دمج النتائج

القسم 3.2 دمج النتائج

الأهداف

بعد إتمام هذا القسم، ينبغي أن تكون قادرًا على القيام بما يلي.

1. تطبيق مبدأ الجمع (sum principle) ومبدأ الضرب (product principle) لعدّ عدد النتائج (outcomes) لحدثٍ ما.
2. حلّ مسائل العدّ باستعمال مزيجٍ من مبدأَي الجمع والضرب.
3. تبرير مبدأ الضرب بدلالة مبدأ الجمع.

معاينة القسم

استكشف!

تتكوّن مجموعةٌ قياسية من ورق اللعب من 52 بطاقةً. وفيها أربع بدلات: البستاقات، والمعيّنات، والقلوب، والسكاكين. وتحتوي كلّ بدلة على بطاقاتٍ من 13 قيمة: Ace، 2، 3،...، 10، Jack، Queen، وKing.

ونسمي القلوب والمعيّنات بطاقاتٍ حمراء (والبستاقات والسكاكين هي البطاقات السوداء). وفي كلّ بدلة تُسمّى Jack وQueen وKing بطاقات الوجه (face cards)، وتُسمّى بقيّة البطاقات بطاقات الأرقام.

لنفترض أنك تسحب بطاقتين من مجموعة. فكم تركيبةً مختلفة تكون فيها البطاقة الأولى بطاقة حمراء والبطاقة الثانية بطاقة وجه؟

علم التوافيق (combinatorics) يهتمّ بالعدّ، لكن حين ننظر إلى الكلمة نراه يتناول في الحقيقة كيفية دمج الأشياء. وفي هذا القسم، سننظر في طريقتين مختلفتين جدًّا يمكننا بهما دمج النتائج التي نعدّها في مسائل علم التوافيق.

ورقة العمل: نشاط تمهيدي

1.

يقدّم أحد المطاعم 8 مقبلات و14 طبقًا رئيسيًّا. فكم خيارًا لديك إذا:

1. كنت ستأكل طبقًا واحدًا، إمّا مقبلًا وإمّا طبقًا رئيسيًّا؟
2. كنت شديدة الجوع وتريد أن تأكل مقبلًا وطبقًا رئيسيًّا معًا؟

2.

فكّر في الطرق التي استعملتها لحلّ أسئلتك عن المقبلات والأطباق الرئيسية. فهل يمكنك صياغة هذه الطرق بوصفها قواعدَ لكيفية دمج عددي أشياء عند العدّ؟ اكتب هذه القواعد.

3.

هل قواعدك تعمل؟ لنطبّقها على مسألة عدّ أخرى للتحقّق. فبمعرفة أنّ مجموعة ورق اللعب القياسية تحتوي 12 بطاقة وجه و26 بطاقة حمراء، أجب عن الأسئلة التالية.

(a)

في كم طريقة يمكنك انتقاء بطاقةٍ إمّا بطاقة وجه أو بطاقة حمراء؟

(b)

في كم طريقة يمكنك انتقاء بطاقةٍ هي بطاقة وجه وبطاقة حمراء معًا؟

قسم فرعي: ما هي النتائج؟

قبل أن نبدأ العدّ، ملاحظة سريعة عن كيفية طرحنا لأسئلة العدّ. فكثيرًا ما تُطرح أسئلة العدّ بدلالة «في كم طريقة يمكن أن يحدث شيءٌ ما». أي إنّ هناك حدثًا ما يمكن أن ينتج نتائجَ مختلفة، وإنّما نعدّ النتائج المختلفة. أو بدلًا من ذلك، يمكننا اتّخاذ نظرةٍ أقلّ «نشيطة» بسؤالنا عن عدد عناصر مجموعة، مثل مجموعة السلاسل الثنائية (bit strings) ذات طولٍ معيّن ووزنٍ معيّن. لكنّ هذا أيضًا يمكن إعادة صياغته على صورة سؤالٍ عن حدث: إذا انتقيتَ عشوائيًا إحدى السلاسل الثنائية (من مجموعة السلاسل الثنائية)، فكم أمرًا يمكن أن يحدث؟

إذن فعدّ عناصر مجموعة أو عدّ نتائج حدثٍ ما ليس مختلفًا حقًّا. فلننظر إلى كلّ مسألة عدّ على أنّها سؤالٌ عن عدد عناصر مجموعةٍ من النتائج.

وعلى أبسط مستوى، فإنّ العدّ ليس صعبًا البتّة: اكتب كلَّ النتائج في قائمةٍ مرقّمة وانظر كم رقمًا استخدمت. دعني أخبرك بمجموعة ربطات العنق التي لديّ. لديّ:

1. ربطة عنق بنفسجية.
2. ربطة عنق خضراء.
3. ربطة عنق مخطّطة.
4. ربطة عنق بنقشة بايسلي (paisley).

