الدوال

يتضمن هذا القسم تفاصيل كثيرة عن الدوال (functions)، يُفترض أن يكون كثير منها مألوفًا لك من سياقات غير متقطعة. أثناء القراءة، تأمل كيف قد تختلف طريقة حديثنا عن الدوال هنا عما تعرفه من مجالات الرياضيات الأخرى.

الدالة (function) قاعدة تُسنِد إلى كل مُدخل مخرجًا واحدًا بالضبط. نسمي المخرج صورة (image) المُدخل. وتُسمّى مجموعة جميع مدخلات الدالة المجال (domain)، وتُسمّى مجموعة جميع المخرجات المسموح بها المجال المقابل (codomain). نكتب $f:X \to Y$ لوصف دالة اسمها $f\text{،}$ ومجالها $X\text{،}$ ومجالها المقابل $Y\text{.}$ لكن هذا لا يخبرنا أيّ دالة هي $f$. لتعريف الدالة، يجب أن نصف القاعدة. وغالبًا ما نفعل ذلك بإعطاء صيغة لحساب المخرج لأي مُدخل (مع أن هذه ليست الطريقة الوحيدة لوصف القاعدة بالتأكيد).

مثلًا، تأمل الدالة $f:\N \to \N$ المعرّفة بـ$f(x) = x^2 + 3\text{.}$ المجال والمجال المقابل هنا هما المجموعة نفسها (الأعداد الطبيعية). والقاعدة هي: خذ مُدخلك، واضربه في نفسه، ثم أضف 3. تنجح هذه القاعدة لأننا نستطيع تطبيقها على كل عدد طبيعي (كل عنصر في المجال)، وتكون النتيجة دائمًا عددًا طبيعيًا (عنصرًا في المجال المقابل). لكن لاحظ أنه ليس كل عدد طبيعي مخرجًا فعلًا (فلا توجد طريقة للحصول على 0 أو 1 أو 2 أو 5، وهكذا). تُسمّى مجموعة الأعداد الطبيعية التي تكون مخرجات مدى (range) الدالة. وفي هذه الحالة، المدى هو $\{3, 4, 7, 12, 19, 28, \ldots\}\text{،}$ أي جميع الأعداد الطبيعية التي تزيد بمقدار 3 على مربع كامل.

الشرط الأساسي الذي يجعل القاعدة دالة هو وجود مخرج واحد بالضبط لكل مُدخل. أي من المهم أن تكون القاعدة محددة جيدًا. ما المخرج الذي نُسنِده إلى المُدخل 7؟ لا يمكن أن تكون هناك إلا إجابة واحدة لأي دالة معينة.

مثال 5.2.1.

كل ما يلي أمثلة على دوال:

1. الدالة $f:\Z \to \Z$ المعرّفة بـ$f(n) = 3n\text{.}$ المجال والمجال المقابل كلاهما مجموعة الأعداد الصحيحة. لكن المدى يقتصر على مجموعة المضاعفات الصحيحة للعدد 3.

2. الدالة $g: \{1,2,3\} \to \{a,b,c\}$ المعرّفة بـ$g(1) = c\text{،}$ و$g(2) = a\text{،}$ و$g(3) = a\text{.}$ المجال هو المجموعة $\{1,2,3\}\text{،}$ والمجال المقابل هو المجموعة $\{a,b,c\}$، والمدى هو المجموعة $\{a,c\}\text{.}$ لاحظ أن $g(2)$ و$g(3)$ هما العنصر نفسه من المجال المقابل. هذا مقبول، لأن كل عنصر في المجال لا يزال له مخرج واحد فقط.

3. الدالة $h:\{1,2,3,4\} \to \N$ المعرّفة بالجدول:

   $x$	1	2	3	4
   $h(x)$	3	6	9	12

المجال هنا هو المجموعة المنتهية $\{1,2,3,4\}\text{،}$ والمجال المقابل هو مجموعة الأعداد الطبيعية $\N\text{.}$ قد تظن أولًا أن هذه الدالة هي نفسها $f$ المعرّفة أعلاه، لكنها ليست كذلك إطلاقًا. مع أن القاعدة واحدة، فإن المجال والمجال المقابل مختلفان؛ لذلك فهما دالتان مختلفتان.

مثال 5.2.2.

