المجموعات

\أهمّ الأشياء الأساسية التي سنستعملها في دراستنا (وفي الرياضيات كلّها في الحقيقة) هي المجموعات (sets). وقد يكون كثير مما يأتي مراجعةً، لكن من المهمّ جدًا أن تكون متقنًا لغة نظرية المجموعات (set theory). معظم الترميز الذي نستعمله أدناه هو ترميز قياسي، وإن كان بعضه قد يختلف قليلًا عمّا رأيته من قبل.

بالنسبة إلينا، ستكون المجموعة (set) ببساطة مجموعة غير مرتّبة من الأشياء. وهاك مثالان: يمكننا أن نفكّر في مجموعة جميع الممثلين الذين لعبوا دور الدكتور (The Doctor) في مسلسل دكتور هو (Doctor Who)، أو في مجموعة الأعداد الطبيعية بين 1 و10 شاملةً الطرفين. في الحالة الأولى، توم بيكر عنصر (element) (أو عضو) في المجموعة، بينما إدريس إلبا، وكثير غيره، ليس عنصرًا في المجموعة. كذلك، المثالان يعودان إلى مجموعتين مختلفتين. وتتساوى مجموعةتان تمامًا إذا كانتا تحتويان على العناصر نفسها بالضبط. فمثلًا، المجموعة التي تحتوي على كلّ حروف العلّة في إعلان الاستقلال هي المجموعة نفسها تمامًا التي تتكوّن من حروف العلّة في الكلمة “questionably” (أي كلّها منها)؛ فنحن لا نبالغ في الترتيب أو التكرار، بل يهمّنا فحسب إن كان العنصر في المجموعة أم لا.

قسم فرعي: الترميز

نحتاج إلى بعض الترميز لجعل الحديث عن المجموعات أسهل. تأمّل المعادلة $$\begin{equation*} A = \{1, 2, 3\}\text{.} \end{equation*}$$

وتُقرأ هكذا: «$A$ هي المجموعة التي تحتوي على العناصر 1 و2 و3.» ونستعمل الأقواس المعقوفة “$\{,~~ \}$” لإحاطة عناصر المجموعة. وهناك المزيد من الترميز: $$\begin{equation*} a \in \{a, b, c\}\text{.} \end{equation*}$$

يُقرأ الرمز “$\in$” بأنه «ينتمي إلى» أو «هو عنصر من عناصر». وهكذا يعني ما سبق أنّ $a$ عنصر في المجموعة التي تحتوي على الأحرف $a\text{,}$ $b\text{,}$ و$c\text{.}$ ولاحظ أنّ هذه عبارة صحيحة. وسيصحّ أيضًا أن نقول إنّ $d$ ليس في تلك المجموعة: $$\begin{equation*} d \not\in \{a, b, c\}\text{.} \end{equation*}$$

لكن انتبه: نحن نكتب “$x \in A$” عندما نرغب في التعبير عن أنّ أحد عناصر المجموعة $A$ هو $x\text{.}$ فمثلًا، تأمّل المجموعة $$\begin{equation*} A = \{1, b, \{x, y, z\}, \emptyset\}\text{.} \end{equation*}$$

وهذه مجموعة غريبة حقًّا. فهي تحتوي على أربعة عناصر: العدد 1، والحرف b، والمجموعة $\{x,y,z\}\text{,}$ والمجموعة الخالية $\emptyset = \{ \}\text{,}$ أي المجموعة التي لا تحتوي على أيّ عناصر. هل $x$ في $A\text{?}$ الجواب لا. فليس أيٌّ من العناصر الأربعة في $A$ هو الحرف $x\text{,}$ ومن ثمّ يجب أن نستنتج أنّ $x \notin A\text{.}$ وبالمثل، تأمّل المجموعة $B = \{1,b\}\text{.}$ فحتى مع أنّ عناصر $B$ هي عناصر في $A\text{,}$ لا يمكننا القول إنّ المجموعة $B$ أحد عناصر $A\text{.}$ ومن ثمّ $B \notin A\text{.}$ (وسنرى لاحقًا أنّ $B$ هي المجموعة الجزئية (subset) من $A\text{,}$ لكنّ هذا يختلف عن كونها عنصرًا في $A\text{.}$)

