النتائج غير المتباعدة

القسم 3.3 النتائج غير المتباعدة

الأهداف

بعد إتمام هذا القسم، ينبغي أن تكون قادرًا على القيام بما يلي.

1. استعمال مخطّطات ڤين (Venn diagrams) لعدّ عدد النتائج في اتحاد المجموعات غير المتباعدة.
2. تطبيق مبدأ الاحتواء/الاستبعاد (principle of inclusion/exclusion) على مجموعتين وثلاث مجموعات.
3. شرح سبب صحّة مبدأ الاحتواء/الاستبعاد.

معاينة القسم

استكشف!

أجرت حملة تسويق رائجة حديثة لمحلّ The Pie Hole استطلاعًا للزبائن حول تفضيلاتهم للفطائر. وسُئل الناس هل يستمتعون بـ (A) فطيرة التفّاح، أم (B) فطيرة التوت الأزرق، أم (C) فطيرة الكرز (أجاب المستجيبون بنعم أو لا عن كلّ نوع من أنواع الفطائر، ويمكنهم أن يقولوا بنعم لأكثر من نوع واحد). ويبيّن الجدول التالي نتائج الاستطلاع.

أنواع الفطائر المُحبّة:	A	B	C	AB	AC	BC	ABC
عدد الأشخاص:	20	13	26	9	15	7	5

كم عدد المبحوثين الذين يستمتعون بنوعٍ واحد على الأقلّ من أنواع الفطائر؟ واشرح أيضًا لماذا ليس الجواب 95.

في القسم 3.2 استكشفنا مبدأ الجمع بوصفه طريقةً لدمج مجموعتَي نتائج (أو أكثر) متباعدة (disjoint). فماذا يحدث إن لم تكن النتائج متباعدة؟

يلزم أن نفعل شيئًا مختلفًا. فمثلًا، عند عدّ عدد بطاقات اللعب التي هي إمّا بطاقات وجه وإمّا بطاقات حمراء، لا يمكننا تطبيق مبدأ الجمع لنقل إنّ هناك $12 + 26 = 38$ بطاقة. فالمشكلة تحديدًا أنّ ستّ بطاقات هي بطاقات وجه وحمراء في الوقت نفسه. وهناك بضع طرق مختلفة يمكننا معالجة هذا بها سنستكشفها في هذا القسم.

ورقة العمل: نشاط تمهيدي

1. عدّ السلاسل الثنائية.

فكّر في السلاسل الثنائية الثماني ذات الطول 3. لنجد عدد السلاسل التي تبدأ بـ 1 أو التي وزنها 2 (أي أنّها تحتوي على 1 اثنين بالضبط).

(a)

اكتب كلّ السلاسل الثنائية ذات الـ 3 بتات التي تبدأ بـ 1.

(b)

اكتب كلّ السلاسل الثنائية ذات الـ 3 بتات التي وزنها 2.

(c)

والآن اكتب كلّ السلاسل الثنائية ذات الـ 3 بتات التي تبدأ بـ 1 أو التي وزنها 2. لكنّ لا تتكلّف: لا تكتبها من الصفر. استعمل قائمتيك من المهمّتين أعلاه.

(d)

كم عدد السلاسل في القائمتين؟

• السلاسل التي تبدأ بـ 1:
• السلاسل ذات الوزن 2:
• السلاسل التي تبدأ بـ 1 أو ذات الوزن 2:
• السلاسل التي تبدأ بـ 1 وتكون ذات وزن 2 معًا:

2. دمج القوائم.

كيف جمعتَ القائمتين أعلاه؟ اشرح كيف فعلتَ ذلك. ثمّ فكّر في طريقة أخرى كان بإمكانك استعمالها، واشرح كيف تختلف عن تلك الطريقة.

3. عدّ علماء الرياضيات المفضّلين.

