وصف المتتاليات

القسم 4.1 وصف المتتاليات

الأهداف

بعد إتمام هذا القسم، ينبغي أن تتمكّن من فعل ما يلي.

1. تستعمل الترميز المناسب لتمثيل متتالية.
2. تشرح الفرق بين الصيغة المغلقة والتعريف التكراري لمتتالية.
3. تجد تعريفًا تكراريًا لمتتالية انطلاقًا من وصفها.

معاينة القسم

استكشف!

تروى الحكاية أنّ في هانوي ديرًا، وفي قاعةٍ عظيمة فيه ثلاثة أعمدة عالية. وكان على العمود الأول 64 قرصًا عملاقًا (أو حلقة)، جميعها مختلفة الأحجام، مكدَّسة من الأكبر إلى الأصغر. وقد ظلّ رهبان الدير ينقلون الأقراص عبر أجيال، محاولين نقل كومة الأقراص بأكملها إلى العمود الثالث. غير أنّه، بحكم حجم الأقراص، لا يستطيع الرهبان نقل أكثر من قرص واحد في المرة الواحدة. ويجب أن يوضع كل قرص على أحد الأعمدة قبل نقل القرص التالي. ولأنّ الأقراص ثقيلة وهشّة إلى هذا الحدّ، لا يمكن للرهبان أبدًا أن يضعوا قرصًا أكبر فوق قرص أصغر. وحينما يُتمّ الرهبان مهمّتهم أخيرًا، ينتهي العالم.

ومهمّتك: أن تعرف كم من الوقت يمضي قبل أن نضطر إلى البدء في القلق بشأن نهاية العالم.

هذه الألغاز تُسمّى برج هانوي (Tower of Hanoi). ومطلوب منك إيجاد أصغر عدد من النقلات اللازم لإتمام اللغز. وهذا يبدو بالتأكيد كمسألة عدّ. لعلّ لديك إجابة؟ وإن لم تكن لديك، فما الذي يمكن أن نجربه بدلًا من ذلك؟

فإجابة اللغز تعتمد على عدد الأقراص التي يلزم نقلها. وفي الحقيقة، يمكننا الإجابة عن اللغز أوّلًا لقُرصٍ واحد، ثمّ لقُرصَين، ثمّ لثلاثة، وهكذا. فإذا سرّدنا جميع الإجابات لكل عدد من الأقراص، حصلت على متتالية (sequence) من الأعداد. والحدّ (term) رقم $n$ في هذه المتتالية هو الإجابة عن السؤال: «ما أصغر عدد من النقلات اللازم لإتمام لغز برج هانوي بـ$n$ قرصًا؟»

جرّب ذلك. جد أصغر عدد من النقلات اللازم لنقل كومة من $n$ قرصًا إلى عمود آخر، من أجل قيم مختلفة لـ$n\text{.}$

الشكل 4.1.1. لغز أبراج هانوي.

ولعلّك تتساءل لماذا ننشئ متتالية كهذه بدلًا من الإجابة عن السؤال مجرّدًا. فالنظر في كيفية نمو متتالية الأعداد يمنحنا فهمًا أعمق للمسألة. ومن السهل عدّ عدد النقلات اللازم لعددٍ قليل من الأقراص. يمكننا عندئذٍ البحث عن نمطٍ بين الحدود الأولى للمتتالية. وربما يقترح هذا النمط طريقةً لإيجاد الحدّ رقم $n$ في المتتالية، وهو جواب سؤالنا. وبطبيعة الحال سنحتاج أيضًا إلى التحقّق من صحّة النمط الذي نشتبه به، ومن أنّ هذا النمط الصحيح يعطينا فعلًا الحدّ رقم $n$ كما نظنّ، غير أنّه يستحيل إثبات صحّة صيغتك قبل أن تكون لديك صيغة ابتداءً.

وفي هذا القسم، سنستكشف كيفية تمثيل متتاليات الأعداد بطرقٍ مختلفة، وأنواعين من الصيغ يمكن استعمالها لوصف المتتالية. وسنرى أنّ المتتاليات كائناتٌ رياضية مثيرة للاهتمام في ذاتها أيضًا.

ورقة العمل: نشاط تمهيدي

لنُدرك متتالية لغز أبراج هانوي. استعمل الشكل 4.1.1 للإجابة عن الأسئلة التالية.

1. بيانات أبراج هانوي.

(a)

ما أصغر عدد من النقلات اللازم لنقل قرصين إلى عمود آخر؟

(b)

ما أصغر عدد من النقلات اللازم لنقل ثلاثة أقراص إلى عمود آخر؟

(c)

ما أصغر عدد من النقلات اللازم لنقل أربعة أقراص إلى عمود آخر؟

(d)

لإيجاد أصغر عدد من النقلات اللازم لنقل خمسة أقراص إلى عمود آخر، فلنجرّب ربط هذه المهمّة بمهمّة نقل أربعة أقراص. كم عدد النقلات التي تتطلّبها كلّ من المهمّات التالية؟

1. انقل أصغر أربعة أقراص إلى العمود الثاني: نقلات.
2. انقل القرص الأكبر إلى العمود الثالث: نقلات.
3. انقل أصغر أربعة أقراص إلى العمود الثالث (فوق القرص الأكبر): نقلات.