مجرد إمكان وصف قاعدة بالطريقة التي تكتب بها دالة لا يعني أن القاعدة دالة. ما يلي ليس دوالًا:

1. $f:\N \to \N$ المعرّفة بـ$f(n) = \frac{n}{2}\text{.}$ ليست هذه دالة لأن بعض المدخلات ليس لها مخرج. إلى أين ترسل $f$ العدد 3؟ تقول القاعدة إن $f(3) = \frac{3}{2}\text{،}$ لكن $\frac{3}{2}$ ليس عنصرًا في المجال المقابل.
2. تأمل القاعدة التي تربط كل شخص برقم هاتفه. إذا اعتبرت مجموعة الأشخاص مجالًا ومجموعة أرقام الهواتف مجالًا مقابلًا، فهذه ليست دالة، لأن بعض الأشخاص لديهم رقما هاتف. ولا يفيد تبديل مجموعتي المجال والمجال المقابل أيضًا، لأن بعض أرقام الهواتف تخص أكثر من شخص (بافتراض أن بعض المنازل لا تزال تستخدم الهواتف الأرضية عند قراءتك هذا النص).

قسم فرعي: وصف الدوال

من المفيد التمييز بين الدالة ووصفها. الدالة كائن رياضي مجرد يوجد، بمعنى ما، سواء تحدث عنه أحد أم لم يتحدث. لكن عندما نريد الحديث عن الدالة، نحتاج إلى طريقة لوصفها. ويمكن وصف الدالة الواحدة بطرائق متعددة.

تتحدث بعض كتب التفاضل والتكامل عن قاعدة الأربع (Rule of Four): يمكن وصف كل دالة بأربع طرائق، جبريًا (بصيغة)، أو عدديًا (بجدول)، أو بيانيًا، أو بالكلمات. في الرياضيات المتقطعة، يمكننا أيضًا استخدام أي من هذه الطرائق لوصف الدوال، لكن يمكننا أن نكون أكثر تحديدًا، لأننا نهتم أساسًا بالدوال التي يكون مجالها $\N$ أو مجموعة جزئية منتهية من $\N$.

عادةً ما يعني وصف الدالة بيانيًا رسم منحناها البياني: تمثيل النقاط في المستوى. ويمكننا فعل ذلك، فنحصل على رسم مثل التالي للدالة $f:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}\text{.}$

سيكون وصل النقاط أو محاولة ملاءمتها بمنحنى خطأً تمامًا. ليس في المجال إلا ثلاثة عناصر، بينما وجود منحنى يعني أن المجال يحتوي على فترة كاملة من الأعداد الحقيقية.

إليك طريقة أخرى لتمثيل الدالة نفسها:

يبيّن هذا أن الدالة $f$ ترسل 1 إلى 2، و2 إلى 1، و3 إلى 3: ما عليك إلا اتباع الأسهم.

قد يكون مخطط الأسهم (arrow diagram) المستخدم أعلاه لتعريف الدالة مفيدًا جدًا في تصوّر الدوال. سنعمل كثيرًا مع دوال مجالاتها منتهية؛ لذلك يكون هذا النوع من الصور غالبًا أنفع من الرسم البياني التقليدي للدالة.

لاحظ أنه، في حالة المجالات المنتهية، يكون إيجاد صيغة جبرية تعطي المخرج لأي مُدخل مستحيلًا في كثير من الأحيان. يمكننا بالطبع استخدام دالة معرّفة على أجزاء (piecewise-defined function)، مثل

$$\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x+1 \amp \text{ إذا كان } x = 1 \\ x-1 \amp \text{ إذا كان } x = 2 \\ x \amp \text{ إذا كان } x = 3\text{.}\end{cases} \end{equation*}$$

يصف هذا الدالة نفسها أعلاه بالضبط، لكن يمكننا جميعًا الاتفاق على أنها طريقة سخيفة لوصفها.

لأننا سنستخدم كثيرًا دوالًا ذات مجالات ومجالات مقابلة صغيرة، فلنتبنَّ ترميزًا لوصفها. كل ما نحتاج إليه طريقة واضحة للدلالة على صورة كل عنصر في المجال. وفي الواقع، كتابة جدول للقيم تفي بالغرض تمامًا:

$x$	0	1	2	3	4
$f(x)$	3	3	2	4	1

نبسّط هذا أكثر بكتابته على هيئة «مصفوفة» يكون فيها كل مُدخل فوق مخرجه مباشرة:

$$\begin{equation*} f = \twoline{0 \amp 1 \amp 2\amp 3 \amp 4}{3 \amp 3 \amp 2 \amp 4 \amp 1}\text{.} \end{equation*}$$

لاحظ أن هذا مجرد ترميز، وليس من نوع المصفوفات التي تجدها في مقرر الجبر الخطي (فلا معنى، مثلًا، لإجراء عمليات على هذه المصفوفات أو اختزال صفوفها).