يناقش شيانغ وعُماري علمي الرياضيات المفضّلين إليهما عبر التاريخ. لدى شيانغ قائمة من 7 مفضّلين، بينما لدى عُماري قائمة من 5. ويكتشفان أنّ لديهما 3 علماء رياضيات مشتركين. كم عدد علماء الرياضيات في القائمة المدمجة؟

قسم فرعي: العدّ بمخطّطات ڤين

لفهم كيفية التعامل مع دمج مجموعات النتائج التي ليست متباعدة، من المفيد استعمال بعض رموز نظرية المجموعات (set theory)، التي سنستعرضها هنا باختصار.

لتكن $A$ مجموعة نتائج الحدث الأوّل، و$B$ مجموعة نتائج الحدث الثاني. وحين نسأل عن عدد الطرق التي يمكن أن يحدث فيها أيُّ من الحدثين، تتكوّن مجموعة النتائج الجديدة من كلّ النتائج الموجودة في $A\text{,}$ أو في $B\text{,}$ أو في كليهما. وليس هذا سوى اتحاد المجموعة $A$ مع $B\text{,}$ ويُكتب $A \cup B\text{.}$

ومبدأ الجمع لا ينطبق إلّا حين لا تنتمي أيّ نتيجة إلى الحدثين معًا. أمّا العناصر المشتركة بين المجموعتين $A$ و$B$ فهي عناصر تقاطعهما، ويُكتب التقاطع $A \cap B\text{.}$ وتقاطع مجموعتين هو بدوره مجموعة. فإذا كانت المجموعتان $A$ و$B$ متباعدتين، فإنّ في التقاطع لا توجد أيّ عناصر، إذن يكون التقاطع المجموعة الخالية، ويُكتب $\emptyset\text{.}$

ونحن نعدّ عدد النتائج، فما يهمّنا حقًّا هو حجم المجموعات (أي عدد عناصرها). ونكتب حجم المجموعة $X$ على الصورة $\card{X}\text{.}$

ومع هذه الرموز في متناول اليد، يمكننا إعادة صياغة مبدأ الجمع على النحو الآتي.

مبدأ 3.3.1. مبدأ الجمع (بالمجموعات).

فلنقل إنّ لدينا مجموعتين $A$ و$B\text{,}$ فإذا كان $A \cap B = \emptyset\text{,}$ فإنّ $$\begin{equation*} \card{A \cup B} = \card{A} + \card{B}\text{.} \end{equation*}$$

والآن فكّر فيما يحدث لمبدأ الجمع حين لا تكون المجموعات متباعدة. لنفترض أنّنا نريد إيجاد $\card{A \cup B}$ ونعرف أنّ $\card{A} = 10$ وأنّ $\card{B} = 8\text{.}$ فإذا كنا نعرف أنّ المجموعتين متباعدتين، فإنّ $\card{A \cup B}$ سيكون 18. لكنّنا إن لم نكن نملك معلومة تباعد المجموعتين، فسنحتاج إلى معلومات إضافية: يجب أن نعرف كم عنصرًا من العناصر الثمانية في $B$ هي أيضًا عناصر في $A\text{.}$ لنفترض أيضًا أنّنا نعرف أنّ $\card{A \cap B} = 6\text{.}$ الآن يمكننا أن نذكر بدقّة كم عدد العناصر الموجودة في $A\text{,}$ ومن بين تلك، كم منها في $B$ وكم منها ليس فيها (6 من العناصر العشرة موجودة في $B\text{,}$ إذن 4 منها في $A$ لكن ليس في $B$). ويمكننا ملء مخطّط ڤين على النحو الآتي:

وهذا يعني أنّ هناك 6 عناصر في $A \cap B\text{,}$ و4 عناصر في $A$ لكن ليس في $B$ (وهذا ما نكتبه $\card{A \setminus B} = 4$)، وعنصرين في $B$ لكن ليس في $A$ (ونكتبه $\card{B \setminus A} = 2$). والآن فهذه المجموعات الثلاث متباعدة، إذن يمكننا استعمال مبدأ الجمع لإيجاد عدد العناصر في $A \cup B\text{.}$ وهو $6 + 4 + 2 = 12\text{.}$

المثال 3.3.2.

