مقدمة في علوم الحاسوب والبرمجة باستخدام Python › المحاضرة 5: الأعداد العشرية العائمة وطرق التقريب 7 / 30 السابق التالي

المحاضرة 5: شرائح الأعداد العشرية وطرق التقريب كاملة

المحاضرة 5: الأعداد العشرية وطرق التقريب (Floats and Approximation Methods)

المصادر والنسبة والترخيص

المادة الأصلية: آنا بيل (Ana Bell)، MIT OpenCourseWare (MIT OCW)، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، مقرر 6.100L: مقدمة في علوم الحاسوب والبرمجة باستخدام Python، خريف 2022 (Fall 2022).

صفحة المحاضرة الرسمية.
صفحة الشرائح الرسمية.
ملف الشرائح الأصلي، PDF.
ملف شيفرة المحاضرة الأصلي.
تفريغ المحاضرة على OCW (النسخة الإنجليزية الرسمية).

هذه ترجمة وتكييف عربي غير رسمي وفق رخصة CC BY-NC-SA 4.0: النسبة–غير التجاري–المشاركة بالمثل، ولا تعني اعتمادًا أو تأييدًا من MIT أو MIT OCW. شروط الاستخدام والاستشهاد.

منهج الترجمة: لكل صفحة في ملف الشرائح عنوان مستقل ورقم مطابق. نُقلت الأشكال المتكرّرة إلى جداول تحافظ على تسلسلها. الشيفرة محفوظة بالإنجليزية. لم تُضمَّن صور أو صفحات PDF.

الشريحة 1: الأعداد العشرية وطرق التقريب

(FLOATS and APPROXIMATION METHODS)

(نزّل الشرائح وملفات .py لمتابعة الشرح).

6.100L، المحاضرة 5 — آنا بيل (Ana Bell).

الشريحة 2: دافعنا من المحاضرة الماضية

x = 0
for i in range(10):
    x += 0.1
print(x == 1)
print(x, '==', 10*0.1)

الشريحة 3: الأعداد الصحيحة

الأعداد الصحيحة لها تمثيلات مباشرة (Straightforward) في النظام الثنائي.
كانت الشيفرة بسيطة (ويمكن إضافة جزء للتعامل مع الأعداد السالبة):

if num < 0:
    is_neg = True
    num = abs(num)
else:
    is_neg = False

result = ''
if num == 0:
    result = '0'

while num > 0:
    result = str(num%2) + result
    num = num//2

if is_neg:
    result = '-' + result

الشريحة 4: الكسور

(FRACTIONS)

الشريحة 5: الكسور

ماذا يعني الكسر العشري (Decimal Fraction) 0.abc؟

a\times10^{-1} + b\times10^{-2} + c\times10^{-3}

في التمثيل الثنائي نستخدم الفكرة نفسها:

a\times2^{-1} + b\times2^{-2} + c\times2^{-3}

وبعبارات أبسط: التمثيل الثنائي للكسر العشري $f$ يتطلب إيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ وغيرها بحيث:

f = 0.5a + 0.25b + 0.125c + 0.0625d + 0.03125e + \dots

الشريحة 6: ماذا عن الكسور؟

كيف يمكننا إيجاد ذلك التمثيل؟
في الصورة العشرية:

\frac{3}{8} = 0.375 = 3\times10^{-1} + 7\times10^{-2} + 5\times10^{-3}

فكرة الوصفة (Recipe Idea): إذا استطعنا الضرب في قوة للعدد 2 كبيرة بما يكفي لتحويلها إلى عدد صحيح، فيمكننا التحويل إلى الثنائي، ثم القسمة على القوة نفسها من 2 لاستعادة القيمة.
- $0.375 \times (2^3) = 3_{10}$
- حوّل 3 إلى ثنائي (وأصبح $11_2$ ).
- اقسم على $2^3$ (أزح ثلاثة مواضع لليمين) فتحصل على $0.011_2$ .

الشريحة 7: لكن…

إذا لم يوجد عدد صحيح $p$ بحيث يكون $x \times (2^p)$ عددًا صحيحًا، فإن التمثيل الداخلي يكون دائمًا تقريبًا (Approximation).
وأنا أفترض أن تمثيل الكسر العشري الذي قدّمته كمدخل دقيق تمامًا، وليس هو نفسه تقريبًا نتيجةً لإدخال العدد إلى بايثون.
التحويل إلى الفاصلة العائمة يعمل:
- بدقة تامّة لأعداد مثل $3/8$ .
- لكن ليس لأجل $1/10$ .
workpiece الأول له قوة للعدد 2 تحوّله إلى عدد صحيح، والآخر ليس له.

