البنى المنفصلة

جرّب 0.2.1.

اقضِ بضع دقائق في التفكير في الأسئلة أعلاه. ثم اكتب 2-3 جمل تصف ما دار في ذهنك. لا يلزمك إيجاد حلٍّ كامل، لكن ينبغي أن تصف ما يمكنك تجربته وما تظن أنك ستضطر إلى فعله لإيجاد حل.

ونحن نتبع في الرياضيات المتقطعة منهجًا قائمًا على حل المسائل: سندرس مجموعة كبيرة ومتنوعة من الأسئلة ذات الطابع المتقطع، وسنبحث في كيفية الإجابة عنها (وفي إثبات صحّة إجاباتنا). وليست هذه الطريقة الوحيدة لدراسة الرياضيات المتقطعة. فهناك منهج آخر هو دراسة الأدوات المستخدَمة في حل المسائل. لو كنا طلاب رسم لدرسنا الفرش والمساند وتركيب الطلاء، وهو أمر مثير للاهتمام بلا شك، لكنني أعتقد أن رسم تلك الأشجار الصغيرة السعيدة أمتع بكثير.

ومع ذلك، فإن فهم أدواتك يساعدك على استخدامها، لذا سندرس في هذا القسم بعض الأدوات الأساسية المستخدمة في الرياضيات المتقطعة. وسنعود إلى هذه الأدوات في مختلف مواضع دراستنا ونتفهّمها أكثر كلّما احتجنا إلى ذلك.

وتُسمّى الأدوات في مادتنا هذه البنى المتقطعة (discrete structures). فهي الكائنات الرياضية التي نستخدمها لتمثيل أجزاء المسائل التي نحلّها. وكلمة «بنية» موفّقة هنا، لأن هذه «الأشياء» لها قيودٌ ثابتة نوعًا ما تجعلها ما هي عليه، تمامًا كما أن مبنى سكنيًا ستختلف خصائصه عن خصائص حظيرة طائرات أو جسر معلّق (وهذه أنواع من البنى الفيزيائية لا البنى الرياضية، على نحو مبالغ في الوضوح كي نُفني التشبيه تمامًا).

أما البنى التي سنستخدمها أكثر من غيرها في الرياضيات المتقطعة فهي المجموعات (sets) والدوال (functions) والتتابعات (sequences) والعلاقات (relations) والرسوم البيانية (graphs). وسنستعرض الآن كلًّا منها بإيجاز. وكلما تقدّمنا في دراستنا، سنبحث كلًّا منها بمزيد من التفصيل.

قسم فرعي: المجموعات

المجموعة (set) هي مجموعة عناصر غير مرتبة (unordered). وهذا وصف غامض نوعًا ما، لكنه يكفينا ما لم نرغب في قضاء كتاب كامل في محاولة فهم المجموعات بدقّة أكبر. فمن الممكن تعريف الرياضيات كلها بالمجموعات وحدها (بل يمكن حتى تصوّر الأعداد بوصفها مجموعات)، لكننا لن نفعل هذا أيضًا. إنما نريد أن نتمكّن من الحديث عن مجموعات من الأعداد وأشياء أخرى، وسنجمعها في شيء نسمّيه مجموعة.

ويمكننا وصف المجموعات بأن نقول بالضبط ما العناصر التي تنتمي إلى المجموعة. ويمكننا تحديد هذه العضوية بالكلمات (مثل: ليكن $A$ مجموعة جميع الأعداد الطبيعية الأصغر من 10)، أو بصياغة جميع العناصر صراحةً، مثل $A = \{3, 5, 7\}$، أو بما يُسمّى التعبير المُعرِّف للمجموعة (set comprehension)، ويسمى أيضًا صيغة بناء المجموعات (set builder notation). ومثال على ذلك $A = \{x \in \N \st x \lt 10\}\text{.}$ ونقرأ ذلك على النحو التالي: «$A$ هي مجموعة الأعداد الطبيعية التي تحقّق الصفة التالية: أنها أصغر من 10.» والأدق من ذلك أن الرمز $\N$ يمثّل الأعداد الطبيعية، وهي في نفسها مجموعة: $\N = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ (وهذا يبيّن طريقة أخرى لوصف المجموعة). ويعني الرمز $\in$ «ينتمي إلى». أما الرمز $\st$ فيُقرأ «بحيث»، وهو يخبرنا بأن ما يأتي بعده هو الشرط الذي يجب أن يتحقّق في عناصر المجموعة.