وقد وصفنا المجموعات أعلاه بسرد عناصرها. وأحيانًا يكون هذا صعبًا، خاصةً عندما يكون في المجموعة عدد كبير من العناصر (ربما عدد لا نهائي). فمثلًا، إذا أردنا أن تكون $A$ مجموعة جميع الأعداد الطبيعية الزوجية، فيمكننا أن نكتب $$\begin{equation*} A = \{0, 2, 4, 6, \ldots\}\text{,} \end{equation*}$$ لكنّ هذا قليلٌ من الدقّة. وطريقة أفضل كانت $$\begin{equation*} A = \{x \in \N \st \text{ يوجد }n \in \N \text{ بحيث } x = 2 n\}\text{.} \end{equation*}$$

لنتأمّل هذا عن قُرب. أوّلًا، هناك بعض الرموز الجديدة التي يجب أن نستوعبها: الرمز “$\N$” هو الرمز المستعمل عادةً للدلالة على الأعداد الطبيعية، وسنعتبرها المجموعة $\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\text{.}$ ثانيًا، النقطتان “:” تُقرآن بحيث؛ وهما تفصلان العناصر الموجودة في المجموعة عن الشرط الذي يجب أن تحقّقه هذه العناصر. فبجمع كلّ هذا معًا، نقرأ المجموعة هكذا: «مجموعة جميع $x$ في الأعداد الطبيعية، بحيث يوجد $n$ في الأعداد الطبيعية بحيث يكون $x$ ضعف $n\text{.}$» وبعبارات أخرى، مجموعة جميع الأعداد الطبيعية التي زوجيّة. وإليك طريقة أخرى لكتابة المجموعة نفسها. $$\begin{equation*} A = \{x \in \N \st x\text{ is even} \}\text{.} \end{equation*}$$

ملاحظة: يستعمل الرياضيّون أحيانًا الرمز $|$ أو $\backepsilon$ لِرمز «بحيث» بدلًا من النقطتين. كذلك، هناك انقسام إلى حدٍّ ما بين الرياضيّين حول ما إذا كان $0$ عنصرًا من الأعداد الطبيعية، فكن حذرًا في هذه المسألة.

ويُسمَّى هذا الترميز عادةً صيغة بناء المجموعات (set builder notation). فهو يخبرنا كيف نبني مجموعة بأن يخبرنا بدقة بالشرط الذي يجب أن تحقّقه العناصر حتى تنضمّ (الشرط هو العبارة المنطقية التي تلي الرمز “$\st$”). والقراءة وفهم المجموعات المكتوبة بهذه الطريقة يتطلّبان تدريبًا. وإليك المزيد من الأمثلة:

مثال 5.1.1.

صِف كلًّا من المجموعات التالية بالكلمات وبسرد عدد كافٍ من العناصر ليرتسم النمط.

1. $\{x \st x + 3 \in \N\}\text{.}$
2. $\{x \in \N \st x + 3 \in \N\}\text{.}$
3. $\{x \st x \in \N \text{ or } -x \in \N\}\text{.}$
4. $\{x \st x \in \N \text{ and } -x \in \N\}\text{.}$

الحل.

1. هذه هي مجموعة جميع الأعداد التي أصغر من عدد طبيعي بـ3 (أي التي تضيف إليها 3 تحصل على عدد طبيعي). ويمكن أيضًا كتابة المجموعة على صورة $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ (لاحظ أنّ 0 عدد طبيعي، ومن ثمّ فإنّ $-3$ في هذه المجموعة لأنّ $-3 + 3 = 0$).
2. هذه هي مجموعة جميع الأعداد الطبيعية التي أصغر من عدد طبيعي بـ3. فلدينا هنا $\{0, 1, 2,3 \ldots\}\text{.}$
3. هذه هي مجموعة جميع الأعداد الصحيحة (الأعداد الكلية الموجبة والسالبة، وتُكتب $\Z$). وبعبارات أخرى، $\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\text{.}$
4. هنا نريد جميع الأعداد $x$ بحيث يكون $x$ و$-x$ عددين طبيعيين. لا يوجد سوى واحد: 0. فلدينا المجموعة $\{0\}\text{.}$

وهناك أيضًا تنويعة دقيقة على صيغة بناء المجموعات. فبينما يُعطى الشرط عادةً بعد عبارة «بحيث»، يكون أحيانًا مُخفىً في الجزء الأوّل. وإليك مثالًا.