من مزايا الترميز ذي السطرين (two-line notation) مقارنة بمخططات الأسهم أنه يجعل تعريف قاعدة ليست دالة عن طريق الخطأ أصعب.

مثال 5.2.3.

أي المخططات التالية يمثل دالة؟ لتكن $X = \{1,2,3,4\}$ و$Y = \{a,b,c,d\}\text{.}$

الحل. $f$ دالة، وكذلك $g\text{.}$ لا مشكلة في ألا يكون عنصر من المجال المقابل صورة لأي مُدخل، ولا مشكلة في أن يكون $a$ من المجال المقابل صورة لكل من 2 و3 من المجال. يمكننا استخدام الترميز ذي السطرين لكتابتهما كما يلي:

$$\begin{equation*} f= \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \\ d \amp a \amp c \amp b \end{pmatrix} \qquad g = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \\ d \amp a \amp a \amp b \end{pmatrix} \end{equation*}$$

ملاحظة المترجم: نُقل الرسم والنص البديل والمصفوفة كما وردت في المصدر. يذكر النص البديل للرسم الأول أن صورة 4 هي d، بينما تذكر مصفوفة الحل أن صورتها b؛ وهذا اختلاف في المصدر لا يغيّر كون القاعدة دالة. كما يوسم المصدر النص البديل للرسم الثالث بـf، مع أن مناقشة الحل تسمي القاعدة h.

لكن $h$ ليست دالة. فهي تخالف التعريف لسببين: أولًا، لم يُربط العنصر 1 من المجال بأي عنصر من المجال المقابل. وثانيًا، رُبط العنصر 2 من المجال بأكثر من عنصر في المجال المقابل ($a$ و$c$). لاحظ أن أيًا من هاتين المشكلتين يكفي لجعل القاعدة ليست دالة. وبوجه عام، لا يمثل أي من الربطين التاليين دالة:

قد يفيد أيضًا التفكير في كيفية كتابة الترميز ذي السطرين لـ$h\text{.}$ سنحصل على شيء من قبيل:

$$\begin{equation*} h=\twoline{1 \amp 2 \amp 3 \amp 4}{\amp a,c? \amp d \amp b}\text{.} \end{equation*}$$

لا شيء تحت 1 (وهذا سيئ)، واضطررنا إلى وضع أكثر من شيء تحت 2 (وهذا سيئ جدًا). أما إذا كانت القاعدة دالة فعلًا، فسوف «ينجح» الترميز ذو السطرين دائمًا.

سنُعنى أيضًا بالدوال التي مجالها $\N\text{.}$ لا يصلح الترميز ذو السطرين هنا، لكن وصف الدالة جبريًا ممكن غالبًا. وحتى الجداول تكون غير ملائمة بعض الشيء لأنها لا تصف الدالة وصفًا كاملًا. مثلًا، تأمل الدالة $f:\N \to \N$ المعطاة بالجدول التالي.

$x$	0	1	2	3	4	5	$\ldots$
$f(x)$	0	1	4	9	16	25	$\ldots$

هل أعطيتك قيمًا كافية لتحديد $f(6)\text{؟}$ قد تخمّن أن $f(6) = 36\text{،}$ لكن لا سبيل إلى أن تعرف ذلك يقينًا. ربما أتعمد إزعاجك وأقصد أن $f(6) = 42\text{.}$ في الواقع، لكل عدد طبيعي $n\text{،}$ توجد دالة تتفق مع الجدول أعلاه، ولكن تحقق $f(6) = n\text{.}$

حسنًا، افترض أنني قصدت فعلًا أن $f(6) = 36\text{،}$ وأن القاعدة التي تظن أنها تحكم الدالة هي القاعدة فعلًا. عندئذ ينبغي أن أصرّح بالقاعدة: $f(n) = n^2\text{.}$ الآن لا يبقى مجال للالتباس.