وعليه، أصغر عدد من النقلات اللازم لنقل خمسة أقراص هو:

(e)

عمّم الملاحظة الأخيرة. لتكن $a_n$ تمثّل أصغر عدد من النقلات اللازم لنقل $n$ قرصًا من عمود البداية إلى عمود آخر. عندئذٍ تمثّل $a_{n-1}$ عدد النقلات اللازم لنقل $n-1$ قرصًا إلى عمود آخر.

أعطِ صيغة لـ$a_n$ بدلالة $a_{n-1}\text{.}$

$a_n =$.

قسم فرعي: المتتاليات والصيغ

المتتالية (sequence) ليست سوى قائمةٍ مرتَّبة من الأعداد. فخلافًا لـمجموعة (set) من الأعداد، فإنّ ترتيب الأعداد في المتتالية صفةٌ جوهرية فيها. ولهذا السبب، حين نستعمل متغيّرات لتمثيل حدود (terms) متتالية، فإنّها ستبدو على النحو التالي: $$\begin{equation*} a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\text{.} \end{equation*}$$ وللإحالة إلى المتتالية بأكملها دفعةً واحدة، نكتب $(a_n)_{n\in\N}$ أو $(a_n)_{n\ge 0}\text{,}$ وأحيانًا، إن أهملنا الدقّة، نكتب $(a_n)$ فحسب (وعندئذٍ نفترض أنّنا نبدأ المتتالية بـ$a_0$).

ويمكننا استبدال $a$ بحرفٍ آخر، وأحيانًا نُسقط $a_0\text{,}$ ونبدأ بـ$a_1\text{,}$ وعندئذٍ نستعمل $(a_n)_{n \ge 1}$ للإحالة إلى المتتالية ككلّها. وتُسمّى الأعداد في الرموز السفلية دلاليل (indices)، وهي جمع دليل (index).

ومع أنّا غالبًا ما نفكّر في المتتالية بوصفها قائمةً مرتَّبة من الأعداد، فإنّها في الحقيقة نوعٌ من الدوال. وتحديدًا، المتتالية $(a_n)_{n\ge 0}$ دالةٌ نطاقها $\N$ حيث $a_n$ هي صورة العدد الطبيعي $n\text{.}$ وفيما بعد، سنتعامل مع المتتاليات بالطريقة التي تعاملت بها مع الدوال في الجبر أو في التفاضل والتكامل إلى حدٍّ بعيد. يمكننا إزاحة متتالية إلى أعلى أو إلى أسفل، أو جمع متتاليتين، أو السؤال عن معدّل التغيّر في متتالية. ويُجرى هذا كلّه تمامًا كما تفعل مع الدوال.

ومع ذلك، فإنّ إبقاء التعريف الرياضي الدقيق في الذهن مفيد، لكنّنا عادةً ما نصف المتتاليات بكتابة حدودها الأولى.

المثال 4.1.2.

هل تستطيع أن تجد الحدّ التالي في المتتاليات التالية؟

1. $\displaystyle 7,7,7,7,7, \ldots$
2. $\displaystyle 3, -3, 3, -3, 3, \ldots$
3. $\displaystyle 1, 5, 2, 10, 3, 15, \ldots$
4. $\displaystyle 1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots$
5. $\displaystyle 1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots$
6. $\displaystyle 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$
7. $\displaystyle 1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots$
8. $\displaystyle 2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$
9. $\displaystyle 3, 2, 1, 0, -1, \ldots$
10. $\displaystyle 1, 1, 2, 6, \ldots$

الحل. لا، لا يمكنك.

وقد يخطر لك أنّ الحدود التالية هي:

1. $\displaystyle 7$
2. $\displaystyle -3$
3. $\displaystyle 4$
4. 64
5. 49
6. 34
7. 28
8. 17
9. $\displaystyle -2$
10. $\displaystyle 24$

وفي الحقيقة، فإنّ تلك هي الحدود التالية للمتتاليات التي كنت أقصدها حين اخترعت هذا المثال، لكن لا سبيل إلى اليقين بأنّها صحيحة.

ومع ذلك، فإنّنا نُقدِّم هذا التخمين كثيرًا. فمعطى الحدود الأولى لمتتالية، يمكننا أن نسأل: ما الذي يقترحه النمط في المتتالية بوصفه الحدود التالية؟

ولأنّ عددًا محدودًا من الحدود الأولى لا يكفي أبدًا لتحديد المتتالية التي نتعامل معها على وجه اليقين، فإنّنا بحاجة إلى طريقة أخرى لتحديد متتالية. وسننظر في طريقتين رئيسيتين لفعل ذلك:

تعريف 4.1.3. الصيغة المغلقة.