كم عدد السلاسل الثنائية ذات الـ $7$ بتات التي وزنها $4$ وتبدأ بـ $11$ أو تنتهي بـ $00\text{,}$ أو كلتيهما معًا؟

الحل. لتكن $A$ مجموعة السلاسل الثنائية ذات الـ $7$ بتات التي وزنها $4$ وتبدأ بـ $11\text{.}$ لدينا $\card{A} = \binom{5}{2} = 10\text{.}$ لتكن $B$ مجموعة السلاسل الثنائية ذات الـ $7$ بتات التي وزنها $4$ وتنتهي بـ $00\text{.}$ لدينا $\card{B} = \binom{5}{4} = 5\text{.}$

لكنّ عبارة $\card{A \cup B} = 10 + 5 = 15\text{,}$ غير صحيحة، إذ إنّ سلاسل مثل 1101100 تبدأ بـ $11$ وتنتهي بـ $00\text{.}$ وهي محسوبة في العشر سلاسل التي تبدأ بـ $11$ وفي الخمس سلاسل التي تنتهي بـ $00\text{.}$ ويجب أن نجد عدد السلاسل التي تنتمي إلى $A$ و$B\text{.}$ لدينا $$\begin{equation*} \card{A \cap B} = \binom{3}{2} = 3 \end{equation*}$$ (وفي الواقع، هناك ثلاث سلاسل في التقاطع: 1111000، و1110100، و1101100).

ويمكننا الآن ملء مخطّط ڤين:

وتحتوي دائرة $A$ على ما مجموعه 10 عناصر، منها 3 عناصر تنتمي أيضًا إلى $B$ و7 عناصر أخرى تنتمي إلى $A\text{.}$ وحدها. وتحتوي دائرة $B$ على ما مجموعه 5 عناصر، منها 3 عناصر تنتمي أيضًا إلى $A$ وعنصران آخران ينتميان إلى $B\text{.}$ وحدها. وعدد العناصر في $A \cup B$ هو مجموع العناصر في كلّ منطقة $$\begin{equation*} |\card{A \cup B} = 7+3+2 = 12\text{.} \end{equation*}$$

ويمكننا فعل شيءٍ مشابه مع ثلاث مجموعات.

المثال 3.3.3.

أجرى 41 طالبًا اختبارًا في ثلاث مواد: الجبر، والأحياء، والكيمياء. ويبيّن الجدول التالي عدد الطلاب الذين رسبوا في كلّ مادة على حدة وفي مختلف توليفاتها:

المادة:	A	B	C	AB	AC	BC	ABC
رسب:	12	5	8	2	6	3	1

كم عدد الطلاب الذين رسبوا في مادةٍ واحدة على الأقلّ؟

الحل. ليس الجواب 37، وإنّما مجموع الأعداد أعلاه هو 37. فمثلًا، بينما رسب 12 طالبًا في الجبر، فإنّ اثنين من هؤلاء الطلاب رسبا أيضًا في الأحياء، و6 رسبوا أيضًا في الكيمياء، وواحدٌ من هؤلاء رسب في المواد الثلاث جميعًا. وفي الواقع، ذلك الطالب الواحد الذي رسب في المواد الثلاث جميعًا يُحسب 7 مرّات في المجموع 37. ولتوضيح الأمر، لنعتبر الطلاب الذين رسبوا في الجبر عناصرَ المجموعة $A\text{,}$ ومثل ذلك للمجموعتين $B$ و$C\text{.}$ والطالب الواحد الذي رسب في المواد الثلاث جميعًا هو العنصر الوحيد في المجموعة $A \cap B \cap C\text{.}$ وإذن، في مخطّطات ڤين:

والآن فلنملأ التقاطعات الأخرى. نعرف أنّ $A\cap B$ يحتوي على عنصرين، لكنّ عنصرًا واحدًا قد حُسب بالفعل. إذن ينبغي أن نضع 1 في المنطقة التي يتقاطع فيها $A$ و$B$ (لكن ليس $C$). ومثلًا، نحسب عدد عناصر $(A\cap C) \setminus B\text{,}$ و$(B \cap C) \setminus A\text{:}$