الشريحة 8: تتبّع ذلك بنفسك

رابط Python Tutor.

x = 0.625
p = 0
while ((2**p)*x)%1 != 0:
    print('Remainder = ' + str((2**p)*x - int((2**p)*x)))
    p += 1
num = int(x*(2**p))
result = ''
if num == 0:
    result = '0'
while num > 0:
    result = str(num%2) + result
    num = num//2
for i in range(p - len(result)):
    result = '0' + result
result = result[0:-p] + '.' + result[-p:]
print('The binary representation of the decimal ' + str(x) + ' is ' + str(result))

الشريحة 9: لماذا هذه مشكلة؟

ماذا يعني التمثيل العشري 0.125؟

1\times10^{-1} + 2\times10^{-2} + 5\times10^{-3}

لنفترض أننا نريد تمثيله في النظام الثنائي؟

1\times2^{-3}

وماذا عن التمثيل العشري 0.1؟
- في الأساس 10: $1 \times 10^{-1}$ .
- في الأساس 2: ؟

الشريحة 10: الفكرة؟

إذا كان كل شيء في النهاية مُمثَّل في صورة بتات (Bits)، فعلينا التفكير في كيفية استخدام التمثيل الثنائي لالتقاط الأعداد.
الأعداد الصحيحة مباشرة.
لكن الأعداد الحقيقية (الأشياء التي فيها خانات بعد الفاصلة العشرية) مشكلة.
كانت الفكرة هي محاولة تحويل عدد حقيقي إلى عدد صحيح بضربه في مضاعف معيّن من 2 للحصول على عدد صحيح.
وأحيانًا لا توجد قوة للعدد 2 من هذا النوع!
علينا عندئذٍ أن نقرّب (Approximate) على أيّ حال التسلسل الثنائي اللانهائي المحتمل من البتات اللازم لتمثيلها.

الشريحة 11: الأعداد العشرية (FLOATS)

(FLOATS)

الشريحة 12: تخزين الأعداد العشرية (Storing Floating Point Numbers)

الفاصلة العائمة زوج من الأعداد الصحيحة:

#.#

الأرقام الدالّة (Significant Digits) وأُسّ الأساس 2 (Base 2 Exponent).

الزوج	أي $1 \times 2^{a}$	أي التمثيل الثنائي	أي القيمة
$(1, 1)$	$1 \times 2^1$	$10_2$	2.0
$(1, -1)$	$1 \times 2^{-1}$	$0.1_2$	0.5
$(125, -2)$	$125 \times 2^{-2}$	$11111.01_2$	31.25

ملاحظة: العدد 125 هو $1111101_2$ ثم تُزاح الفاصلة العشرية مسافتين.

الشريحة 13: استخدام مجموعة منتهية من البتات لتمثيل مجموعة محتملة اللانهائية من البتات

أقصى عدد من الأرقام الدالّة (Maximum Number of Significant Digits) هو ما يحكم الدقة (Precision) التي يمكن تمثيل الأعداد بها.
معظم الحواسيب الحديثة تستخدم 32 بت لتمثيل الأرقام الدالّة.
إذا مُثِّل عدد بأكثر من 32 بت في النظام الثنائي، فسيُقرَّب (Rounded) العدد.
سيكون الخطأ عند البت رقم 32.
سيكون الخطأ فقط من المرتبة $2 \times 10^{-10}$ .

الشريحة 14: نتائج مذهلة!

x = 0
for i in range(10):
    x += 0.125
print(x == 1.25)

x = 0
for i in range(10):
    x += 0.1
print(x == 1)
print(x, '==', 10*0.1)

الشريحة 15: درس القصة (Moral of the Story)

لا تستخدم أبدًا == لاختبار الأعداد العشرية.
بدلًا من ذلك، اختبر ما إذا كانا متقاربين بمقدار صغير.
ما يُطبع ليس دائمًا ما هو مخزَّن في الذاكرة.
يجب أن تكون حذرًا في تصميم الخوارزميات التي تستخدم الأعداد العشرية.

الشريحة 16: طرق التقريب (APPROXIMATION METHODS)

(APPROXIMATION METHODS)

الشريحة 17: المحاضرة الماضية

التخمين والاختبار يوفّر خوارزمية بسيطة لحل المسائل.
- عندما تكون مجموعة الحلول المحتملة قابلة للتعداد، فإن التعداد الشامل مضمون أنه سينجح (في النهاية).
لكنها طريقة محدودة لحل المسائل (A Limiting Way).
- مقدار الزيادة (Increment) يكون عادةً عددًا صحيحًا لكن ليس دائمًا؛ أي أننا نحتاج فقط إلى بعض النمط (Pattern) يمنحنا مجموعة منتهية من القيم القابلة للتعداد.
- لا يمكنها أن تعطينا حلًا تقريبيًا (Approximate Solution) بدرجات متفاوتة.