الصيغة المغلقة (closed formula) لمتتالية $(a_n)_{n\in\N}$ هي صيغةٌ لـ$a_n$ تستعمل عددًا ثابتًا منتهيًا من العمليات على $n\text{.}$ وهذا هو ما تعنيه عادةً بصيغةٍ في $n\text{,}$ تمامًا كما لو كنتَ تعرّف دالةً بدلالة $n$ (لأنّ هذا هو ما تفعله بالضبط).

تعريف 4.1.4. التعريف التكراري.

يتكوّن التعريف التكراري (recursive definition)، المسمّى أحيانًا التعريف بالاستقراء (inductive definition)، لمتتالية $(a_n)_{n\in\N}$ من علاقة تكرارية (recurrence relation): معادلةٍ تربط حدًّا من حدود المتتالية بحدودها السابقة (الحدود ذات الدليل الأصغر)، ومن شرطٍ أوّلي (initial condition): قائمةٍ ببعض حدود المتتالية (حدًّا أقلّ بعدد الحدود الواردة في العلاقة التكرارية).

من الأسهل فهم ما يجري هنا بمثال:

المثال 4.1.5.

وهذه بعض الصيغ المغلقة لمتتاليات:

• $a_n = n^2\text{.}$
• $\d a_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{.}$
• $\d a_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt 5}{2}\right)^{-n}}{\sqrt{5}}\text{.}$

لاحظ في كل صيغة، إذا أُعطيتَ $n\text{,}$ فبإمكانك حساب $a_n$ مباشرة: يكفي أن تضع $n\text{.}$ مكانها. فمثلًا، لإيجاد $a_3$ في المتتالية الثانية، احسب $a_3 = \frac{3(3+1)}{2} = 6\text{.}$

وهذه بعض التعريفات التكرارية لمتتاليات:

• $a_n = 2a_{n-1}$ with $a_0 = 1\text{.}$
• $a_n = 2a_{n-1}$ with $a_0 = 27\text{.}$
• $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ with $a_0 = 0$ and $a_1 = 1\text{.}$

في هذه الصيغ، إذا أُعطيتَ $n\text{,}$ فلا تستطيع حساب $a_n$ مباشرةً؛ بل تحتاج أوّلًا إلى إيجاد $a_{n-1}$ (أو $a_{n-1}$ و$a_{n-2}$). في المتتالية الثانية، لإيجاد $a_3$ تأخذ $2a_2\text{,}$ أما لإيجاد $a_2 = 2a_1$ فنحتاج أن نعرف $a_1 = 2a_0\text{.}$ ونحن نعرف هذا، فبإمكاننا أن نرجع عبر هذه المعادلات لنجد $a_1 = 54\text{,}$ و$a_2 = 108$، وأخيرًا $a_3 = 216\text{.}$

ولعلّك تتساءل لماذا نشغل أنفسنا بالتعريفات التكرارية للمتتاليات. فعلى كلّ حال، فإنّ إيجاد $a_n$ بالتعريف التكراري أصعب من إيجادها بالصيغة المغلقة. وهذا صحيح، لكنّ إيجاد صيغة مغلقة لمتتالية أصعب أيضًا من إيجاد تعريف تكراري لها. ولهذا قد نجد التعريف التكراري أوّلًا، ثمّ نستعمله لإيجاد الصيغة المغلقة.

المثال 4.1.6.

مقابل هزيمة التنين الشرّير، يَعِدك الملك بمكافأة من حبة أرز واحدة في اليوم الأول، ثمّ ضعف عدد الحبوب في اليوم التالي عن اليوم السابق، لبقية الشهر.

ولكي لا تُغَالط، تُساومه وتحصل منه على موافقةٍ بأن يضيف حبّة أرز إضافية كل يوم أيضًا.

فكم حبّة أرز ستتلقّى في اليوم الثلاثين؟

الحل. يمكننا كتابة الحدود الأولى للمتتالية $(a_n)_{n \ge 1}$ التي تعطي عدد حبوب الأرز التي تتلقّاها في اليوم $n\text{.}$ فنحصل على $$\begin{equation*} 1, 3, 7, 15, \ldots\text{,} \end{equation*}$$ إذ إنّ في اليوم 4، مثلًا، تأخذ عدد حبوب الأرز التي كانت لديك في اليوم 3 (وهي كلها أي سبع حبوب)، فتضاعف ذلك وتضيف 1، فتحصل على 15. وفي اليوم التالي ستحصل على $2 \cdot 15 + 1 = 31\text{.}$

وبحساب هذه القيم فعليًا، نرى مباشرةً ما هي العلاقة التكرارية: $$\begin{equation*} a_n = 2a_{n-1} + 1\text{.} \end{equation*}$$ وهذا مبرَّر لأنّ المسألة التي تُنمذجها المتتالية تقول إنّنا نضاعف عدد الحبوب كل يوم ثمّ نضيف 1. ويمكننا قراءة العلاقة التكرارية مباشرةً من المسألة.

