الرسوم البيانية المستوية

القسم 2.3 الرسوم البيانية المستوية

الأهداف

بعد إتمام هذا القسم، ينبغي أن تتمكّن من أداء ما يلي.

1. أن تميّز بين الرسوم البيانية المستوية (planar graphs) وغير المستوية (non-planar graphs).
2. أن تستعمل صيغة أويلر (Euler’s formula) لإثبات أنّ بعض الرسوم البيانية غير مستوية.
3. أن تطبّق صيغة أويلر على متعدّدات الوجوه (polyhedra).

معاينة القسم

استكشف!

حين يمكن رسم رسم بيانيّ متّصل (connected graph) دون أن يتقاطع أيّ من أضلاعه، نُسمّيه مستويًّا (planar). وحين يُرسم رسم بيانيّ مستوٍّ على هذا النحو، فإنّه يقسّم المستوى إلى مناطق تسمّى أوجهًا (faces).

1. ارسم، إن أمكن، رسمين بيانيين مستويَّين مختلفَين لهما العدد نفسه من الرؤوس (vertices) والأضلاع (edges) والأوجه.
2. ارسم، إن أمكن، رسمين بيانيين مستويَّين مختلفَين لهما العدد نفسه من الرؤوس والأضلاع، لكنّ عدد الأوجه مختلف.

متى يمكن رسم رسم بيانيّ بحيث لا يتقاطع أيّ من أضلاعه؟ إن كان ذلك ممكنًا، فإننا نقول إنّ الرسم البياني مستوٍّ (لأنّك تستطيع رسمه على المستوى).

ولاحظ أنّ تعريف «المستويّ» يتضمّن عبارة «من الممكن». وهذا يعني أنّه حتى إن لم يبدُ رسمٌ بيانيّ مستويًّا، فقد يكون كذلك. ربما تستطيع إعادة رسمه على نحوٍ لا يتقاطع فيه أيّ من أضلاعه. مثلًا، هذا رسمٌ بيانيّ مستوٍّ:

ذلك لأنّنا نستطيع إعادة رسمه على هذا النحو:

والرسمان البيانيان متطابقان، فإذا كان أحدهما مستويًّا فيجب أن يكون الآخر كذلك. لكنّ الرسم الأصليّ للرسم البيانيّ لم يكن تمثيلًا مستويًّا له.

وحين يُرسم رسمٌ بيانيّ مستوٍّ دون تقاطع أضلاعه، فإنّ أضلاعه ورؤوسه تقسّم المستوى إلى مناطق. وسنسمّي كلّ منطقة وجهًا. وللرسم البيانيّ أعلاه ثلاثة أوجه (نعم، نحن نُدرِج منطقة «الخارج» باعتبارها وجهًا). ولا يتغيّر عدد الأوجه مهما كانت الطريقة التي ترسم بها الرسم البيانيّ (طالما رسمته دون تقاطع الأضلاع)، لذا من المعقول أن نَنسِب عددَ الأوجه إلى الرسم البيانيّ المستويّ بوصفه خاصيةً من خواصه.

تحذير: لا يمكنك عدّ الأوجه إلا حين يُرسم الرسم البيانيّ على نحوٍ مستوٍّ. مثلًا، تأمّل هذين التمثيلين للرسم البيانيّ نفسه:

إن حاولت عدّ الأوجه باستعمال الرسم البيانيّ على اليسار، فقد تقول إنّ فيه خمسة أوجه (بما فيها الخارج). لكنّ رسمَ الرسم البيانيّ تمثيلًا مستويًّا يُظهر أنّه ليس فيه سوى أربعة أوجه.

ورقة العمل: نشاط تمهيدي

1. الرؤوس والأضلاع والأوجه.

(a)

ارسم رسمًا بيانيًّا متّصلًا مستويًّا فيه 5 رؤوس و5 أضلاع. كم عدد الأوجه (بما في ذلك وجه «الخارج») في رسمك البيانيّ؟

عدد الأوجه:

(b)

الآن أضف ضلعًا واحدًا إلى رسمك البيانيّ، بين رأسين ليسا متجاورين بالفعل. وبافتراض أنّ الرسم البيانيّ الناتج يبقى مستويًّا، فاذكر عددَ الرؤوس والأضلاع والأوجه التي يصير لها الآن.

