ما هي الرياضيات المتقطعة؟

صفة: منفصل ومتميز كلٌّ على حدة.

مرادفات: منفصل - مفكك - متميز - مجرد.

تعريف الرياضيات المتقطعة (discrete mathematics) صعب، لأن تعريف الرياضيات (mathematics) نفسه صعب. فما الرياضيات؟ دراسة الأعداد؟ إلى حدٍّ ما نعم، لكنك تدرس أيضًا الدوال (functions) والخطوط والمثلثات ومتوازي الأضلاع والمتجهات و… . أو ربما تريد أن تقول إن الرياضيات مجموعة من الأدوات التي تتيح لك حل المسائل. وأيُّ نوع من المسائل؟ حسنًا، تلك التي تتضمّن أعدادًا ودوال وخطوطًا ومثلثات و… . وأيًّا كان تصورك لما هي الرياضيات، فحاول تطبيق مفهوم «المتقطعة» عليه على النحو المُعرَّف أعلاه. فبعض الرياضيات تتعامل في جوهرها مع أشياء (stuff) منفصلة ومتميزة كلٌّ على حدة.

وفي حصة جبر أو تفاضل وتكامل، ربما صادفتَ مجموعة معيّنة من الأعداد (وربما كانت تُشكّل مدى (range) دالة ما). كنتَ ستمثّل هذه المجموعة بوصفها فترةً: $[0,\infty)$ هي مدى $f(x) = x^2$ لأن مجموعة مخرجات الدالة هي جميع الأعداد الحقيقية 0 فما فوق. وهذه المجموعة من الأعداد ليست متقطعة. فالأعداد في المجموعة لا يفصل بينها شيء تقريبًا. بل إنك إذا أخذت أي عددين في المجموعة وجدت بينهما عددًا لا نهائيًا آخر من الأعداد ينتمي إلى المجموعة أيضًا.

ويجوز للرياضيات المتقطعة أيضًا أن تسأل عن مدى دالة، لكن المجموعة لن تكون فترةً. تخيّل الدالة التي تعطي عدد أبناء كل شخص يقرأ هذا. فما هو المدى؟ أظنّه شيئًا مثل $\{0, 1, 2, 3, 4\}\text{.}$ ولربما كان 5 أو 6 فيها أيضًا. 1 بل أعدادًا طبيعية أكبر للسيدات المسنات اللواتي تسكن في الأحذية. لكن من المؤكد أن لا أحد يقرأ هذا لديه 1.32419 من الأبناء. ومجموعة المخرجات هذه متقطعة لأن عناصرها منفصلة. كما أن مدخلات (inputs) الدالة تُشكّل مجموعة متقطعة أيضًا، لأن كل مُدخَل هو شخص بعينه.

وهناك كائنات رياضية متقطعة كثيرة إلى جانب مجموعات الأعداد؛ وسنتعرّف على بعضها في القسم 0.2. ودراسة هذه البنى المتقطعة (discrete structures) هي المحور الرئيسي للرياضيات المتقطعة وهذا الكتاب. غير أن سبب رغبتنا في دراسة هذه البنى هو أنها تتيح لنا طريقة لنمذجة مسائل «العالم الحقيقي». 2 صحيح أن كثيرًا من المسائل المطروحة في هذا الكتاب مصطنعة وخيالية بوضوح، لكننا نأمل أن ترى كيف يمكن تعميم هذه المسائل التبسيطية لتمثيل مسائل يهتم بها الناس في الواقع فعلًا.

وكي نشعر بطبيعة هذا الموضوع، فلنتأمّل في أنواع المسائل التي تحلّها في الرياضيات المتقطعة. وإليك بعض الأمثلة البسيطة:

استكشف!

ملاحظة: ستصادف في مختلف أبواب الكتاب أنشطة Investigate! من هذا النوع. أجب عن الأسئلة في هذه الأنشطة بقدر ما تستطيع، لتكوّن لنفسك إحساسًا بما هو قادم.