وكان السؤال الأصلي عن $a_{30}\text{.}$ يمكننا إيجادها باستعمال العلاقة التكرارية، لكننا سنحتاج أوّلًا إلى إيجاد $a_{29}\text{,}$ ولإيجادها سنحتاج $a_{28}\text{,}$ التي تتطلّب $a_{27}$ أوّلًا، وهكذا. ومع أنّني متأكّد أنّنا نستطيع الرجوع كلَّ الطريق حتى $a_4\text{,}$ التي وجدناها سلفًا، فإنّ هذا يبدو عملًا كثيرًا.

سيكون ألذّ بكثير أن تتوفّر لدينا صيغة مغلقة. فلو استطعنا حلّ العلاقة التكرارية وإيجاد تلك الصيغة المغلقة، لاستطعنا ببساطة أن نضع $30$ مكان $n\text{.}$

لنخمّن. تبدو المتتالية قريبة من $2, 4, 8, 16,\ldots$ التي صيغتها المغلقة $2^n\text{.}$ وحدود تلك المتتالية أكبر بمقدار واحد من حدود متتالينا، فنخمّن أنّ $$\begin{equation*} a_n = 2^n - 1\text{.} \end{equation*}$$ ولئن كنّا لا نملك سببًا وجيهاً للاعتقاد بأنّ هذا التخمين صحيح، فقد نُصدّقه لاحقًا في هذا الفصل. غير أنّه إذا كان صحيحًا، فإنّنا نكون قد ربحنا رهانًا (وإن كنا قد سئمنا الأرز إلى حدٍّ لا يُحتمل): $$\begin{equation*} a_{30} = 2^{30} - 1 = 1,073,741,823\text{.} \end{equation*}$$

وهذا لا يعني أنّ التعريفات التكرارية عديمة الفائدة في إيجاد $a_n\text{.}$ فبإمكانك دائمًا حساب $a_n$ انطلاقًا من تعريف تكراري؛ غير أنّ ذلك قد يستغرق وقتًا طويلًا فحسب.

المثال 4.1.7.

جد $a_6$ في المتتالية المعرَّفة بـ$a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}$ مع $a_0 = 3$ و$a_1 = 4\text{.}$

الحل. نعرف أنّ $a_6 = 2a_5 - a_4\text{.}$ فإيجاد $a_6$ يتطلّب إيجاد $a_5$ و$a_4\text{.}$ حسنًا $$\begin{equation*} a_5 = 2a_4 - a_3 \qquad \text{و} \qquad a_4 = 2a_3 - a_2\text{,} \end{equation*}$$ فإذا استطعنا مجرّدًا إيجاد $a_3$ و$a_2\text{,}$ لاستوفينا. وبالطبع $$\begin{equation*} a_3 = 2a_2 - a_1 \qquad \text{و} \qquad a_2 = 2a_1 - a_0\text{,} \end{equation*}$$ فلا نحتاج إلّا إلى إيجاد $a_1$ و$a_0\text{.}$ غير أنّهما معطيان لنا. إذن $$\begin{align*} a_0 \amp = 3\\ a_1 \amp = 4\\ a_2 \amp = 2\cdot 4 - 3 = 5\\ a_3 \amp = 2\cdot 5 - 4 = 6\\ a_4 \amp = 2\cdot 6 - 5 = 7\\ a_5 \amp = 2\cdot 7 - 6 = 8\\ a_6 \amp = 2\cdot 8 - 7 = 9\text{.} \end{align*}$$

لاحظ أنّنا نستطيع الآن أن نخمّن صيغة مغلقة للحدّ رقم $n$ في المتتالية: $a_n = n+3\text{.}$ وللتأكّد من أنّ هذا يصلح دائمًا، يمكننا أن نضع هذه الصيغة في العلاقة التكرارية: $$\begin{align*} 2a_{n-1} - a_{n-2} \amp = 2((n-1) + 3) - ((n-2) + 3)\\ \amp = 2n + 4 - n - 1\\ \amp = n + 3\\ \amp = a_n\text{.} \end{align*}$$

غير أنّ هذا ليس كافيًا تمامًا، إذ قد توجد صيغٌ مغلقة متعدّدة تحقّق العلاقة التكرارية نفسها؛ ويجب كذلك أن نتحقّق من أنّ صيغتنا المغلقة تتفق مع الحدود الأولى للمتتالية. وبما أنّ $a_0 = 0 + 3 = 3$ و$a_1 = 1+3 = 4$ هما الشرطان الأوّليان الصحيحان، فبإمكاننا الآن أن نستنتج أنّ صيغتنا المغلقة صحيحة.