عدد الرؤوس: ؛ عدد الأضلاع: ؛ عدد الأوجه:

(c)

الآن أضف ضلعًا آخر إلى الرسم البيانيّ، وهذه المرة إلى رأسٍ جديد. وبافتراض أنّ الرسم البيانيّ الناتج يبقى مستويًّا، فاذكر عددَ الرؤوس والأضلاع والأوجه التي يصير لها الآن.

عدد الرؤوس: ؛ عدد الأضلاع: ؛ عدد الأوجه:

2. أمثلة أخرى.

ارسم الآن ثلاثة رسوم بيانية متّصلة مستوية أخرى على الأقلّ، لكلٍّ منها ستّة رؤوس على الأقلّ. عُدّ عددَ الرؤوس $v\text{,}$ والأضلاع $e\text{,}$ والأوجه $f$ في كل رسم بيانيّ، وسجّل بياناتك في الجدول أدناه.

$v$	$e$	$f$

3. خمِّن.

هل تلاحظ أيّ أنماط؟ ماذا يحدث للأعداد إن أضفت ضلعًا بين رأسين غير متجاورين؟ وماذا يحدث إن أضفت رأسًا جديدًا ووصلته برأسٍ موجود؟

خمّن تعبيرًا فيه عدد الرؤوس $v\text{,}$ وعدد الأضلاع $e\text{,}$ وعدد الأوجه $f$ ويبقى ثابتًا لكل الرسوم البيانية المتّصلة المستوية. فما قيمة هذا الثابت؟

التعبير المخمَّن: .

تلميح. قد تخمّن تعبيرًا مثل $\frac{v+e}{f}\text{.}$ لكنّ هذا ليس صحيحًا، لأنّ هناك رسمًا بيانيًّا مستويًّا تكون هذه النسبة فيه $\frac{5+5}{2} = 5$، ورسمًا بيانيًّا مستويًّا آخر تكون فيه النسبة $\frac{6+7}{3} \ne 5\text{.}$

فما نوع التعبير الذي يبقى ثابتًا إذا زاد $v$ و$e$ كلاهما بمقدار 1؟ والذي يبقى ثابتًا أيضًا إذا زاد $e$ و$f$ كلاهما بمقدار 1؟

4. مكعّب.

المكعّب مكوَّنٌ من ستّة مربّعات، يتشارك كلٌّ منها ضلعًا مع كلٍّ من جيرانه. ورؤوس المكعّب تربط ثلاثةً من هذه المربّعات.

(a)

كم عدد الرؤوس والأضلاع والأوجه في المكعّب؟

عدد الرؤوس: ؛ عدد الأضلاع: ؛ عدد الأوجه:

(b)

هل يتّفق هذا مع العلاقة التي خمّنتَها أعلاه؟

• نعم
• لا

قسم فرعي: صيغة أويلر للرسوم البيانية المستوية

هناك علاقة بين عدد الرؤوس ($v$)، وعدد الأضلاع ($e$)، وعدد الأوجه ($f$) في أيّ رسم بيانيّ متّصل مستوٍّ. وتُسمّى هذه العلاقة صيغة أويلر.

صيغة أويلر للرسوم البيانية المستوية.

لكلّ رسم بيانيّ متّصل مستوٍّ فيه $v$ رأسًا، و$e$ ضلعًا، و$f$ وجهًا، لدينا $$\begin{equation*} v-e + f = 2\text{.} \end{equation*}$$

لماذا يكون صيغة أويلر صحيحة؟ إحدى الطرق التي نُقنع بها أنفسنا بصحّتها هي أن نرسم رسمًا بيانيًّا مستويًّا خطوةً خطوة. ابدأ بالرسم البيانيّ $P_2\text{:}$

وأيّ رسم بيانيّ متّصل (عدا رأسٍ واحد منعزل) يجب أن يحتوي على هذا الرسم الجزئيّ. والآن نبني إلى رسمنا بإضافة الأضلاع والرؤوس. وتتألّف كلّ خطوة إمّا من إضافة رأسٍ جديد موصولٍ بضلعٍ جديد إلى جزءٍ من رسمك (فتُنشئ «شوكة» جديدة) وإمّا من وصل رأسين موجودين أصلًا في الرسم بضلعٍ جديد (فتُكمل دورة).