بالمناسبة...

في هذا الكتاب نعرّف الأعداد الطبيعية (natural numbers) بأنها الأعداد الكلية ابتداءً من 0. فليس كل كتاب يضمّ 0 إلى هذه المجموعة. ويعتمد ذلك إلى حدٍّ كبير على مجال الرياضيات الذي تدرسه.

ولأن هناك طرائق متعددة لوصف المجموعة نفسها، ينبغي أن نحرص على معنى كون المجموعات متساوية أو مختلفة. فالمجموعة محدَّدة بعضويتها، ولذلك تصف الصيغ التالية بالضبط المجموعة نفسها:

1. $\{1, 2, 3, 4\}\text{.}$
2. $\{1, 2, 1+1, 1+2, 2+2\}\text{.}$ (كم عدد الأعداد التي تنتمي إلى هذه المجموعة؟ إنه ليس 5.)
3. $\{2, 4, 1, 3\}\text{.}$ (المهم كله هو العناصر التي في المجموعة، لا الترتيب الذي كُتبت به.)
4. $\{x \in \N \st x \lt 5 \text{ and } x \ge 1\}\text{.}$

وهناك أشياء كثيرة يمكنك فعلها بالمجموعات، وسننظر إليها بمزيد من التفصيل كلّما احتجنا إلى ذلك. سنرى أنه من المفيد غالبًا بناء مجموعات جديدة من مجموعات لدينا بالفعل (بأخذ اتحاد المجموعات أو تقاطعها، مثلًا)، ومقارنة المجموعات (بسؤال ما إذا كانت مجموعة مجموعةً جزئيةً من أخرى)، وإيجاد عدد عناصر المجموعة (ويسمى ذلك عدد المجموعة (cardinality)). وقد نرغب أيضًا في مطابقة عناصر مجموعة مع عناصر مجموعة أخرى: ولهذا يمكننا استخدام دالة، وسنتناولها في ما يلي. والأجمل من ذلك أننا يمكننا استخدام المجموعات نفسها لوصف الدوال. فلنرَ.

قسم فرعي: الدوال

إحدى طرائق تعريف الدالة (function) هي أنها قاعدة تُسند لكل مُدخَل مُخرَجًا واحدًا بالضبط. ويُسمّى المُخرَج الناتج (image) للمُدخَل. وتأتي الدوال أيضًا مع نطاق (domain)، وهو مجموعة جميع المُدخلات، ومع مجموعة قيم (codomain)، وهي مجموعة جميع المخرجات المسموح بها. وقد تتحدّث أيضًا عن مدى (range) الدالة، وهو مجموعة جميع المخرجات الفعلية، أو بصيغة أخرى مجموعة جميع نتائج عناصر النطاق.

ونكتب $f:X \to Y$ لوصف دالة اسمها $f\text{,}$ ونطاقها $X$ ومجموعة قيمها $Y\text{.}$ لكن هذا لا يخبرنا بِأيّ دالة تكون $f$ تحديدًا. فلتعريف الدالة علينا أن نصف القاعدة. وكثيرًا ما يتم ذلك بصيغة (formula) (فمثلًا، $f(x) = x^2$ تعني أن كل عنصر في النطاق يُرسَل إلى مربّعه)، أو بالكلمات (كما وصفنا توًّا دالة التربيع). ويمكننا أيضًا أن نعرّف دالةً بجدول أو برسم بياني.

والأمر الجوهري الذي يجعل القاعدة دالة هو وجود مُخرَج واحد بالضبط لكل مُدخَل. أي أن القاعدة يجب أن تكون قاعدةً سليمة. فما المُخرَج الذي نُسنده إلى المُدخَل 7؟ فلا يمكن أن يكون هناك سوى إجابة واحدة لأي دالة بعينها.

ولأن الدالة تُسند مجموعة (النطاق) إلى مجموعة أخرى (مجموعة القيم)، فهناك علاقة واضحة بين المجموعات والدوال. غير أن هناك علاقة أخرى تستحق النظر: فغالبًا ما يُوصف الرسم البياني لدالة بأنه مجموعة من النقاط. وإليك مثالًا على ذلك.

مثال 0.2.2.