إعطاء صيغة صريحة تحسب صورة أي عنصر في المجال طريقة ممتازة لوصف الدالة. سنسمّي هذه القواعد الصريحة صيغًا مغلقة (closed formulas) للدالة.

هناك طريقة أخرى مفيدة جدًا لوصف الدوال التي مجالها $\N\text{،}$ تعتمد تحديدًا على بنية الأعداد الطبيعية: يمكننا تعريف الدالة تعاوديًا (recursively)!

مثال 5.2.4.

تأمل الدالة $f:\N \to \N$ المعطاة بـ$f(0) = 0$ و$f(n+1) = f(n) + 2n+1\text{.}$ أوجد $f(6)\text{.}$

الحل. تقول القاعدة إن $f(6) = f(5) + 11$ (نستخدم $6 = n+1$، ومن ثم $n = 5$). لكننا لا نعرف قيمة $f(5)$. نعرف أن $f(5) = f(4) + 9\text{.}$ لذلك نحتاج إلى حساب $f(4)\text{،}$ وهذا يتطلب معرفة $f(3)\text{،}$ التي تتطلب معرفة $f(2)\text{،}$ … فهل ينتهي هذا يومًا؟

نعم! تنتهي هذه العملية دائمًا لأن مجالنا هو $\N$، وفيه عنصر أصغر. وقد أعطينا قيمة $f(0)$ صراحةً، لذا لا مشكلة. وقد نقرر التدرج صعودًا إلى $f(6)$ بدلًا من الرجوع نزولًا انطلاقًا من $f(6)\text{:}$

$$\begin{align*} f(1) = \amp f(0) + 1 = \amp 0 + 1 = 1\\ f(2) = \amp f(1) + 3 = \amp 1 + 3 = 4\\ f(3) = \amp f(2) + 5 = \amp 4 + 5 = 9\\ f(4) = \amp f(3) + 7 = \amp 9 + 7 = 16\\ f(5) = \amp f(4) + 9 = \amp 16 + 9 = 25\\ f(6) = \amp f(5) + 11 = \amp 25 + 11 = 36 \end{align*}$$

يبدو أن هذه الدالة المعرّفة تعاوديًا هي نفسها الدالة المعرّفة صراحةً بـ$f(n) = n^2\text{.}$ هل هي كذلك؟ سنثبت لاحقًا أنها كذلك.

غالبًا ما يسهل إنشاء دوال معرّفة تعاوديًا انطلاقًا من مسألة من «العالم الحقيقي»، لأنها تصف كيفية تغيّر قيم الدوال. لكن لهذا ثمنًا: حساب صورة مُدخل واحد أصعب، لأنك تحتاج إلى معرفة صور عناصر أخرى (سابقة) في المجال.

الدوال المعرّفة تعاوديًا.

لدالة $f:\N \to \N\text{،}$ يتألف التعريف التعاودي (recursive definition) من شرط ابتدائي (initial condition) وعلاقة تعاود (recurrence relation). الشرط الابتدائي هو قيمة $f(0)$ المعطاة صراحةً. وعلاقة التعاود صيغة لـ$f(n+1)$ بدلالة $f(n)$ (وربما $n$ نفسها).

مثال 5.2.5.

أعطِ تعريفات تعاودية للدوال الموصوفة أدناه.

1. تعطي $f:\N \to \N$ عدد الحلزونات في حوضك الأرضي بعد $n$ سنوات من إنشائه، بافتراض أنك بدأت بثلاثة حلزونات وأن عددها يتضاعف كل سنة.
2. تعطي $g:\N \to \N$ عدد تمارين الضغط التي تؤديها بعد $n$ أيام من بدء تحدي تمارين الضغط، بافتراض أنك استطعت أداء 7 تمارين في اليوم 0، وأنك تستطيع أداء تمرينين إضافيين كل يوم.
3. الدالة $h:\N \to \N$ المعرّفة بـ$h(n) = n!\text{.}$ تذكّر أن مضروب (factorial) العدد $n$، أي $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-1)\cdot n$، هو حاصل ضرب جميع الأعداد من $1$ إلى $n\text{.}$ ونعرّف أيضًا $0! = 1\text{.}$

الحل.