1. أشهر عالم رياضيات في العالم يقيم حفلة لجميع أصدقائه. ولبدء الحفلة، يقرّر الجميع أن يتصافح بعضهم بعضًا. وبافتراض أن كلًّا من الأشخاص العشرة الحاضرين في الحفلة يتصافح مع كل شخص آخر (لكن ليس مع نفسه، هذا من البديهيات) مرة واحدة بالضبط، فكم عدد المصافحات التي تقع؟
2. وفي حدث الإحماء لمسابقة أوسكار لتعداد الوجبات السريعة (Oscar’s All-Star Hot Dog Eating Contest)، أكل Al واحدة. ثم لمّا أراد Bob أن يتفوّق عليه أكل ثلاثًا. ولمّا أراد Carl ألّا يظل متأخرًا، أكل Carl خمسًا. واستمر الأمر بحيث يأكل كل متسابق عددًا من الوجبات يزيد اثنين على المتسابق السابق. فكم عدد الوجبات التي أكلها Zeno (المتسابق السادس والعشرون والأخير)؟ وكم عدد الوجبات التي أُكلت إجمالًا؟
3. وبعد أسابيع من الحفر، تصل أخيرًا إلى حجرة الدفن. إن الغرفة خالية إلا من صندوقين كبيرين. وعلى كلٍّ منهما نقش رسالة (ولطيف أنها بالإنجليزية):

يحتوي أحد هذين الصندوقين تحديدًا على كنز، بينما يمتلئ الآخر بعقارب سامة خالدة.

أما كل صندوق، فإن كانت رسالته صحيحة، فإن الصندوق يحتوي كنزًا.

والمشكلة أنك لا تعرف ما إذا كانت الرسالتان صحيحتين أم خاطئتين. فماذا تفعل؟ 4. وفي عصورٍ قديمة، قرّرت خمس بلدات صغيرة أنها تريد إنشاء طرقٍ تربط كلَّ زوجٍ من البلدات ربطًا مباشرًا. وبينما كانت لدى البلدات أموالٌ وفيرة لبناء طرقٍ بأي طول وبأي التفاف شاءت، كان من المهم جدًا ألّا تتقاطع الطرق بعضها مع بعض (لأن لوحات التوقف لم تكن قد اختُرعت بعد). كذلك لم تكن الأنفاق والجسور مسموحًا بها، لأسباب أخلاقية. فهل من الممكن لكلٍّ من هذه البلدات أن تبني طريقًا إلى كلٍّ من البلدات الأربع الأخرى دون أن ينشأ أي تقاطع؟

وبينما تفكّر في المسائل أعلاه، فلا تقلق إن لم تكن الحلول واضحة لك. فنحن مهتمون هنا بنوع المعلومات الذي نحتاج إليه للإجابة عن الأسئلة أكثر من اهتمامنا بالحلول نفسها. فكيف يمكننا تمثيل الموقف بأشياء منفصلة ومتميزة كلٌّ على حدة؟ ولا تقرأ ما يلي قبل أن تفكّر في هذا على الأقل لكلٍّ من الأسئلة.

هل أنت مستعد؟ إليك بعض الأمور التي ربما فكّرت فيها:

1. الأشخاص الحاضرون في الحفلة أفراد. يمكننا النظر في مجموعة (set) الأشخاص. ويمكننا أيضًا النظر في مجموعات من أزواج الأشخاص،إذ إنّ المصافحة تتطلب شخصين بالضبط. فالسؤال في الحقيقة هو: كم زوجًا يمكنك تكوينه باستخدام عناصر مجموعة مكوّنة من 10 عناصر؟