مثال 5.1.2.

اذكر بعض العناصر في المجموعات أدناه وصِفها بالكلمات. والمجموعة $\Z$ هي مجموعة الأعداد الصحيحة؛ أي الأعداد الكلية الموجبة والسالبة.

1. $\displaystyle A = \{x \in \Z \st x^2 \in \N\}$
2. $\displaystyle B = \{x^2 \st x \in \N\}$

الحل.

1. مجموعة الأعداد الصحيحة التي تحقّق شرط أنّ مربّعها عدد طبيعي. وحسنًا، كلّ عدد صحيح، إذا ربّعته، يعطيك عددًا صحيحًا غير سالب، أي عددًا طبيعيًّا. ومن ثمّ $A = \Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\text{.}$
2. هنا نبحث عن مجموعة جميع $x^2$ حيث $x$ عدد طبيعي. فهذه المجموعة ببساطة هي مجموعة المربّعات التامّة. $B = \{0, 1, 4, 9, 16, \ldots\}\text{.}$

وطريقة أخرى لكتابة هذه المجموعة، باستعمال صيغة بناء المجموعات بدقّة أكبر، كانت $B = \{x \in \N \st x = n^2 \text{ for some } n \in \N\}\text{.}$

لدينا بالفعل قدرٌ كبير من الترميز، وهناك المزيد بعد. وفيما يلي جدول مفيد للرموز. وستُناقَش بعض هذه الرموز بمزيد من التفصيل كلّما تقدّمنا.

المجموعات الخاصة.

$\emptyset$

المجموعة الخالية (empty set) هي المجموعة التي لا تحتوي على أيّ عناصر.

$\N$

مجموعة الأعداد الطبيعية. أي $\N = \{0, 1, 2, 3\ldots\}\text{.}$

$\Z$

مجموعة الأعداد الصحيحة. أي $\Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\text{.}$

$\Q$

مجموعة الأعداد النسبية.

$\R$

مجموعة الأعداد الحقيقية.

$\pow(A)$

مجموعة القوة (power set) لأي مجموعة $A$ هي مجموعة جميع المجموعات الجزئية من $A\text{.}$

ترميز نظرية المجموعات.

$\{, \}$

نستعمل هذين القوسين لإحاطة عناصر المجموعة. فـ $\{1,2,3\}$ هي المجموعة التي تحتوي على 1 و2 و3.

$\st$

$\{x \st x > 2\}$ هي مجموعة جميع $x$ بحيث يكون $x$ أكبر من 2.

$\in$

$2 \in \{1,2,3\}$ يؤكّد أنّ 2 عنصر في المجموعة $\{1,2,3\}\text{.}$

$\not\in$

$4 \notin \{1,2,3\}$ لأنّ 4 ليس عنصرًا في المجموعة $\{1,2,3\}\text{.}$

$\subseteq$

$A \subseteq B$ يؤكّد أنّ $A$ مجموعة جزئية من $B$: كلّ عنصر في $A$ هو أيضًا عنصر في $B\text{.}$

$\subset$

$A \subset B$ يؤكّد أنّ $A$ مجموعة جزئية فعلية (proper subset) من $B$: كلّ عنصر في $A$ هو أيضًا عنصر في $B\text{,}$ لكنّ $A \ne B\text{.}$

$\cap$

$A \cap B$ هو التقاطع (intersection) بين $A$ و$B$: أي المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر التي هي عناصر في $A$ وفي $B\text{.}$

$\cup$

$A \cup B$ هو الاتحاد (union) بين $A$ و$B$: أي المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر التي هي عناصر في $A$ أو في $B$ أو في كليهما.

$\times$

$A \times B$ هو جداء ديكارت (Cartesian product) بين $A$ و$B$: أي مجموعة جميع الأزواج المرتّبة $(a,b)$ حيث $a \in A$ و$b \in B\text{.}$

$\setminus$

$A \setminus B$ هو الفرق (set difference) بين $A$ و$B$: أي المجموعة التي تحتوي على جميع عناصر $A$ التي ليست عناصر في $B\text{.}$

$\bar{A}$

تكملة $A$ (complement) هي مجموعة كلّ ما ليس عنصرًا في $A\text{.}$

$\card{A}$

عدد عناصر $A$ (cardinality) أو حجمها هو عدد العناصر الموجودة في $A\text{.}$

استكشف!