ثمّ نحدّد الأعداد التي ينبغي أن توضع في المناطق المتبقّية، بما فيها ما هو خارج الدوائر الثلاث جميعًا. أمّا هذا العدد الأخير فهو عدد الطلاب الذين لم يرسبوا في أيّ مادة:

لقد وجدنا أنّ 5 توضع في منطقة «$A$ وحدها» لأنّ دائرة $A$ بأكملها كان ينبغي أن يكون مجموعها 12، وكان 7 منها قد رُسمت بالفعل. ومثلًا، نحسب منطقة «$B$ وحدها» فتحتوي على طالب واحد فقط، ومنطقة «$C$ وحدها» فلا تحتوي على أيّ طالب.

ومن ثمّ فإنّ عدد الطلاب الذين رسبوا في صفٍّ واحد على الأقلّ هو 15 (مجموع الأعداد في كلّ واحدٍ من المناطق الثماني المتباعدة). أمّا عدد الطلاب الذين نجحوا في الصفوف الثلاثة جميعًا فهو 26: وهو العدد الكليّ للطلاب، 41، ناقصًا الـ 15 الذين رسبوا في صفٍّ واحد على الأقلّ.

ولاحظ أنّنا نستطيع أيضًا الإجابة عن أسئلة أخرى. فمثلًا، كم عدد الطلاب الذين رسبوا في الكيمياء فقط؟ لا أحد. كم عدد الذين نجحوا في الجبر لكن رسبوا في الأحياء والكيمياء معًا؟ يقابل ذلك المنطقة الموجودة داخل $B$ و$C$ معًا وخارج $A\text{,}$ وفيها طالبان.

وهنا حقيقةٌ رياضية مثيرة للاهتمام. $$\begin{equation*} 12 + 5 + 8 - 2 - 6 - 3 + 1 = 15\text{.} \end{equation*}$$ هل من المصادفة أنّ هذه الطريقة في جمع أعداد الطلاب الذين رسبوا في كلّ مادة في المثال أعلاه تعطي العدد نفسه من الطلاب الذين رسبوا في مادةٍ واحدة على الأقلّ؟ وهذا يوحي بأنّ هناك طريقةً أبسط لإيجاد حجم اتحاد مجموعات غير متباعدة.

قسم فرعي: مبدأ الاحتواء/الاستبعاد

من الجميل أن نكتب صيغةً جبرية تلتقط ما قمنا به في الأمثلة السابقة. والأجمل لو كانت هذه الصيغة الجبرية تعميمًا للحالة التي تكون فيها المجموعات متباعدة.

لنعُد إلى المثال الذي فيه $\card{A} = 10\text{,}$ $\card{B} = 8$ و$\card{A \cap B} = 6\text{.}$ قلنا إنّ $\card{A \cup B} = 12\text{,}$ وجدناه بجمع $4 + 6 + 2\text{.}$

فإذا كانت $A$ و$B$ متباعدتين، فإنّ $\card{A \cup B}$ سيكون $\card{A} + \card{B} = 10 + 8 = 18\text{.}$ ونرى أنّ الفارق هو 6 بالضبط، وهو ليس مصادفةً سوى $\card{A \cap B}\text{.}$ فربّما نخمّن: $$\begin{equation*} \card{A \cup B} = \card{A} + \card{B} - \card{A \cap B}\text{.} \end{equation*}$$ وهذا منطقي! فحين نضيف عدد عناصر $A$ إلى عدد عناصر $B\text{,}$ نكون قد حسبنا العناصر الستّ التي تنتمي إلى المجموعتين معًا مرّتين بالضبط. فإذا طرحناها، نكون قد حسبناها مرّةً واحدة بالضبط.

بمعنى آخر، لدينا:

مبرهنة 3.3.4. حجم الاتحاد (لمجموعتين).

لأيّ مجموعتَي $A$ و$B\text{,}$ متناهيتين $$\begin{equation*} \card{A \cup B} = \card{A} + \card{B} - \card{A \cap B}\text{.} \end{equation*}$$

المثال 3.3.5.