الشريحة 18: أفضل من التخمين والاختبار

نريد إيجاد تقريب (Approximation) لجواب.
- ليس الجواب الصحيح فقط، كما في التخمين والاختبار.
- وليس أيضًا مجرد أننا لم نجد الجواب، كما في التخمين والاختبار.

الشريحة 19: أثر التقريب على خوارزمياتنا؟

قد لا يكون الجواب الدقيق متاحًا.
نحتاج إلى إيجاد طرق للحصول على جواب «جيد بما يكفي».
جوابنا «قريب بما يكفي» من الجواب المثالي.
نحتاج إلى طرق للتعامل مع الحقيقة أن التعداد الشامل لا يستطيع اختبار كل قيمة ممكنة، لأن مجموعة الأجوبة الممكنة لا نهائية من حيث المبدأ.
أخطاء التقريب في الفاصلة العائمة مهمة لأجل هذه الطريقة.
لا يمكنك الاعتماد على التساوي!

الشريحة 20: تقريب $\sqrt{x}$

(APPROXIMATE $\sqrt{x}$ )

القيم المبيّنة في المخطط: $x$ ، والتخمينات $-2$ ، $-1$ ، $0$ ، $1$ ، $2$ ، $3$ ، $4$ ، $5$ ، $6$ ، $7$ ، $8$ ، مع المدى «جيد بما يكفي» (Good enough).

الشريحة 21: إيجاد الجذور

في المحاضرة الماضية نظرنا في استخدام التعداد الشامل/التخمين والاختبار لإيجاد جذور المربعات الكاملة.
لنفترض أننا نريد إيجاد الجذر التربيعي لأي عدد صحيح موجب، أو لأي عدد موجب.
السؤال: ماذا يعني إيجاد الجذر التربيعي لـ $x$ ؟
- إيجاد $r$ بحيث $r \times r = x$ ؟
- إذا لم يكن $x$ مربعًا كاملًا، فليس من الممكن عمومًا إيجاد $r$ دقيق يحقق هذه العلاقة؛ والبحث الشامل لا نهائي.

الشريحة 22: التقريب (APPROXIMATION)

ابحث عن جواب «جيد بما يكفي».
- مثال: ابحث عن $r$ بحيث يكون $r \times r$ على مسافة (صغيرة) معطاة من $x$ .
استخدم إبسيلون ( $\epsilon$ ، Epsilon): معطى $x$ نريد إيجاد $r$ بحيث:

|r^2 - x| < \epsilon

الخوارزمية:
- ابدأ بتخمين معروف أنه أصغر من اللازم — سمّيه $g$ .
- زِدْه بقيمة صغيرة — سمّها $a$ — لتعطي تخمينًا جديدًا $g$ .
- تحقق ممّا إذا كان $g^2$ قريبًا بما يكفي من $x$ (ضمن $\epsilon$ ).
- تابع حتى تحصل على جواب قريب بما يكفي من الجواب الفعلي.
النظر في كل القيم الممكنة $g + k a$ لقيم $k$ الصحيحة — لذا هو مشابه للتعداد الشامل.
لكن لا يمكن اختبار كل الاحتمالات لأنها لا نهائية.

الشريحة 23: خوارزمية التقريب

في هذه الحالة لدينا معاملان نضبطهما (Two Parameters to Set):
- epsilon: كم نحن قريبون من الجواب؟
- increment: بمقدار ما نزيد تخميننا؟
سيختلف الأداء حسب هذه القيم:
- في السرعة.
- في الدقة.
تقليل حجم مقدار الزيادة (Decreasing increment size) ← برنامج أبطأ، لكن أكثر احتمالًا للحصول على جواب جيد (والعكس).

القيمة في المخطط
`epsilon`	4
`epsilon`	6
`epsilon`	7
`epsilon`	8

والحدود المبيّنة: $-2$ ، $-1$ ، $0$ ، $x$ ، $1$ ، $2$ ، $3$ ، و«جيد بما يكفي» (Good enough).

الشريحة 24: خوارزمية التقريب — أثر زيادة `epsilon`

لدينا معاملان نضبطهما:
- epsilon: كم نحن قريبون من الجواب؟
- increment: بمقدار ما نزيد تخميننا؟
سيختلف الأداء حسب هذه القيم:
- في السرعة.
- في الدقة.
زيادة epsilon (Increasing epsilon) ← جواب أقل دقة، لكن برنامج أسرع (والعكس).

القيمة في المخطط
`epsilon`	4
`epsilon`	5
`epsilon`	6
`epsilon`	7
`epsilon`	8

الشريحة 25: الفكرة الكبرى

التقريب يشبه التخمين والاختبار، إلا أن:

نزيد بمقدار صغير.
نتوقف عندما نقترب بما يكفي (لأن الدقيق غير ممكن).