1. اعثر على عدد عناصر كلّ مجموعة أدناه. $A = \{3,4,\ldots, 15\}\text{.}$
2. $B = \{n \in \N \st 2 \lt n \le 200\}\text{.}$
3. $C = \{n \le 100 \st n \in \N \text{ and for some } m \in \N, (n = 2m+1)\}\text{.}$

اعثر على مجموعتين $A$ و$B$ بحيث $|A| = 5\text{,}$ $|B| = 6\text{,}$ و$|A\cup B| = 9\text{.}$ فما هو $|A \cap B|\text{?}$

اعثر على مجموعتين $A$ و$B$ بحيث $|A| = |B|$ و$|A\cup B| = 7$ و$|A \cap B| = 3\text{.}$ فما هو $|A|\text{?}$

ليكن $A = \{1,2,\ldots, 10\}\text{.}$ عرّف $\mathcal{B}_2 = \{B \subseteq A \st |B| = 2\}\text{.}$ اعثر على $|\mathcal{B}_2|\text{.}$

لأي مجموعتين $A$ و$B\text{,}$ عرّف $AB = \{ab \st a\in A \text{ و} b \in B\}\text{.}$ فإذا كان $A = \{1,2\}$ و$B = \{2,3,4\}\text{,}$ فما هو $|AB|\text{?}$ وما هو $|A \times B|\text{?}$

قسم فرعي: العلاقات بين المجموعات

لقد قلنا بالفعل ما معنى أن تتساوى مجموعةتان: لهما العناصر نفسها تمامًا. ومن ثمّ، على سبيل المثال، $$\begin{equation*} \{1, 2, 3\} = \{2, 1, 3\}\text{.} \end{equation*}$$

(وتذكّر أنّ الترتيب الذي تُكتب به العناصر لا يهمّ.) وكذلك $$\begin{equation*} \{1, 2, 3\} = \{1, 1+1, 1+1+1\} = \{I, II, III\} = \{1, 2, 3, 1+2\} \end{equation*}$$ لأنّ هذه كلّها طرق لكتابة المجموعة التي تحتوي على الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى الثلاثة (فكيف نكتبها لا يهمّ، بل فقط ما هي هذه الأعداد).

فماذا عن المجموعتين $A = \{1, 2, 3\}$ و$B = \{1, 2, 3, 4\}\text{?}$ من الواضح أنّ $A \ne B\text{,}$ لكن لاحظ أنّ كلّ عنصر في $A$ هو أيضًا عنصر في $B\text{.}$ ولهذا نقول إنّ $A$ هي مجموعة جزئية (subset) من $B\text{,}$ أو بالرموز $A \subset B$ أو $A \subseteq B\text{.}$ ويُقرأ الرمزان معًا بأنّه «مجموعة جزئية من». والفرق هو أنّنا أحيانًا نرغب في القول إنّ $A$ تساوي أو أنّها مجموعة جزئية من $B\text{,}$، وعندئذٍ نستعمل $\subseteq\text{.}$ وهذا يشبه الفرق بين $\lt$ و$\le\text{.}$

مثال 5.1.3.

ليكن $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{,}$ و$B = \{2, 4, 6\}\text{,}$ و$C = \{1, 2, 3\}\text{,}$ و$D = \{7, 8, 9\}\text{.}$ حدّد أيّ ممّا يلي صحيح وأيّها خطأ وأيّها بلا معنى.

1. $A \subset B\text{.}$
2. $B \subset A\text{.}$
3. $B \in C\text{.}$
4. $\emptyset \in A\text{.}$
5. $\emptyset \subset A\text{.}$
6. $A \lt D\text{.}$
7. $3 \in C\text{.}$
8. $3 \subset C\text{.}$
9. $\{3\} \subset C\text{.}$

الحل.