لتكن الدالة $f:\{1,2,3\} \to \{2, 4, 6\}$ المعرَّفة بـ $f(x) = 2x\text{.}$ ولو أردنا أن نرسم رسمًا بيانيًا لهذه الدالة، لرسمنا النقاط $(1,2)\text{,}$ $(2,4)\text{,}$ و$(3,6)$ (لكننا لن نصل هذه النقاط بخطوط، لأننا ندرس الرياضيات المتقطعة؛ فالنطاق يحتوي ثلاثة عناصر فقط، لا عددًا لا نهائيًا منها فيما بينها).

وعليه فإن مجموعة النقاط المرتبطة بالدالة هي $\{(1,2), (2, 4), (3,6)\}\text{.}$ بل إن مجموعة النقاط هذه مرتبطة بدقة بهذه الدالة (وبها وحدها). ومن ثم يمكننا أن نفكّر في مجموعة النقاط هذه بوصفها الدالة نفسها.

بالطبع، نستخدم هنا كائنًا رياضيًا: وهو زوج مُرتَّب (ordered pair). وهذا ليس مجموعة (لأن المجموعات غير مرتبة). فكيف نتحدّث عن الأشياء المرتّبة؟ وسنتناول هذا السؤال في القسم التالي.

وهناك اعتبار واحد مهم آخر بشأن كيفية تعريف الدالة بقاعدة. فالصيغة المغلقة (closed formula) هي الصيغة التي يُعطى فيها كل مُخرَج بقاعدة صريحة تعتمد على مُدخَله وحده. وهذا هو ما يفكّر فيه معظمنا حين نقول «صيغة». فمثلًا، $f(n) = 3n + 1$ صيغة مغلقة، إذ لإيجاد $f(5)$ (مثلًا) نأخذ المُدخَل 5 ونطبّق عليه شيئًا: نضربه في 3 ثم نضيف 1.

فما الذي يمكن أن تكونه صيغة غير ذلك؟ فالتعريف التعاودي (recursive definition) لدالة يخبرنا بكيفية حساب المُخرَج لمُدخَل معيّن بناءً على مخرجات أخرى للدالة نفسها. فمثلًا، قد نُلحّ بالمعادلة $f(n) = 2\cdot f(n-1)\text{.}$ ولو حدّدنا أيضًا شرطًا ابتدائيًا مفاده $f(0) = 3\text{,}$ لاستطعنا إيجاد $f(1) = 2\cdot 3 = 6\text{,}$ ثم $f(2) = 2\cdot 6 = 12\text{,}$ وهكذا. فما قيمة $f(5)$ هنا؟ والطريق الوحيد للإجابة عن ذلك هو إيجاد $f(4)\text{,}$ أي أننا نحتاج إلى إيجاد $f(3)\text{,}$ وهو أمر يمكننا فعله لأننا حسبنا $f(2)\text{.}$

وقد تكون التعريفات التعاودية للدوال أقل نفعًا في إيجاد مُخرَج بعينه، لكنها غالبًا أسهل في الصياغة لتطبيق معيّن. وسنستكشف هذه الظاهرة أكثر حين ندرس التتابعات. وبمناسبة الحديث عن التتابعات…

قسم فرعي: التتابعات

قد نكون مهتمين في أحيان كثيرة بمجموعة الأعداد نفسها، لا بمضمونها فحسب بل وبالترتيب الذي تظهر به. وفي هذه الحالات لا يمكننا استخدام المجموعات، لأنها لا تميّز بين ترتيب عناصرها. بل نأخذ في الحسبان التتابعات (sequences).

وسندرس التتابعات المنتهية واللامنتهية معًا. وقد يكون التتابع المنتهي شيئًا بسيطًا مثل $(1,2,3)\text{;}$ أي تتابعًا من 3 عناصر، بذلك الترتيب بعينه. وقد نسمّيه أيضًا ثلاثيًا مُرتَّبًا (ordered triple)، تمامًا كما أن $(7,3)$ زوج مُرتَّب. وبوجه عام، يمكننا تسمية هذا $n$-متعددًا إذا كان يحتوي على $n$ عنصرًا (ونفترض أن المتعددات مُرتَّبة).