1. الشرط الابتدائي هو $f(0) = 3\text{.}$ للحصول على $f(n+1)\text{،}$ نضاعف عدد الحلزونات في الحوض في السنة السابقة، الذي تعطيه $f(n)\text{.}$ إذن $f(n+1) = 2f(n)\text{.}$ يحتوي التعريف التعاودي الكامل على كليهما، ويُكتب:

   $$\begin{equation*} f(0) = 3;~ f(n+1) = 2f(n)\text{.} \end{equation*}$$

2. قيل لنا إنك تستطيع أداء 7 تمارين ضغط في اليوم 0، لذا $g(0) = 7\text{.}$ عدد تمارين الضغط التي تستطيع أداءها في اليوم $n+1$ يزيد بمقدار 2 على عددها في اليوم $n\text{،}$ الذي تعطيه $g(n)\text{.}$ ومن ثم:

   $$\begin{equation*} g(0) = 7;~ g(n+1) = g(n) + 2\text{.} \end{equation*}$$

3. هنا $h(0) = 1\text{.}$ للحصول على علاقة التعاود، فكّر في كيفية الحصول على $h(n+1) = (n+1)!$ من $h(n) = n!\text{.}$ إذا كتبت كليهما على هيئة حاصل ضرب، رأيت أن $(n+1)!$ يشبه $n!$، لكن فيه عاملًا إضافيًا واحدًا هو $n+1\text{.}$ لذلك لدينا:

   $$\begin{equation*} h(0) = 1;~ h(n+1) = (n+1)\cdot h(n)\text{.} \end{equation*}$$

قسم فرعي: الدوال الشاملة والمتباينة والتقابلية

ننتقل الآن إلى استكشاف خصائص خاصة قد تمتلكها الدوال أو لا تمتلكها.

ربما لاحظت في الأمثلة السابقة وجود عناصر أحيانًا في المجال المقابل لا تنتمي إلى المدى. عندما لا يحدث ذلك (أي عندما يكون كل ما في المجال المقابل موجودًا في المدى)، نقول إن الدالة شاملة (onto)، أو إنها تربط المجال بالمجال المقابل كله. هذا المصطلح منطقي: فالدالة تغطي بالمجال كاملَ المجال المقابل. والاسم الرياضي الاصطلاحي لهذا هو شمول (surjection)، ونقول إن الدالة الشاملة دالة شاملة (surjective).

بالصور:

مثال 5.2.6.

أي الدوال شاملة (أي تغطي المجال المقابل كله)؟

1. $f:\Z \to \Z$ المعرّفة بـ$f(n) = 3n\text{.}$

2. $g: \{1,2,3\} \to \{a,b,c\}$ المعرّفة بـ$g = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \\ c \amp a \amp a \end{pmatrix}\text{.}$

3. $h:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}$ المعرّفة كما يلي:

   

الحل.

1. $f$ ليست شاملة. توجد عناصر في المجال المقابل لا تنتمي إلى المدى. مثلًا، لا يوجد $n \in \Z$ يُربط بالعدد 1 (تقتضي القاعدة إرسال $\frac{1}{3}$ إلى 1، لكن $\frac{1}{3}$ ليس في المجال). في الواقع، مدى الدالة هو $3\Z$ (المضاعفات الصحيحة للعدد 3)، وهو لا يساوي $\Z\text{.}$
2. $g$ ليست شاملة. لا يوجد $x \in \{1,2,3\}$ (المجال) يحقق $g(x) = b\text{،}$ لذلك فإن $b\text{،}$ الذي ينتمي إلى المجال المقابل، لا ينتمي إلى المدى. لاحظ أن عنصرًا من المجال المقابل «مفقود» من السطر السفلي للمصفوفة.
3. $h$ شاملة. كل عنصر من المجال المقابل ينتمي أيضًا إلى المدى. لا يفوتها أي عنصر في المجال المقابل.

لكي تكون القاعدة دالة، لا يجوز أن تُسنِد إلى عنصر واحد من المجال عنصرين مختلفين أو أكثر من المجال المقابل. لكننا رأينا أن العكس مسموح: قد تُسنِد الدالة العنصر نفسه من المجال المقابل إلى عنصرين مختلفين أو أكثر من المجال. عندما لا يحدث ذلك (أي عندما يكون كل عنصر من المجال المقابل صورة لعنصر واحد على الأكثر من المجال)، نقول إن الدالة واحد لواحد (one-to-one). وهذا المصطلح منطقي أيضًا: نرسل عنصرًا واحدًا على الأكثر من المجال إلى عنصر واحد من المجال المقابل، مُدخلًا واحدًا إلى مخرج واحد. والاسم الرياضي الاصطلاحي لهذا هو تباين (injection). ونسمي دوال الواحد لواحد دوال متباينة (injective).