1. خطأ. فمثلًا، $1\in A$ لكنّ $1 \notin B\text{.}$
2. صحيح. كلّ عنصر في $B$ هو عنصر في $A\text{.}$
3. خطأ. فالموجود في $C$ هو 1 و2 و3. والمجموعة $B$ لا تساوي 1 ولا 2 ولا 3.
4. خطأ. فـ $A$ له 6 عناصر بالضبط، ولا واحد منها هو المجموعة الخالية.
5. صحيح. فكلّ ما في المجموعة الخالية (أي لا شيء) هو أيضًا عنصر في $A\text{.}$ ولاحظ أنّ المجموعة الخالية مجموعة جزئية من كلّ مجموعة.
6. بلا معنى. فلا يمكن أن تكون مجموعة أصغر من مجموعة أخرى.
7. صحيح. فالعدد $3$ أحد عناصر المجموعة $C\text{.}$
8. بلا معنى. فالعدد $3$ ليس مجموعة، ومن ثمّ لا يمكن أن يكون مجموعة جزئية من مجموعة أخرى.
9. صحيح. فالعدد $3$ هو العنصر الوحيد في المجموعة $\{3\}\text{,}$ وهو عنصر في $C\text{,}$ ومن ثمّ فإنّ كلّ عنصر في $\{3\}$ هو عنصر في $C\text{.}$

في المثال أعلاه، $B$ مجموعة جزئية من $A\text{.}$ وقد تتساءل ما المجموعات الأخرى الجزئية من $A\text{.}$ فإذا جمعت كلّ هذه المجموعات الجزئية من $A$ في مجموعة جديدة، نحصل على مجموعة من المجموعات. ونسمّي مجموعةَ جميع المجموعات الجزئية من $A$ مجموعةَ القوة (power set) لـ$A\text{,}$ ونكتبها $\pow(A)\text{.}$

مثال 5.1.4.

ليكن $A = \{1,2,3\}\text{.}$ اعثر على $\pow(A)\text{.}$

الحل. $\pow(A)$ مجموعة من المجموعات، كلّها مجموعات جزئية من $A\text{.}$ ومن ثمّ $$\begin{equation*} \pow(A) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1, 3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}\text{.} \end{equation*}$$

ولاحظ أنّه بينما $2 \in A\text{,}$ فإنّ كتابة $2 \in \pow(A)$ خاطئة، لأنّ أيًّا من العناصر الموجودة في $\pow(A)$ ليس عددًا! ومن الجهة الأخرى، لدينا $\{2\} \in \pow(A)$ لأنّ $\{2\} \subseteq A\text{.}$

فكيف تبدو مجموعة جزئية من $\pow(A)$ ولاحظ أنّ $\{2\} \not\subseteq \pow(A)$ لأنّ ليس كلّ ما في $\{2\}$ موجودًا في $\pow(A)\text{.}$ لكن لدينا $\{ \{2\} \} \subseteq \pow(A)\text{.}$ فالعنصر الوحيد في $\{\{2\}\}$ هو المجموعة $\{2\}\text{,}$ وهو أيضًا عنصر في $\pow(A)\text{.}$ ويمكننا أن نأخذ مجموعةَ جميع المجموعات الجزئية من $\pow(A)$ ونسمّيها $\pow(\pow(A))\text{.}$ بل حتى مجموعةَ القوة لتلك المجموعة من المجموعات من المجموعات.

وهناك طريقة أخرى لمقارنة المجموعات وهي مقارنتها بحسب حجمها. فلاحظ أنّ في المثال أعلاه، لدى $A$ ستّة عناصر، أمّا $B\text{,}$ $C\text{,}$ و$D$ فلكلٍّ منها 3 عناصر. ويُسمّى حجم المجموعة عددَ عناصرها (cardinality). ونكتب $|A| = 6\text{,}$ $|B| = 3\text{,}$ وهكذا. أمّا المجموعات التي لها عدد منتهٍ من العناصر، فعددُ عناصرها هو ببساطة عددُ ما في المجموعة من عناصر. ولاحظ أنّ عدد عناصر $\{ 1, 2, 3, 2, 1\}$ هو 3. فنحن لا نعدّ التكرارات (وفعلًا $\{1, 2, 3, 2, 1\}$ هي المجموعة نفسها تمامًا $\{1, 2, 3\}$). وهناك مجموعات ذات عدد عناصر لا نهائي، مثل $\N\text{,}$ ومجموعة الأعداد النسبية (تُكتب $\mathbb Q$)، ومجموعة الأعداد الطبيعية الزوجية، ومجموعة الأعداد الحقيقية ($\mathbb R$). ومن الممكن التمييز بين أعداد عناصر لا نهائية مختلفة، لكنّ ذلك يتجاوز نطاق هذا الكتاب. بالنسبة إلينا، ستكون المجموعة إما لا نهائية أو منتهية؛ فإذا كانت منتهية فيمكننا تحديد عدد عناصرها بعدّ العناصر.