ماذا تفعل هذه «الحركات»؟ عند إضافة الشوكة يزداد عدد الأضلاع بمقدار 1، ويزداد عدد الرؤوس بمقدار 1، ويبقى عدد الأوجه كما هو. لكنّ هذا يعني أنّ $v - e + f$ لا يتغيّر. وإكمالُ دورةٍ ما يضيف ضلعًا واحدًا، ويضيف وجهًا واحدًا، ويُبقي عدد الرؤوس كما هو. لذا أيضًا $v - e + f$ لا يتغيّر.

وبما أنّنا نستطيع بناء أيّ رسم بيانيّ باستعمال مزيجٍ من هاتين الحركتين، وأنّ ذلك لا يغيّر أبدًا المقدار $v - e + f\text{,}$ فإنّ هذا المقدار سيكون واحدًا لكل الرسوم البيانية. لكن لاحظ أنّ رسمَنا البيانيّ الابتدائيّ $P_2$ فيه $v = 2\text{,}$ $e = 1\text{,}$ و$f = 1\text{,}$ لذا $v - e + f = 2\text{.}$

والحجّة التي خطّطناها أعلاه ليست صحيحةً تمامًا، لأنّنا افترضنا بلا مُبرِّرٍ أنّ كل الرسوم البيانية يمكن بناؤها من $P_2$ باستعمال الحركتين اللتين وصفناهما وحدهما. ولتفادي هذه المسألة، يمكننا استعمال حجّة «المجرِم الأدنى» (minimal criminal argument). إنك مطالب بهذا في التمارين، لكنّ الفكرة هي الفكرة نفسها تقريبًا، عدا أنّنا نبدأ برسمٍ بيانيّ متّصل مستوٍّ أدنى لا يحقّق الصيغة، ثم نحذف ضلعًا أو رأسًا (وإليه) للحصول على رسمٍ بيانيّ متّصل مستوٍّ أصغر يحقّق الصيغة. ولكن، كما في حركات الإضافة التي وصفناها أعلاه، فإنّ حذف ضلعٍ أو رأسٍ لا يغيّر المقدار $v - e + f\text{.}$

قسم فرعي: الرسوم البيانية غير المستوية

استكشف!

بالنسبة إلى الرسوم البيانية الكاملة $K_n\text{,}$ نودّ أن نتمكّن من القول شيءٌ عن عدد الرؤوس والأضلاع والأوجه (إذا كان الرسم البيانيّ مستويًّا). فلنبدأ بالنظر في $K_3\text{:}$

1. كم عدد رؤوس $K_3$؟ وكم عدد أضلاعه؟
2. إذا كان $K_3$ مستويًّا، فكم عدد الأوجه التي يجب أن يكون لها؟

كرِّر الجزءَين (1) و(2) من أجل $K_4\text{,}$ $K_5\text{,}$ و$K_{23}\text{.}$

وماذا عن الرسوم البيانية الكاملة ثنائية الجزء؟ كم عدد رؤوس $K_{7,4}$ وأضلاعه وأوجهه (لو كان مستويًّا)؟ وبالنسبة إلى أيّ قيمٍ من $m$ و$n$ يكون $K_n$ و$K_{m,n}$ مستويَّين؟

ليست كل الرسوم البيانية مستوية. فإن كان عدد الأضلاع كبيرًا جدًّا وعدد الرؤوس صغيرًا جدًّا، فإنّ بعض الأضلاع سيحتاج إلى أن يتقاطع. وأصغر رسمٍ بيانيّ يحدث فيه ذلك هو $K_5\text{.}$

وإن حاولت إعادة رسمه دون تقاطع الأضلاع، فإنّك ستقارب سريعًا على المتاعب. إذن يبدو أنّ هناك ضلعًا واحدًا أكثر مما ينبغي. وفي الحقيقة، يمكننا إثبات أنّه مهما كانت الطريقة التي ترسمه بها، فإنّ $K_5$ سيبقى دائمًا فيه أضلاع متقاطعة.

مقولة 2.3.1.

$K_5$ ليس مستويًّا.

البرهان.