إيجاد الصيغ المغلقة، بل وحتى التعريفات التكرارية، للمتتاليات ليس أمرًا تافهًا. فلا توجد طريقة واحدة للقيام بذلك. تمامًا كما في حساب التكاملات أو حلّ المعادلات التفاضلية، من المفيد أن تكون لديك مجموعةُ حيلٍ يمكنك تطبيقها، لكنّ أحيانًا لا توجد إجابة سهلة.

ومن الطرق المفيدة ربط متتاليةٍ معطاة بمتتالية أخرى نعرف صيغتها المغلقة سلفًا. ولإجراء ذلك نحتاج إلى بضع «متتاليات معروفة» نقارن بها المتتاليات الغامضة. وهذه بعض المتتاليات الجيّدة التي يُستحسن أن نعرفها. وسنتحقّق من صيغ هذه المتتاليات في الأقسام القادمة.

متتاليات شائعة.

$1, 4, 9, 16, 25, \ldots$

الأعداد المربّعة. متتالية $(s_n)_{n \ge 1}$ صيغتها المغلقة $s_n = n^2$

$1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots$

الأعداد المثلّثية. متتالية $(T_n)_{n \ge 1}$ صيغتها المغلقة $T_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{.}$

$1, 2, 4, 8, 16, 32,\ldots$

قوى العدد 2. المتتالية $(a_n)_{n \ge 0}$ صيغتها المغلقة $a_n = 2^n\text{.}$

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$

أعداد فيبوناتشي (Fibonacci numbers)، أو متتالية فيبوناتشي (Fibonacci sequence)، تُعرَّف تكراريًا بـ$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ مع $F_1 = F_2 = 1\text{.}$

المثال 4.1.8.

استعمل الصيغتين $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ و$a_n = 2^n$ لإيجاد صيغ مغلقة تتفق مع المتتاليات التالية. وافترض أنّ كل حدّ أوّل يقابل $n=0\text{.}$

1. $(b_n)\text{:}$ $1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, \ldots \text{.}$
2. $(c_n)\text{:}$ $3, 5, 9, 17, 33,\ldots \text{.}$
3. $(d_n)\text{:}$ $0, 2, 6, 12, 20, 30, 42,\ldots \text{.}$
4. $(e_n)\text{:}$ $3, 6, 10, 15, 21, 28, \ldots\text{.}$
5. $(f_n)\text{:}$ $0, 1, 3, 7, 15, 31, \ldots \text{.}$
6. $(g_n)$ $3, 6, 12, 24, 48, \ldots \text{.}$
7. $(h_n)\text{:}$ $6, 10, 18, 34, 66, \ldots \text{.}$
8. $(j_n)\text{:}$ $15, 33, 57, 87, 123, \ldots\text{.}$

الحل. نرغب في مقارنة هذه المتتاليات بالأعداد المثلّثية $(0, 1, 3, 6, 10, 15, 21,\ldots)\text{,}$ عندما نبدأ بـ$n=0\text{,}$ وبقوى العدد 2: $(1, 2, 4, 8, 16, \ldots)\text{.}$

