خلاصة الفصل

تمارين: مراجعة الفصل

1.

تفعيل. أوجد $2 + 10 + 18+ \cdots + 1026\text{.}$

2.

تفعيل. تأمل المتتالية $13, 17, 21, 25, \ldots, 4n + 1\text{.}$

1. كم حدًا في المتتالية؟
2. ما الحد قبل الأخير؟
3. أوجد مجموع جميع حدود المتتالية.

3.

تفعيل. تأمل المتتالية المعطاة بالصيغة $a_n = 3\cdot 5^{n-1}\text{.}$

1. أوجد الحدود الأربعة الأولى للمتتالية.

$a_1 =$ ، $a_2 =$ ، $a_3 =$ ، $a_4 =$ ، …

ما نوع هذه المتتالية؟

• حسابية.
• هندسية.
• لا هذه ولا تلك.

2. أوجد مجموع الحدود الـ21 الأولى. أي احسب $\sum_{k=1}^{21}a_k\text{.}$

4.

تأمل المتتالية $5, 11, 19, 29, 41, 55,\ldots\text{.}$ افترض أن $a_1 = 5\text{.}$

1. أوجد صيغة مغلقة لـ$a_n\text{،}$ الحد ذي الرتبة $n$ في المتتالية، بكتابة كل حد على هيئة مجموع متتالية. تلميح: أوجد أولًا $a_0\text{،}$ لكن تجاهله عند اختزال المجموع.
2. أوجد صيغة مغلقة مرة أخرى، مستخدمًا هذه المرة إما ملاءمة كثيرات الحدود (polynomial fitting) أو تقنية الجذر المميِّز (بحسب ما يلائم المسألة). بيّن خطوات عملك.
3. أوجد صيغة مغلقة مرة ثالثة، بالتعرف على المتتالية بوصفها تعديلًا لمتتالية معروفة أو لمتتاليات معروفة. اشرح.

5.

تفعيل. استخدم ملاءمة كثيرات الحدود لإيجاد صيغة الحد ذي الرتبة $n$ للمتتالية $(a_n)_{n \ge 1}$ التي تبدأ كما يلي:

$$\begin{equation*} {3, 5, 9, 15, 23}, \ldots \end{equation*}$$

لاحظ أن الحد الأول أعلاه هو $a_1\text{،}$ وليس $a_0\text{.}$

$a_n =$

6.

افترض أن الصيغة المغلقة لمتتالية معينة كثيرة حدود من الدرجة 3. ماذا يمكنك أن تقول عن الصيغة المغلقة لكل مما يلي؟

1. متتالية المجاميع الجزئية (partial sums)؟
2. متتالية الفروق الثانية (second differences)؟

7.

تأمل المتتالية المعطاة تعاوديًا بـ$a_1 = 4\text{،}$ و$a_2 = 6\text{،}$ و$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\text{.}$

1. اكتب الحدود الستة الأولى للمتتالية.
2. هل يمكن أن تكون الصيغة المغلقة لـ$a_n$ كثيرة حدود؟ اشرح.

8.

تفعيل. تبدأ المتتالية $(a_n)_{n \ge 1}$ بالحدود $-1, 0, 2, 5, 9, 14\ldots$، ولها الصيغة المغلقة

$$\begin{equation*} a_n = \dfrac{(n+1)(n-2)}{2}\text{.} \end{equation*}$$

استخدم هذه الحقيقة لإيجاد صيغة مغلقة للمتتالية $(b_n)_{n \ge 1}$ التي تبدأ بالحدود $4, 10, 18, 28, 40, \ldots\text{.}$

9.

في أغنية أيام عيد الميلاد الاثنا عشر (The Twelve Days of Christmas)، أعطاني حبيبي أولًا هدية واحدة؛ ثم هديتين وهدية واحدة؛ ثم ثلاث هدايا وهديتين وهدية واحدة؛ وهكذا. كم هدية أعطاني حبيبي إجمالًا خلال الأيام الاثني عشر؟

10.

تفعيل. تأمل علاقة التعاود (recurrence relation) $a_n = -3a_{n-1} + 10a_{n-2}$، حيث الحدّان الأولان هما $a_0 = 3$ و$a_1 = 6\text{.}$

1. اكتب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية التي تعرّفها علاقة التعاود هذه.

$a_2 =$ ، $a_3 =$ ، $a_4 =$ ، … 2. حل علاقة التعاود، أي أوجد صيغة مغلقة لـ$a_n\text{.}$

$a_n =$

11.

تفعيل. تأمل علاقة التعاود $a_n = a_{n-1} + 6a_{n-2}$، حيث الحدّان الأولان هما $a_0 = 5$ و$a_1 = 9\text{.}$

1. أوجد الحدّين التاليين للمتتالية ($a_2$ و$a_3$):

$a_2 =$

$a_3 =$ 2. حل علاقة التعاود، أي أوجد صيغة مغلقة لـ$a_n\text{.}$

$a_n =$

12.