كم ربطة عنق لديّ (في كم طريقة يمكنني انتقاء ربطة عنق)؟ حسنًا، أكبر رقم في قائمتي المرقّمة هو 4، إذن لديّ أربع ربطات عنق. ومن الواضح أنّ هذا المثال قديمٌ إلى حدّ ما؛ أربع ربطات عنق فقط؟ وأيّ نوعٍ من علماء الرياضيات تظنّني؟ وبالطبع، كما رأينا في القسم السابق، يمكننا استعمال اختصارات لتفادي سرد جميع النتائج، مثل استعمال مثلث باسكال (Pascal’s triangle) للعثور على عدد العناصر في قائمتنا.

وحيث يبدأ العدّ بالbecome مثيرًا للاهتمام هو حين نريد إنشاء قائمة جديدة تجمع قائمتين أو أكثر كنّا قد عددناها من قبل. فمثلًا، لنفترض أنّه إضافةً إلى قائمتي ذات ربطات العنق الأربع، كانت لديّ قائمةٌ بسبعة أزواج من الجوارب الطريفة. فبإمكاني أن أسأل: كم خيارًا لديّ إذا أردت أن ألبس إمّا ربطة عنق أنيقةً وإمّا زوجًا من الجوارب الطريفة؟ حسنًا، اجمع قائمتيك لتُنشئ قائمةً جديدة فيها 11 عنصرًا: ربما تسرد ربطات العنق الأربع أوّلًا ثمّ تواصل العدّ (بادئًا بالرقم 5 لزوج الجوارب الأوّل) حتى تسرد العناصر السبعة الإضافية، منتهيًا عند 11.

في هذا المثال، جمعنا مجموعتَي نتائجنا (انتقاء ربطة عنق وانتقاء زوج جوارب) للحصول على مجموعة نتائج جديدة (انتقاء ربطة عنق أو زوج جوارب). وكانت مجموعة النتائج الناتجة تحتوي 11 عنصرًا.

والآن فكّر في السؤال: كم خيارًا لديّ إذا أردت أن ألبس ربطة عنق وزوجًا من الجوارب الطريفة معًا؟ ومرةً أخرى، أحتاج إلى جمع مجموعتَي نتائج للحصول على مجموعة نتائج جديدة. لكنّ مجموعة النتائج الجديدة هذه ستحتوي 28 عنصرًا. وكيف عرفت أنّ عليّ أن أضرب عدد العناصر في كلّ من مجموعتيَّ الأصليتين بدلًا من جمعهما؟ إنّنا ندمج النتائج من جديد: مجموعة النتائج الناتجة التي تحتوي 28 عنصرًا، وكلّها نتائجٌ متألّفة من ربطة عنق وزوج جوارب. والآن أعِد قراءة الفقرة السابقة! إنّهما تبوان متقاربتين جدًّا!

والفرق بين الحالتين خفيّ. وهناك طريقتان يمكننا أن نفكّر بهما في دمج النتائج:

1. يمكننا جمع مجموعات النتائج.
2. يمكننا جمع النتائج الموجودة في المجموعات.

القدرة على التمييز بين هاتين العمليتين مهارةٌ أساسية في علم التوافيق.

المثال 3.2.1.

لنفترض أنّ باب ثلّاجتك عليه بعض الحروف والأرقام المغناطيسية: فهناك خمسة حروف (A، B، C، D، E) وثلاثة أرقام (1، 2، 3). ويقول أخوك إنك إذا جمعتَ مجموعتَي المغناطيس هاتين ستحصل على مجموعة من 8 مغناطيسات. وتقول أختك إنك يمكنك جمع هذه المغناطيسات بـ 15 طريقة.

فما مجموعات النتائج التي يفكّر فيها شقيقاك؟

الحل. يفكّر أخوك في جمع مجموعات النتائج. فمجموعة نتائج الحروف هي $\{A, B, C, D, E\}$، ومجموعة نتائج الأرقام هي $\{1, 2, 3\}\text{.}$ ومجموعة نتائج مجموعة المغناطيسات المدمجة هي $\{A, B, C, D, E, 1, 2, 3\}\text{,}$ وهي تحتوي 8 عناصر.

وتُفكّر أختك في جمع النتائج نفسها. ومجموعة النتائج هي $\{A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3, D1, D2, D3, E1, E2, E3\}\text{,}$ وهي تحتوي 15 عنصرًا.

قسم فرعي: مبدأا الجمع والضرب

لنكتب بدقّة القواعد التي يمكننا استعمالها لجمع مجموعات النتائج والنتائج الموجودة في المجموعات.

مبدأ 3.2.2. مبدأ الجمع.