1. $(1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, \ldots)\text{.}$ لاحظ أنّه إذا طرحنا 1 من كل حدّ، حصلت على المتتالية $(T_n)\text{.}$ إذن لدينا $b_n = T_n + 1\text{.}$ وعليه إحدى الصيغ المغلقة هي $b_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1\text{.}$ والتحقّق السريع من أول عِدَة قيم لـ$n$ يؤكّد أنّنا أصبنا.
2. $(3, 5, 9, 17, 33, \ldots )\text{.}$ كل حدّ في هذه المتتالية أكبر بمقدار واحد من إحدى قوى 2، فنخمّن أنّ الصيغة المغلقة هي $c_n = a_n+1 = 2^n + 1\text{.}$ لكنّنا إذا جرّبنا هذا، حصلت على $c_0 = 2^0 + 1 = 2$ و$c_1 = 2^1 + 1 = 3\text{.}$ فنحن مخطئون لأنّ الدلاليل مُزاحة. فما نريده حقًا هو $c_n = a_{n+1}+1$ أي $c_n = 2^{n+1} + 1\text{.}$
3. ($0, 2, 6, 12, 20, 30, 42,\ldots$). لاحظ أنّ كل هذه الحدود زوجية. فماذا يحدث لو استخرجنا العامل 2؟ نحصل على $(T_n)\text{!}$ وبعبارة أدقّ، نجد أنّ $d_n/2 = T_n\text{,}$ فإذن لهذه المتتالية صيغة مغلقة هي $d_n = n(n+1)\text{.}$
4. $(3, 6, 10, 15, 21, 28, \ldots)\text{.}$ هذه جميعها أعداد مثلّثية. غير أنّنا نبدأ بالعدد 3 بوصفه حدَّنا الأوّلي بدلًا من كونه حدَّنا الثالث. فلو استطعنا وضع 2 بدلًا من 0 في صيغة $T_n\text{,}$ لاستوفينا الشروط. وعليه الصيغة المغلقة هي $e_n = \frac{(n+2)(n+3)}{2}$ (حيث جاء $n+3$ من $(n+2)+1$). وحين نفكّر في المتتاليات بوصفها دوالّ، فإنّنا نُزيح أفقيًّا بمقدار 2: $e_n = T_{n+2}$، وهو ما يجعل التمثيل البياني ينزاح وحدتين إلى اليسار.
5. $(0, 1, 3, 7, 15, 31, \ldots )\text{.}$ جرّب أن تضيف 1 إلى كل حدّ، فتحصل على قوى 2. وقد يخطر لك هذا لأنّ كل حدّ يزيد قليلًا على ضعف الحدّ السابق (وقوى 2 هي تمامًا ضعف الحدّ السابق). الصيغة المغلقة: $f_n = 2^{n} - 1\text{.}$
6. $(3, 6, 12, 24, 48, \ldots )\text{.}$ هذه الأعداد أيضًا تتضاعف في كل مرة، وهي كذلك كلّها مضاعفات للعدد 3. فالقسمة على 3 تعطي 1, 2, 4, 8, … آها! فنحصل على الصيغة المغلقة $g_n = 3\cdot 2^{n}\text{.}$
7. $(6, 10, 18, 34, 66, \ldots )\text{.}$ للانتقال من حدّ إلى الذي يليه، نضاعف كل حدٍّ تقريبًا. إذن ربما يمكننا ربط هذا بـ$2^n\text{.}$ نعم، كل حدّ أكبر بمقدار 2 من إحدى قوى 2. فنحصل على $h_n = 2^{n+2} + 2$ (و$n+2$ لأنّ الحدّ الأول أكبر بمقدار 2 من $2^2\text{,}$ لا من $2^0$). أو يمكننا بدلًا من ذلك ربط هذه المتتالية بالمتتالية الثانية في هذا المثال: بدءًا من 3, 5, 9, 17, … نرى أنّ هذه المتتالية هي ضعف حدود تلك المتتالية. وكانت تلك المتتالية صيغتها المغلقة $c_n = 2^{n+1} + 1\text{.}$ فمتتالينا هنا ستكون ضعفها، أي $h_n = 2(2^n + 1)\text{,}$ وهو ما سبق أن وجدناه.
8. $(15, 33, 57, 87, 123, \ldots)\text{.}$ جرّب قسمة كل حدّ على 3. فذلك يعطي المتتالية $5, 11, 19, 29, 41,\ldots\text{.}$ والآن أضف 1 إلى كل حدّ: $6, 12, 20, 30, 42, \ldots\text{,}$ وهي $(d_n)$ في هذا المثال، إلّا أنّها تبدأ بالعدد 6 بدلًا من 0. فلنبدأ بالصيغة $d_n= n(n+1)\text{.}$ ولأجل البدء بالعدد 6، نُزيح: $(n+2)(n+3)\text{.}$ لكنّ هذا يزيد واحدًا عن اللازم، فنطرح 1: $(n+2)(n+3) - 1\text{.}$ فيعطينا ذلك متتالينا، لكن مقسومةً على 3. إذن نريد $j_n = 3((n+2)(n+3) - 1)\text{.}$

قسم فرعي: المجاميع الجزئية والفروق

تنشأ بعض المتتاليات طبيعيًا بوصفها مجموعًا لحدود متتالية أخرى.

المثال 4.1.9.

تتابع «سام» تسجيل عدد ضغطات البطن (push-ups) التي تقوم بها كل يوم من أيام تحدّيها «افعل كثيرًا من ضغطات البطن». لتكن $(a_n)_{n \ge 1}$ المتتالية التي تصف عدد ضغطات البطن في اليوم رقم $n$ من التحدّي. وتبدأ المتتالية $$\begin{equation*} 3, 5, 6, 10, 9, 0, 12, \ldots\text{.} \end{equation*}$$ صِف متتالية $(b_n)_{n \ge 1}$ تعطي العدد الإجمالي لضغطات البطن التي أنجزتها سام بعد اليوم رقم $n$.

الحل. يمكننا إيجاد حدود هذه المتتالية بسهولة تامة. $$\begin{equation*} 3, 8, 14, 24, 33, 33, 45,\ldots\text{.} \end{equation*}$$ هنا $b_1$ هو $a_1\text{,}$ لكن بعد ذلك $$\begin{equation*} b_2 = 3+5 = a_1 + a_2\text{,} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} b_3 = 3+5+6 = a_1 + a_2 + a_3\text{,} \end{equation*}$$ وهكذا.