بالصور:

مثال 5.2.7.

أي الدوال متباينة (أي واحد لواحد)؟

1. $f:\Z \to \Z$ المعرّفة بـ$f(n) = 3n\text{.}$

2. $g: \{1,2,3\} \to \{a,b,c\}$ المعرّفة بـ$g = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \\ c \amp a \amp a \end{pmatrix}\text{.}$

3. $h:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}$ المعرّفة كما يلي:

   

الحل.

1. $f$ متباينة. كل عنصر من المجال المقابل يُسنَد إلى عنصر واحد على الأكثر من المجال. إذا كان $x$ من مضاعفات 3، فلا يُربط بـ$x$ إلا $x/3$. وإذا لم يكن $x$ من مضاعفات 3، فلا يوجد مُدخل يقابل المخرج $x\text{.}$
2. $g$ ليست متباينة. يُسنَد المخرج $a$ إلى كلا المدخلين $2$ و$3$. لاحظ وجود عنصر من المجال المقابل يظهر أكثر من مرة في السطر السفلي للمصفوفة.
3. $h$ متباينة. لا يظهر كل مخرج بوصفه مخرجًا إلا مرة واحدة.

انتبه: «شاملة» و«متباينة» ليستا صفتين متضادتين. ترى في المثالين السابقين دوالًا شاملة غير متباينة، ودوالًا متباينة غير شاملة، ودوالًا تمتلك الصفتين، وأخرى لا تمتلك أيًا منهما. عندما تكون الدالة واحدًا لواحد وشاملة معًا (متباينة وشاملة)، نقول إنها تقابل (bijection)، أو دالة تقابلية (bijective).

لتوضيح الفرق بين هاتين الخاصيتين، تأمل تعريفًا أكثر رسمية لكل منهما جنبًا إلى جنب.

التباين مقابل الشمول.

تكون الدالة متباينة إذا كان كل عنصر من المجال المقابل صورة لعنصر واحد على الأكثر من المجال.

تكون الدالة شاملة إذا كان كل عنصر من المجال المقابل صورة لعنصر واحد على الأقل من المجال.

لاحظ أن كلتا الخاصيتين تتحددان بما يحدث لعناصر المجال المقابل: فقد تتكرر بوصفها صورًا، أو قد «تفوت» الدالةَ (فلا تكون صورًا). الدوال المتباينة لا تكرر الصور، لكنها قد تفوّت عناصر أو لا تفوّتها. والدوال الشاملة لا تفوّت عناصر، لكنها قد تكرر الصور أو لا تكررها. أما الدوال التقابلية فهي التي لا تكرر الصور ولا تفوّت عناصر.

قسم فرعي: الصورة والصورة العكسية

عند مناقشة الدوال، لدينا ترميز للحديث عن عنصر من المجال (لنقل $x$) وعن العنصر المقابل له في المجال المقابل (نكتب $f(x)\text{،}$ وهو صورة $x$). أحيانًا نريد الحديث عن جميع العناصر التي تكون صورًا لمجموعة جزئية من المجال. وقد يكون من المفيد أيضًا أن نبدأ بعنصر من المجال المقابل (لنقل $y$)، ونتحدث عن العنصر أو العناصر من المجال التي يكون صورة لها، إن وجدت. يمكننا كتابة «عناصر $x$ في المجال التي تحقق $f(x) = y\text{،}$» لكن هذا يتطلب كتابة كثيرة. إليك ترميزًا يسهّل الأمر.

لمعالجة الحالة الأولى، نريد طريقة لوصف مجموعة صور عناصر مجموعة جزئية من المجال. افترض أن $f:X \to Y$ دالة، وأن $A \subseteq X$ مجموعة جزئية من المجال (وربما تكون المجال كله). سنستخدم الترميز $f(A)$ للدلالة على صورة $A$ تحت $f$، أي مجموعة العناصر في $Y$ التي تكون صورًا لعناصر من $A\text{.}$ أي إن $f(A) = \{f(a) \in Y \st a \in A\}\text{.}$

يمكننا فعل هذا في الاتجاه الآخر أيضًا. فقد نسأل عن عناصر المجال التي تُربط بمجموعة معينة في المجال المقابل. لتكن $f:X \to Y$ دالة، وافترض أن $B \subseteq Y$ مجموعة جزئية من المجال المقابل. نكتب $f\inv(B)$ للدلالة على الصورة العكسية (inverse image) لـ$B$ تحت $f$، أي مجموعة العناصر في $X$ التي تنتمي صورها إلى $B\text{.}$ بعبارة أخرى، $f\inv(B) = \{x \in X \st f(x) \in B\}$.