إذا أنتج حدثٌ $A$ عددَ $m$ من النتائج، وأنتج حدثٌ $B$ عددَ $n$ من النتائج المتباعدة (disjoint)، فإنّ الحدث «$A$ أو $B$» ينتج $m + n$ نتيجة.

ومن المهمّ أن يكون الحدثان متباعدين: أي ألّا توجد طريقةٌ يحدث فيها $A$ و$B$ معًا في آنٍ واحد. فمثلًا، تحتوي مجموعة ورق اللعب القياسية المكوّنة من 52 بطاقة على $26$ بطاقة حمراء و$12$ بطاقة وجه. لكنّ عدد طرق انتقاء بطاقةٍ إمّا حمراء وإمّا بطاقة وجه ليس $26 + 12 = 38\text{.}$ وذلك لأنّ هناك 6 بطاقاتٍ حمراء ووجهية في الوقت نفسه.

المثال 3.2.3.

كم عدد «الكلمات» ذات الحرفين التي تبدأ إمّا بـ A وإمّا بـ B؟ (الكلمة مجرّد تتابعٍ من الحروف؛ لا يلزم أن تكون إنجليزية، بل ولا أن تكون قابلة للنطق.)

الحل. أوّلًا، كم عدد الكلمات ذات الحرفين التي تبدأ بـ A؟ إنما نحتاج إلى انتقاء الحرف الثاني، ويمكن ذلك بـ 26 طريقة. إذن هناك 26 كلمةً تبدأ بـ A. وهناك أيضًا 26 كلمةً تبدأ بـ B. ولانتقاء كلمةٍ تبدأ إمّا بـ A وإمّا بـ B، يمكننا انتقاء الكلمة من الـ 26 الأولى أو من الـ 26 الثانية، أي بمجموع 52 كلمة.

لدينا مجموعتان من النتائج: الكلمات التي تبدأ بـ A، والكلمات التي تبدأ بـ B. وننشئ مجموعة نتائج جديدة بجمع المجموعتين للحصول على مجموعة الكلمات التي تبدأ إمّا بـ A وإمّا بـ B، وبمبدأ الجمع تحتوي هذه المجموعة الجديدة على 52 نتيجة.

كثيرًا ما نستعمل هذا المبدأ عندما تحتاج مجموعات النتائج إلى عدّ باستعمال تقنيات عدّ أخرى.

المثال 3.2.4.

كم عدد السلاسل الثنائية ذات الطول $10$ والوزن $6$ التي تبدأ إمّا بـ $11$ وإمّا بـ $00\text{?}$

الحل. تعلّمنا في القسم 3.1 كيف نعدّ السلاسل الثنائية ذات طولٍ ووزنٍ ثابتين. ومجموع عدد السلاسل الثنائية ذات الطول $10$ والوزن $6$ هو $\binom{10}{6} = 210$ (حيث وُجدت هذه القيمة باستعمال مثلث باسكال). لكنّنا نريد عدّ تلك التي تبدأ بـ $11$ أو $00$ فقط (وليس تلك التي تبدأ بـ $10$ أو $01$).

وبما أنّه لا توجد سلاسل ثنائية تبدأ بـ $11$ و$00\text{,}$ يمكننا تطبيق مبدأ الجمع. وسنحسب حجم كلّ مجموعة نتائج ثمّ نجمع النتائج.

كم عدد السلاسل الثنائية ذات الطول $10$ والوزن $6$ التي تبدأ بـ $11\text{?}$ فإذا بدأت السلسلة بـ $11\text{,}$ فإنّه من البتّات الثمانية الباقية يجب أن يكون أربعةٌ منها 1، بحيث يكون الوزن الكلي $6\text{.}$ وهذا مثل سؤالٍ عن عدد السلاسل الثنائية ذات الطول $8$ والوزن 4، فهناك $\binom{8}{4} = 70$ سلسلةً من هذا النوع. ومماثلًا، هناك $\binom{8}{6} = 28$ سلسلةً تبدأ بـ $00$ (يجب أن تكون كلّ الستّ 1 في البتّات الثمانية الباقية). وبمبدأ الجمع، فإنّ مجموع عدد السلاسل التي نريد عدّها هو $70 + 28 = 98\text{.}$

ويمكننا أيضًا استعمال مبدأ الجمع بطريقةٍ غير مباشرة في طريقةٍ قد تُسمّى مبدأ الطرح (لكنّها ليست كذلك).

المثال 3.2.5.

كم عدد السلاسل الثنائية ذات الطول $10$ والوزن $6$ التي تحتوي على 1 واحد على الأقلّ في بتّاتها الثلاثة الأولى؟

الحل. وهناك طرقٌ كثيرة ومختلفة يمكن أن تحتوي بها السلسلة على 1 واحد على الأقلّ في بتّاتها الثلاثة الأولى: فيمكن أن تبدأ بـ 100، أو 010، أو 001، أو 101، أو 110، أو 011، أو 111. يمكننا عدّ عدد السلاسل التي تبدأ بكلٍّ من هذه ثمّ تطبيق مبدأ الجمع عدّة مرّات. لكنّنا لن نفعل ذلك.