كم عدد السلاسل الثنائية ذات الـ $7$ بتات التي وزنها $4$ وتبدأ بـ $11$ أو تنتهي بـ $00\text{,}$ أو كلتيهما معًا؟ استعمل المبرهنة 3.3.4 وقارن النتيجة بـ المثال 3.3.2.

الحل. لدينا $\card{A} = \binom{5}{2} = 10\text{,}$ و$\card{B} = \binom{5}{4} = 5\text{,}$ و$\card{A \cap B} = \binom{3}{2} = 3\text{.}$ إذن: $$\begin{equation*} \card{A \cup B} = 10 + 5 - 3 = 12\text{.} \end{equation*}$$ وهذا منطقي، إذ إنّ السلاسل الثنائية الثلاث التي تبدأ بـ $11$ وتنتهي بـ $00$ محسوبة في العشر سلاسل التي تبدأ بـ $11$ ومرةً أخرى في الخمس سلاسل التي تنتهي بـ $00\text{,}$ فقد حسبنا هذه السلاسل زيادةً بمقدار مرّةٍ واحدة بالضبط قبل أن نطرحها.

أمّا مع ثلاث مجموعات، فيمكننا أيضًا عدّ عناصر الاتحاد بحذف العناصر التي حسبناها عدّة مرّات بعناية. وبما أنّ هناك طُرقًا أكثر لتداخل المجموعات، فإنّ الصيغة أعقد.

مبرهنة 3.3.6. حجم الاتحاد (لثلاث مجموعات).

لأيّ ثلاث مجموعات $A\text{,}$ و$B\text{,}$ و$C\text{,}$ متناهيتين $$\begin{align*} \card{A \cup B \cup C} = \amp \card{A} + \card{B} + \card{C} \\ - \amp \card{A \cap B} - \card{A \cap C} - \card{B \cap C} \\ + \amp \card{A \cap B \cap C} \text{.} \end{align*}$$

ولتحديد كم عدد العناصر الموجودة في $A\text{,}$ أو $B\text{,}$ أو $C$ واحدٍ على الأقلّ، نجمع كلّ العناصر في كلّ واحدة من تلك المجموعات. لكن حين نفعل ذلك، يُحسب أيّ عنصر في $A$ و$B$ مرّتين. وكذلك يُحسب كلّ عنصر في $A$ و$C$ مرّتين، وكذلك العناصر الموجودة في $B$ و$C\text{,}$ فنطرح كلّ واحدٍ منها من مجموعنا مرّة. لكن ماذا عن العناصر الموجودة في $A \cap B \cap C$ (في المجموعات الثلاث جميعًا)؟ لقد أضفناها ثلاث مرّات، وطرحناها ثلاث مرّات أيضًا. فهي لم تُحسب بعد. إذن نضيف هذه العناصر من جديد في النهاية.

المثال 3.3.7.

كم عدد الأعداد في $\{1, 2, \ldots, 50\}$ التي هي مضاعفات 2 أو 3 أو 5؟

الحل. من بين الأعداد في $\{1, 2, \ldots, 50\}\text{,}$ لتكن $A$ مجموعة مضاعفات 2، و$B$ مجموعة مضاعفات 3، و$C$ مجموعة مضاعفات 5. لدينا $\card{A} = 25\text{,}$ و$\card{B} = 16\text{,}$ و$\card{C} = 10\text{.}$ (ويمكن إيجاد هذه الأعداد بالقسمة؛ فمثلًا، بما أنّ ثلث الأعداد مضاعفات للعدد 3، يمكننا حساب $50/3 = 16.66\text{,}$ إذن هناك 16 مضاعفًا للعدد 3 في المجموعة.) وبعض الأعداد في المجموعة هي مضاعفات لـ 2 و3 معًا، مثل $6, 12, 18,\ldots$ أي جميع مضاعفات 6. وهناك $\card{A \cap B} = 8$ من هذه الأعداد. ومثلًا، هناك $\card{A \cap C} = 5$ مضاعفات لـ 2 و5 معًا (مضاعفات 10)، و$\card{B \cap C} = 3$ مضاعفات لـ 3 و5 معًا (مضاعفات 15). وهناك $\card{A \cap B \cap C} = 1$ مضاعفات للثلاثة معًا (العدد 30 فقط).