مثال 5.1.5.

1. اعثر على عدد عناصر $A = \{23, 24, \ldots, 37, 38\}\text{.}$
2. اعثر على عدد عناصر $B = \{1, \{2, 3, 4\}, \emptyset\}\text{.}$
3. إذا كان $C = \{1,2,3\}\text{,}$ فما عدد عناصر $\pow(C)\text{?}$

الحل.

1. بما أنّ $38 - 23 = 15\text{,}$ يمكننا أن نستنتج أنّ عدد عناصر المجموعة هو $|A| = 16$ (ويجب أن تضيف واحدًا لأنّ 23 مُضمَّنة).
2. هنا $|B| = 3\text{.}$ والعناصر الثلاثة هي العدد 1، والمجموعة $\{2,3,4\}\text{,}$ والمجموعة الخالية.
3. لقد كتبنا عناصر مجموعة القوة $\pow(C)$ أعلاه، وهناك 8 عناصر (كلٌّ منها مجموعة). ومن ثمّ $\card{\pow(C)} = 8\text{.}$ (وربّما تتساءل ما إذا كانت هناك علاقة بين $\card{A}$ و$\card{\pow(A)}$ لكلّ المجموعات $A\text{.}$ وهذا سؤال جيّد نستكشفه في الفصل 3.)

قسم فرعي: العمليات على المجموعات

هل من الممكن أن نجمع مجموعتين معًا؟ ليس حقًّا، لكنّ هناك شيئًا مشابهًا. فإذا أردنا أن ندمج مجموعتين للحصول على مجموعة الأشياء الموجودة في أيٍّ منهما، فيمكننا أن نأخذ اتحادَ (union) المجموعتين. وبالرمز، $$\begin{equation*} C = A \cup B\text{,} \end{equation*}$$ وتُقرأ هكذا: «$C$ هو الاتحاد بين $A$ و$B\text{,}$» أي إنّ عناصر $C$ هي بالضبط العناصر التي هي إما عنصر في $A$ أو عنصر في $B$ (أو عنصر في كليهما). فمثلًا، إذا كان $A = \{1, 2, 3\}$ و$B = \{2, 3, 4\}\text{,}$ فإنّ $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}\text{.}$

أمّا العملية الأخرى الشائعة على المجموعات فهي التقاطع (intersection). فنكتب $$\begin{equation*} C = A \cap B \end{equation*}$$ ونقول: «$C$ هو التقاطع بين $A$ و$B\text{,}$» عندما تكون العناصر الموجودة في $C$ هي بالضبط تلك الموجودة في $A$ وفي $B\text{.}$ فإذا كان $A = \{1, 2, 3\}$ و$B = \{2, 3, 4\}\text{,}$ فإنّ $A \cap B = \{2, 3\}\text{.}$

وغالبًا ما يكون لدينا، عند التعامل مع المجموعات، فهمٌ لما يعنيه «كلّ شيء». فربّما لا يهمّنا إلا الأعداد الطبيعية. وعندئذٍ نقول إنّ «الكون» (universe) عندنا هو $\N\text{.}$ وأحيانًا نرمز لهذا الكون بـ$\U\text{.}$ وفي هذا السياق، قد نرغب في الحديث عن جميع العناصر التي ليست في مجموعة بعينها. فنقول إنّ $B$ هي تكملة $A\text{,}$ ونكتب $$\begin{equation*} B = \bar A \end{equation*}$$ عندما تحتوي $B$ على كلّ عنصر غير موجود في $A\text{.}$ فإذا كان كوننا هو $\{1, 2,\ldots, 9, 10\}\text{,}$ و$A = \{2, 3, 5, 7\}\text{,}$ فإنّ $\bar A = \{1, 4, 6, 8, 9,10\}\text{.}$

بالطبع يمكننا إجراء أكثر من عملية في الوقت نفسه. فمثلًا، تأمّل $$\begin{equation*} A \cap \bar B\text{.} \end{equation*}$$