لنفترض أنّ عدد السلاسل التي نريد عدّها هو $x\text{.}$ ولتكن $y$ عدد السلاسل الثنائية ذات الطول $10$ والوزن 6 التي لا تحتوي على 1 في أيٍّ من بتّاتها الثلاثة الأولى. فما هو $x + y\text{?}$ هذا هو عدد السلاسل الثنائية ذات الطول $10$ والوزن 6 إجمالًا، وهو $\binom{10}{6} = 210\text{.}$ ومن السهل أيضًا إيجاد $y\text{:}$ فالسلاسل الثنائية ذات الطول 10 والوزن 6 التي تبدأ بـ 000 لا بدّ أن تنتهي بسلسلة ثنائية ذات الطول 7 والوزن 6. وهناك $\binom{7}{6} = 7$ منها.

ومن ثمّ لدينا $$\begin{equation*} x + 7 = 210\text{,} \end{equation*}$$ إذن $x = 210 - 7 = 203\text{.}$

ولئن كنّا لا نريد استعمال مبدأ الجمع عدّة مرّات في المثال السابق، فقد كان بإمكاننا فعل ذلك. فمبدأ الجمع يعمل مع أكثر من حدثين. فلنفترض أنّه إضافةً إلى ربطات عنقك الأربع وأزواج الجوارب السبعة، بإمكانك أيضًا انتقاء واحدةٍ من خمس إبزيم حزام. فكم خيارًا لديك الآن؟ سيكون لديك $4+7+5 = 16$ خيارًا.

المثال 3.2.6.

كم عدد الكلمات ذات الحرفين التي تبدأ بواحدٍ من حروف المدّ الخمسة؟

الحل. هناك 26 كلمةً ذات حرفين تبدأ بـ A، وأخرى 26 تبدأ بـ E، وهكذا. وبمبدأ الجمع، يكون مجموع عدد الكلمات $26+26+26+26+26 = 130$ وبالطبع سيكون من الأسهل أن نضرب ببساطة $5\cdot 26\text{.}$

ولاحظ أنّ في المثال السابق، عند استعمال مبدأ الجمع على مجموعةٍ من مجموعات النتائج ذات الحجم نفسه، يكون الضرب أسرع. فلنستغلّ هذه الملاحظة ونصرّح بها كمبدأ جديد.

مبدأ 3.2.7. مبدأ الضرب.

إذا كان حدث $A$ يمكن أن يحدث بـ $m$ طريقة، وكان كلّ احتمالٍ لـ$A$ يسمح بـ $n$ طريقةٍ بالضبط للحدث $B\text{,}$ فإنّ الحدث «$A$ و$B$» يمكن أن يحدث بـ $m \cdot n$ طريقة.

إنّ طريقةً جميلة لتخيّل مبدأ الضرب هي أن نفكّر في النتائج على أنّها «مستويات» في شجرة. ولتوضيح ذلك، لننظر في مسألة العدّ الواردة في المثال 3.2.1: في كم طريقة يمكنك انتقاء حرف من $\{A, B, C, D, E\}$ يليه رقم من $\{1, 2, 3\}\text{?}$ وفيما يلي رسم شجرةٍ يوضّح ما يجري.

كلّ ورقة في الشجرة تقابل نتيجةً واحدة. وتبيّن الشجرة أنّ نتائج المستوى الثاني الثلاث تتكرّر خمس مرّات، مرّةً لكلّ نتيجة في المستوى الأوّل.

المثال 3.2.8.

كم عدد الكلمات ذات الحرفين التي تبدأ بواحدٍ من حروف المدّ الخمسة؟ ها قد استعملنا هذه المرة مبدأ الضرب للإجابة عن السؤال.

الحل. فكيف يمكننا أن نفكّر في انتقاء كلمةٍ ذات حرفين على أنّه تتابعَ حدثين Located معًا؟ فالحدث $A$ هو «انتقاء حرف المدّ الذي تبدأ به الكلمة». والحدث $B$ هو «انتقاء الحرف الثاني للكلمة». وبمبدأ الضرب، هناك $5 \cdot 26 = 130$ طريقةً لحدوث الحدث «$A$ و$B$».

وبالطبع فإنّ حلَّي المثال 3.2.6 والمثال 3.2.8 متطابقان، لكنّ النتائج التي ندمجها وطرق دمجها مختلفة.