وباستعمال المبرهنة 3.3.6، لدينا: $$\begin{equation*} \card{A \cup B \cup C} = 25 + 16 + 10 - 8 - 5 - 3 + 1 = 36\text{.} \end{equation*}$$

لنستعمل هذا المثال لفهم المبرهنة على نحو أفضل. خذ العدد $21\text{.}$ في أيّ المجموعات يُحسب؟ هو في $B\text{,}$ لكن ليس في $A$ ولا في $C\text{,}$ إذن هو محسوب ضمن الـ 16 مضاعفًا للعدد $3$ وليس محسوبًا في أيّ من المجموعات الأخرى، ومن ثمّ فهو مضمّن مرّةً واحدة بالضبط في عدّنا الكامل. وينطبق الشيء نفسه على جميع الأعداد الأخرى التي هي مضاعفات لأحد $2\text{,}$ أو $3\text{,}$ أو $5\text{.}$ فقط.

والعدد $18$ موجود في المجموعتين $A$ و$B\text{,}$ ومن ثمّ هو أيضًا في $A \cap B\text{.}$ فهو محسوب ضمن الـ 25 مضاعفًا للعدد $2\text{,}$ والـ 16 مضاعفًا للعدد $3\text{,}$ والـ 8 مضاعفات للعدد $6\text{.}$ إذن هو مضاف مرّتين في مجموعنا ومطروح مرّة، أي محسوب مرّةً واحدة بالضبط. وينطبق الشيء نفسه على جميع الأعداد التي تنتمي إلى إحدى المجموعات الفردية بالضبط.

فماذا عن $30\text{?}$ هو ينتمي إلى جميع المجموعات. ومن ثمّ هو مضاف إلى مجموعنا ثلاث مرّات، حين نضيف مضاعفات $2\text{,}$ و$3\text{,}$ و$5\text{.}$ لكنّه مطروح أيضًا ثلاث مرّات، مرّةً لكلّ زوجٍ من المجموعات. إذن هو غير محسوب في مجموعنا البتّة... إلى أن نضيفه من جديد في الخطوة الأخيرة، وعندئذٍ يُحسب مرّةً واحدة بالضبط.

تسمّى هذه العملية، أي الإضافة ثمّ الطرح ثمّ الإضافة من جديد وهكذا، بمبدأ الاحتواء/الاستبعاد، أو ببساطة PIE. ويمكن تطبيق هذا المبدأ على أيّ عددٍ من المجموعات، لكنّ الصيغة تصبح أكثر تعقيدًا كلّما زاد عدد المجموعات. فمثلًا، هكذا تبدو صيغة PIE لأربع مجموعات. $$\begin{align*} \card{A \cup B \cup C \cup D} = \amp \card{A} + \card{B} + \card{C} + \card{D} \\ - \amp \card{A \cap B} - \card{A \cap C} - \card {A \cap D} - \card{B \cap C} - \card{B \cap D} - \card{C \cap D}\\ + \amp \card{A \cap B \cap C} + \card{A \cap B \cap D} + \card{A \cap C \cap D} + \card{B \cap C \cap D}\\ - \amp \card{A \cap B \cap C \cap D} \text{.} \end{align*}$$ يا إلهي! أمّا مع خمس مجموعات فالأمر... بل لم أمزح. لكن حتّى إن لم نكتبها، فليأمل كلّنا أن نرى ما كان سيتعيّن كتابته. وفي الممارسة، لا يُستعمل PIE مع أكثر من ثلاث مجموعات إلّا حين يمكننا تبسيط الحساب عن طريق إدراك أنّ، مثلًا، تقاطعات كلّ زوجٍ من المجموعات لها الحجم نفسه. وفي القسم 3.8 نستعرض بعض أمثلة ذلك.