البرهان بالتناقض. إذن نفترض أنّ $K_5$ مستوٍّ. عندئذٍ يجب أن يحقّق الرسم البيانيّ صيغة أويلر للرسوم البيانية المستوية. وفي $K_5$ خمسة رؤوس وعشرة أضلاع، فنحصل على $$\begin{equation*} 5 - 10 + f = 2\text{,} \end{equation*}$$ وهو ما يقول إنّ الرسم البيانيّ، إذا رُسم دون تقاطع أيّ من أضلاعه، لكان له $f = 7$ أوجه.

والآن تأمّل كم عدد الأضلاع التي تحيط بكلّ وجه. يجب أن يكون كلّ وجه محاطًا بثلاثة أضلاع على الأقلّ. لتكن $B$ العدد الكلّيّ لـ الحدود المحيطة بجميع أوجه الرسم البيانيّ. وبذلك لدينا $3f \le B\text{.}$ لكنّ لدينا أيضًا $B = 2e\text{,}$ لأنّ كل ضلع يُستعمل كحدٍّ مرّتين بالضبط. وبتجميع هذا معًا نحصل على $$\begin{equation*} 3f \le 2e\text{.} \end{equation*}$$

لكنّ هذا مستحيل، لأنّنا سبق أن حدّدنا أنّ $f = 7$ و$e = 10\text{,}$ و$21 \not\le 20\text{.}$ وهذا تناقض، إذن في الواقع $K_5$ ليس مستويًّا.

والأبسط رسمٌ بيانيٌّ آخر ليس مستويًّا هو $K_{3,3}$

وإثبات أنّ $K_{3,3}$ ليس مستويًّا يجيب عن لغز البيوت والخدمات الكلاسيكيّ: من المستحيل وصل كلّ واحدٍ من ثلاثة بيوت بكلّ واحدٍ من ثلاث خدمات من غير أن تتقاطع الخطوط.

مقولة 2.3.2.

$K_{3,3}$ ليس مستويًّا.

البرهان.

ومرةً أخرى، نُقدّم البرهان بالتناقض. نفترض أنّ $K_{3,3}$ كان مستويًّا. عندئذٍ فبحسب صيغة أويلر، سيكون هناك خمسة أوجه، لأنّ $v = 6\text{,}$ $e = 9\text{,}$ و$6 - 9 + f = 2\text{.}$

كم عدد الحدود التي تحيط بهذه الأوجه الخمسة؟ لتكن $B$ هذا العدد. وبما أنّ كل ضلع يُستعمل كحدٍّ مرّتين، لدينا $B = 2e\text{.}$ كذلك $B \ge 4f$ لأنّ كلّ وجهٍ محاطٌ بأربعة حدود أو أكثر. ونعلم أنّ هذا صحيح لأنّ $K_{3,3}$ ثنائيّ الجزء، فلا يحتوي على أيّ دورات من ثلاثة أضلاع. إذن $$\begin{equation*} 4f \le 2e\text{.} \end{equation*}$$

لكنّ هذا يعني أنّ $20 \le 18\text{,}$ وهو خطأٌ واضح. إذن $K_{3,3}$ ليس مستويًّا.

لاحظ أوجهَ الشبه والاختلاف بين هذين البرهانين. كلاهما برهانٌ بالتناقض، وكلاهما يبدأ باستعمال صيغة أويلر لاستنتاج عدد الأوجه (المفترض) في الرسم البيانيّ. ثمّ نجد علاقةً بين عدد الأوجه وعدد الأضلاع بناءً على عدد الأضلاع التي تحيط بكلّ وجه. وهذا هو الفرق الوحيد. في برهان $K_5\text{,}$ حصلنا على $3f \le 2e$، وفي $K_{3,3}$ كان لدينا $4f \le 2e\text{.}$ ومعاملُ $f$ هو المفتاح. فهو أصغر عددٍ من الأضلاع يمكن أن يحيط بأيّ وجه. إن أحاط عددٌ من الأضلاع بوجهٍ ما، فإنّ هذه الأضلاع تشكّل دورة. إذن هذا العدد هو طول أصغر دورة في الرسم البيانيّ.