فعند تطبيق مبدأ الجمع، جمعنا خمس مجموعات نتائجٍ متباعدة. كانت إحدى مجموعات النتائج هذه $$\begin{equation*} \{AA, AB, AC, AD,\ldots, AZ\} \end{equation*}$$ وأخرى كانت $$\begin{equation*} \{EA, EB, EC, ED, \ldots, EZ\}\text{.} \end{equation*}$$ أي إنّ كلّ مجموعة نتائج كانت مجموعة كلماتٍ ذات حرفين، تبدأ بحرف مدّ مختلف. جمع مبدأ الجمع هذه المجموعات الخمس لينشئ مجموعةً جديدة تحتوي العناصر نفسها الموجودة في المجموعات الأصلية بالضبط، لكن مجتمعةً في مجموعة واحدة.

وفي المقابل، عند تطبيقنا لمبدأ الضرب، جمعنا النتائج في مجموعتين. كانت المجموعة الأولى $$\begin{equation*} \{A, E, I, O, U\} \end{equation*}$$ وكانت المجموعة الثانية $$\begin{equation*} \{A, B, C, D, \ldots, Z\}\text{.} \end{equation*}$$ ويجمع مبدأ الضرب العناصر في هاتين المجموعتين لينتج مجموعة نتائج جديدة (نتائجٌ ليست موجودة في أيٍّ من المجموعات الجاري دمجها).

وكما في مبدأ الجمع، فإنّنا كثيرًا ما نستعمل مبدأ الضرب لتعريف مجموعات نتائجٍ يلزم عدّها بدقّة أوّلًا.

المثال 3.2.9.

كم عدد المسارات الشبكية (lattice paths) من $(0,0)$ إلى $(10,10)$ تمرّ بالنقطة $(4,7)\text{?}$

الحل. يمكننا عدّ المسارات الشبكية باستعمال مثلث باسكال، لكن كيف نتأكّد من أنّ المسار يمرّ بنقطةٍ معيّنة؟ حسنًا، أيّ مسارٍ يمرّ بـ $(4,7)$ لا بدّ أن يذهب أوّلًا من $(0,0)$ إلى $(4,7)\text{,}$ ثمّ يُكمل رحلته بمسارٍ من $(4,7)$ إلى $(10,10)\text{.}$

وعدد المسارات من $(0,0)$ إلى $(4,7)$ هو $\binom{11}{4} = 330\text{.}$

وعدد المسارات من $(4,7)$ إلى $(10,10)$ هو $\binom{9}{3} = 84\text{.}$ (المسارات طولها 9 ولديها 6 خطوات في اتجاه $x$.)

والآن نجمع هذه مع... لحظة، أيّ مبدأ؟ للحصول على مسارٍ من $(0,0)$ إلى $(10,10)$ يمرّ بـ $(4,7)\text{,}$ نحتاج أوّلًا إلى انتقاء مسارٍ من $(0,0)$ إلى $(4,7)$، ثمّ إضافة مسارٍ من $(4,7)$ إلى $(10,10)\text{.}$ فهل هذا هو مبدأ الجمع؟!؟

لا! تذكّر أنّ مبدأ الجمع يجمع مجموعتَي النتائج. فإذا طبّقنا مبدأ الجمع، لكنّا سنحصل على مجموعة أكبر تحتوي المجموع $330 + 84$ من المسارات الموجودة في كلّ مجموعةٍ على حدة. ولا واحدًا منها هو المسار الذي نريد عدّه. نحن نريد أن نجمع العناصر المختلفة في مجموعتَي نتائجنا في كلّ تركيبةٍ ممكنة. ولهذا السبب فإنّ مبدأ الضرب هو الصواب هنا.

إذن فإنّ مجموع عدد المسارات التي نريد عدّها هو $330 \cdot 84 = 27720\text{.}$

ويعمّم مبدأ الضرب أيضًا على أكثر من حدثين.

المثال 3.2.10.

كم عدد لوحات السيارات التي يمكنك صنعها من ثلاثة أحرفٍ يتبعها ثلاثةُ أرقام؟

الحل. لدينا هنا ستة أحداث: الحرف الأوّل، والحرف الثاني، والحرف الثالث، والرقم الأوّل، والرقم الثاني، والرقم الثالث. ويمكن أن يحدث كلٌّ من الأحداث الثلاثة الأولى بـ 26 طريقة؛ ويمكن أن يحدث كلٌّ من الأحداث الثلاثة الأخيرة بـ 10 طرق. إذن يكون مجموع عدد لوحات السيارات $26\cdot 26\cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\text{,}$ باستعمال مبدأ الضرب.

هل هذا منطقي؟ فكّر في كيفية انتقاءنا للوحة سيارة. فكم خيارًا لدينا؟ أوّلًا، نحتاج إلى انتقاء الحرف الأوّل. هناك 26 خيارًا. والآن لكلّ واحدٍ من هذه الخيارات، هناك 26 خيارًا للحرف الثاني: 26 حرفًا ثانيًا مع حرفٍ أوّل A، و26 حرفًا ثانيًا مع حرفٍ أوّل B، وهكذا. نضيف 26 إلى نفسها 26 مرّة. أو أسرع: هناك $26 \cdot 26$ خيارًا للحرفين الأوّلين.