تتكاثر أرانب الشوكولاتة السحرية لديك كالأرانب: ينتج كل أرنب كبير أرنبين صغيرين جديدين كل يوم، وفي كل يوم ينمو كل أرنب صغير وُلد في اليوم السابق ليصبح أرنبًا كبيرًا. افترض أنك تبدأ بأرنبين صغيرين، وأن أي أرنب لا يموت أبدًا (ولا يؤكل).

1. اكتب الحدود الأولى للمتتالية.
2. أعطِ تعريفًا تعاوديًا للمتتالية، واشرح سبب صحته.
3. أوجد صيغة مغلقة للحد ذي الرتبة $n$ في المتتالية.

13.

تأمل متتالية المجاميع الجزئية لـمربعات أعداد فيبوناتشي (Fibonacci numbers): $F_1^2\text{،}$ و$F_1^2 + F_2^2\text{،}$ و$F_1^2 + F_2^2 + F_3^2, \ldots\text{.}$ تبدأ المتتالية بالحدود $1, 2, 6, 15, 40,\ldots$

1. خمّن صيغة للمجموع الجزئي ذي الرتبة $n$، بدلالة أعداد فيبوناتشي. تلميح: اكتب كل حد على هيئة حاصل ضرب.

2. أثبت صحة صيغتك بالاستقراء الرياضي.

3. اشرح علاقة هذه المسألة بالصورة التالية:

   

مستطيل مقسَّم إلى مربع (على اليسار) ومستطيل مشابه (على اليمين). يُقسَّم المستطيل المشابه إلى مربع (في الأسفل) ومستطيل مشابه (في الأعلى). يُقسَّم هذا المستطيل العلوي إلى مربع (على اليمين) ومستطيل (على اليسار). يُقسَّم المستطيل الأيسر إلى مربع (في الأعلى) ومستطيل (في الأسفل). ويُقسَّم المستطيل السفلي إلى مربعين متساويين.

14.

أثبت العبارات التالية بالاستقراء الرياضي:

1. $n! \lt n^n$ عندما $n \ge 2$.
2. $\d\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} +\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots + \frac{1}{n\cdot(n+1)} = \d\frac{n}{n+1}$ لكل $n \in \Z^+\text{.}$
3. $4^n - 1$ من مضاعفات 3 لكل $n \in \N\text{.}$
4. أكبر قيمة رسوم بريدية لا يمكنك تكوينها بالضبط باستخدام طوابع بقيمتي 4 و9 سنتات هي 23 سنتًا.
5. مربع كل عدد زوجي يقبل القسمة على 4.

تلميح.

1. $(n+1)^{n+1} > (n+1) \cdot n^{n}\text{.}$
2. ينبغي أن يشبه هذا براهين المجاميع الأخرى. وتتلخص الخطوة الأخيرة في جمع الكسور.
3. اكتب $4^{k+1} - 1 = 4\cdot 4^k - 4 + 3\text{.}$
4. تزيد قيمة طابع واحد من فئة 9 سنتات بسنت واحد على قيمة طابعين من فئة 4 سنتات، وتزيد قيمة سبعة طوابع من فئة 4 سنتات بسنت واحد على قيمة ثلاثة طوابع من فئة 9 سنتات.
5. احرص على استخدام الاستقراء فعلًا هنا. الحالة الأساسية: $2^2 = 4\text{.}$ الحالة الاستقرائية (inductive case): افترض أن $(2n)^2$ يقبل القسمة على 4، وتأمل $(2n+2)^2 = (2n)^2 + 4n + 4\text{.}$ يقبل هذا القسمة على 4 لأن $4n +4$ يقبلها بوضوح، ولأن $(2n)^2$ يقبلها أيضًا بحسب فرضية الاستقراء (inductive hypothesis).

ملاحظة المترجم: نُقلت المساواة في التلميح الخامس كما وردت في المصدر؛ والتوسيع الصحيح هو $(2n+2)^2 = (2n)^2 + 8n + 4$. ويظل الاستدلال بالقابلية للقسمة على 4 صحيحًا مع هذا التصحيح.

15.

أثبت بالاستقراء الرياضي أن $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ تصح لكل $n \ge 1\text{.}$

تلميح. هذا برهان مباشر بالاستقراء. لاحظ أنك ستحتاج إلى تبسيط $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3$ للحصول على $\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\text{.}$

16.

افترض أن $a_0 = 1\text{،}$ و$a_1 = 1$، و$a_n = 3a_{n-1} - 2a_{n-2}\text{.}$ أثبت، باستخدام الاستقراء القوي (strong induction)، أن $a_n = 1$ لكل $n\text{.}$

تلميح. هناك حالتان أساسيتان: $P(0)$ و$P(1)\text{.}$ ثم، في الحالة الاستقرائية، افترض أن $P(k)$ صحيحة لكل $k \lt n\text{.}$ يتيح لك هذا افتراض أن $a_{n-1} = 1$ و$a_{n-2} = 1\text{.}$ طبّق علاقة التعاود.

17.

أثبت بالاستقراء أن لكل مجموعة تحتوي على $n$ عنصرًا $2^n$ مجموعة جزئية مختلفة، لأي $n \ge 1\text{.}$