وهذه هي مجموعة جميع العناصر التي هي عناصر في $A$ وليست عناصر في $B\text{.}$ فما الذي فعلناه؟ لقد بدأنا بـ$A$ وأزلنا جميع العناصر التي كانت في $B\text{.}$ وطريقة أخرى لكتابة ذلك هي فرق المجموعات: $$\begin{equation*} A \cap \bar B = A \setminus B\text{.} \end{equation*}$$

ومن المهمّ أن نتذكّر أنّ هذه العمليات (الاتحاد، والتقاطع، والتكملة، والفرق) على المجموعات تنتج مجموعات أخرى. فلا تخلط بين هذه والرموز المستعملة في القسم السابق (الانتماء element of والجزئية subset of). فـ $A \cap B$ مجموعة، في حين أنّ $A \subseteq B$ عبارة صحيحة أو خاطئة. وهذا هو الفرق نفسه بين $3 + 2$ (وهي عدد) و$3 \le 2$ (وهي خاطئة).

مثال 5.1.6.

ليكن $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{,}$ و$B = \{2, 4, 6\}\text{,}$ و$C = \{1, 2, 3\}\text{,}$ و$D = \{7, 8, 9\}\text{.}$ فإذا كان الكون هو $\U = \{1, 2, \ldots, 10\}\text{,}$ اعثر على:

1. $A \cup B\text{.}$
2. $A \cap B\text{.}$
3. $B \cap C\text{.}$
4. $A \cap D\text{.}$
5. $\bar{B \cup C}\text{.}$
6. $A \setminus B\text{.}$
7. $(D \cap \bar C) \cup \bar{A \cap B}\text{.}$
8. $\emptyset \cup C\text{.}$
9. $\emptyset \cap C\text{.}$

الحل.

1. $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = A$ لأنّ كلّ ما في $B$ موجود بالفعل في $A\text{.}$
2. $A \cap B = \{2, 4, 6\} = B$ لأنّ كلّ ما في $B$ موجود في $A\text{.}$
3. $B \cap C = \{2\}$ لأنّ العنصر الوحيد المشترك بين $B$ و$C$ هو 2.
4. $A \cap D = \emptyset$ لأنّ $A$ و$D$ لا يشتركان في أيّ عناصر.
5. $\bar{B \cup C} = \{5, 7, 8, 9, 10\}\text{.}$ فنجد أوّلًا أنّ $B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 6\}\text{,}$ ثمّ نأخذ كلّ ما ليس في تلك المجموعة.
6. $A \setminus B = \{1, 3, 5\}$ لأنّ العناصر 1 و3 و5 موجودة في $A$ وليست في $B\text{.}$ وهذا هو نفسه $A \cap \bar B\text{.}$
7. $(D \cap \bar C) \cup \bar{A \cap B} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}\text{.}$ تحتوي هذه المجموعة على جميع العناصر التي هي إما في $D$ وليست في $C$ (أي $\{7,8,9\}$)، أو ليست في $A$ و$B$ معًا (أي $\{1,3,5,7,8,9,10\}$).
8. $\emptyset \cup C = C$ لأنّ المجموعة الخالية لا تضيف شيئًا.
9. $\emptyset \cap C = \emptyset$ لأنّ لا شيء يمكن أن يكون في مجموعة وفي المجموعة الخالية في الوقت نفسه.

إنّ الترميز من هذا النوع مفيد. فكثيرًا ما سنرغب في إضافة عناصر إلى المجموعات أو إزالتها منها، ويتيح لنا ترميزنا ذلك بدقّة.

مثال 5.1.7.

إذا كان $A = \{1,2,3\}\text{,}$ فيمكننا أن نصف المجموعة التي نحصل عليها بإضافة العدد 4 بأنها $A \cup \{4\}\text{.}$ وإذا أردنا التعبير عن المجموعة التي نحصل عليها بإزالة العدد 2 من $A\text{,}$ فيمكننا فعل ذلك بكتابة $A \setminus \{2\}\text{.}$

لكن انتبه. فإذا أضفتَ عنصرًا إلى المجموعة، حصلتَ على مجموعة جديدة! ومن ثمّ سيكون لديك $B = A \cup \{4\}$، ويمكنك عندئذٍ أن تقول بحقّ إنّ $B$ تحتوي على 4، لكنّ $A$ لا تحتوي عليها.