والآن لكلّ خيارٍ من خيارات الحرفين الأوّلين، لدينا 26 خيارًا للحرف الثالث. أي 26 حرفًا ثالثًا مع الحرفين الأوّلين AA، و26 خيارًا للحرف الثالث بعد البدء بـ AB، وهكذا. وهناك $26 \cdot 26$ من هذه الخيارات البالغة $26$ للحرف الثالث، أي بمجموع $(26\cdot26)\cdot 26$ خيارًا للحروف الثلاثة الأولى. ولكلّ واحدٍ من خيارات الحروف البالغة $26\cdot26\cdot26$، لدينا مجموعةٌ من الخيارات للبقية من الأرقام.

وفي الواقع، سيكون هناك 1000 خيار بالضبط للأرقام. ويمكننا رؤية ذلك لأنّ هناك 1000 عددًا من ثلاثة أرقام (من 000 إلى 999). وهذا يعطي 10 خيارات للرقم الأوّل، و10 للثاني، و10 للثالث. ويقول مبدأ الضرب إنّنا نضرب: $10\cdot 10 \cdot 10 = 1000\text{.}$

ومجتمعةً، كانت هناك $26^3$ خيارًا للحروف الثلاثة و$10^3$ خيارًا للأرقام، فيكون مجموع خيارات لوحات السيارات $26^3 \cdot 10^3$.

كان المثال السابق ذا جوابٍ استعمل الأسس (exponents). فهل هناك مبدأٌ أُسّي ينبغي أن نتعلّمه؟ لا نفصل واحدًا، إذ لا يوجد فعلًا شيءٌ مختلف في الطريقة التي نفكّر بها في إنشاء مجموعات النتائج. لكنّنا سنرى غالبًا مبدأ الضرب مطبَّقًا على الحدث نفسه مكرَّرًا عدّة مرّات. وفيما يلي مثالان.

المثال 3.2.11.

لنفترض أنك ترمي حجر نردٍ ذا 12 وجهًا سبع مرّات، مسجّلًا الرقم الذي يظهر بعد كلّ رمية. كم عدد متواليات الرميات السبع الممكنة؟

الحل. يمكن أن تنتهي كلّ رمية بإحدى 12 نتيجةً مختلفة، إذن وبمبدأ الضرب يكون مجموع عدد المتواليات $12^7\text{.}$

المثال 3.2.12.

كم عدد البيتزا المختلفة التي يمكنك صنعها إذا اخترتَ من 10 إضافات ويمكنك أن تضع على بيتزاك أيّ عددٍ من الإضافات؟

الحل. إذا أردنا تطبيق مبدأ الضرب، فيجب أن نفكّر في الحدث المركّب المتمثّل في انتقاء بيتزا على أنّه نتيجة دمج عددٍ ما من الأحداث المفردة في كلّ تركيبةٍ ممكنة. فما تلك الأحداث؟ وهناك عدّة إجابات عن هذا السؤال، لكنّ الآتي هو أنفعها.

أوّلًا، قرّر هل تريد وضع الأنشوفي على بيتزاك أم لا. ويمكن أن ينتج عن هذا حدثٌ نتيجتان (نعم للأنشوفي أو لا). ثانيًا، قرّر هل تريد الزيتون الأسود. ثمّ لحم الكندي، ثمّ الطماطم المفرّمة، وهكذا. لكلّ حدثٍ نتيجتان، ويجب أن ندمج كلّ هذه النتائج العشر لإنتاج نتيجةٍ واحدة تقابل بيتزا واحدة. إذن وبمبدأ الضرب، هناك $2^{10}$ بيتزا ممكنة.

وبالمناسبة، فإنّ طريقةً أخرى لحلّ هذه المسألة هي «ترميز» كلّ بيتزا كسلسلةٍ ثنائية، حيث تعني 1 أنّ الإضافة موجودة وتعني 0 أنّها غير موجودة. وعندئذٍ يكون عدد البيتزات هو عدد السلاسل الثنائية ذات الطول 10. ولكلّ بتٍّ في السلسلة قيمتان ممكنتان، إذن هناك $2^{10}$ سلسلة ثنائية ذات الطول 10.

انتبه: «و» لا تعني «ضربًا». فمثلًا، كم عدد بطاقات اللعب التي هي حمراء وبطاقة وجه في الوقت نفسه؟ ليس $26 \cdot 12\text{.}$ الجواب هو 6، وقد احتجنا إلى معرفة شيءٍ عن البطاقات للإجابة عن هذا السؤال.

المثال 3.2.13. عدّ الدوالّ.