غالبًا ما نهتم بالعنصر أو العناصر التي تكون صورتها عنصرًا معينًا $y$ من المجال المقابل. يصلح الترميز السابق: $f\inv(\{y\})$ هي مجموعة جميع عناصر المجال التي ترسلها $f$ إلى $y\text{.}$ ومن المنطقي اعتبارها مجموعة: فقد لا يُرسَل أي شيء إلى $y$ (إذا لم يكن $y$ في المدى)، وعندئذ $f\inv(\{y\}) = \emptyset\text{.}$ أو قد ترسل $f$ عناصر متعددة إلى $y$ (إذا لم تكن $f$ متباينة). ولتسهيل الترميز، نحذف عادةً قوسي المجموعة حول $y$ ونكتب بدلًا منهما $f\inv(y)$ للدلالة على هذه المجموعة.

تحذير: $f\inv(y)$ ليست دالة عكسية (inverse function)! لا توجد الدوال العكسية إلا للدوال التقابلية، لكن $f\inv(y)$ معرّفة لأي دالة $f\text{.}$ الفكرة هي أن $f\inv(y)$ مجموعة، لا عنصر من المجال. إنها مجرد ترميز غير دقيق لـ$f\inv(\{y\})\text{.}$ وللمساعدة على إبراز هذا الفرق، نسمي $f\inv(y)$ الصورة العكسية الكاملة (complete inverse image) لـ$y$ تحت $f$. وليست صورة $y$ تحت $f\inv$ (لأن الدالة $f\inv$ قد لا توجد).

مثال 5.2.8.

تأمل الدالة $f:\{1,2,3,4,5,6\} \to \{a,b,c,d\}$ المعطاة بـ

$$\begin{equation*} f = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \amp 5 \amp 6 \\ a \amp a \amp b \amp b \amp b \amp c\end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}$$

أوجد $f(\{1,2,3\})\text{،}$ و$f\inv(\{a,b\})\text{،}$ و$f\inv(d)\text{.}$

الحل. $f(\{1,2,3\}) = \{a,b\}$، لأن $a$ و$b$ هما عنصرا المجال المقابل اللذان ترسل إليهما $f$ الأعداد $1\text{،}$ و$2\text{،}$ و$3\text{.}$

$f\inv(\{a,b\}) = \{1,2,3,4,5\}$، لأن هذه بالضبط هي العناصر التي ترسلها $f$ إلى $a$ و$b\text{.}$

$f\inv(d) = \emptyset$، لأن $d$ لا ينتمي إلى مدى $f\text{.}$

مثال 5.2.9.

تأمل الدالة $g:\Z \to \Z$ المعرّفة بـ$g(n) = n^2 + 1\text{.}$ أوجد $g(1)$ و$g(\{1\})\text{.}$ ثم أوجد $g\inv(1)\text{،}$ و$g\inv(2)\text{،}$ و$g\inv(3)\text{.}$

الحل. لاحظ أن $g(1) \ne g(\{1\})\text{.}$ الأولى عنصر: $g(1) = 2\text{.}$ والثانية مجموعة: $g(\{1\}) = \{2\}$.

لإيجاد $g\inv(1)\text{،}$ نحتاج إلى إيجاد جميع الأعداد الصحيحة $n$ التي تحقق $n^2 + 1 = 1\text{.}$ من الواضح أن 0 وحده يصلح، لذا $g\inv(1) = \{0\}$ (لاحظ أنه، مع وجود عنصر واحد فقط، لا نزال نكتبها مجموعة تحتوي على عنصر واحد).

لإيجاد $g\inv(2)\text{،}$ نحتاج إلى إيجاد جميع قيم $n$ التي تحقق $n^2 + 1 = 2\text{.}$ فنرى أن $g\inv(2) = \{-1,1\}\text{.}$

أخيرًا، إذا كان $n^2 + 1 = 3\text{،}$ فإننا نبحث عن $n$ يحقق $n^2 = 2\text{.}$ لا توجد أعداد صحيحة كهذه، لذا $g\inv(3) = \emptyset\text{.}$

لأن $f\inv(y)$ مجموعة، فمن المنطقي السؤال عن $\card{f\inv(y)}\text{،}$ أي عدد العناصر (cardinality) في المجال التي تُربط بـ$y\text{.}$

مثال 5.2.10.