الشريحة 26: التنفيذ (IMPLEMENTATION)

x = 36
epsilon = 0.01
num_guesses = 0
guess = 0.0
increment = 0.0001
while abs(guess**2 - x) >= epsilon:
    guess += increment
    num_guesses += 1

print('num_guesses =', num_guesses)
print(guess, 'is close to square root of', x)

الشريحة 27: ملاحظات بقيم مختلفة لـ `x`

بالنسبة إلى $x = 36$ $x = 36$ :
- لم نجد 6.
- استغرق نحو 60,000 تخمينًا.
لنجرّب:

الشريحة 28: مثال $x = 54321$

x = 54321
epsilon = 0.01
numGuesses = 0
guess = 0.0
increment = 0.0001
while abs(guess**2 - x) >= epsilon:
    guess += increment
    numGuesses += 1
    if numGuesses%100000 == 0:
        print('Current guess =', guess)
print('Current guess**2 - x =', abs(guess*guess - x))
print('numGuesses =', numGuesses)
print(guess, 'is close to square root of', x)

الشريحة 29: تجاوزنا إبسيلون!

(WE OVERSHOT the EPSILON!)

السهم الأزرق (Blue arrow) هو التخمين.
السهم الأخضر (Green arrow) هو guess**2.
$x = 54321$ ، ومؤشّرا epsilon حول القيمة المقاربة.

الشريحة 30: بعض الملاحظات

دالة التناقص (Decrementing Function) تبدأ في النهاية بالتزايد.
لذلك لم تخرج الحلقة كما هو متوقّع.
لقد تجاوزنا العلامة (Overshot the Mark).
أي أننا قفزنا من قيمة بعيدة جدًا لكن صغيرة، إلى قيمة بعيدة جدًا لكن كبيرة.
لم نأخذ هذه الاحتمالية في الحسبان عند كتابة الحلقة.
لنصلح ذلك.

الشريحة 31: لنصلحها

x = 54321
epsilon = 0.01
numGuesses = 0
guess = 0.0
increment = 0.0001
while abs(guess**2 - x) >= epsilon and guess**2 <= x:
    guess += increment
    numGuesses += 1
print('numGuesses =', numGuesses)
if abs(guess**2 - x) >= epsilon:
    print('Failed on square root of', x)
else:
    print(guess, 'is close to square root of', x)

الشريحة 32: الفكرة الكبرى

من الممكن تجاوز إبسيلون، لذلك تحتاج إلى شرط انتهاء آخر.

الشريحة 33: بعض الملاحظات

الآن تتوقف، لكنها تُبلّغ عن الفشل، لأنها تجاوزت الجواب.
لنجرّب ضبط increment على 0.00001.
مقدار زيادة أصغر يعني أن قيمًا أكثر سيتم فحصها.
سيكون البرنامج أبطأ.

الشريحة 34: الفكرة الكبرى

كن حذرًا عند مقارنة الأعداد العشرية.

الشريحة 35: الدروس المستفادة في التقريب

لا يمكنك استخدام == للتحقق من شرط الخروج.
يجب أن تكون حذرًا من أن تقفز آلية التكرار فوق اختبار الخروج فتستمر الحلقة إلى الأبد.
توجد مقايضة (Tradeoff) بين كفاءة الخوارزمية ودقة النتيجة.
يجب أن تفكر في مدى قرب الجواب الذي تريده عند ضبط معاملات الخوارزمية.
للحصول على جواب جيد، قد تكون هذه الطريقة بطيئة مؤلمة.
هل هناك طريقة أسرع تظل تعطي أجوبة جيدة؟
- نعم! سنراها في المحاضرة القادمة…

الشريحة 36: ملخص

الأعداد العشرية (Floating Point Numbers) تقدّم تحديات!
- لا يمكن تمثيلها في الذاكرة بدقة تامّة.
- العمليات على الأعداد العشرية تُدخل أخطاء ضئيلة.
- العمليات المتعددة على الأعداد العشرية تُضخّم الأخطاء. :(
طرق التقريب (Approximation Methods) تستخدم الأعداد العشرية:
- مثل التخمين والاختبار، إلا أن:
  1. نستخدم عددًا عشريًا كمقدار للزيادة.
  2. نتوقف عندما نقترب بما يكفي.
- لا تستخدم أبدًا == لمقارنة الأعداد العشرية في شرط التوقف.
- كن حذرًا من تجاوز شرط التوقف «قريب بما يكفي».

الشريحة 37: بيانات MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare — https://ocw.mit.edu

6.100L: مقدمة في علوم الحاسوب والبرمجة باستخدام Python.

خريف 2022.

للحصول على معلومات عن الاستشهاد بهذه المواد أو شروط استخدامها، تفضّل بزيارة https://ocw.mit.edu/terms.

السابق المحاضرة 5: الأعداد العشرية العائمة (Floats) وطرق التقريب (Approximation) التالي المحاضرة ٥: تمرين الأصابع وحلّه الرسمي