كم عدد الدوالّ $f:\{1,2,3,4,5\} \to \{a,b,c,d\}$؟

الحل. تذكّر أنّ الدالة تُرسِل كلّ عنصر من النطاق (domain) إلى عنصرٍ واحد تمامًا من نطاق القيم (codomain). ولتحديد دالة، يكفي أن نحدّد صورة (image) كلّ عنصر في النطاق. إلى أين يمكننا إرسالن 1؟ هناك 4 خيارات. وإلى أين يمكننا إرسالن 2؟ أيضًا 4 خيارات. فما لدينا هنا هو 5 «أحداث» (انتقاء صورة عنصرٍ في النطاق) كلٌّ منها يمكن أن يحدث بـ 4 طرق (الخيارات لتلك الصورة). إذن هناك $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5$ دالّة.

وهذا ليس أكثر من مثالٍ على كيفية استعمالنا لمبدأ الضرب في مسألة عدّ بعينها. فماذا لدينا هنا هو تفسيرٌ عامّ لبعض تطبيقات مبدأ الضرب باستعمال كائناتٍ رياضية معرَّفة بدقّة: الدوالّ. فمتىما كانت لدينا مسألة عدّ تسأل عن عدد نتائج حدثٍ متكرّر، يمكننا تفسير ذلك على أنّه سؤالٌ عن عدد الدوالّ من $\{1,2,\ldots, n\}$ (حيث $n$ هو عدد مرّات تكرار الحدث) إلى $\{1,2,\ldots,k\}$ (حيث $k$ هو عدد الطرق التي يمكن أن يحدث فيها هذا الحدث).

قسم فرعي: جمع المبادئ

لنعد إلى سؤال Investigate! في هذا القسم: في كم طريقة يمكنك انتقاء بطاقتين من مجموعة ورق لعب قياسية من 52 بطاقة، بحيث تكون الأولى بطاقة حمراء والثانية بطاقة وجه؟

يبدو هذا قليلًا مثل مبدأ الضرب لأنّ النتائج تتألّف من أزواجٍ من البطاقات. فهناك 26 بطاقة حربية تُعدّ نتائج للحدث الأوّل، و12 بطاقة وجه تُعدّ نتائج للحدث الثاني. لكنّ الجواب ليس $26 \cdot 12\text{.}$ والمشكلة أنّه رغم وجود 26 طريقة لاختيار البطاقة الأولى، فإنّه ليس من الحال أنّ لكلّ واحدةٍ من تلك توجد 12 طريقة لاختيار البطاقة الثانية. فإذا كانت البطاقة الأولى حمراء وبطاقة وجه في الوقت نفسه، فإنّ عدد خيارات البطاقة الثانية سيكون 11 فقط.

وفي القسم 3.3 سنستكشف بعض طرق التعديل في مسائل العدّ عندما لا يكون الأحداث متباعدة، لكنّنا نستطيع حلّ مسألة البطاقات الآن إذا كنّا دقيقين. فكّر في مجموعة نتائج البطاقتين كاملة. فهل يمكننا تقسيم هذه النتائج إلى مجموعتين متباعدتين (حتى نطبّق مبدأ الجمع) بحيث يمكن تكوين كلّ مجموعةٍ منهما باستعمال مبدأ الضرب؟

ومن بين جميع النتائج، نعدّ أوّلًا تلك التي تبدأ ببطاقة حمراء غير وجهية. فمن بين البطاقات الحمراء الـ 26، هناك 6 بطاقاتٍ وجهية، إذن هناك 20 بطاقة حمراء غير وجهية. ولكلٍّ منها، هناك 12 بطاقة وجه يمكن انتقاؤها كالبطاقة الثانية. وبمبدأ الضرب، يكون عدد نتائج البطاقتين التي تبدأ ببطاقة حمراء غير وجهية هو $20 \cdot 12 = 240\text{.}$

والآن، ما النتائج التي لم نعدّها بعد؟ إنها بالتحديد نتائج البطاقتين التي تبدأ ببطاقة حمراء وجهية. وهناك 6 بطاقاتٍ يمكننا البدء بها، ولكلٍّ منها 11 خيارًا للبطاقة الثانية. إذن يكون عدد نتائج البطاقتين التي تبدأ ببطاقة حمراء وجهية هو $6 \cdot 11 = 66\text{.}$

وأخيرًا، نطبّق مبدأ الجمع على مجموعتَي النتائج هاتين المتباعدتين لنرى أنّ مجموع عدد نتائج البطاقتين هو $240 + 66 = 306\text{.}$

ونختم هذا القسم بمثالين إضافيين لكيفية استعمالك لكلتَي مبدأَي الجمع والضرب في مسألة عدّ واحدة.

المثال 3.2.14.