وبوجه عام، إن تركنا $g$ ليكون طول أصغر دورة في رسمٍ بيانيّ ($g$ يرمز إلى القِصَر (girth)، وهو المصطلح التقنيّ لذلك) فإنّ كل رسمٍ بيانيّ مستوٍّ يحقّق $gf \le 2e\text{.}$ وحين يتعارض هذا مع صيغة أويلر، نعلم على وجه اليقين أنّ الرسم البيانيّ لا يمكن أن يكون مستويًّا. 7 ولاحظ أنّه لأسبابٍ تقنية، يُعرَّف قِصَر الرسم البيانيّ الخالي من الدورات (الغابة) بأنّه لا نهائي، وفي هذه الحالة لا يتحقّق لدينا بكلّ تأكيد $gf \le 2e\text{,}$ رغم أنّ كلّ الأشجار مستوية.

قسم فرعي: متعدّدات الوجوه

استكشف!

المكعّب مثالٌ على متعدّد وجوه محدّب (convex polyhedron). فهو يحوي ستّة مربّعات متطابقة أوجهًا له، و8 رؤوس، و12 ضلعًا. والمكعّب متعدّدُ وجوهٍ منتظم (regular polyhedron) (ويُعرف أيضًا باسم مجسّمٍ أفلاطوني (Platonic solid)) لأنّ كلّ وجهٍ مضلّعٌ منتظم متطابق، وأنّ كلّ رأسٍ يربط عددًا متساويًا من الأوجه.

وهناك أربعة متعدّدات وجوه منتظمة أخرى بالضبط: رباعيّ الوجوه (tetrahedron)، وثمانيّ الوجوه (octahedron)، واثنا عشريّ الوجوه (dodecahedron)، وعشرينيّ الوجوه (icosahedron)، ولها على التوالي 4 و8 و12 و20 وجهًا. فكم عدد الرؤوس والأضلاع في كلٍّ منها؟

ومجالٌ آخر من الرياضيات ربما سمعتَ فيه مصطلحَي «الرأس» و«الضلع» و«الوجه» هو الهندسة. متعدّدُ الوجوه جسمٌ هندسيّ صلّب مكوَّنٌ من أوجهٍ مستويةٍ متّصلة عند الأضلاع والرؤوس. ونحن مهتمّون على وجه الخصوص بمتعدّدات الوجوه المحدّبة، وهذا يعني أنّ أيّ قطعةِ خطٍّ تصل نقطتين في داخل متعدّد الوجوه يجب أن تكون محتواةً بالكامل في داخله. 8 أمّا التعريف البديل للحدب فهو أنّ الزاوية الداخلية التي يشكّلها أيّ وجهين يجب أن تقلّ عن $180\deg\text{.}$

ولاحظ أنّه بما أنّ $8 - 12 + 6 = 2\text{,}$ فإنّ رؤوس المكعّب وأضلاعه وأوجهه تحقّق صيغة أويلر للرسوم البيانية المستوية. وهذا ليس مصادفة. يمكننا تمثيل المكعّب برسمٍ بيانيّ مستوٍّ بإسقاط رؤوسه وأضلاعه على المستوى. وإليك أحد هذه الإسقاطات:

وفي الحقيقة، يمكن إسقاط كل متعدّد وجوه محدّب على المستوى دون تقاطع الأضلاع. تخيّل أنّك تضع متعدّد الوجوه داخل كرة، مع وجود مصدر ضوء في مركز الكرة. فتُلقي أضلاعُ متعدّد الوجوه ورؤوسُه ظلًّا على داخل الكرة. ثمّ يمكنك ثقّبُ ثقبًا في الكرة في منتصف أحد الأوجه المُسقطة و«مدُّ» الكرة لتستقرّ مفرودةً على المستوى. أما الوجه الذي خُرق فيصبح هو وجهَ «الخارج» في الرسم البيانيّ المستويّ.

والغرض من هذا كلّه أنّه يمكننا تطبيق ما نعرفه عن الرسوم البيانية (وبخاصةٍ الرسوم المستوية) على متعدّدات الوجوه المحدّبة. وبما أنّ كل متعدّد وجوه محدّب يمكن تمثيله برسمٍ بيانيّ مستوٍّ، فإننا نرى أنّ صيغة أويلر للرسوم البيانية المستوية تصحّ أيضًا لكل متعدّدات الوجوه المحدّبة. كما يمكننا تطبيق التفكير نفسه من النوع الذي نستعمله مع الرسوم البيانية في سياقات أخرى على متعدّدات الوجوه المحدّبة. مثلًا، نعلم أنّه لا يوجد متعدّد وجوه محدّب فيه 11 رأسًا جميعها من الدرجة 3، لأنّ ذلك سيجعل عدد الأضلاع 33/2.