قسم فرعي: التداخلات ومبدأ الضرب

كلّ ما نظرنا فيه حتّى الآن في هذا القسم كان عن كيفية انطباق مبدأ الجمع حين لا تكون مجموعات النتائج متباعدة. فهل علينا أن نقلق على نحوٍ مشابه من التداخل عند تطبيق مبدأ الضرب؟

ليس حقًّا.

فأحد استعمالات مبدأ الضرب هو حساب الاحتمالات (probabilities)، وفي ذلك السياق نُميّز فعلًا بين الأحداث المستقلّة والأحداث التي تعتمد إحداها على الأخرى. وسنستكشف هذا أكثر في القسم 3.7 (العدّ بالاحتمالات) غير متوفّر في هذا الترجمة. وبالمُجمل، لإيجاد احتمال وقوع حدثين، يمكننا ضرب احتمالَيهما ما دام الحدثان مستقلّين: أي أنّ نتيجة أحد الحدثين لا تؤثّر في نتيجة الآخر.

ولئن كان إيجاد الاحتمال مرتبطًا عن قرب بعدّ النتائج، فإنّ مبدأ الضرب نفسه لا يشترط أن تكون مجموعات النتائج متباعدة، ولا أن يُميّز بين الأحداث التابعة والمستقلّة. وما يهمّ فعلًا هو ألّا يتغيّر عدد نتائج الحدث الثاني باختلاف النتيجة التي انتهى إليها الحدث الأوّل.

ومن التمييزات التي نُجريها فعلًا عند تطبيق مبدأ الضرب: هل يمكن أن تتكرّر نتائج الأحداث؟ تأمّل المثال الآتي.

المثال 3.3.8.

كم عدد الكلمات ذات الأحرف الثلاثة (أي المتواليات الثلاثية من الأحرف) حين،

1. يُسمح بتكرار الأحرف؟
2. لا يُسمح بتكرار الأحرف؟

الحل.لنكن دقيقين مع مبدأ الضرب، فنحن ندمج ثلاثة أحداث: $A$ هو حدث انتقاء الحرف الأوّل، و$B$ هو حدث انتقاء الحرف الثاني، و$C$ هو حدث انتقاء الحرف الثالث. فإذا أردنا عدّ عدد الكلمات حين يمكن تكرار الأحرف في الكلمة، فإنّ كلّ حدث يحتوي 26 نتيجة. إذن يكون عدد الكلمات ذات الأحرف الثلاثة $26^3 = 17,576$ حين يُسمح بتكرار الأحرف.

أمّا حين لا يُسمح بتكرار الأحرف، فإنّ عدد نتائج الحدث $A$ يبقى 26، لكنّ عدد نتائج $B$ هو 25 فقط، إذ إنّ الحرف الذي نتج عن الحدث $A$ لا يمكن اختياره للمرّة الثانية في الكلمة، مهما كانت نتيجة ذلك الحدث. ومثلًا، مهما كانت نتيجتا الحدثَين $A$ و$B$، فإنّ عدد نتائج الحدث $C$ هو 24 دائمًا: أي أيّ حرفٍ لم يُختر في الحدثين الأوّلين. ومن ثمّ فإنّ عدد الكلمات ذات الأحرف الثلاثة التي لا تحتوي على أحرفٍ مكرّرة هو $26\cdot 25\cdot 24 = 15,600\text{.}$

ومن الغريب قليلًا أنّ مجموعة نتائج الحدث $B$ تختلف لكلّ نتيجةٍ ممكنة للحدث $A\text{.}$ لكنّ هذا لا يهمّ ما دام حجم مجموعة النتائج لا يتغيّر.

وسنستكشف مسائل مثل المثال السابق بعمقٍ أكبر بكثير في القسم 3.4. لكن قبل ذلك، هنا مثال أخير على موضع لا يعمل فيه مبدأ الضرب بسهولة.

المثال 3.3.9.

