$ نحل المعادلة المميزة

$$\begin{equation*} x^2 - 6x + 9 = 0 \end{equation*}$$

بالتحليل إلى عوامل:

$$\begin{equation*} (x - 3)^2 = 0, \end{equation*}$$

إذن $x =3$ هو الجذر المميز الوحيد. ولذلك نعرف أن حل العلاقة التعاودية يأخذ الصورة

$$\begin{equation*} a_n = a 3^n + bn3^n \end{equation*}$$

لثابتين ما $a$ و$b\text{.}$ استخدم الآن الشروط الابتدائية:

$$\begin{align*} a_0 = 1 \amp = a 3^0 + b\cdot 0 \cdot 3^0 = a\\ a_1 = 4 \amp = a\cdot 3 + b\cdot 1 \cdot3 = 3a + 3b\text{.} \end{align*}$$

بما أن $a = 1\text{,}$ نجد أن $b = \frac{1}{3}\text{.}$ لذلك يكون حل العلاقة التعاودية

$$\begin{equation*} a_n = 3^n + \frac{1}{3}n3^n\text{.} \end{equation*}$$

مع أننا لن نتناول أمثلة أعقد من هذه، يمكن تطبيق تقنية الجذور المميزة على علاقات تعاودية أعقد بكثير. مثلًا، للعلاقة $a_n = 2a_{n-1} + a_{n-2} - 3a_{n-3}$ كثيرة الحدود المميزة $x^3 - 2 x^2 - x + 3\text{.}$ وإذا عرفنا كيف نحلل كثيرة حدود كهذه من الدرجة 3 (أو أعلى) إلى عوامل، فيمكننا بسهولة إيجاد الجذور المميزة، ومن ثم حل العلاقة التعاودية (سيأخذ الحل صورة $a_n = ar_1^n + br_2^n + cr_3^n$ إذا كانت هناك 3 جذور مختلفة). ومن الممكن أيضًا أن تكون الجذور المميزة أعدادًا مركبة (complex numbers).

لكن تقنية الجذور المميزة لا تفيد إلا في حل العلاقات التعاودية ذات صورة معينة: يُعطى $a_n$ بوصفه تركيبًا خطيًا (linear combination) من عدد من الحدود السابقة. تسمى هذه العلاقات علاقات تعاودية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة (linear homogeneous recurrence relations with constant coefficients). وتشير كلمة «متجانسة» إلى عدم وجود حد إضافي في العلاقة التعاودية سوى مضاعفات حدود $a_j$. مثلًا، العلاقة $a_n = 2a_{n-1} + 1$ غير متجانسة بسبب الثابت الإضافي 1. توجد طرق عامة لحل مثل هذه العلاقات، لكننا لن نتناولها هنا إلا باستخدام الاختزال التلسكوبي (telescoping) أو التكرار (iteration) الموصوفين أعلاه.

أسئلة القراءة

1.

أي من العلاقات التعاودية التالية مناسبة لتجربة تقنية الجذور المميزة عليها؟ اختر جميع ما ينطبق.

• $a_n = 3a_{n-1} + a_{n-2}$
• صحيح: يُكتب $a_n$ بدلالة مضاعفات الحدود السابقة فقط.
• $a_n = a_{n-1}+2a_{n-2} + 3a_{n-3}$
• تصلح هذه أيضًا، لكن كثيرة الحدود المميزة ستكون من الدرجة 3، لذا سيكون إيجاد الجذور المميزة صعبًا.
• $a_{n} = \frac{1}{3}\cdot 2^n + \frac{2}{3}(-1)^n$
• يبدو أن هذه هي الصيغة المغلقة التي قد تنتج عن تطبيق تقنية الجذور المميزة، لكنها ليست صيغة تعاودية.
• $a_n = a_{n-1} + 3a_{n-2} + 5$
• تمنعنا إضافة الثابت من استخدام تقنية الجذور المميزة مباشرة. ومع أن هناك طرقًا للتعامل مع ذلك، فإننا لم نتناولها في هذا القسم.
• $x^2 -3x - 1 = 0$
• قد تكون هذه كثيرة حدود مميزة (وهي في الواقع كذلك للمتتالية المعطاة بالعلاقة $a_n = 3a_{n-1} + a_n$)، لكنها ليست في حد ذاتها تعريفًا تعاوديًا.

2.

في أي خطوة تحتاج إلى الرجوع إلى الشروط الابتدائية عند تطبيق تقنية الجذور المميزة؟ ماذا سيحدث إن لم تستخدم هذه الشروط؟ وضّح.

3.

ما الأسئلة التي لديك؟ اكتب سؤالًا واحدًا على الأقل عن محتوى هذا القسم قد يثير فضولك أو فضول أحد زملائك.