والفارق الجوهري بين التتابع $(1,2,3)$ والمجموعة $\{1,2,3\}$ هو أننا «نهتم» بالترتيب. أي أن التتابع $(1,2,3)$ يختلف عن التتابع $(2,3,1)\text{,}$ بينما المجموعة $\{1,2,3\}$ تطابق $\{2,3,1\}\text{.}$

وسنستخدم التتابعات كثيرًا أداةً للعدّ. فمثلًا، من أبسط أسئلة العدّ: «كم عدد العجلات في 100 سيارة؟» وبدلًا من الإجابة عن هذا السؤال وحده، يمكننا تعميمه بأن نسأل كم عدد العجلات في $n$ سيارة، فنحصل على تتابع من الإجابات. ويؤدي هذا إلى التتابع اللامنتهي $(4, 8, 12, \ldots )\text{.}$ يهمّنا الترتيب الذي تظهر به هذه المضاعفات للعدد 4، لأن كل عدد في التتابع يقابل صيغةً معيّنة من السؤال.

ومن المفيد تمامًا أن نتصوّر تتابع الأعداد على أنه قائمة مُرتَّبة. ويمكننا أن نسمّي الحدود ببساطة $$\begin{equation*} a_0, a_1, a_2,\ldots \end{equation*}$$، وأن نسمّي التتابع كله $(a_n)_{n\ge 0}$ أو $(a_n)_{n\in \N}\text{.}$

وإذا أردنا أن نكون أدقّ وأكثر تجريدًا، يمكننا أن نتصوّر التتابع على أنه دالة. يكون النطاق هو الأعداد الطبيعية أو مجموعة جزئية من أعداد طبيعية متتالية (مثل $\{1,2,3,4\}$). وتكون مجموعة القيم مجموعة ما. ونتصوّر النطاق على أنه مواضع الحدود في التتابع، ونتائج تلك المداخل على أنها حدود التتابع.

فمثلًا، يمكننا النظر في متتابع فيبوناتشي (Fibonacci sequence) $(f_n)_{n\ge 1}\text{,}$ الذي يبدأ $1, 1, 2, 3, 5, 8,\ldots\text{.}$ فما هو الحد الرابع في هذا التتابع؟ يمكننا القول $f_4 = 3$ (وهذا يفترض أن العدد 1 الأول هو الحد الأول وليس الحد الصفري). ولاحظ أنه لا يمكن أن يوجد سوى حدٍّ رابع واحد. فلا يمكن أن يوجد سوى حدٍّ واحد ذي الرتبة $n$ مهما كانت قيمة $n\text{.}$ فلكل مُدخَل (موضع الحد) هناك مُخرَج واحد فقط (الحد نفسه). ومن المعقول تمامًا أن نكتب $f(4) = 3\text{,}$ وهو ما يبدو حقًا وكأنه دالة. لكننا نفضّل استخدام الدلائل السفلية.

ويمكننا أيضًا وصف حدود التتابع باستخدام جدول. وقد نكتب شيئًا على النحو التالي:

$n$	1	2	3	4	...
$a_n$	1	3	6	10	...

وهذا يبدو تمامًا مثل الطريقة التي تمثّل بها دالة، وإن كان هذا الجدول يصف تتابع الأعداد المثلثية (triangular numbers) (وسنرى لاحقًا لماذا تُسمّى بهذا الاسم).

ولأن التتابعات دوال، يمكننا استخدام أي من طرائق وصف الدوال لوصف التتابعات. وبخاصة، يمكننا إعطاء صيغة مغلقة لتتابع من خلال إعطاء الدالة التي تحدّد الحد ذي الرتبة $n$. فمثلًا، $$\begin{equation*} a_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{.} \end{equation*}$$ وبدلًا من ذلك، يمكننا تعريف تتابع تعاوديًا بأن نقول كيف ننتقل من حدٍّ إلى الذي يليه. وهذا مفيد بشكل خاص مع متتابع فيبوناتشي: $$\begin{equation*} f_n = f_{n-1} + f_{n-2}; f_1 = 1, f_2 = 1\text{.} \end{equation*}$$

وسيذهب كثير من جهدنا في فهم التتابعات إلى أخذ تعريف تعاودي وإيجاد صيغة مغلقة للتتابع. وسندرس هذا وكل ما يتعلق بالتتابعات في الفصل 4.

قسم فرعي: العلاقات

ما العلاقة بين العددين $2$ و$6$؟ أوه، أعرف: $2 \lt 6\text{.}$ وأيضًا، $6$ مضاعف للعدد $2\text{.}$ والعددان كلاهما زوجي. وهذه حقيقة أخرى: هما غير متساويين. وهذه الأربعة كلها أمثلة على علاقات (relations): الأصغر من، ومضاعف لـ، وكلاهما زوجي، وغير متساوٍ. وهناك علاقات أخرى كثيرة (بل لا عدد لها) لأزواج الأعداد.