مثال 2.3.3.

هل يوجد متعدّد وجوه محدّب مكوَّنٌ من ثلاثة مثلثات وستّة خماسيات؟ وماذا عن ثلاثة مثلثات وستّة خماسيات وخمسة سبّاعيّات (مضلّعات ذات 7 أضلاع)؟

الحل. كم عدد الأضلاع التي يملكها هذا المتعدّد من الوجوه؟ بالنسبة إلى متعدّد الوجوه المقترح أوّلًا، تُسهم المثلثات بمجموع 9 أضلاع، وتسهم الخماسيات بـ 30 ضلعًا. لكنّ هذا يعدّ كل ضلع مرّتين (إذ يحدّ كل ضلع وجهين بالضبط)، فيعطي 39/2 ضلعًا، وهو مستحيل. لا يوجد متعدّد وجوه من هذا النوع.

ومتعدّدُ الوجوه الثاني لا يواجه هذا العائق. الأضلاع الـ35 الإضافية التي تسهم بها السبّاعيّات تعطي مجموعًا قدره 74/2 = 37 ضلعًا. إلى هنا، كلّ شيءٍ على ما يرام. والآن، كم عدد رؤوس متعدّد الوجوه المزعوم هذا؟ يمكننا استعمال صيغة أويلر. هناك 14 وجهًا، لدينا $v - 37 + 14 = 2$، أي بما أنّه مكافئ لـ $v = 25\text{.}$ لكنّنا نستعمل الآن الرؤوس لنعدّ الأضلاع من جديد. يجب أن تكون درجة كل رأس ثلاثة على الأقلّ (أي أنّ كل رأسٍ يربط ثلاثة أوجه على الأقلّ، لأنّ الزاوية الداخلية لكل المضلّعات يجب أن تقلّ عن $180^\circ$)، لذا يكون مجموع درجات الرؤوس 75 على الأقلّ. وبما أنّ مجموع الدرجات يجب أن يساوي بالضبط ضعفَ عدد الأضلاع، فإنّ هذا يعني أنّ عدد الأضلاع يزيد بالتأكيد عن 37. ومرةً أخرى، لا يوجد متعدّد وجوه من هذا النوع.

ولنُتمّ هذا التطبيق للرسوم البيانية المستوية، فلننظر في متعدّدات الوجوه المنتظمة. لقد ادّعينا أنّها خمسةٌ لا غير. وكيف نعلم أنّ هذا صحيح؟ يمكننا إثباته باستعمال نظرية الرسوم البيانية.

مقولة 2.3.4.

هناك خمسة متعدّدات وجوه منتظمة بالضبط.

البرهان.

تذكّر أنّ جميع أوجه متعدّد الوجوه المنتظم مضلّعاتٌ منتظمة متطابقة، وأنّ كل رأسٍ له الدرجة نفسها. تأمّل أربع حالات، بحسب نوع المضلّع المنتظم.

الحالة 1: كل وجهٍ مثلّث. لتكن $f$ عدد الأوجه. إذن هناك $3f/2$ ضلعًا. وباستعمال صيغة أويلر، لدينا $v - 3f/2 + f = 2$ إذن $v = 2 + f/2\text{.}$ والآن كل رأسٍ له الدرجة نفسها، ولنفرض أنّها $k\text{.}$ إذن عدد الأضلاع هو أيضًا $kv/2\text{.}$ وبتجميع هذا معًا نحصل على $$\begin{equation*} e = \frac{3f}{2} = \frac{k(2+f/2)}{2}\text{,} \end{equation*}$$ وهو ما يقول $$\begin{equation*} k = \frac{6f}{4+f}\text{.} \end{equation*}$$

ويجب أن يكون كلٌّ من $k$ و$f$ عددًا صحيحًا موجبًا. ولاحظ أنّ $\frac{6f}{4+f}$ دالةٌ متزايدة لـ $f\text{,}$ الموجب، محدودةٌ من الأعلى بخطّ أفقيّ عند $k=6\text{.}$ ومن ثمّ فإنّ القيم الممكنة الوحيدة لـ $k$ هي 3 و4 و5. وكلٌّ من هذه القيم ممكن. للحصول على $k = 3\text{,}$ نحتاج إلى $f = 4$ (وهذا هو رباعيّ الوجوه). ولأجل $k = 4$ نأخذ $f = 8$ (وهو ثمانيّ الوجوه). أما $k = 5$ فنأخذ $f = 20$ (وهو عشرينيّ الوجوه). ومن ثمّ هناك ثلاثة متعدّدات وجوه منتظمة بالضبط أوجهُها مثلثات.