كم عدد المسارات الشبكية من $(0,0)$ إلى $(9,9)$ تمرّ إمّا بـ $(2,6)$ وإمّا بـ $(6,2)\text{?}$

الحل. نحن محظوظون جدًّا بأنّه لا وجود لمساراتٍ من $(0,0)$ إلى $(9,9)$ تمرّ بـ $(2,6)$ و$(6,2)\text{.}$ وهذا يعني أنّ يمكننا تطبيق مبدأ الجمع على مجموعتَي النتائج: المسارات التي تمرّ بـ $(2,6)$، والمسارات التي تمرّ بـ $(6,2)\text{.}$ وسنطبّق مبدأ الضرب لتحديد عدد المسارات في كلّ واحدةٍ من هاتين المجموعتين المتباعدتين من النتائج.

إنّ المسارات من $(0,0)$ إلى $(9,9)$ التي تمرّ بـ $(2,6)$ هي كلٌّ منها دمجٌ متتالٍ لمسارٍ من $(0,0)$ إلى $(2,6)$ وآخر من $(2,6)$ إلى $(9,9)\text{.}$ وهناك $\binom{8}{2} = 28$ مسارًا للجزء الأوّل و$\binom{10}{7} = 120$ مسارًا للجزء الثاني، لذا فإنّ تطبيق مبدأ الضرب يُعطينا $28 \cdot 120 = 3360$ مسارًا يمرّ بـ $(2,6)\text{.}$

ويمكن حساب المسارات من $(0,0)$ إلى $(9,9)$ التي تمرّ بـ $(6,2)$ بطريقةٍ مماثلة على صورة $$\begin{equation*} \binom{8}{6} \cdot \binom{10}{3} = 28 \cdot 120 = 3360 \end{equation*}$$ (وعند التأمّل، ليس من المستغرب أن يتساوى الرقمان، إذ يمكن انعكاس كلّ مسارٍ يمرّ بـ $(2,6)$ لإنشاء مسارٍ يمرّ بـ $(6,2)$).

إذن فإنّ مجموع عدد المسارات التي تمرّ إمّا بـ $(2,6)$ وإمّا بـ $(6,2)$ هو $3360 + 3360 = 6720\text{.}$

المثال 3.2.15.

كم عدد الأعداد ذات الرقمين، باستعمال الأرقام $\{1,2,3,4,5\}$ فقط، يكون فيها مجموع رقميها زوجيًّا؟

الحل. لنفكّر أوّلًا في مجموعة النتائج. فمن الأعداد ذات الرقمين التي يكون مجموع رقميها زوجيًّا: $11, 13, 15, 22, 24, 31, \ldots\text{.}$ حسنًا، ربما ليس من الصعب جدًّا سردها كلّها (وهذه ستكون طريقةً لطيفة للتحقّق من عملنا). لنجاول استعمال مبدأَي الجمع والضرب على أيّ حال.

ماذا نلاحظ في جميع هذه الأعداد؟ يبدو أنّه يجب أن يكون الرقمان زوجيَّين معًا أو فرديَّين معًا، ليكون المجموع زوجيًّا. يمكننا اعتبار هاتين الحالتين، بعدّ كلّ حالةٍ بمبدأ الضرب.

عدّ الأعداد «الفردية–الفردية»: ثلاثة خيارات للرقم الأوّل وثلاثة خيارات للرقم الثاني. إذن هناك $3 \cdot 3 = 9$ من الأعداد الفردية–الفردية.

وعدّ الأعداد «الزوجية–الزوجية»: خياران للرقم الأوّل وخياران للرقم الثاني. إذن هناك $2 \cdot 2 = 4$ من الأعداد الزوجية–الزوجية.

ومجتمعةً، هناك $9 + 4 = 13$ عددًا ذا رقمين مجموع رقميه زوجيّ.

أسئلة القراءة

1.

كيف ستقرّر إن كنتَ ينبغي أن تجمع أم تضرب عند جمع الأعداد في مسألة عدّ؟ واشرح كيف تفكّر في هذا حاليًّا.

2.

يحاول ابنُ عمّك حلّ مسألة عدّ تتعلّق بعدد الطرق المختلفة التي يسلكها بين مسكنه في الحرم الجامعي وقاعة الدرس. لديه 9 طرقٍ معقولة، وكذلك هناك 9 طرقٍ للعودة من قاعة الدرس إلى المسكن.

كم عدد الرحلات الدائرية الممكنة؟ يقول ابن عمّك 18، لأنّه بعد الذهاب من مسكنه إلى قاعة الدرس لا بدّ أن يضيف طريقًا العودة إلى المسكن. هل هو محقّ؟ ولماذا، أو لماذا لا؟

3.

ما الأسئلة التي تراودك بعد قراءة هذا القسم؟ اكتب على الأقلّ سؤالًا واحدًا عن محتوى هذا القسم يثير فضولك.