اشرح لماذا لا ينطبق مبدأ الضرب على سؤال العدّ الآتي: كم عدد الكلمات ذات الأحرف الثلاثة التي تكون أحرفها بترتيب أبجدي؟

الحل. أوّل ما قد نحاوله هو جعل الحدث $A$ هو انتقاء الحرف الأوّل، و$B$ انتقاء الحرف الثاني، و$C$ انتقاء الحرف الثالث. وللحدث $A\text{.}$ هناك 26 نتيجة. كم عدد النتائج للحدث $B\text{?}$ فإذا اخترنا $w$ كحرفٍ أوّل، فيمكننا أن نختار حرفًا من المجموعة $\{w, x, y, z\}$ كحرفٍ ثانٍ، فيبدو أنّ هناك $4$ نتائج للحدث $B\text{.}$ لكنّنا إذا اخترنا $a$ كحرفٍ أوّل، فيمكن استخدام أيّ حرف للحرف الثاني، ومن ثمّ للحدث $B$ عدد نتائجٍ هو $26$. يا إلهي!

والمشكلة أنّ عدد نتائج الحرف الثاني (الثالث) في الكلمة يتغيّر حسب نتيجة الحدث السابق. والأحداث ليست مستقلّة، بل إنّ حجمها ليس مستقلًّا أيضًا، إذن لا ينطبق مبدأ الضرب.

وسنرى كيف نُجيب عن سؤال العدّ أعلاه في حالة السماح بتكرار الأحرف في القسم 3.5. فإذا شُدّدنا السؤال أكثر واشترطنا أن تكون الأحرف متمايزة (وأن تكون بترتيب أبجدي)، فنحن نعرف بالفعل كيف نُجيب عن السؤال. فبالنسبة لأيّ مجموعة من ثلاثة أحرف، توجد كلمةٌ واحدة بالضبط ذات ثلاثة أحرف ترتيب أحرفها أبجدي، ومن ثمّ يمكننا مجرّد عدّ عدد المجموعات المكوّنة من ثلاثة أحرف. وهذا هو $\binom{26}{3}\text{.}$ ثمّ ننظر فقط إلى مثلث باسكال لإيجاد القيمة... يا إلهي. فمثلثنا لا يمتدّ إلى هذا الحدّ. وأظنّ أنّ علينا التفكير في طريقةٍ لحساب القيمة من دون المثلث. تابعوا القراءة!

أسئلة القراءة

1.

أيّ ممّا يلي يصف على أفضل وجه ما يُستعمل مبدأ الاحتواء/الاستبعاد من أجله؟

• عدّ حجم اتحاد مجموعتين أو أكثر ليس لازمًا أن تكونا متباعدتين.
• هذا صحيح. لاحظ أنّ مبدأ الاحتواء/الاستبعاد يعمل جيدًا حتى إذا كانت المجموعات متباعدة؛ فكلّ التقاطعات يكون حجمها 0.
• عدّ حجم اتحاد مجموعتين أو أكثر، ما دام أنّهما متباعدتان.
• إذا كانت المجموعات متباعدة، فلا تحتاج إلى استعمال مبدأ الاحتواء/الاستبعاد. يمكنك مجرّد جمع أحجام المجموعات.
• عدّ حجم تقاطع مجموعتين أو أكثر من مجموعات نتائج مستقلّة.
• يتضمّن مبدأ الاحتواء/الاستبعاد تقاطعات المجموعات، لكنّه لا يُستعمل لإيجاد حجم التقاطعات.
• إيجاد حجم تقاطع مجموعات نتائج تابعة.
• يتضمّن مبدأ الاحتواء/الاستبعاد تقاطعات المجموعات، لكنّه لا يُستعمل لإيجاد حجم التقاطعات.

2.

لماذا يضيف مبدأ الاحتواء/الاستبعاد حجم تقاطع ثلاث مجموعات بدلًا من أن يطرحه؟ اشرح بكلماتك أنت.

3.

ما الأسئلة التي تدور في ذهنك بعد قراءة هذا القسم؟ اكتب على الأقلّ سؤالًا واحدًا عن القسم يثير فضولك.