الحالة 2: كل وجهٍ مربّع. لدينا الآن $e = 4f/2 = 2f\text{.}$ وباستعمال صيغة أويلر، نحصل على $v = 2 + f\text{,}$ وعدُّ الأضلاع باستعمال درجة $k$ لكل رأسٍ يعطينا $$\begin{equation*} e = 2f = \frac{k(2+f)}{2}\text{.} \end{equation*}$$

وحلّ المعادلة لأجل $k$ يعطي $$\begin{equation*} k = \frac{4f}{2+f} = \frac{8f}{4+2f}\text{.} \end{equation*}$$

وهذه أيضًا دالةٌ متزايدة، لكنّ الخطّ الأفقيّ هذه المرة عند $k = 4\text{,}$ لذا القيمة الممكنة الوحيدة التي يمكن أن يأخذها $k$ هي 3. وهذا ينتج 6 أوجه، فيكون لدينا مكعّب. وهناك متعدّدُ وجوهٍ منتظمٌ واحدٌ فقط أوجهُه مربّعات.

الحالة 3: كل وجهٍ خماسيّ. نُجري الحساب نفسه كما سبق، فنحصل هذه المرة على $e = 5f/2$ إذن $v = 2 + 3f/2\text{.}$ وعندئذٍ $$\begin{equation*} e = \frac{5f}{2} = \frac{k(2+3f/2)}{2}\text{,} \end{equation*}$$ إذن $$\begin{equation*} k = \frac{10f}{4+3f}\text{.} \end{equation*}$$

والآن الخطّ الأفقيّ عند $\frac{10}{3}\text{.}$ وهذه أقلّ من 4، لذا لا نأمل إلّا في $k = 3\text{.}$ يمكننا فعل ذلك باستعمال 12 خماسيًّا، فنحصل على اثنا عشريّ الوجوه. وهذا هو متعدّدُ الوجوه المنتظم الوحيد الذي أوجهُه خماسيات.

الحالة 4: كل وجهٍ مضلّعٌ من $n$ ضلعًا مع $n \ge 6\text{.}$ وفي اتّباع الإجراء نفسه الذي سبق، نستنتج أنّ $$\begin{equation*} k = \frac{2nf}{4+(n-2)f}\text{,} \end{equation*}$$ وهذا سيزداد صعودًا حتى يبلغ خطًّا أفقيًّا قدره $\frac{2n}{n-2}\text{.}$ وحين $n = 6\text{,}$ يكون هذا الخطّ الأفقيّ عند $k = 3\text{.}$ وأيّ قيمة أكبر لـ $n$ ستعطي خطًّا أفقيًّا أصغر من ذلك. ومن ثمّ فلا توجد متعدّدات وجوه منتظمة أوجهُها أكبر من الخماسيات. 9 ولاحظ أنّ بإمكانك تبليط المستوى بالسداسيات. هذا رسمٌ بيانيّ مستوٍّ لا نهائيّ؛ ولكلّ رأسٍ فيه الدرجة 3. وهذه السداسيات اللانهائية تقابل النهايةَ عندما $f \to \infty$ بحيث يكون $k = 3\text{.}$

أسئلة القراءة

1.

هل الرسم البيانيّ المبيَّن أدناه مستوٍّ؟ اشرح إجابتك.

2.

نفترض أنّك رسمت رسمًا بيانيًّا فيه 10 رؤوس و14 ضلعًا على نحوٍ لا تتقاطع فيه أيّ من الأضلاع. فكم عدد الأوجه التي يمكن أن يكون لرسمك البيانيّ؟ اشرح إجابتك (أو إجاباتك).

3.

ما الأسئلة التي تدور في ذهنك بعد قراءة هذا القسم؟ اكتب سؤالًا واحدًا على الأقلّ عن محتوى هذا القسم يثير فضولك.