وهناك طريقة واحدة أخرى لدمج المجموعات ستكون مفيدة لنا: وهي جداء ديكارت (Cartesian product)، $A \times B\text{.}$ وهذا يبدو رهيبًا لكنّه ليس شيئًا لم تره من قبل. فأنت حين ترسم بيانيًّا لدالة في التفاضل والتكامل، فأنت ترسمه في المستوى الديكارتي. وهذه هي مجموعة جميع الأزواج المرتّبة من الأعداد الحقيقية $(x,y)\text{.}$ ويمكننا أن نفعل ذلك مع أيّ زوج من المجموعات، لا مع الأعداد الحقيقية مع نفسها فحسب.

وبعبارة أخرى، $A \times B = \{(a,b) \st a \in A \text{ and } b \in B\}\text{.}$ فالإحداثي الأوّل يأتي من المجموعة الأولى، والإحداثي الثاني يأتي من المجموعة الثانية. وأحيانًا سنرغب في أخذ جداء ديكارت لمجموعة مع نفسها، وهذا جائز: $A \times A = \{(a,b) \st a, b \in A\}$ (ويمكننا أيضًا أن نكتب $A^2$ لهذه المجموعة). ولاحظ أنّه في $A \times A\text{,}$ نريد أيضًا جميع الأزواج المرتّبة، لا التي يتساوى فيها الإحداثيّان الأول والثاني فحسب. ويمكننا أيضًا أن نأخذ جداءات 3 مجموعات أو أكثر، فنحصل على ثلاثيّات مرتّبة، أو ربّاعيّات، وهكذا.

مثال 5.1.8.

ليكن $A = \{1,2\}$ و$B = \{3,4,5\}\text{.}$ اعثر على $A \times B$ و$A \times A\text{.}$ كم عدد العناصر التي تتوقّع وجودها في $B \times B\text{?}$

الحل. $A \times B = \{(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)\}\text{.}$

$A \times A = A^2 = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}\text{.}$

$|B\times B| = 9\text{.}$ فهناك 3 أزواج إحداثيّها الأوّل $3\text{,}$ وثلاثة أخرى إحداثيّها الأوّل $4\text{,}$ وثلاثة أخيرة إحداثيّها الأوّل $5\text{.}$)

قسم فرعي: مخطّطات ڤِن (Venn diagrams)

هناك أداة بصرية جميلة جدًّا يمكننا استعمالها لتمثيل العمليات على المجموعات. فمخطّط ڤِن يعرض المجموعات على صورة دوائر متقاطعة. ويمكننا أن نظلّل المنطقة التي نتحدّث عنها عند إجراء عملية ما. ويمكننا أيضًا أن نمثّل عدد عناصر مجموعة بعينها بوضع العدد في المنطقة المقابلة.

تمثّل كلّ دائرة مجموعة. والمستطيل الذي يحتوي الدوائر يمثّل الكون. ولتمثيل تركيبات هذه المجموعات، نظلّل المنطقة المقابلة. فمثلًا، يمكننا أن نرسم $A \cap B$ على الصورة التالية:

وإليك تمثيلًا لـ$A \cap \bar B\text{,}$ أو بما يعادله $A \setminus B\text{:}$

ومثال أكثر تعقيدًا هو $(B \cap C) \cup (C \cap \bar A)\text{,}$ كما هو ظاهر أدناه.

ولاحظ أنّ المناطق المظلّلة أعلاه يمكن الوصول إليها بطريقة أخرى أيضًا. فيمكننا أن نبدأ بكلّ $C$ ثمّ نستثني المنطقة التي يتداخل فيها $C$ و$A$ خارج $B\text{.}$ وتلك المنطقة هي $(A \cap C) \cap \bar B\text{.}$ ومن ثمّ فإنّ مخطّط ڤِن أعلاه يمثّل أيضًا $C \cap \bar{\left((A\cap C)\cap \bar B\right)}\text{.}$ وهكذا، من الصورة وحدها، توصّلنا إلى أن $$\begin{equation*} (B \cap C) \cup (C \cap \bar A) = C \cap \bar{\left((A\cap C)\cap \bar B\right)}\text{.} \end{equation*}$$