وهناك بضع طرق يمكننا بها وصف $b_n$ عمومًا. يمكننا فعل ذلك تكراريًا على النحو التالي: $$\begin{equation*} b_n = b_{n-1} + a_n\text{,} \end{equation*}$$ لأنّ العدد الإجمالي لضغطات البطن المنجزة بعد $n$ يومًا سيكون العدد المنجز بعد $n-1$ يومًا، مضافًا إليه العدد المنجز في اليوم $n\text{.}$

ولقربان الأمر من صيغة مغلقة، يمكننا كتابة $$\begin{equation*} b_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n\text{,} \end{equation*}$$ أو الشيء نفسه باستعمال رمز الجمع (summation notation): $$\begin{equation*} b_n = \sum_{i=1}^n a_i\text{.} \end{equation*}$$ غير لاحظ أنّ هذه ليست صيغًا مغلقة حقًا، إذحتى لو كان لدينا صيغة لـ$a_n\text{,}$ فسنظلّ أمام عددٍ متزايد من الحسابات مع تزايد $n$.

وبإعطائنا أي متتالية $(a_n)_{n \in \N}\text{,}$ نستطيع دائمًا تكوين متتالية جديدة $(b_n)_{n \in \N}$ بواسطة $$\begin{equation*} b_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n\text{.} \end{equation*}$$ وبما أنّ حدود $(b_n)$ هي مجاميع الجزء الأوّل من المتتالية $(a_n)\text{,}$ فإنّنا نسمّي $(b_n)$ متتالية المجاميع الجزئية (partial sums) لـ$(a_n)\text{.}$ وسنرى قريبًا أنّه أحيانًا يمكن إيجاد صيغة مغلقة لـ$(b_n)$ انطلاقًا من الصيغة المغلقة لـ$(a_n)\text{.}$

ولتسهيل كتابة هذه المجاميع، فإنّنا نستعمل غالبًا رمزًا مثل $\d\sum_{k=1}^n a_k\text{.}$ وهذا يعني اجمع قيم $a_k$ حيث يتغيّر $k$ من 1 إلى $n\text{.}$

المثال 4.1.10.

استعمل رمز $\sum$ لإعادة كتابة المجاميع:

1. $\displaystyle 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 100$
2. $\displaystyle 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{50}$
3. $6 + 10 + 14 + \cdots + (4n - 2)\text{.}$

الحل.

1. $\displaystyle \d\sum_{k=1}^{100} k$
2. $\displaystyle \d\sum_{k=0}^{50} 2^k$
3. $\displaystyle \d\sum_{k=2}^{n} (4k -2)$

كذلك فإنّ النظر في متتالية فروق متتالية $(a_{n})\text{.}$ مفيدٌ في أحيان كثيرة. ونعني بذلك ببساطة المتتالية $(d_n)$ حيث $$\begin{equation*} d_n = a_{n+1} - a_{n}\text{.} \end{equation*}$$ فمثلًا، إذا كان $(a_n) = (1, 4, 9, 16, 25, \ldots)$ (وهي الأعداد المربّعة، أي $a_n = n^2$)، فإنّ متتالية الفروق هي $(d_n) = (3, 5, 7, 9, \ldots)$، لأنّ $4-1 = 3\text{,}$ و$9-4 = 5\text{,}$ وهكذا. وبما أنّ لدينا صيغة مغلقة لـ$a_n\text{.}$ فبإمكاننا أيضًا إيجاد صيغة مغلقة لمتتالية الفروق هنا. فنحصل على $$\begin{equation*} d_n = a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n+1\text{.} \end{equation*}$$

وبوجه عام، من السهل الانتقال من صيغة مغلقة لمتتالية إلى صيغة مغلقة لمتتالية الفروق. لكنّ الانتقال في الاتجاه المعاكس ليس سهلًا دائمًا. وفي الحقيقة، فكيف يبدو أن تبدأ من متتالية فروق وتصل إلى المتتالية «الأصلية»؟

ويُفيد التفكير في علاقة تكرارية هنا. فبما أنّ $$\begin{equation*} d_n = a_{n+1} - a_n\text{,} \end{equation*}$$ لدينا أنّ $$\begin{equation*} a_{n+1} = a_n + d_n\text{.} \end{equation*}$$ وهذا منطقي: للانتقال من حدّ في متتالية إلى الذي يليه، تضيف الفرق بين الحدّين. آه! أنت تجمع الفروق. إذن المتتالية الأصلية هي متتالية المجاميع الجزئية لمتتالية الفروق!

وفي الأقسام القادمة سنرى أنّ فهم متتالية الفروق يمكن أن يخبرنا تمامًا أين نبحث عن صيغة مغلقة. كما أنّ الفروق تقترح كيف نكوّن تعريفًا تكراريًا.

المثال 4.1.11.