فمثلًا، لو كان في الحفلة ثلاثة أشخاص، نسمّيهم تسميةً مريحة $1\text{,}$ $2\text{,}$ و$3\text{,}$، لأزواج لتكون $(1,2)\text{,}$ $(1,3)\text{,}$ و$(2,3)\text{.}$ أم ينبغي أن نُدرج $(2,1)\text{,}$ $(3,1)\text{,}$ و$(3,2)$ أيضًا؟ 2. ولكي نعدّ عدد الوجبات المُأكولة، سواء أكلها فردٌ بعينه أم كانت قد أُكلت إجمالًا، يمكننا استخدام تتابع (sequence) من الأعداد الصحيحة (الأعداد الكلية). فقد يمثّل الحد $n$th في التتابع عدد الوجبات التي أكلها المتسابق $n$th. ويمكننا أن نضع في الحسبان تتابعًا ثانيًا، هو أيضًا من الأعداد الصحيحة، يعطي إجمالي عدد الوجبات التي أكلها المتسابقون $n$ الأوائل مجتمعين.

وعندئذٍ سيكون حل المسألة هو قيمة الحد السادس والعشرين في التتابع. ولمساعدتنا في إيجادها، يمكننا النظر في معدل نمو التتابعين، وكذلك في العلاقة بين هذين التتابعين. 3. وأسئلة المنطق تندرج أيضًا تحت مظلة الرياضيات المتقطعة: فلكل عبارة (statement) قيمة هي True أو False (ولا شيء بينهما). وللإجابة عن أسئلة مثل سؤال الصندوقين والعقارب، علينا أن نفهم بنية العبارات، وكيف تتفاعل قيم صدق أجزاء العبارة لتحديد قيمة صدق العبارة كلها. 4. أمّا السؤال الأخير فيتعلق ببنية متقطعة تُسمّى الرسم البياني (graph)، ولا ينبغي الخلط بينها وبين رسم بياني لدالة أو لمجموعة نقاط. فنحن نستخدم الرسم البياني لتمثيل أي عناصر مجموعة (أو بلدات) مرتبطة ببعضها (أو موصولة بطريق). وفي هذه الحالة، يصبح السؤال هو: هل يمكننا رسم رسم بياني له خمس عُقد (بلدات) وعشرة حواف (طرق) بحيث لا يتقاطع أي حافتين؟

وتوضّح المسائل الأربع أعلاه الموضوعات الرئيسية الأربعة في هذا الكتاب: التوافيق (combinatorics) (أي نظرية الطرق التي تدمج بها الأشياء؛ وخاصة كيف نعدّ هذه الطرق)، والتتابعات، والمنطق الرمزي، ونظرية الرسوم البيانية. غير أن هناك موضوعات أخرى تُعدّ جزءًا من الرياضيات المتقطعة أيضًا، منها علوم الحاسوب، والجبر المجرد، ونظرية الأعداد، ونظرية الألعاب، ونظرية الاحتمالات، والهندسة (لبعض هذه الموضوعات، وخاصة الأخيرين منها، صيغتان: متقطعة وغير متقطعة).

وفي النهاية، فإن أفضل طريقة لتعلّم ما تتناوله الرياضيات المتقطعة هي أن تمارسها. فلنبدأ! وقبل أن نبدأ في الإجابة عن مسائل أعقد (وأمتع)، سنلقي نظرة سريعة جدًا على أنواع البنى المتقطعة التي سنستخدمها.

أسئلة القراءة

سينتهي كل قسم من الكتاب بعددٍ صغير من Reading Questions كما تراها أدناه. وقد صُمِّمت هذه الأسئلة لمساعدتك على الوقوف عند ما قرأته والتفكير فيه. وبشكل خاص، يدعو سؤال القراءة الأخير إلى أن تصوغ من عندك سؤالًا خاصًا بك. والتفكير فيما لا تعرفه بعد طريقة رائعة لتعميق فهمك فيما تعرفه.

1.

لو كنتَ تحكي لأصدقائك عن الصف الذي تدرس فيه، فكيف تصف لهم الآن ما تتناوله الرياضيات المتقطعة؟ اكتب جملة أو جملتين.

2.

ما الأسئلة التي تدور في ذهنك بعد قراءة هذا القسم؟ اكتب سؤالًا واحدًا على الأقل عن محتوى هذا القسم يثير فضولك.