والأمثلة أعلاه كلها علاقات ثنائية، لأنها تربط عنصرين. ويمكنك أن تنظر أيضًا في علاقات بين أكثر من عنصرين. فمثلًا، يمكننا النظر في علاقة «ثلاثية فيثاغورس» (Pythagorean triple) على ثلاثة أعداد، وهي علاقة تصمد بالضبط إذا كانت الأعداد الثلاثة أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية. وعليه فالعلاقة تصمد للثلاثية $(3,4,5)\text{,}$ لكنها لا تصمد للثلاثية $(4,5,6)$ (لأن $3^2 + 4^2 = 5^2\text{,}$ لكن $4^2 + 5^2 \ne 6^2$).

ولاحظ أننا يمكننا الحديث عن زوج أو ثلاثية تحقّق علاقة ما. ويمكننا القول إنّ زوجًا ما ينتمي إلى العلاقة. أما الطريقة الدقيقة والرسمية لتعريف العلاقة فهي أنها مجموعة من الأزواج المُرتَّبة (أو الثلاثيات، إلخ). ولنفكّر في المجموعة (اللانهائية) لجميع الأزواج المُرتَّبة $(a,b)$ بحيث $a \lt b\text{.}$ فكل عنصر في هذه المجموعة يتضمّن عددين العلاقة «الأصغر من» بينهما صحيحة، وكل زوج من الأعداد التي العلاقة بينه وبينه صحيحة هو زوج في المجموعة. ومن ثم يمكننا القول إن مجموعة الأزواج هذه هي العلاقة.

ولللعلاقات بعض الخواص المعيارية، وغالبًا ما يساعدنا تقرير ما إذا كانت علاقة معيّنة تملك خاصية بعينها على فهم تلك العلاقة فهمًا أفضل. فعلاقة «الأصغر من» مثلًا غير انعكاسية (irreflexive) لأنه لا يوجد عنصر أصغر من نفسه. وهي كذلك غير متناظرة (antisymmetric) لأنه لا يوجد عددان مختلفان $a$ و$b$ بحيث $a \lt b$ و$b \lt a\text{.}$ وهي متعدّية (transitive) أيضًا، لأنك إذا كان $a \lt b$ و$b \lt c$ فيجب أن ينتج عن ذلك $a \lt c\text{.}$ وهذه أمثلة قليلة فقط على خواص العلاقات.

ولماذا يهمّنا هذه الخواص؟ تبيّن أن بعض مجموعات الخواص تظهر معًا باستمرار، وبالنسبة إلى هذه المجموعات من الخواص يمكننا إثبات نتائج عامة عن العلاقات التي تحقّقها. فإذا استطعنا إثبات أن علاقة معيّنة انعكاسية (reflexive) ومتناظرة (symmetric) ومتعدّية (transitive) (مهما كانت هذه المصطلحات تعني)، فسنعرف أن هذه العلاقة علاقة تكافؤ (equivalence relation)، ومن ثم نعرف أنها تمتلك حزمة من الخواص الأخرى. وجزء كبير من الرياضيات المتقطعة يتناول دراسة أنواع معيّنة من العلاقات. ومن العلاقات التي أحبّها كثيرًا علاقةٌ تمنحنا رسمًا بيانيًا.

قسم فرعي: الرسوم البيانية

لتكن المجموعة $V = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{.}$ فما أزواج الأعداد من هذه المجموعة التي مجموعها 7؟ لدينا $\{1,6\}$ أو $\{2, 5\}$ أو $\{3,4\}\text{.}$ ويمكننا تصوير المجموعة والأزواج المثيرة للاهتمام (غير المُرتَّبة) (أي المجموعات الجزئية المكوّنة من عنصرين) في صورة تُسمّى رسمًا بيانيًا (graph):

ومن ناحية أخرى، قد نرغب في النظر في أزواج الأعداد التي مجموعها زوجي. وعندئذٍ سنحصل على الصورة التالية.

ونسمّي هذه البنى المتقطعة رسومًا بيانية. والرسم البياني نوع من العلاقات، علاقة متناظرة (فإذا كانت $a$ مرتبطة بـ$b\text{,}$ كانت $b$ مرتبطة بـ$a$) وغير انعكاسية (لا عنصر مرتبط بنفسه).