أوجد دالة $f:\{1,2,3,4,5\} \to \N$ تحقق $\card{f\inv(7)} = 5\text{.}$

الحل. توجد دالة واحدة فقط بهذه الصفة. نحتاج إلى ربط خمسة عناصر من المجال بالعدد $7 \in \N\text{.}$ ولأن المجال لا يحتوي إلا على خمسة عناصر، يجب أن تُربط جميعها بالعدد 7. لذلك:

$$\begin{equation*} f = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \amp 5 \\ 7 \amp 7 \amp 7 \amp 7 \amp 7\end{pmatrix} \end{equation*}$$

تعريفات الدوال.

إليك ملخصًا لجميع المفاهيم والتعريفات الرئيسية التي نستخدمها عند العمل مع الدوال.

• الدالة قاعدة تُسنِد إلى كل عنصر من مجموعة تُسمّى المجال عنصرًا واحدًا بالضبط من مجموعة ثانية تُسمّى المجال المقابل.

• الترميز: $f:X \to Y$ طريقتنا للقول إن اسم الدالة $f\text{،}$ ومجالها المجموعة $X\text{،}$ ومجالها المقابل المجموعة $Y\text{.}$

• لتحديد قاعدة دالة ذات مجال صغير، استخدم الترميز ذا السطرين بكتابة مصفوفة يكون كل مخرج فيها أسفل مُدخله المقابل مباشرة، كما في:

  $$\begin{equation*} f = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \\ 2 \amp 1 \amp 3 \amp 1 \end{pmatrix} \end{equation*}$$

• تعني $f(x) = y$ أن العنصر $x$ من المجال (المُدخل) يُربط بالعنصر $y$ من المجال المقابل. نقول إن $y$ مخرج، أو نسمي $y$ صورة $x$ تحت $f$.

• المدى مجموعة جزئية من المجال المقابل. وهو مجموعة جميع العناصر التي تُسنَد، بواسطة الدالة، إلى عنصر واحد على الأقل من المجال. أي إن المدى مجموعة جميع المخرجات.

• تكون الدالة متباينة (تباينًا أو واحدًا لواحد) إذا كان كل عنصر من المجال المقابل صورة لعنصر واحد على الأكثر من المجال.

• تكون الدالة شاملة (شمولًا أو تغطية للمجال المقابل كله) إذا كان كل عنصر من المجال المقابل صورة لعنصر واحد على الأقل من المجال.

• التقابل دالة متباينة وشاملة معًا. بعبارة أخرى، يكون كل عنصر من المجال المقابل صورة لعنصر واحد بالضبط من المجال.

• صورة عنصر $x$ في المجال هي العنصر $y$ في المجال المقابل الذي يُربط به $x$. أي إن صورة $x$ تحت $f$ هي $f(x)\text{.}$

• الصورة العكسية الكاملة لعنصر $y$ في المجال المقابل، التي تُكتب $f\inv(y)\text{،}$ هي مجموعة جميع عناصر المجال التي تُسنِد إليها الدالة $y$.

• صورة مجموعة جزئية $A$ من المجال هي المجموعة $f(A) = \{f(a) \in Y \st a \in A\}\text{.}$

• الصورة العكسية لمجموعة جزئية $B$ من المجال المقابل هي المجموعة $f\inv(B) = \{x \in X \st f(x) \in B\}\text{.}$

أسئلة القراءة

1.

اشرح بأسلوبك العلاقة بين المجال المقابل للدالة ومداها.

2.

إذا كان مجال الدالة ومجالها المقابل متساويين في عدد العناصر، فهل يجب أن تكون الدالة شاملة؟ وهل يجب أن تكون متباينة؟ وهل يمكن أن تمتلك إحدى هاتين الصفتين فقط؟ اشرح تفكيرك بإيجاز.

3.

ما الأسئلة التي لديك؟ اكتب سؤالًا واحدًا على الأقل عن محتوى هذا القسم قد يثير فضولك أو فضول أحد زملائك بعد قراءته.