جد علاقة تكرارية وشروطًا أوّلية تتفق مع حدود هذه المتتالية: $1, 5, 17, 53, 161, 485\ldots\text{.}$

الحل. كان إيجاد العلاقة التكرارية أسهل لو كان لدينا سياقٌ للمسألة (مثل برج هانوي مثلًا). لكنّ كل ما لدينا هو المتتالية. تذكّر، فالعلاقة التكرارية تخبرك بكيفية الانتقال من الحدود السابقة إلى الحدود اللاحقة. فما الذي يجري هنا؟ يمكننا النظر في الفروق بين الحدود: $4, 12, 36, 108, \ldots\text{.}$ لاحظ أنّها تنمو بمعامل قدره 3. فهل تنمو المتتالية الأصلية كذلك؟ $1\cdot 3 = 3\text{,}$ و$5 \cdot 3 = 15\text{,}$ و$17 \cdot 3 = 51$ وهكذا. ويبدو أنّنا ننتهي دائمًا إلى عدد أصغر بمقدار 2 من الحدّ التالي. آه!

إذن $a_n = 3a_{n-1} + 2$ هي علاقتنا التكرارية، والشرط الأوّلي هو $a_0 = 1\text{.}$

قسم فرعي: المتتاليات في python

التحقّق من أنّ صيغة مغلقة تتفق مع الحدود الأولى لمتتالية سهلٌ بواسطة آلة حاسبة، أو الأحرى بلغة برمجة مثل python. ومن طرائق ذلك أن تُعرّف دالةً تُعيد الحدّ رقم $n$ في المتتالية.

وإليك مثالًا: لنفرض أنّك أردت التحقّق ممّا إذا كانت الصيغة التي وجدتها للمتتالية $(a_n)_{n \in \N} = (1, 3, 7, 15, 31,\ldots)$ صحيحة. ولعلّك تخمّن أنّ $a_n = 2^n-1\text{.}$ جرّب تشغيل الشيفرة أدناه. (لاحظ: في python، يرمز الرمز ^ إلى معنًى آخر، ولذلك نستعمل ** لإجراء الأسّ.)

def a(n):
  return 2**n-1
print(a(3))

يبدو هذا واعدًا، لكن علينا الحذر: فقد بدأت متتالينا بـ$a_0 = 1\text{,}$ وهذا يجعل $a_3 = 15\text{.}$ والآن جرّب تعديل تعريف a(n) (بتغيير القيمة المُعادة) للحصول على الصيغة المغلقة الصحيحة.

ولعلّك تريد أن تُطبع الحدود العشرين الأولى من المتتالية؟ فهذا سهلٌ في python، بوضع الحدود في قائمة:

def a(n):
  return 2**(n+1) - 1
sequence = []
for n in range(20):
  sequence.append(a(n))
print(sequence)

ولاحظ أنّ range(20) تبدأ من 0 وتتوقف عند 19 (وهي القائمة [0,1,2,...,19]).

ويمكننا أيضًا استعمال python لتوليد حدود متتالية معطاة بتعريف تكراري. فلننفرض أنّنا أردنا استكشاف المتتالية $a_n = 2a_{n-1}+1$ مع الشرط الأوّلي $a_0 = 1\text{.}$ وفي python، يمكننا توليد المتتالية على النحو التالي.

def a(n):
  if n == 0:
    return 1
  else:
    return 2*a(n-1)+1
# اطبع الحدود العشرة الأولى فقط
for i in range(10):
  print(a(i))

هل ترى كيفية تحويل علاقة تكرارية إلى دالة بايثون تكرارية؟ جرّب أن تتلاعب بالشيفرة أعلاه لاستكشاف متتاليات أخرى.

أسئلة القراءة

1.

بالنسبة للصيغ التالية للمتتاليات، اختر كل ما هو صيغ مغلقة (على عكس الصيغ التكرارية).

• $a_n = 3(n-1) + 2$
• صحيح. يمكنك حساب قيمة $a_n$ لأي $n$ محدَّد مباشرةً (بعددٍ ثابت منتهٍ من الخطوات).
• $a_n = \frac{n^2 + 2n + 3}{4n}$
• صحيح. يمكن حساب $a_n$ مباشرةً من التعريف، دون الاعتماد على معرفة حدودٍ أخرى في المتتالية.
• $a_n = 3a_{n-1}+2$
• هذه صيغة تكرارية: لإيجاد $a_8$ مثلًا، عليك أن تعرف $a_7\text{.}$
• $a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3}$
• هل تستطيع إيجاد $a_9$ من العدد 9 وحده؟ أم يلزمك معرفة حدودٍ أخرى في المتتالية؟

2.

• $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$
• $a_n = a_{n-1}+1$
• $5,5,5,5,5, \ldots$
• $a_n = 2a_{n-1}-a_{n-2}$
• $2,3,5,9,17, \ldots$
• $a_n = 2a_{n-1}-1$
• $3, 4, 7, 11, 18, \ldots$
• $a_n = a_{n-1}+a_{n-2}$

3.

ما الأسئلة التي تدور في ذهنك؟ اكتب سؤالًا واحدًا على الأقلّ عن مضمون هذا القسم قد يتحمّس له زميلٌ لك أو أنت بعد قراءة هذا القسم.