غير أننا نفكّر في الرسوم البيانية غالبًا على أنها رسوم لنقاط وخطوط، أو بدقّة أكبر على أنها مجموعة رؤوس مع مجموعة حواف، حيث كل حافة مجموعة جزئية مكوّنة من عنصرين من الرؤوس. ولاحظ أننا حتى هنا نستخدم البنية المجموعة لتعريف البنية الرسم البياني.

وتظهر الرسوم البيانية في تطبيقات واقعية من كل الأنواع: في الصف، يكون بعض الطلبة أصدقاء لبعضهم، فنأخذ الطلبة رؤوسًا والصداقات حواف. وفي الجغرافيا، تتشارك بعض الدول في حدود، فنأخذ الدول رؤوسًا ونصل بين زوجين من الرؤوس بحافة إذا كانت الدول تتشارك في حدود. ولعلّك تخطّط لرحلة وتريد أن تطير من دنفر إلى باريس. هل توجد رحلة مباشرة، أم أن عليك التوقف في نيوارك؟ أي: هل يحتوي رسم الرحلات الجوية على حافة بين دنفر وباريس، أم أنه يحتوي على حافة بين دنفر ونيوارك فقط وعلى حافة بين نيوارك وباريس؟ وحين يوصل سائق أمازون طرودك إلى 10 منازل في حيّك، كيف يعرف تطبيقُه الترتيب الذي يوصل به الطرود؟ نظرية الرسوم البيانية!

ودراسة الرسوم البيانية موضوع بذاته، ينال فيه كثير من الرياضيين درجة الدكتوراه ويكتبون مئات الأبحاث كل عام. وسنقتطع من سطح هذا الموضوع الشيق بقدر ضئيل في الفصل 2

قسم فرعي: بنٍى أكثر

يمكنك أن تمتد قائمة البنى بنا إلى ما لا نهاية، لكننا سنتوقف هنا. وسنقضي وقتًا قصيرًا فقط في النظر في المجموعات المتعددة (multisets)، فهي مثل المجموعات إلا أنها قد تحتوي عناصر مكرّرة. ولأن هذه ليست حصة في الهندسة، فلن ننظر في الهندسات المنتهية، ولا في التصاميم (designs) (التي تقع في مكان ما بين الرسوم البيانية والهندسات). والبنى المتقطعة مفيدة في علوم الحاسوب، لكننا سنتوقف قبل دراسة القوائم المترابطة أو أشجار الأحمر والأسود. ولأن الجبر المجرد موضوع شيق، فلن نصل إلى الزمر (groups) أو الحلقات (rings) أو الماترويدات (matroids) أو الترتيبات الجزئية (POSets) أو الجبر البولياني (Boolean algebras) أو .... وهذه أمثلة على مجموعات نعرّف عليها عمليات إضافية، ثم ندرس البنية الجبرية لكيفية تفاعل هذه المجموعات مع تلك العمليات.

والخلاصة أن الرياضيات المتقطعة رائعة، وأن يمكنك أن تخصّص لها أعمارًا عديدة من حياتك. فماذا ننتظر إذًا؟ فلننسحب إلى العمق ونحل بعض المسائل.

أسئلة القراءة

1.

عُد إلى مسألة الدومينو في بداية هذا القسم. فقد سألنا كم عدد قطع الدومينو في مجموعة دومينو من النوع مزدوج الستة. فهل هذه مجموعة حقًا، بالمعنى الرياضي الذي قصدناه؟ وما البنية المتقطعة التي ستستخدمها لتمثيل كل قطعة دومينو على حدة؟

2.

وستحتوي مجموعة دومينو مزدوجة الصفر على قطعة واحدة فقط (الوجهان يعرضان 0). وستحتوي المجموعة مزدوجة الواحد على هذه القطعة إضافة إلى قطعتي $(1,0)$ و$(1,1)\text{.}$ ويمكننا أن نتابع على هذا النحو، فننشئ تتابعًا من مجموعات الدومينو. جد الحدود الثلاثة التالية في هذا التتابع.

1, 3, , , , ...

3.

ما الأسئلة التي تدور في ذهنك بعد قراءة هذا القسم؟ اكتب سؤالًا واحدًا على الأقل عن محتوى هذا القسم يثير فضولك.